不等式性質(zhì)與基本不等式-2023年高考數(shù)學(xué)考試（新高考）（原卷版）

專題03不等式性質(zhì)與基本不等式

不等式性質(zhì)與基本不等式

，

忽

視

多次應(yīng)用忽視

字

母

運(yùn)用基本一元

的

取

不等不等

值

范二次

式性式忽

圍

而不等

質(zhì)而略不

致

錯(cuò)式中

致錯(cuò)等式兩根

成立大小

條件而致

錯(cuò)

?.不等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)時(shí)，沒有考慮該數(shù)的取值范圍而致錯(cuò)。

2.在利用不等式性質(zhì)求范圍時(shí)，由于多次運(yùn)用不等式性質(zhì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大而致錯(cuò)。

3.有關(guān)含有參數(shù)的不等式問題中，忽略參數(shù)的取值范圍而致錯(cuò)。

4.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正一一各項(xiàng)均為正；二定一一積

或和為定值；三相等一一等號(hào)能否取得"，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

夕布臺(tái)所

一、忽視字母的取值范圍而致錯(cuò)

1.（多選）對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，h,c,d,下列四個(gè)命題中，其中真命題的是（）

A.若α>b,c≠0,則Qc>6c;B.若a>b,則Qc2>bc2;

C.若ad>兒2,則。>b；D.若”>6>0，Od>0,則〃c>6d?

【錯(cuò)解】對(duì)于A,若a>b,當(dāng)c<0時(shí)，則。Cebc,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若a>b,則歐2>慶2；故B

對(duì)；對(duì)于C,若〃。2>慶2，可得02〉0，所以a>b,故C正確；對(duì)于D,若Q>b>O,c〉d〉O,則

ac>bc>bd,故DiE確.所以選BCD.

【錯(cuò)因】

【正解】

2.（多選）下列說法中正確的是（）

A.若Q>b>O,則QC2>be?B.若Q<b<O,則Q2>Q6>〃

CCI1

C.若α>6>0,則一>—D.若且一>—,則必<0

ahah

【錯(cuò)解】對(duì)于A中，若。〉6〉0,當(dāng)C=O時(shí)，則。。2=兒2,所以A不正確；對(duì)于B中，若a<b<O,

11

—>—

根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得所以B正確；對(duì)于C中，∣l∣α>b>O,可得αb,再根據(jù)不等

cc11h-aC

—>-----=---->0

式的性質(zhì)可得“b,所以C正確；對(duì)于D中，若α>b,可得6-。<0,由“bab,可得必<0,

所以D正確。所以選BCD。

【錯(cuò)因】

【正解】

二、多次運(yùn)用不等式性質(zhì)而致錯(cuò)

已知-l<2α+b<2,3<a-b<4,求5α+b的取值范圍.

【錯(cuò)解】因?yàn)橐籰<2α+b<2,3<a-b<4t兩式相加得2<3α<6,所以W<5α<10,

3

因?yàn)橐籰<2α+6<2,—8<-2α+26<-6,兩式相加得一9<3b<-4,所以一3<6<於，

3

所以與一3<5α+b<10-3,即5a+be(；,g)。

【錯(cuò)因】

【正解】

三、忽視不等式中高次項(xiàng)的系數(shù)

1.若不等式mx2+2WΛ-4<2x2+4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-2,2]D.[-2,2]

【錯(cuò)解】原不等式可整理為(2-"φj+(4-2a)χ+4>0.

2—m>0,

由題意知必須滿足,解得一2<m<2

(4-2//J)2—4×4(2-∕n)<0,

.綜上知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一2,2).選A

【錯(cuò)因】

【正解】

五、應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，忽略不等式成立的三個(gè)條件，

1.(沒有考慮等號(hào)能否取到)當(dāng)XW(1,2)時(shí)，不等式/+/7優(yōu)+4<0恒成立，則加的取值范圍是()

A.tn≤-5B.m<-4C.m<5D.m>5

y*2-I-44

【錯(cuò)解】當(dāng)Xe(1,2)時(shí)，由/+加工+4<0得加<一上==一(x+一).

XX

4

一(X+—)≤-2.:.m<-4,故選B。

x

【錯(cuò)因】

【正解】

2.(沒有考慮“一正”)已知遞增等差數(shù)列{%}中，ala2=-2,則%的()

A.最大值為-4B.最小值為4C.最小值為-4D.最大值為4或-4

,,2

【錯(cuò)解】因?yàn)閝%=-2,由等差數(shù)列通項(xiàng)公式,設(shè)公差為d,可得《(％+")=—2,變形可得1=一/一7

而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知

a=a+2d=a+2-ɑ,-?=(-α,)+41?！羖=-4

ili%+一(-2JaI

Ia?/?fl∣√a

aJV?

當(dāng)且僅當(dāng)6=±2時(shí)取得等號(hào)，所以％的最大值為%選A。

【錯(cuò)因】

【正解】

三、忽視一元二次不等式中兩根大小而致錯(cuò)

1.已知集合/={x∣χ2-(3α-l)x+2/-α<θ},集合8={x∣x?-4x+3<θ},命題尸：x&A,

命題。：x&B,若P是。的充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【錯(cuò)解】因?yàn)镻∕∈N,Q-.xeB,若尸是。的充分條件，則4uB.

因?yàn)閆={x∣F一(34-l)x+2/-4<θ}={x∣(x+l-24)(x-a)<θ}

a>1

則/={xIα<X<2a—1},5={x11<x<3),/.?>解得1<q,2.

2a-L,3

實(shí)數(shù)α的取值范圍是[1,2].

【錯(cuò)因】

【正解】

1.(2022?南京外國語學(xué)校)已知α,b,c∈R,則下列四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是()

①若ac2>bc2，則。>6；②若|"2|>性—2],則("2)2>(b-2)?

「X什j八→,,ciα+c

③右α>b>c>O,貝rij—〉----④若Q>O,b>O,α+b>4,ab>4則。>2,b>2.

hh+cf

A.1B.2C.3D.4

2.已知1VQ+2X2,-2<2a-h<?,則8〃+6的取值范圍是（）

C.(-4.7)DE?

3.（多選）下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x>0時(shí)，y[xT~~

yjχ

B.當(dāng)x>2時(shí)，x+??勺最小值是2

X

51

C.當(dāng)XV-時(shí)，4x—2+------的最小值是5

44x—5

149

D.設(shè)x>0,y>0,且x+y—2,則一I~一的最小值是」

Λy2

4.（多選）（2022?廣東中山紀(jì)念中學(xué)）若a>b>O,則下列不等式恒成立的是（）

bb+l1,1

A.—<------B.a+->b+-

aa+1ah

1,12a+ba

C.dH—>bT—D.--------->-

baa+2bb

5.（2022?全國高一課時(shí)練習(xí)）若不等式（a—2）χ2+2（α-2）x-4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a

取值的集合（

A.{a?a≤2}B.{a?-2<a<2}C.{a∣-2<a≤2}D.{a∣a≤-2)

6.已知a,b∈(0,+∞),則>+"+∣+4ah的最小值為(

)

ah

A.1B.2C.4D.6

7.（多選題）已知a>0,b>0,則下列命題成立的有（)

B.若ab=1,則L+,22

A.若ab=1,則/+b?N2

ah

D.若a+b=l,則^+,≥4

C.若a+b=l,則/+〃<-

2ab

8.(多選)下列命題為真命題的是()

A.若a>b>O,貝I]ac2>bc2B.若QVb<0,貝IJa2>ah>h2

C.若a>6>0且CV0,則名[D.若a>b且k?,則ab<O

azb~ab

9.關(guān)于X的不等式（/-I）χ2-（a-l）x—1<0的解集為R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（

B.

5

c.f-∣,lu{-l}

10.（2022?石家莊市第十九中學(xué)）設(shè)a>0,b>0,給出下列不等式不恒成立的是（）

A.a2+1>aB.a2+9>6a

c?("叫+04D?m≥4

IL(多選)在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有()

1I(OVxV4

A.f(x)=x2-?~--B.√(x)=cosxH--------L2j

xzCOSX

x2-∣-44

C.fix)=-7==D./(X)=3ΛH-------2

√÷H3，

12.(多選題)已知x>0,y>0,且x+y+號(hào)一3=0,則()

A.中的取值范圍是[1,9]13.%+歹的取值范圍是[2,+00)

C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最小值是4后—3

114

13.已知α+b=l,α>0>b>0>則—∣—∣—；-7的最小值為()

aba+b

-15r-

?.12B.6+4√r2C.—D.4+6√2

14.已知一2<