2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)版文） 第5章平面向量的數(shù)量積

平面向量的數(shù)量積

【考試要求】1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投

影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩

個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系5會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的

平面幾何問題.

【知識(shí)梳理】

1.向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量a，b,。是平面上的任意一點(diǎn)，作?=a,OB=b,則NAOB=0(0向OWG

叫做向量a與〃的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個(gè)非零向量a,b的夾角為仇則數(shù)量|a仙|cos。叫做。與方

定義

的數(shù)量積，記作。力

|a|cos0叫做向量a在5方向上的投影|如os0叫做向量b在a

投影

方向上的投影

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度⑷與占在a的方向上的投影|b|cos0的

幾何意義

乘積

3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(T)ab=ba

(2)(Aa)Z>=2(a仍)=a(勸).

(3)(a+b)?c=ac+"c.

4.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量。=(處，yi)，b=(%2，及)，。與b的夾角為9.

結(jié)論符號(hào)表示坐標(biāo)表示

模\a\=yfa^a

八ab?.vi.v^+yiv：

夾角COS(7—?Ilricos用后附訴

M煙

aLb的充要條件ab=0想12+)'注2=0

|a?臼與⑷制的關(guān)系M創(chuàng)wiaibi以送2+乃義區(qū)4(京+)彳)保+獎(jiǎng))

【常用結(jié)論】

1.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a-hb)-(a—b)=a2—b2：

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2.

2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

已知向量a，b.

(1)若a與b的夾角為銳角，則.協(xié)＞0；若a山＞0,則a與方的夾角為銳角或0.

(2)若。與b的夾角為鈍角，則a協(xié)＜0：若a協(xié)＜0,則a與的夾角為鈍角或兀

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

⑴兩個(gè)向量的夾角的范圍是［o,2j-(X)

⑵若。力＞0,則a和b的夾角為銳角.(X)

(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量.(V)

(4)(。協(xié))P=a，S?c).(X)

【教材改編題】

1.(2022?海南省臨高二中模擬)設(shè)Q,b,c是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是()

A.0。=0

B.a?b=b,c,則a=c

C.。協(xié)=0=a=0或b=0

D.(a+b)?(a—b)=lap—|Z?|2

答案D

2.已知向量a,。的夾角為60。，|a|=2,\b\=l,則|a+2"=.

答案24

3.已知向量a,b滿足31al=2步|=6,且(a—2b)，(2a+6),則a,b夾角的余弦值為

答案苫

解析設(shè)a,b的夾角為仇

依題意，(a-2b)-(2a-i-b)—0,

則2a2—3。/一2-=0,

故2義4-3X2X3-COS6-2X32=0,

則cos0=一焉.

■探究核心題型

題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算

例1(1)(2021?北京)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,l),則(a+b>c=；ab=.

答案03

解析Va=(2,l),b=(2,-1),c=(0,l),

/.a+ft=(4,0),

/.(a+*)-c=4X0+0Xl=0,

aS=2X2+lX(-l)=3.

⑵Q022?鄒城模擬)在平面四邊形A8CD中，已知＞亞=比，P為CD上一點(diǎn),力=3而，麗|=4,

麗|=3,AB與俞的夾角為仇且cos?=§,則彳1沌=.

答案一2

解析如圖所示，

"：AB=DC,

四邊形A8CQ為平行四邊形，

VCP=3Pb,

-A-A-A1-A-A

：.AP=AD+DP=^AB+AD,

_3_

PB=AB-AP=^AB-AD,

又?.?麗|=4,|AD|=3,cos0=y

則嬴彷=4X3X]=8,

辦兩=(俞+；砌(汕―病)

1■―*--?―*■r3-、

^ABAD-AI^+TTAB2

Zlo

I3

/X8-9+記X4?=-2.

【教師備選】

1.(2019?全國(guó)II)已知初=(2,3),n=(3,。，|而|=1,則初?病等于()

A.-3B.-2C.2D.3

答案C

解析因?yàn)檎?八一拔=(1,r-3),

所以|的KY+(L3)2=1,

解得f=3,

所以謊=(1,0),

所以矗?正=2X1+3XO=2.

2.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，M是BC的中點(diǎn)，力是線段AM的中點(diǎn).①若由)=x或+

yBC,則x+y=；②彷詼=.

答案3

-

4

，

的中點(diǎn)

8C

是

①

解析

點(diǎn)，

的中

是AM

C,

+；8

=/4

^BA

BD—

3

.._

_1

._1

4.

+y-

',?x

，y-4

??尤一2

點(diǎn)，

的中

是8c

，M

三角形

的正

為2

邊長(zhǎng)

C是

△AB

②???

=1,

,且BM

±BC

：.AM

2

.

|=1

=|^M

DBM

cosZ

\BM\

\BD\

M=

BDB

方法

的主要

數(shù)量積

面向量

計(jì)算平

升華

思維

b〉.

s〈。,

\b\co

=\a\

:a*b

用定義

(1)利

.

+丫必

m&

。仍=

),則

2,>2

b=(x

yi),

(沏,

若。=

算，

標(biāo)運(yùn)

用坐

(2)利

.

何意義

積的幾

量數(shù)量

平面向

活運(yùn)用

(3)靈

ca

bc+

ab+

\=2,

\=\c

l,\b

|a|=

O,

+C=

+方

向量Q

)已知

全國(guó)H

新高考

21?

(1)(20

練1

跟蹤訓(xùn)

9

v

答案

)2

)+c

(a+

知可得

由已

解析

2

2

co)

b-c+

2(ab+

c+

b+

=(r+

=0,

+ca)

+bc

2(a6

=9+

9

g.

a=-

c+c

b+b

因此a

；

曲=

，則

+危)

；(靠

崩=

滿足

點(diǎn)P

為2,

邊長(zhǎng)

。的

ABC

方形

知正

京)已

20?北

⑵(20

^.

PD

PB

-1

鄧

答案

，

標(biāo)系

角坐

面直

的平

圖所示

建立如

解析

),

+AC

=hAB

'：AP

.

的中點(diǎn)

BC

:.P為

),

為(2,0

的坐標(biāo)

),點(diǎn)8

(0,2

坐標(biāo)為

。的

1),點(diǎn)

為(2,

的坐標(biāo)

...點(diǎn)P

1),

(-2,

Z)=

),P

-1

=(0,

,PB

\=y[5

：.\PD

：.PBPD^-1.

題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

命題點(diǎn)1向量的模

例2已知向量a,6滿足同=6,|/>|=4,且@與力的夾角為60。，則|〃+臼=，la

—3例=.

答案2四6小

解析因?yàn)閨a|=6,|臼=4,a與5的夾角為60。，

所以a2=|a||b|cos(a,b)=6X4X：=12,

(a+Z>)2=/+2a仍+^=36+24+16=76,

(。一3加2=。2—6a山+9必=36—72+144

=108,

所以|a+b|=2標(biāo)，|.一3例=6小.

命題點(diǎn)2向量的夾角

例3(2020?全國(guó)HI)已知向量a,力滿足|。|=5,|。|=6,ab=-6,則cos(a,a+b)等于()

r—o—

c,35u,35

答案D

解析\a+b\2=(a+b)2=a2+2a-b+b2

=25—12+36=49,

A\a+b\=7,

a(a+1)。2+〃力

/.cos(a,a+b)

\a\\a~\~b\\a\\a+b\

25—619

=5X7=35,

命題點(diǎn)3向量的垂直

例4(2021?全國(guó)乙卷)已知向量。=(1,3),b=(3,4),若(0-25)_1_瓦則2=.

3

答案W

解析方法一。一助=(1—32,3—42),

V(a—lb)A.b,(a—入b),b=0,

即(1—32,3-42)-(3,4)=0,

.?.3-9A+12-16/1=0,解得2=|.

方法二由(a一勸)J_b可知，(a-Ab)-b=O,a-b—A62=0,

,,石,ab(1,3)-(3,4)153

從而，一鏟――可不--25-5-

【教師備選】

1.已知非零向量a,4滿足|a|=2向，且(a-8)，b,則a與b的夾角為()

7Tn一27r

A6B-3CTDT5TT

答案B

解析設(shè)。與b的夾角為a,

/.(a—b)b=O,

：?a,b=t^,

/.|a|-|t|cosa=|A|2,又|a|=2|b|,

=

/.cos?2?兀］,

??ct—3.

2.已知g,02是兩個(gè)單位向量，且|6|十改|=小，則0-02|=.

答案1

解析由忸1+?2|=小，兩邊平方，

得e彳+2e】?e2+e9=3.又6，。2是單位向量，

所以levei—\.

所以?—e2p=，-2ere2+e3=1,

所以⑶一也|=1.

思維升華(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用同=4^及(〃土方)2=|oF±2〃.方+網(wǎng)2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；

②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量線性運(yùn)算的平行四邊形法則或三角形法則作出

所求向量，再利用余弦定理等方法求解.

(2)求平面向量的夾角的方法

①定義法：850=湍，求解時(shí)應(yīng)求出。瓦同，物的值或找出這三個(gè)量之間的關(guān)系；

②坐標(biāo)法.

(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件

。_16=4仍=0。|?一句=|4+州其中aWO,bWO).

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知單位向量a"滿足a-Z>=0,若向量，=巾。+也上則sin〈a,c〉等于()

A.當(dāng)B.*C*D*

答案B

解析方法一設(shè)a=(l,O),Z?=(O,1),

貝!c=(巾，也)，

.,、acA/7

..cos〈a,c〉-|a||c|-3.

sin〈a,c>=平.

方法二a-c=a?（或a+巾b）

=木屋+也a-b=巾,

|c|=叱巾a+g>)2=y]la2+2b2+2ylMa-b=y]l+2=3,

acyflyjl

/.cos〈a,c〉=麗=]義3=3，

啦

3

(2)(2021?新高考全國(guó)I改編)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),P2(cos￡,—sin/3),P?(cos(a

十份,sin(a+6))，4(1,0),則

①兩|=|麗;

②時(shí)=|正|；

③晶,荏=西.旗;

④晶.話=旗聲.

以上結(jié)論正確的有.（填序號(hào)）

答案①③

解析由題意可知，

|OPi|=,\/cos2a+sin2a=1,

\OPzIReos?夕+(—sinr)2=1,

所以15Al=1旗I，故①正確；

取a=1,貝IIPi照,孝)，

取夕=芋，

則尸2(-等,喙

則|”]|#|”2|,故②錯(cuò)誤;

因?yàn)?Aop3=cos(a+fi),

OPiOP2=cosacos夕一sinasin//=cos(a+yS),

所以方?碗=5K?碗，故③正確；

因?yàn)镺4OP1=cosa,

OP2?OP3=cos夕cos(a+￡)—sin夕sin(ct+4)

=cos(a+2份，

取a=：,B喙

貝血褊邛,旗.礪=cos*-東

所以蘇?證#旗?旗，故④錯(cuò)誤.

題型三平面向量的實(shí)際應(yīng)用

例5(2022?東莞模擬)在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況(如圖所

示).假設(shè)行李包所受的重力為G,所受的兩個(gè)拉力分別為尸B，若舊|=|尸2|，且尸I與尸2

的夾角為仇則以下結(jié)論不正確的是()

A.|尸1|的最小值為三。

B.。的范圍為［0,B

C.當(dāng)6=鄂寸，啊=鳴6|

D.當(dāng)e=冬時(shí),|Fi|=|G|

答案B

解析由題意知，

FI+F2+G=0,

可得尸1+尸2=—G,兩邊同時(shí)平方得

222

|G|=|F1|+|F2|+2|FI||F2|COS0

=2|FIF+2|FI|2cose,

所以中門=2(］黑os②

當(dāng)。=0時(shí)，|Fi|min=1|G|；

當(dāng)6=方時(shí)，|尸?尸彳|G|；

當(dāng)6=號(hào)時(shí)，|尸i|=|G|,故A,C,D正確；

當(dāng)。=兀時(shí)，豎直方向上沒有分力與重力平衡，不成立，所以6?6[0,兀），故B錯(cuò)誤.

【教師備選】

若平面上的三個(gè)力尸I，F(xiàn)2,尸3作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)，已知圖1=1N,尸2|=當(dāng)些

N,尸I與尸2的夾角為45。，求：

（1）f3的大??；

⑵尸3與尸1夾角的大小.

解（1；?三個(gè)力平衡，

.?.尸|+尸2+尸3=0，

...|尸3l=I尸I+尸2|=上|尸|F+2BE+IBF

=yjP+2X1x^^cos45°+（^±^

=、4+2小=1+小.

（2）方法一設(shè)人與尸?的夾角為0,

22

則I尸2l=^|FI|+|F3|+2|F1||F3|COS0,

即在三也=512+＜+小＞+2xix（l+?。ヽos仇

解得cos，=一坐，

：?jiǎn)?,兀],

一6.

方法二設(shè)色與西的夾角為仇

由余弦定理得

"（1+小六（