廣東省深圳大學(xué)附屬實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

深大實驗2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末考試（數(shù)學(xué)）試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．“”是“”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知，，則（）A． B． C． D．4．已知集合，，則（）A． B． C． D．5．已知，且，則（）A． B． C． D．6．三個數(shù)，，的大小順序是（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)則方程有四個實根的充要條件為（）A． B． C． D．8．中國的技術(shù)領(lǐng)先世界，技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信通帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，帶寬在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至5000，則大約增加了（）（附：）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．已知，，若，則（）A．的最大值為 B．的最小值為1C．的最小值為8 D．的最小值為10．下列化簡正確的是（）A． B．C． D．11．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象12．已知函數(shù)，則（）A．的定義域為B．當(dāng)時，C．D．對定義域內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，，恒成立三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．若命題：，，則命題的否定是________．14．已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式________．15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．16．設(shè)函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，都有．當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上有________個零點．四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（10分）化簡求值（1）；（2）．18．（12分）已知集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式解集為，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．20．（12分）進(jìn)口博覽會是一個展示各國商品和服務(wù)的盛會，也是一個促進(jìn)全球貿(mào)易和交流的重要平臺．某汽車生產(chǎn)企業(yè)想利用2023年上海進(jìn)口博覽會這個平臺，計劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需投入流動成本（萬元），且，其中．由市場調(diào)研知道，每輛車售價25萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．（總利潤＝總銷售收入－固定成本－流動成本）21．（12分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程；（2）解關(guān)于的不等式；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域．22．（12分）若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值，并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在實數(shù)使得不等式能成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案1．A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】充分性：若，則，故充分性成立；必要性：若，則，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．2．A【分析】結(jié)合奇函數(shù)的圖象性質(zhì)及特殊函數(shù)值判斷即可．【詳解】解：由，得函數(shù)為奇函數(shù)，排除B項，由，得，則排除C、D兩項．故選：A．3．B【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解．【詳解】，故選：B．4．D【分析】利用函數(shù)定義域求法解不等式可求得集合，，再利用交集運算法則可得結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可知，即，解得或，即或；易知，解得或，即或；可得或，因此．故選：D．5．A【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式即可求解．【詳解】由，，得，則，故．故選：A．6．A【分析】根據(jù)題意，由，，，即可得到結(jié)果．【詳解】由三個數(shù)，，，可知其大小關(guān)系為．故選：A．7．D【分析】由題意求分段函數(shù)的極值，作出函數(shù)簡圖，進(jìn)而求解．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；當(dāng)時，，則的圖象如圖所示，要使方程有四個實根，需滿足．故選：D．8．C【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和5000時的比值即可求解．【詳解】解：依題意得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，的增長率約為．故選：C．9．ACD【分析】AD選項，由基本不等式求出最值；B選項，化為，求出最小值；C選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．【詳解】對于A，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取等號，所以A正確；對于B，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值，所以B錯誤；對于C，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取等號，所以C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取等號，所以D正確．故選：ACD．10．BCD【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可．【詳解】A：因為，所以本選項不正確；B：因為，所以本選項正確；C：因為，所以本選項正確；D：因為，所以本選項正確，故選：BCD．11．ABC【分析】借助圖象周期求出、再由定點結(jié)合范圍求出，得出解析式后結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)可得A、B、C，結(jié)合函數(shù)圖象的平移可得D．【詳解】由題意可得，故，則，，即，解得又，即，故A正確；即，當(dāng)時，有，故的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；當(dāng)時，，故C正確：將函數(shù)的圖象向由右平移個單位得到，故D錯誤．故選：ABC．12．ACD【分析】根據(jù)可判斷選項A；根據(jù)的單調(diào)性，判斷的單調(diào)性可判斷選項B；根據(jù)的奇偶性可判斷選項C；由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可判斷選項D．【詳解】對于A，由，得，即恒成立，故A正確；對于B，令，易知在單調(diào)遞減，且，則在單調(diào)遞減，且，故B錯誤；對于C，令，則，，為上的奇函數(shù)，，，故C正確；對于D，由B選項知，在單調(diào)遞減，且，在單調(diào)遞減，且，為上的奇函數(shù)，在單調(diào)遞減，且，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，對定義域內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，，恒成立，故D正確．故選：ACD．13．，【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接求解即可．【詳解】由題意，根據(jù)全稱量詞命題的否定的定義有，命題的否定是：，．故答案為：，．14．【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足求解即可．【詳解】依題意，當(dāng)時，，故在區(qū)間上的解析式．故答案為：．15．【分析】利用一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性解決即可．【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，一次函數(shù)是增函數(shù)，得出，即；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，得出；又因為，解得；又因為，解得；取交集得；故答案為：．16．6【分析】由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，結(jié)合的條件可得函數(shù)的一個周期為4，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理可得零點個數(shù)．【詳解】如圖，因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，且．又，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，所以，所以4是函數(shù)的一個周期，所以．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)在區(qū)間上僅有1個零點，且零點在區(qū)間上．由對稱性，知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點．因為是定義域為的奇函數(shù)且是4是它的一個周期，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點．因為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點．結(jié)合，得函數(shù)在區(qū)間上有6個零點．故答案為：6．17．（1）29 （2）1【分析】（1）利用指數(shù)的運算法則計算即可；（2）利用對數(shù)的運算法則計算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．18．（1）或（2）或【分析】（1）解不等式得出，代入得出，進(jìn)而根據(jù)并集的運算求解，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可推得，以及，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，求解即可得出答案．【詳解】（1）解可得，或，所以，或．當(dāng)時，，所以或．（2）由“”是“”的必要不充分條件，所以，．又或，．當(dāng)，有，即，顯然滿足；當(dāng)時，有，即．要使，則有或，解得或．綜上所述，或．19．（1） （2）答案見解析【分析】（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，令解出即可；（2）由判別式確定的范圍，分類再解不等式即可．【詳解】（1）由題意，可得，；（2）①當(dāng)時，即時，原不等式的解集為；②當(dāng)時，即或時，當(dāng)時，，原不等式的解集為，當(dāng)時，，原不等式的解集為；③時，即或時，，解得或，原不等式的解集為．20．（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為3250萬元【分析】（1）根據(jù)總利潤＝總銷售收入－固定成本－流動成本，代入相關(guān)數(shù)據(jù)運算化簡即可．（2）當(dāng)時，利用一元二次函數(shù)知識，在對稱軸處取得最值；當(dāng)時，利用基本不等式知識，通過變形得，再求最值即可．然后通過比較得到利潤最大值．【詳解】（1）當(dāng)時，．當(dāng)時，．綜上，（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，萬元．當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．，所以當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為3250萬元．21．（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，；對稱軸，（2），（3）【分析】（1）應(yīng)用兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡得，應(yīng)用整體代入法即可求解單調(diào)區(qū)間與對稱軸；（2）結(jié)合函數(shù)圖像解不等式；（3）應(yīng)用換元法求值域；【詳解】（1）函數(shù)的最小正周期．令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．令，，解得，，所以的對稱軸方程為，．（2）即，，所以，，解得，．（3）由題知，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上可知所求值域為．22．（1），證明見解析（2）【分析】（1）由求得的值，運用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．（2）由在上