2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第13講 二次函數(shù)圖象與性質(zhì)（講義）（原卷版）

第13講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念題型01判斷函數(shù)類型題型02判斷二次函數(shù)題型03已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值題型04利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式類型一一般式類型二頂點(diǎn)式類型三交點(diǎn)式考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)題型02將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式題型03二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)題型04利用五點(diǎn)法繪二次函數(shù)圖象題型05二次函數(shù)平移變換問(wèn)題題型06已知拋物線對(duì)稱的兩點(diǎn)求對(duì)稱軸題型07根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值題型08根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型09根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求字母的取值范圍題型10根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍題型11根據(jù)規(guī)定范圍二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍題型12根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍考點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系題型01根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號(hào)題型02二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)題型03二次函數(shù)、一次函數(shù)綜合題型04二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象綜合題型05兩個(gè)二次函數(shù)圖象綜合考點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式題型01求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)題型02求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)題型03拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題題型04根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況題型05圖象法確定一元二次方程的近似根題型06求x軸與拋物線的截線長(zhǎng)題型07圖象法解一元二次不等式題型08根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集題型09二次函數(shù)與斜三角形相結(jié)合的應(yīng)用方法考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)二次函數(shù)的相關(guān)概念通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義.二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)中考點(diǎn)最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學(xué)中最重要的考點(diǎn)，年年都會(huì)考查，總分值為15-20分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會(huì)考.而對(duì)于二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的考察，也主要集中在二次函數(shù)的圖象、圖象與系數(shù)的關(guān)系、與方程及不等式的關(guān)系、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等幾大方面.題型變化較多，考生復(fù)習(xí)時(shí)需要熟練掌握相關(guān)知識(shí)，熟悉相關(guān)題型，認(rèn)真對(duì)待該考點(diǎn)的復(fù)習(xí).二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)能畫二次函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對(duì)稱軸的關(guān)系.會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系理解二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)與方程、不等式知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.考點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：1）函數(shù)關(guān)系式是整式；2）自變量的最高次數(shù)是2；3）二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，而QUOTEb?，??cb，c可以為零根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：1）先找出題目中有關(guān)兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系；2）然后用題設(shè)的變量或數(shù)值表示這個(gè)等量關(guān)系；3）列出相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系式.二次函數(shù)的常見表達(dá)式：名稱解析式前提條件一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)已知拋物線上的無(wú)規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),常用一般式求其表達(dá)式.頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或者是對(duì)稱軸)時(shí)，常用頂點(diǎn)式求其表達(dá)式.交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若題目已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常用交點(diǎn)式求其表達(dá)式.相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.2)一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.二次函數(shù)的特殊形式：二次函數(shù)的特殊形式：1)當(dāng)b＝0時(shí)，y＝ax2＋c（a≠0）2)當(dāng)c＝0時(shí)，y＝ax2＋bx（a≠0）3)當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)，y＝ax2（a≠0）題型01判斷函數(shù)類型【例1】（2022·北京·統(tǒng)考一模）線段AB=5．動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，以線段AP為邊作正方形APCD，線段PB長(zhǎng)為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，正方形APCD周長(zhǎng)為y，⊙B的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系C．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【變式1-1】（2021上·北京海淀·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C開始沿CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，點(diǎn)M、C之間的距離為y，△MCN的面積為S，則A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【變式1-2】（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖，某小區(qū)有一塊三角形綠地ABC，其中∠B=90°，AB=BC．計(jì)劃在綠地上建造一個(gè)矩形的休閑書吧PMBN，使點(diǎn)P，M，N分別在邊AC，BC，AB上．記PM=xm，PN=ym，圖中陰影部分的面積為Sm

A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系題型02判斷二次函數(shù)【例2】（2023·山東濟(jì)寧·校聯(lián)考三模）以下函數(shù)式二次函數(shù)的是（

）A．y=ax2C．y=ax【變式2-1】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．y=x+13 B．y=【變式2-2】（2023·廣東云浮·?？家荒＃╆P(guān)于x的函數(shù)y=a-A．a(chǎn)≠b B．a(chǎn)=b C．判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)的方法：在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)、整理(去括號(hào)、合并同類項(xiàng))后，能寫成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則,它就不是二次函數(shù).題型03已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值【例3】（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）若y=m2+mA．-1 B．0 C．2 D．-1題型04利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式類型一一般式【例4】（2023·陜西西安·高新一中?？既＃┒魏瘮?shù)=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且ax-1013y-353①ac②當(dāng)x>1時(shí)，y的值隨x③4是方程ax④當(dāng)-1<xA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式4-1】（2023·天津河北·統(tǒng)考三模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（ax…--012…y…1m--n…且當(dāng)x=-12時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y>0，有下列結(jié)論：①abc<0；②-2和3是關(guān)于A．0 B．1 C．2 D．3【變式4-2】（2023·浙江·一模）已知二次方程x2+bx+c=0的兩根為-1A．當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)的最大值是9． B．當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)的最大值是C．當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)的最小值是-9． D．當(dāng)x=-2類型二頂點(diǎn)式【例5】（2023·江西撫州·金溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)二次函數(shù)的圖象與拋物線y=3x2的形狀相同，且頂點(diǎn)為1【變式5-1】（2022上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），與y軸的交點(diǎn)為（0，m－2），則a的值為．類型三交點(diǎn)式【例6】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)-1,0、3,0【變式6-1】（2022·安徽宿州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線y=ax2+bx+ca<0與x軸交于點(diǎn)（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）點(diǎn)M，N是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且這兩個(gè)點(diǎn)之間的水平距離為定值s1≤s≤2，設(shè)h為點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)之和的最大值，則h求二次函數(shù)解析式的一般方法：1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)列出關(guān)于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.2）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k.根據(jù)頂坐標(biāo)點(diǎn)（h,k)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.3）交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).當(dāng)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0)、(x2,0)時(shí)，可設(shè)y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx=-頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(-b2a最值a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值.【小結(jié)】二次函數(shù)最小值(或最大值)為0（k或4ac-增

減

性a>0在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減小.二、二次函數(shù)的圖象變換1）二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號(hào)，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號(hào)三、二次函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求其對(duì)稱軸.解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對(duì)稱軸可表示為直線x=x1解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=-b22若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=-b2a3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對(duì)稱.四、二次函數(shù)的最值問(wèn)題自變量取值范圍圖象最大值最小值全體實(shí)數(shù)a>0當(dāng)x=-b2a<0當(dāng)x=-b2x1≤x≤x2a>0當(dāng)x=x2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=-b2當(dāng)x=x1時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y1當(dāng)x=-b2當(dāng)x=x2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=x1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值y1備注：自變量的取值為x1≤x≤x2時(shí)，且二次項(xiàng)系數(shù)a<0的最值情況請(qǐng)自行推導(dǎo).11.拋物線的增減性問(wèn)題，由a的正負(fù)和對(duì)稱軸同時(shí)確定，單一的直接說(shuō)，y隨x的增大而增大(或減小)是不對(duì)的，必須附加一定的自變量x取值范圍.2.拋物線在平移的過(guò)程中，a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點(diǎn)的位置，且與平移方向有關(guān).3.涉及拋物線的平移時(shí)，首先將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的形式，因?yàn)槎魏瘮?shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，因此可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式.題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)【例1】（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù)y=A．圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)B．圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0C．圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為-2,0和D．y的最小值為-【變式1-1】（2022·福建龍巖·?？寄M預(yù)測(cè)）若A-6,y1，B-3,y2，C1,y3A．y3<y2<y1 B．【變式1-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）下列關(guān)于拋物線y=x2①開口方向向上；②對(duì)稱軸是直線x=-4；③當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)x<-5或xA．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【變式1-3】（2022·湖北武漢·?？既＃佄锞€y=ax-h2+k（a、h、k是常數(shù)，a<0，0<h<12）過(guò)點(diǎn)A-1,0．下列四個(gè)結(jié)論：①k<0；②該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)2h+1,0；③一元二次方程ax【變式1-4】（2023·江蘇南京·?？既＃┮阎組=a2①M(fèi)的值可能為4；②當(dāng)a>1時(shí)，M的值隨a③當(dāng)a為小于0的實(shí)數(shù)時(shí)，M的值大于0；④不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得M的值小于-1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④題型02將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式【例2】（2022·廣東湛江·統(tǒng)考一模）將二次函數(shù)y=x2A．y=x+4C．y=x+2【變式2-1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？既＃╆P(guān)于二次函數(shù)y=-x2A．最小值為1 B．最小值為2 C．最大值為3 D．最大值為-【變式2-2】（2023·浙江溫州·?？既＃佄锞€y=x2-2ax+【變式2-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）若拋物線y=-x2+4x-n【變式2-4】（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=(1)用配方法將函數(shù)y=-x(2)設(shè)該函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)記作D，求四邊形ADBC的面積．題型03二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)【例3】（2022·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若二次函數(shù)y=a2x2+bx-c的圖象過(guò)不同的六點(diǎn)A-1,n，B5,n-1，A．y2<y1<y3 B．【變式3-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知a、b(0<a<b)為拋物線y=(xA．b-a B．a(chǎn)-b C．a(chǎn)-【變式3-2】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=mxA．當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是yB．當(dāng)m=2C．當(dāng)m>0D．如果m<0，當(dāng)x>12時(shí)，【變式3-3】（2023·浙江杭州·?？级＃┮阎獟佄锞€y=ax2+A．若m>2時(shí)都有n>B．若m>1時(shí)都有n<C．若m<0時(shí)都有n>D．若m<0時(shí)都有n<【變式3-4】（2022·福建福州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,yA．若x1-xB．若x1-C．若y1>yD．若y1>題型04利用五點(diǎn)法繪二次函數(shù)圖象【例4】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）請(qǐng)結(jié)合圖像完成下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出函數(shù)：y=

(2)結(jié)合圖像直接寫出方程：x+4=-x+6(3)在圖中畫出函數(shù)y=x2-2

【變式4-1】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，拋物線y=2(1)列表，描點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=2

(2)將y=2x2-4【變式4-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在初中函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用的過(guò)程．小麗同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對(duì)函數(shù)y=x2(1)作圖探究：①下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：x…---2-01234…y…830m0-10n8…m=___________，n=②在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象：

(2)深入思考：根據(jù)所作圖象，回答下列問(wèn)題：①方程x2-2|②如果y=x2-2x的圖象與直線y=(3)延伸思考：將函數(shù)y=x2題型05二次函數(shù)平移變換問(wèn)題【例5】（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）將拋物線y=2x2向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得新拋物線和原拋物線相比，不變A．對(duì)稱軸 B．開口方向 C．和y軸的交點(diǎn) D．頂點(diǎn)．【變式5-1】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）將拋物線y=x2A．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度C．先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D．先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度【變式5-2】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中將拋物線y=ax2-4axA．將拋物線向上平移2個(gè)單位 B．將拋物線向下平移2個(gè)單位C．將拋物線向上平移4個(gè)單位 D．將拋物線向下平移4個(gè)單位【變式5-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃佄锞€y=-x2+aA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式5-4】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將拋物線y=ax2-2ax+1平移，使得平移后的拋物線與A．向上平移2個(gè)單位 B．向下平移2個(gè)單位C．向上平移1個(gè)單位 D．向下平移1個(gè)單位題型06已知拋物線對(duì)稱的兩點(diǎn)求對(duì)稱軸【例6】（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax-h2A．6 B．5 C．4 D．3【變式6-1】（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如果拋物線y=ax2+【變式6-2】（2023·福建福州·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)m+1,m，3-m,m，直線y=題型07根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值【例7】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1,4關(guān)于拋物線y=a(x【變式7-1】（2023·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如果三點(diǎn)P1(1,y1)，P2(3,y2)和P3(4,y3【變式7-2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)-3,y1A．m<-3 B．m<1 C．m>1【變式7-3】（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c(diǎn)Ax1，y1，Bx2，y2在拋物線A．y1>y2>m B．y【變式7-4】（2023·浙江·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a，b是常數(shù)，aA．若對(duì)稱軸為直線x=1，則a<0 B．若對(duì)稱軸為直線xC．若對(duì)稱軸為直線x=3，則a<0 D．若對(duì)稱軸為直線x題型08根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值【例8】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=x2-2x+3，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，yA．13 B．5 C．11 D．14【變式8-1】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p=a+b+c2，則其面積SA．3 B．152 C．15 D．【變式8-2】（2023·安徽六安·統(tǒng)考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2-A．-14 B．-6 C．-8【變式8-3】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于二次函數(shù)y=-x-m2①若y的最大值為-8，則m②若y的最小值為-8，則m③若m=5，則y的最大值為-則上達(dá)說(shuō)法（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③正確 D．均不正確題型09根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求字母的取值范圍【例9】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┮阎獟佄锞€y=x2+bx+c（c為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)p,m、qA．c-154≤mc<m≤【變式9-1】（2022·浙江杭州·?？级＃┤舳魏瘮?shù)的解析式為y=x-mx-11≤mA．94≤q≤254 B．-題型10根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍【例10】（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),(2,3)，在a≤xA．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤【變式10-1】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=-x2+4x+c的圖象與直線y=x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且當(dāng)0≤x≤A．-1≤m≤0 B．2≤m<7【變式10-2】（2022·四川瀘州·二模）已知函數(shù)fx=x2-2ax+7，當(dāng)x≤3時(shí)，函數(shù)值隨x增大而減小，且對(duì)任意的1≤x1≤a+2和1≤xA．-3≤a≤4 B．-2≤a≤4題型11根據(jù)規(guī)定范圍二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍【例11】（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=-2x2+4x+3，當(dāng)A．y≤5 B．y≤3 C．-3≤【變式11-1】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+5的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0，則當(dāng)A．-5≤y≤5 B．-4≤y≤5【變式11-2】（2023上·陜西西安·九年級(jí)陜西師大附中統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)y=ax2+x…-013…y…-366…當(dāng)0<x<4時(shí)，y的取值范圍是（A．3<y≤6 B．3<y≤7 C．題型12根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍【例12】（2023·陜西西安·?？家荒＃┮阎c(diǎn)A(m，y1)、B(m+2，y2)A．m<-3 B．m>-3 C．m<-2 D【變式12-1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=x2-2ax+a2-2a-6（A．a(chǎn)≥-3 B．-3≤a<4 C．【變式12-2】（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知拋物線y=ax2-2x+c，當(dāng)xA．-1<a<0 B．-1≤a<0【變式12-3】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）若點(diǎn)An+1,y1,Bn-2,A．n≥3 B．n>32 C．考點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系一、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與a，b，c的關(guān)系符號(hào)圖象特征備注aa>0開口向上a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．a(chǎn)<0開口向下bb=0坐標(biāo)軸是y軸ab>0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)左同右異ab<0((a，b異號(hào)))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過(guò)原點(diǎn)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交二、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常見結(jié)論自變量x的值函數(shù)值圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置結(jié)論-24a-2b+cx軸的上方4a-2b+c>0x軸上4a-2b+c=0x軸的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx軸的上方a-b+c>0x軸上a-b+c=0x軸的下方a-b+c<01a+b+cx軸的上方a+b+c>0x軸上a+b+c=0x軸的下方a+b+c<024a+2b+cx軸的上方4a+2b+c>0x軸上4a+2b+c=0x軸的下方4a+2b+c<0題型01根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號(hào)【例1】（2023·廣東湛江·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+（1）a<0,b<0,c>0；（2）-b2b=1；（3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（2022·黑龍江齊齊哈爾·?？既＃┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+ca≠0交x軸于點(diǎn)A-1，0，對(duì)稱軸為x=1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)C為拋物線頂點(diǎn).下列結(jié)論：①abc<0；

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-2】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列4個(gè)結(jié)論：①abc>0；②

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b>0，②c<0，③

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-4】（2023·遼寧鞍山·?？家荒＃┤鐖D是二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0在平面直角坐標(biāo)系中的圖象，根據(jù)圖象判斷：①c<0；②a-

A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤題型02二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)【例2】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線y=ax2+bx+A．拋物線與x軸負(fù)半軸必有一個(gè)交點(diǎn) B．2C．a(chǎn)bc>0 D．當(dāng)0≤x【變式2-1】（2022·湖北隨州·?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，x…-012…y…m--n…且當(dāng)x=-12時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y>0.有以下結(jié)論：①abc>0；②0<m+n<203；③4aA．①② B．①③④ C．①②③ D．①③【變式2-2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）下表按照橫坐標(biāo)由小到大列出了y關(guān)于x的二次函數(shù)圖像上一些不同的點(diǎn)，圖像上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)均不大于7，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）x0m2nyc676A．當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與坐標(biāo)軸有3B．當(dāng)x=mC．若以Am,6，Bn,6，DD．若直線y=kx+b，經(jīng)過(guò)4,8，若b>8【變式2-3】（2022·湖南株洲·?？级＃┤鐖D，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點(diǎn)A-1,0，與y軸的交點(diǎn)B在0,-2和0,-1之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；

A．①②⑤ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【變式2-4】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y=axA．若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)-3,0,B．若b=c，則方程cC．拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)D．點(diǎn)Ax1,y1,【變式2-5】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=ax2+

題型03二次函數(shù)、一次函數(shù)綜合【例3】（2023·廣東河源·統(tǒng)考二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+A．

B．

C．

D．

【變式3-1】（2012·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)A． B． C． D．【變式3-2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)y=ax2+

A．

B．

C．

D．

題型04二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象綜合【例4】（2023·山東菏澤·菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級(jí)中學(xué)?？家荒＃┒魏瘮?shù)y=ax2+bx+

A．

B．

C．

D．

【變式4-1】（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）若二次函數(shù)y=ax2+A． B． C． D．【變式4-2】（2023·江西宜春·?？级＃┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，一次函數(shù)y=αx+b和反比例函數(shù)y=

A． B． C． D．【變式4-3】（2023·山東濱州·統(tǒng)考二模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+

A．

B．

C．

D．

題型05兩個(gè)二次函數(shù)圖象綜合【例5】（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）拋物線y1＝12（x-h）2＋k與y2=a(x+3)2-1交于點(diǎn)A，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正確結(jié)論是：①a=12；②點(diǎn)（2，m）、（33，n）及（52，p）都在y1上，則p＜n＜mA．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【變式5-1】（2023下·江蘇南京·九年級(jí)南京鐘英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y1，y2在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則在該平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=A．B．C．D．【變式5-2】（2021上·山東青島·九年級(jí)?？计谀┮阎魏瘮?shù)y1=ax2+bxA．當(dāng)x<0時(shí)，y1<y2C．當(dāng)0<x<1時(shí)，y1>y考點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的根判別式Δ=b2-4ac2個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac>01個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=00個(gè)交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0二次函數(shù)與不等式的關(guān)系:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點(diǎn)2個(gè)交點(diǎn)1個(gè)交點(diǎn)0個(gè)交點(diǎn)ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2x≠-取任意實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無(wú)解無(wú)解1.1.解一元二次方程實(shí)質(zhì)上就是求當(dāng)二次函數(shù)值為0時(shí)的自變量x的取值，反映在圖象上就是求拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的兩根為x1，x2(x1<x2)，則拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，對(duì)稱軸為直線x13.如果拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于M(x1,0),N(x2,0),則MN=b2-（原因：MN=|x1-x2|=x1題型01求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)【例1】（2023·安徽淮北·?？家荒＃┤魧?duì)稱軸為直線x=-2的拋物線y=ax2+bx【變式1-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？家荒＃佄锞€y=2(x-3)【變式1-2】（2023·上?！ひ荒＃佄锞€y=-x2-3【變式1-3】（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將拋物線C1：y=x2-2x+3向左平移題型02求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)【例2】（2023·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考一模）拋物線y=-x2【變式2-1】（2021·山東濱州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線y=2x2+2k【變式2-2】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于拋物線y=x2①開口向上；②與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)；③一定過(guò)點(diǎn)1,0；④頂點(diǎn)一定不在第二象限A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④題型03拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題【例3】（2023·安徽滁州·?？级＃┤舳魏瘮?shù)y=x2+2x-2m【變式3-1】（2023·遼寧鞍山·?？家荒＃┖瘮?shù)y=kx2-8x【變式3-2】（2022·山東青島·山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)y=ax2-(3【變式3-3】（2023·湖北武漢·武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線y=（1）若對(duì)稱軸在直線x=-1處，則k=（2）若頂點(diǎn)在y軸上，則k=（3）若拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，則k的取值范圍為；（4）若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為．【變式3-4】（2021·安徽安慶·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的圖象與兩坐標(biāo)軸共有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的值為．題型04根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況【例4】（2022·河北邢臺(tái)·?？既＃┮阎獟佄锞€y=ax2+bx+c甲：當(dāng)m=1乙：當(dāng)m=3丙：當(dāng)m=5A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式4-1】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)y=ax2+

A．拋物線開口向上 B．方程ax2+bxC．拋物線對(duì)稱軸為直線x=2 D．拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為【變式4-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)形結(jié)合是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，請(qǐng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法判斷方程x3-xA．有3個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有2個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有1個(gè)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根題型05圖象法確定一元二次方程的近似根【例5】（2023·四川成都·?？既＃┰谔骄筷P(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2x1.11.21.31.4x-0.842.293.76小明說(shuō)，他通過(guò)這四組值能得到方程x2+12x-15=0【變式5-1】（2021·山西·校聯(lián)考三模）閱讀與思考．小明在九年級(jí)總復(fù)習(xí)階段，針對(duì)“求一元二次方程的解”整理得出以下幾種方法，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：九年級(jí)總復(fù)習(xí)筆記專題：一元二次方程解法歸納時(shí)間：2021年3月×日引例：求一元二次方程x2方法一：選擇合適的一種方法（公式法、配方法）求解．解方程：x2【解析】解：……公式法：……配方法：……方法二：利用二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求解，如圖所示，把方程x2-2x-3=0的解看作是一個(gè)二次函數(shù)的圖象與方法三：將方程x2-2x-3=0移項(xiàng)可得x2任務(wù)：（1）選擇一種合適的方法（公式法、配方法）解方程；（2）根據(jù)“方法二”的思路，直接寫出圖1中對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為_______；（3）參照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2-x題型06求x軸與拋物線的截線長(zhǎng)【例6】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線y=14x2與一次函數(shù)y=2xA．202 B．203 C．403【變式6-1】（2022·四川眉山·統(tǒng)考二模）已知：拋物線y=x2-mx-3與x軸交于A、BA．2 B．-2 C．±2 D．【變式6-2】（2021·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2-2mx+m-3（m≠0）與x軸交于點(diǎn)A．m>0 B．C．m>316【變式6-3】（2019·重慶·校聯(lián)考一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，則線段AB的長(zhǎng)為()A．1 B．2 C．