高三數(shù)學(xué)-參數(shù)方程

高三數(shù)學(xué)高三數(shù)學(xué)一、參數(shù)方程的概念一、參數(shù)方程的定義：1定義：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任一點P的坐標(biāo)和都可以表示為某個變量的函數(shù)：反過來，對于的每個允許值，由函數(shù)式：所確定的點都在這條曲線上，那么方程叫做這條曲線的參數(shù)方程，變量是參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2說明：(1)參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒有明顯意義.(2)同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣(3)在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍3.參數(shù)方程的意義：參數(shù)方程是曲線點的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動點的兩個坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來，參數(shù)方程與變通方程同等地描述了曲線，參數(shù)方程實際上是一個方程組，其中，分別為曲線上點M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).4.參數(shù)方程求法（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任一點M坐標(biāo)為（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點M坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式（4）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程5.關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取選取參數(shù)的原則是曲線上任一點坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對簡單.與運動有關(guān)的問題選取時間做參數(shù).與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問題選取角做參數(shù).或選取有向線段的數(shù)量、長度、直線的傾斜斜角、斜率等.二、例題選講例1一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不計空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時機呢？（教材21頁探究）解：由物理學(xué)知識得①救援物資落地時，應(yīng)有，即解得s.將代入①，得到m.因此，飛行員在離救援點的水平距離約為1010m時投放物資，可以使其準(zhǔn)確落在指定地點.例2已知曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.（1）判斷點，與曲線C的位置關(guān)系；（2）已知點在曲線C上，求的值.解：（1）把點的坐標(biāo)代入方程組，解得，因此在曲線C上.把點的坐標(biāo)代入方程組，得到這個方程組無解，因此點不在曲線C上.（2）因為點在曲線C上，所以解得.因此，.例3設(shè)炮彈發(fā)射角為，發(fā)射速度為，（1）求子彈彈道曲線的參數(shù)方程（不計空氣阻力）（2）若，，當(dāng)炮彈發(fā)出2秒時，求炮彈高度和射程解：(1)由物理學(xué)知識得(2)若，，當(dāng)炮彈發(fā)出2秒時，所以炮彈高度為80.4m，射程為173.2m.課后練習(xí)：1．點在曲線為參數(shù)）上，則的值為【】A．—5B．3C．—5或3D．—2或32曲線與坐標(biāo)軸的交點是【】ABCD3下列在曲線上的點是【】ABCD4．動點M作勻速直線運動，它在軸和軸方向的速度分別是2m/s，5m/s,直角坐標(biāo)系的長度單位是1m，點M的起點位置在處，則點M的軌跡的參數(shù)方程為【】ABCD5．已知曲線的參數(shù)方程為，它表示的曲線是【】A直線B圓C橢圓D雙曲線6.已知曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），當(dāng)時，曲線上對應(yīng)點的坐標(biāo)是.7.已知彈道曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則炮彈從發(fā)射到落回地面所需的時間為.8.已知曲線C的參數(shù)方程是（1）判斷點與曲線C的位置關(guān)系（2）已知點在曲線C上，求的值．參考答案：1．C2．B3．B4．D5．A6.7．8．解：（1）把點的坐標(biāo)代入方程組，解得，因此在曲線C上.把點的坐標(biāo)代入方程組，得到這個方程組無解，因此點不在曲線C上.（2）因為點在曲線C上，所以解得.因此，.二、圓的參數(shù)方程一、圓的參數(shù)方程1.圓心為原點半徑為r的圓的參數(shù)方程如圖，設(shè)圓的半徑是r，點M從初始位置（t=0時的位置）出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，點M繞點轉(zhuǎn)動的角速度為.以圓心為原點，所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.顯然，點M的位置由時刻t惟一確定，因此可以取t為參數(shù).如果在時刻t，點M轉(zhuǎn)過的角度是，坐標(biāo)是，那么.設(shè)，那么由三角函數(shù)定義，有，即這就是圓心在原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)t有明確的物理意義（質(zhì)點作勻速圓周運動的時刻）.考慮到，也可以取為參數(shù)，于是有這也是圓心在原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)的幾何意義是繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時，轉(zhuǎn)過的角度.2.圓心為原點半徑為r的圓的參數(shù)方程如圖，設(shè)圓上任意一點P(x,y)，它是圓O上一點按平移向量平移后得到的，則根據(jù)平移公式，有，由于，故這就是圓心為，半徑為r的圓的參數(shù)方程.二例題選講例1如圖所示，圓O的半徑為2，P是圓上的動點，Q（6，0）是軸上的定點，M是PQ的中點.當(dāng)點P繞作勻速圓周運動時，求點M的軌跡的參數(shù)方程.解：設(shè)點M的坐標(biāo)是(),,則點P的坐標(biāo)是(2cosθ,2sinθ).由中點坐標(biāo)公式可得因此，點M的軌跡的參數(shù)方程是例2把圓化為參數(shù)方程.解：方程可化為，所以圓心為（3，0），半徑為3.因此，圓的參數(shù)方程是例3已知x、y滿足,求的最大值和最小值．解：由已知圓的參數(shù)方程為故.課后練習(xí)：1．半徑為3，圓心在點的圓的參數(shù)方程為【】A．B．C．D．2．是曲線（為參數(shù)）上任意一點，則的最大值為【】A．36B．6C．26D．253．直線：與圓：的位置關(guān)系是【】A．相交且過圓心B．相交而不過圓心C．相切D．相離4．點是曲線為參數(shù)）上任意一點，則的最大值為【】A．1B．2C．D．5圓的圓心的軌跡是【】A．圓B．直線C．橢圓D．雙曲線6．圓的參數(shù)方程為．7．點是曲線（為參數(shù)）上任意一點，則的最大值為．8.已知點是圓上一個動點，定點，點在線段上，且，當(dāng)點在圓上運動時，求點的軌跡．參考答案：1．A2．A3．B4．D5．A6.（為參數(shù)）7．8．解：設(shè)點M的坐標(biāo)是(),,則點P的坐標(biāo)是(4cosθ,4sinθ).∵，∴由題設(shè).∴()=∴因此，點M的軌跡的參數(shù)方程是.三、參數(shù)方程和普通方程的互化一、參數(shù)方程和普通方程的互化1.參數(shù)方程化為普通方程參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程.常見方法有三種：代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)；三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)；整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去.2.普通方程化為參數(shù)方程一般地，如果知道變數(shù)，中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系，那么就是曲線的參數(shù)方程.二、例題選講例1把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線：（1）（為參數(shù)）；（2）（為參數(shù)）.解：（1）由有代入，得到.又因為，所以與參數(shù)方程等價的普通方程是.這是以（1，1）為端點的一條射線（包括端點）.（2）把平方后減去，得到又因為，所以.因此，與參數(shù)方程等價的普通方程是，這是拋物線的一部分.例2求橢圓的參數(shù)方程：（1）設(shè)，為參數(shù)；（2）設(shè)，為參數(shù).解：（1）把代入橢圓方程，得到，于是，即.由參數(shù)的任意性，可取，因此，橢圓的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.（2）把代入橢圓方程，得，于是,即.因此，橢圓的參數(shù)方程是（為參數(shù)）和（為參數(shù)）.例3將參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程，并指出它表示什么曲線.解：∵，∴，即，它表示雙曲線.課后練習(xí)：1．將參數(shù)方程化為普通方程為【】ABCD2．參數(shù)方程為表示的曲線是【】A一條直線B兩條直線C一條射線D兩條射線3．已知直線與直線相交于點，又點，則【】A．2B．C．D．34．參數(shù)方程的普通方程為【】A．