2024屆天一大聯(lián)考12月四聯(lián)數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆天一大聯(lián)考12月四聯(lián)數(shù)學(xué)試題+答案

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合4=HwZIl<x^4|,B=IXGZIX2-8%+12<0｝，則4U8的子集的個(gè)數(shù)為

A.7B.8C.15D.16

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+4i)=2+1則2=

.67.67.「6,7.67.

A?行+1?DB.萬一萬?C.-正+行】Dn.-萬一萬

3.已知等差數(shù)列1%I的前n項(xiàng)和為S”,且多-導(dǎo)=4,則%-.6=

A.2B.3C.4D.6

4,已知非零向量％方滿足W=2lbl,且la-26=la+4"，則的夾角為

AA,26LB江3C—3D—6

5.已知函數(shù)/（%）=（x+a）lx-ll的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,2），則實(shí)數(shù)a的值為

A.-3B.-2C.1D.2

6.已知命題p：三江（0,孑），（cos。嚴(yán)?（癡e）c°，e,則

A.->pt（0號(hào)），（cos6）sin6>（sin。）。叫且rp是真命題

B.rp：V6G（0,胃），（COS夕）.e>（sine）皿8,且rP是假命題

C.rp：m夕e（0由，（cose）”>（sine）叫且rp是假命題

D.rp：VeG（0,f）,（cos8）.e>（sine）c?！?，且rp是真命題

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

7.已知圓錐SO1的高為4,體積為攀,若圓錐的頂點(diǎn)S與底面圓周上的所有點(diǎn)均在球。上，

則球。的體積為

A.187rB.24irC.361rD.481r

8.已知/(%)為偶函數(shù),對(duì)任意XGR有八4+2)=/(x)/⑴，當(dāng)"e［O,l)時(shí)J⑷=4x-2,

則方程/(*)的所有實(shí)根之和為

A.3B.6C.7D.8

二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在實(shí)際應(yīng)用中，通常用吸光度A和透光率T來衡量物體的透光性能,它們之間的換算公式

為4=lg/，下表為不同玻璃材料的透光率：

玻璃材料材料1材料2材料3

T0.70.80.9

設(shè)材料1、材料2、材料3的吸光度分別為4,則

A.>從2B.>343

C.A1+4>242D.4/?>4；

10.已知函數(shù)/(%)=4sin(s+3)的部分圖象如圖，則

A./(“)的最小正周期為仃仁

B.將以工)的圖象向右平移尹單位長(zhǎng)度得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象廿汆

(1/(%)在［-仍0］上有3個(gè)零點(diǎn)-1/4\一"

D./(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線“粵+盟'

11.已知函數(shù)/(*)=x3+3x2+bx+l的導(dǎo)函數(shù)尸(％)的極值點(diǎn)是/(%)的零點(diǎn)，則

A./(x)在R上單調(diào)遞增

B./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱

C.若a+c>-2,則/(a)+/(c)>0

D.過坐標(biāo)原點(diǎn)僅有一條直線與曲旗yq/U)相切

「2、九一1

12.已知數(shù)列14｝的通項(xiàng)公式為M=［二_2一\其前m項(xiàng)和為S“.對(duì)任意正整數(shù)m,設(shè)

12，幾

m=￡b：(Si-1)淇中6,e{0,1],記/(m)=bt+%+…+瓦，則

i=l

f2,n=1,

A.S=B.S-3^n(n+1)

"心2n+2

C.f(2m)=f(m)DJ(a.+3-S“+i)=〃

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.已知3sina=cosa,則tan(a-第=

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

14.如圖，四棱錐P-4BCD的底面為平行四邊形,￡,F分別為棱4D,0C上的點(diǎn),4。=34￡,且

R4〃平面此尸，貝IJ第=.

15.已知曲線片割在點(diǎn)（-1,-2）處的切線方程為廣版+6,記max｛p,q|設(shè)函，

數(shù)F（?）=max|4lx-ll,fec+6|，則數(shù)動(dòng)的最小值為、?，

16.如圖，一個(gè)池塘的東、西兩側(cè)的端點(diǎn)分別為8,4,現(xiàn)取水庫周邊兩點(diǎn)C力,測(cè)得C0=80m,

LADB=135°,Z.BDC=LDCA=15。，乙ACB=120。,池塘旁邊有一條與直線AB垂直的小

路/，且點(diǎn)4到2的距離為206m.小張（P點(diǎn)）沿著小路I行進(jìn)并觀察4,8兩點(diǎn)處豎立的

旗幟（與小張的眼睛在同一水平面內(nèi)），則小張的視線以與m的夾角的正切值的最大值

為.

四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟?

17.（10分）

已知等比數(shù)列｛aj的公比q=2,記其前n項(xiàng)和為S.,且a2,a3+3,a4成等差數(shù)列.

（I）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（口）求｛SJ的前〃項(xiàng)和4

18.（12分）

如圖，在三棱柱ABC-A.B,C,中,1平面ABC,AB=AC=AAt,AB_UC,O,E分別為棱

4C,&G的中點(diǎn).

（I）求證:GD〃平面ABE；

（H）求直線BC與平面ABE所成角的正弦值.

19.(12分)

在鈍角三角形4BC中，角4,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知acosA=bcosB.

(I)證明：A48C是等腰三角形；

(U)若asinC=1且c2=2百6,求△ABC的面積.

20.(12分)

已知數(shù)列I的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和記為Sn嗎=1，且?=紇2(人為常數(shù)).

(I)若火,。2，。3構(gòu)成等比數(shù)列，求A的值；

(H)若入=3,且」一+」一+…+」一〈”恒成立,求實(shí)數(shù)M的最小值.

Q2a40nan+2

21.（12分）

如圖，在三棱錐P-4BC中，P4O,E分別是線段尸4,QC,4c的中點(diǎn),5。=訝,

PA=2AC=4BE=4.

(I)求證：OE_L平面45C；

(II)若二面角Q-BO-4的余弦值為/，求匕4cA

22.(12分)

已知函數(shù)/(%)=mez-x,meR.

(I)若f(，)N0恒成立，求m的取值范圍；

(II)設(shè)正實(shí)數(shù)叼/2，"3"(心2)滿足=2,證明：/告■》nm-2e-\

ia1i=ie

數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

數(shù)學(xué)?答案

一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.D2.B3.D4.C5.A

6.D7.C8.B

二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分每小題全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.AC10.ABD11.ABC12.BCD

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.解析（I）因?yàn)椤?,%+3,&成等差數(shù)列，所以2（%+3）=%+。4,...........................（2分）

得2%+6=—+即2a3+6=號(hào)+2%，解得%=12,......................................（4分）

q,

所以冊(cè)......................................................（5分）

（D）由（I）知。1=3x2「i=3,.........................................................（6分）

所以S.=3x,y）=3X2"-3,.......................................................（8分）

1-Z

貝|J；2"）_3〃=3X2"1_6_30................................................（10分）

1—2

18.解析（I）如圖，設(shè)4G的中點(diǎn)為F,連接

因?yàn)榉謩e為與G，4G的中點(diǎn)，所以EF〃4為，

又48〃&與，所以E尸〃48,所以4尸在平面48E內(nèi)...........................................（2分）

因?yàn)?O=：4C,GF=g4G，4c上4G,所以40上GF,...................................（3分）

所以四邊形是平行四邊形,4F〃G〃，..................................................（4分）

又GO（Z平面48E,所以G?！ㄆ矫?8E..................................................（5分）

八N

(II)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以4鳥,4G,4/所在的直線為％y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

.................................................................................................(6分)

^AB=AC=AAl=2,則點(diǎn)8(2,0,2),C(0,2,2),4(0,0,2),E(1,1,0),

濕=(-2,2,0),港=(2,0,0),蕊=(1,1,-2)..................................................(8分)

設(shè)平面ABE的法向量為n=(”,y,z),

r?,港二(%,y,z),(2,0,0)=2%=0,rX-o,

由一得

[n?AE—.(1,1,-2)=x+y—2z=0,ly=2z,

不妨令z=l,得平面的一個(gè)法向量為〃二(0,2,1).........................................(10分)

設(shè)直線BC與平面ABE所成的角為仇

則他”|儂〈“,前〉J(0,2，D.(-2,2,0)J女............................(12分)

Ini\BC\Ax2V25

19.解析（I）由條件及正弦定理可得sin4cos4=sinBcos5,.....................................（1分）

所以sin24=sin2A............................................................................（2分）

因?yàn)?,6￡（0,仃），且4+6￡（0,^）,所以24=26或24+26二^,

即4=8或4+8=.........................................................................（3分）

因?yàn)閍ABC是鈍角三角形，所以4+8*2，.....................................................（4分）

所以4=8,所以△48C是等腰三角形....................................................（5分）

（H）由題意及（I）得4=8,從而。=6.

由正弦定理得csinA=asinC=1,

所以「二Jp且a二」7；二.」工鬲二I；，.................................................（7分）

sinAsinCsin{A+n）sm24

由c2二2/a,可得二2a二.f一7,

sinAsin2AsinAcosA

整理得tan4=§，所以4=/.................................................................（9分）

Jo

C=TT-A-B=—,.......................................................................(10分)

由asin得6=Q=—^―,

所以s“c=—sinc《x苧x空x與岑.........................................⑴分）

20.角單析（［）令:二］，得3二％+入，即1:%=1：A,所以的二人,.............................（1分）

31%11

人一一C4曰S3_。2+一日］+A_.后二~_!,、...............................................................64、

即1+4=入=解得人卜=^^<0,舍去）.........................................（5分）

（口）由已知得2="3,所以?！埃?“+|-'）=35“，即冊(cè)%1”=35/^,.......................（6分）

Snan

所以冊(cè)+1冊(cè)+2=3S“+i②，由②一①得%+]（冊(cè)+2-冊(cè)）=3冊(cè)+],...............................（7分）

又冊(cè)+i>。，所以an+2-an=3,

所以數(shù)列｛冊(cè)|的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列.

由（I）可知。2=入=3,.................................................................（8分）

1_1±

+（10分）

3冊(cè)+i~9

當(dāng)“一+8時(shí),%-+81所以7；〈4*且7；-4專,

冊(cè)99

故M的最小值為告..................................................................（12分）

21.解析（I）因?yàn)镈,E分別是線段QC,4c的中點(diǎn)，

所以DE〃尸4,且DE=；Q4=^-PA=1.

因?yàn)镻A_L4C,所以。E_L4C............................................................（1分）

因?yàn)锽D=a,BE=1,所以DE?+BE?=BD2,所以DELBE....................................（2分）

又因?yàn)?C,BEU平面48C,且4CC8E=E,...............................................（3分）

所以O(shè)E_L平面48c....................................................................（4分）

（II）因?yàn)镋是線段4c的中點(diǎn)，且有4c=28E=2,所以△48C是直角三角形，其中48_L8C.

由（I）可知。E_L平面4BC,所以可以8為坐標(biāo)原點(diǎn),8C,54所在直線為明y軸，過點(diǎn)8且與￡?平行的直線

為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系..................................................（5分）

因?yàn)?c=2,設(shè)乙4⑵=

貝！J=4Csine=2sin=4Ccose=2cos9....................................................(6分)

則3(0,0,0),A(0,2sin仇0),C(2cos/0,0),Q(0,2sin0,2),Z)(cos6,sin0,1),

所以DB=(-cos8,-sin0,-1),DQ=(一cos0,sin8,1),DA=(一cos0,sin仇一1)..............(7分)

不妨設(shè)平面QBD與平面ABD的法向量分別為如=(町，％,否)，〃2=(%2/2),

rnl,DB=0,rW2,DB=0,

則有一,

12?DQ=0,[n2?DA=0,

-%]cos。一％sin0-zv=0,r-%2cos0-y2sin0-z2=0,

{-孫cos9+%sin9+Z[=0,1-%2cos0+%sin0~z=0.

2

分別令Z1=sin仇22二cos仇此時(shí)有由=(0,-1,sing)-1,0,cos。).......................(10分)

mu/\In\*n2sin^cos01八、

則lcos〈”],“2〉?=-p-T=/,-/,=7,...............................(Il分)

"J-\n2\/|+sin-g./)+cos-03

整理得si12"l.

因?yàn)椤?lt;”胃,所以sin2d=1,2”4?，即。=個(gè),

所以乙4cB=,.(12分)

22.解析（I）/（x）\0恒成立，等價(jià)于"'彳恒成立，即利》（彳）..............................（1分）

e\e/max

設(shè)W（%）=彳測(cè)"（%）.............................................................（2分）

ee

當(dāng)％<1時(shí),"（%）>0，w（%）單調(diào)遞增，當(dāng)％>1時(shí),"（％）<0,0（%）單調(diào)遞減，

所以0（%）max二夕（1）二十,.................................................................（3分）

故m的取值范圍是［；,+8）.................................................................（4分）

（□），二￡（機(jī)—二“機(jī)一'故待證不等式等價(jià)于Eg02e4..............（5分