2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第29講 尺規(guī)作圖與定義、命題、定理（講義）（原卷版）

第29講尺規(guī)作圖與定義、命題、定理目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一尺規(guī)作圖題型01尺規(guī)作圖-作線段題型02尺規(guī)作圖-作角度類型一作一個(gè)角等于已知角類型二尺規(guī)作角的和、差類型三過直線外一點(diǎn)作這條線的平行類型四作角平分線題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高題型05尺規(guī)作圖-作垂直平分線題型06尺規(guī)作圖-畫圓題型07尺規(guī)作圖-找圓心題型08尺規(guī)作圖-過圓外一點(diǎn)作圓的切線題型09尺規(guī)作圖-作外接圓題型10尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓題型11尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形題型12尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖考點(diǎn)二定義、命題、定理題型01判斷是否命題題型02判斷命題真假題型03舉反例說明命題為假命題題型04寫出命題的逆命題題型05反證法證明中的假設(shè)題型06用反證法證明命題考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測尺規(guī)作圖能用尺規(guī)作圖:①作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線.

②作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線.

③過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線.

④已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

⑤過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形.

⑥過圓外一點(diǎn)作圓的切線.本考點(diǎn)內(nèi)容以考查尺規(guī)作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為6分左右．預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識點(diǎn).中考對尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問題的能力，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握．定義、命題、定理通過具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義.結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念.會(huì)識別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.知道證明的意義和證明的必要性，知道數(shù)學(xué)思維要合乎邏輯，知道可以用不同的形式表述證明的過程，會(huì)用綜合法的證明格式.了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的.通過實(shí)例體會(huì)反證法的含義.考點(diǎn)一尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖的定義：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖．五種基本作圖：類型圖示作圖依據(jù)作一條線段等于已知線段圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.作一個(gè)角等于已知角1)三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；2)全等三角形的對應(yīng)角相等；3)兩點(diǎn)確定一條直線.作一個(gè)角的平分線作一條線段的垂直平分線1)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；2)兩點(diǎn)確定一條直線.過一點(diǎn)作已知直線的垂線1)等腰三角形“三線合一”；

2)兩點(diǎn)確定一條直線.根據(jù)基本作圖作三角形類型圖示已知三角形的三邊，求作三角形已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形根據(jù)基本作圖作圓類型圖示過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓

（即三角形的外接圓）作三角形的內(nèi)切圓尺規(guī)作圖的關(guān)鍵:1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問題；3)切記作圖中一定要保留作圖痕跡．題型01尺規(guī)作圖-作線段【例1】（2021上·遼寧撫順·九年級校聯(lián)考周測）如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，根據(jù)下列要求畫圖．(1)畫直線AB；(2)作射線BC；(3)畫線段AD；(4)連接CD，并延長CD至點(diǎn)E，使DE＝CD；（保留作圖痕跡）(5)在四邊形ABCD內(nèi)找一點(diǎn)O，使它到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離的和OA+OB+OC+OD最?。咀兪?-1】（2023上·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面上有A，B，C三個(gè)點(diǎn)，按要求作圖：(1)作直線AC，射線BC，連接AB；(2)延長AB到點(diǎn)D，使得BD=(3)直接寫出∠ABC+∠【變式1-2】（2023·山西太原·山西大附中校考模擬預(yù)測）已知線段a、b、c．

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB，使它等于a+(2)若a=6，b=4，c=7，點(diǎn)C是線段AB【變式1-3】（2022上·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖，已知線段a，b，用直尺和圓規(guī)作圖，分別作下列兩條線段．①AB=②CD=2（2）已知：如圖，∠AOB=∠COD=90°，題型02尺規(guī)作圖-作角度類型一作一個(gè)角等于已知角【例2】（2022·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≠BC．用無刻度的直尺和圓規(guī)在AB邊上找一點(diǎn)DA．B．C．D．【變式2-1】（2023·山東青島·?？家荒＃┤鐖D，BD平分∠ABC，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：以E為頂點(diǎn)，作∠AEF＝∠ABC，交BD于點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度數(shù)．【變式2-2】（2021下·上海閔行·上海上師初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知∠AOB=70°，∠α=53°，在圖中用尺規(guī)作∠AOC

類型二尺規(guī)作角的和、差【例3】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？茧A段練習(xí)）如圖，已知∠ABC(1)請以射線DG為邊作一個(gè)角，使它等于∠ABC

(2)若∠ABC的補(bǔ)角是∠ABC的5倍，則∠【變式3-1】（2023上·陜西榆林·?？茧A段練習(xí)）已知如圖∠α、∠β，請你利用尺規(guī)作圖作∠AOB

【變式3-2】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，請用尺規(guī)作圖法，在射線BE上求作一點(diǎn)

類型三過直線外一點(diǎn)作這條線的平行【例4】（2022·廣東佛山·西南中學(xué)?？既＃┤鐖D，在△ABC中，P為AC邊上任意一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AP、AB于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)P為圓心，以AM長為半徑作弧，交PC于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以MN長為半徑作弧，在△ABC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)F；④作射線PF交BC于點(diǎn)Q．若∠A

A．100° B．80° C．60° D．40°【變式4-1】（2023下·河南焦作·統(tǒng)考期中）如圖，已知∠BOP與射線OP上的點(diǎn)A，小亮用尺規(guī)過點(diǎn)A作OB①取射線OP上的點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)D；②以點(diǎn)A為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M；③以點(diǎn)M為圓心，CD長為半徑畫弧，交第②步中所畫的弧于點(diǎn)E，直線EA即為所求．小亮作圖的依據(jù)是（

）

A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D．以上結(jié)論都不正確【變式4-2】（2024上·陜西商洛·統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，延長BC至點(diǎn)D，請用尺規(guī)作圖法求作射線CE，使得CE∥AB，且點(diǎn)E【變式4-3】（2023上·吉林長春·統(tǒng)考期末）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D為AB

(1)在圖①中△ABC的邊BC上確定一點(diǎn)E，連結(jié)DE，使DE(2)在圖②中△ABC的邊AC上確定一點(diǎn)F，連結(jié)DF，使∠(3)在圖③中△ABC的邊AC上確定一點(diǎn)G，連結(jié)DG，使∠類型四作角平分線【例5】（2024上·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB,BC于點(diǎn)D和E；②分別以點(diǎn)D,E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；③作射線BF交AC于點(diǎn)G；④過點(diǎn)G作GH∥BC交AB

A．25° B．30° C．35° D．40°【變式5-1】（2023上·廣東廣州·廣州市第七十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC

(1)尺規(guī)作圖：作∠ACB的角平分線，與AB交于點(diǎn)D(2)若∠A=50°，∠B【變式5-2】（2023上·河南駐馬店·統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，過點(diǎn)A的直線l(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠B的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)若（1）中所作的角平分線與直線l交于點(diǎn)D．求證：△ABD題型03尺規(guī)作圖-作三角形（含特殊三角形）【例6】（2024上·山西呂梁·統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC實(shí)踐操作：（1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺規(guī)作圖，點(diǎn)推理與探究：（2）點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE∥BD．探究：線段CE+【變式6-1】（2023上·湖北襄陽·統(tǒng)考期末）（1）尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識和思想方法.如圖，為了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圓規(guī)作圖的過程中，得到△A．SAS

B．SSS

C．ASA

D．AAS（2）如圖，直線a是一條公路，M，N是公路a同側(cè)的兩個(gè)居民區(qū)，現(xiàn)計(jì)劃在公路a上修建一個(gè)公交候車亭O，及修建兩居民區(qū)M，N之間的道路，為了使OM+ON+MN最短，請?jiān)趫D中作出點(diǎn)O的位置【變式6-2】（2024上·湖北襄陽·統(tǒng)考期末）我們定義：頂角等于36°的等腰三角形為黃金三角形．如圖，△ABC中，AB=AC且∠(1)利用尺規(guī)作圖，在圖中構(gòu)造出一個(gè)“黃金三角形”；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)說說（1）中的三角形是“黃金三角形”的理由．【變式6-3】（2024上·江西南昌·校聯(lián)考期末）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，僅用無刻度直尺在圖①和圖②中按要求作圖．(1)在圖①中，畫等腰三角形ABC，使其面積為3（畫出一個(gè)即可）；(2)在圖②中，畫等腰直角三角形ABD，使其面積為52【變式6-4】（2023上·江蘇南京·校聯(lián)考期末）如圖，已知線段AB，用兩種不同的方法作一個(gè)含30°角的直角三角形ABC，使其斜邊為AB（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【變式6-5】（2022下·福建漳州·統(tǒng)考期末）求證：在直角三角形中，若一個(gè)銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據(jù)給出的線段AB及∠B，以線段AB為直角邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出Rt△ABC的斜邊AC，使得(2)根據(jù)（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．【變式6-6】．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰三角形ABC(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)．(1)△ABC的底邊長為a，底邊上的高為h；(2)△ABC的腰長為a，腰上的高為h．題型04尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高【例7】（2023下·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC

(1)分別畫出△ABC的中線BG、高CH(2)畫出先將△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△(3)畫一個(gè)直角三角形MNP(要求各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），使其面積等于△ABC的面積的【變式7-1】（2023·吉林·一模）如圖，圖①、圖②均是8×8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn).只用無刻度的直尺，按下列要求作圖：(1)在圖①中，作△ABC的BC(2)在圖②中，過點(diǎn)B作直線l，使得直線l平分△ABC【變式7-2】（2024·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，請用尺規(guī)作圖法在AC邊上作一點(diǎn)P，使得S△【變式7-3】（2023·吉林長春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃﹫D①、那②，圖③積是6×6的間格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，在圖①，圖②，圖③(1)網(wǎng)格中∠B的度數(shù)是___________°(2)在圖①中畫出△ABC中BC邊上的中線AD(3)在圖②中確定一點(diǎn)E，使得點(diǎn)E在AC邊上，且滿足BE⊥(4)在圖③中畫出△BMN，使得△BMN與△BCA是位似圖形，且點(diǎn)B為位似中心，點(diǎn)M、N分別在BC、AB題型05尺規(guī)作圖-作垂直平分線【例8】（2023下·河北石家莊·?？奸_學(xué)考試）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（

）

A．FH>HG B．FH=HG C．【變式8-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC①分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于12AC②作直線MN，交AC點(diǎn)D；③以D為圓心，BC長為半徑作弧，交AC的延長線于點(diǎn)E；④連接BD,下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．AD=DE B．∠CBE=12【變式8-2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若AD=AC，∠A．90° B．93° C．100° D．112°【變式8-3】（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠(1)請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點(diǎn)E，使得EA=(2)在（1）的條件下，連接AE，若∠B=48°，求【變式8-4】（2023·廣東潮州·二模）如圖，在?ABCD中，AC(1)求證：△ABC(2)尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線，分別交AD，BC于點(diǎn)E，(3)若△CDE的周長為10，求?題型06尺規(guī)作圖-畫圓【例9】（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠(1)求作⊙O，使得圓心O在邊AC上，且⊙O經(jīng)過點(diǎn)(2)在（1）的條件下，設(shè)AC與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且AC=2AB=4AD【變式9-1】（2021·山東青島·統(tǒng)考一模）已知：△ABC及AB邊上一點(diǎn)E求作：⊙O，使它分別與AB、BC相切，且點(diǎn)E（請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．）【變式9-2】（2021·江蘇鹽城·?？级＃┮阎喝鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）求作⊙O，使點(diǎn)O在BC上，且⊙O與AC、AB都相切；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若AC=8，BC=15，求⊙O半徑．題型07尺規(guī)作圖-找圓心【例10】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）張師傅要將一張殘缺的圓形輪片恢復(fù)原貌（如圖），已知輪片的一條弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D，測得AB=24cm，(1)請你幫張師傅找出此殘片所在圓的圓心（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求（1）中所作圓的半徑．【變式10-1】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）考古學(xué)家在考古過程中發(fā)現(xiàn)一個(gè)圓盤，但是因?yàn)闅v史悠久，已經(jīng)有一部分缺失，現(xiàn)希望復(fù)原圓盤，需要先找到圓盤的圓心，才能繼續(xù)完成后續(xù)修復(fù)工作．在如圖1所示的圓盤邊緣上任意找三個(gè)點(diǎn)A，B，C．

(1)請利用直尺（無刻度）和圓規(guī)，在圖1中畫出圓心O．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)如圖2，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在（1）的基礎(chǔ)上，補(bǔ)全⊙O，連接AC，BC，過點(diǎn)A作⊙O的切線交CB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CD∥AE，交①求證：AD=②連接DB，若DB為⊙O的直徑，AC=70【變式10-2】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，

(1)在AB邊上找一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，且過A、D兩點(diǎn)作⊙O(2)在（1）的條件下，若AB=6，BD題型08尺規(guī)作圖-過圓外一點(diǎn)作圓的切線【例11】（2023·陜西西安·高新一中?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)．請利用尺規(guī)過點(diǎn)P作⊙O的一條切線

【變式11-1】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，交CA的延長線于點(diǎn)

(1)求作⊙O的切線PQ，PQ交AC于點(diǎn)Q(2)在（1）的條件下，求證：PQ=【變式11-2】（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，點(diǎn)O在邊AB上，以

(1)尺規(guī)作圖：先作線段CD的垂直平分線l，交AC于點(diǎn)E，再作直線DE；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)DE是⊙O(3)當(dāng)點(diǎn)O是AB中點(diǎn)時(shí)，請直接寫出此時(shí)線段DE的長．題型09尺規(guī)作圖-作外接圓【例12】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知∠A=90°，作出△ABC【變式12-1】（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC是直角三角形，∠(1)利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．①作△ABC的外接圓⊙②以線段AC為一邊，在AC的右側(cè)作等邊三角形ACD；③連接BD，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE(2)在（1）中所作的圖中，若AB=4，BC=2，則線段AE的長為題型10尺規(guī)作圖-作內(nèi)切圓【例13】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC(1)請?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作△ABC的內(nèi)切圓⊙(2)在（1）的條件下，若AC=4，AB=5，BC=6，則tan∠【變式13-1】（2021·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．（1）尺規(guī)作圖：作△ABC的內(nèi)切圓⊙O（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）若⊙O的半徑為1，求BC的長．題型11尺規(guī)作圖-作圓內(nèi)接正多邊形【例14】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知⊙O，請用尺規(guī)作圖法，求作⊙【變式14-1】（2023上·浙江寧波·寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知⊙O(1)用直尺和圓規(guī)作出圓的內(nèi)接正六邊形ABCDEF（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若⊙O半徑為6，求AB的長度（結(jié)果保留π題型12尺規(guī)作圖-格點(diǎn)作圖【例15】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺作圖(1)在圖①中，作∠A(2)在圖②中，在AC邊上找一點(diǎn)D，使得AB【變式15-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC(1)在圖①中，作△ABC的中線CD(2)在圖②中，在AB邊上找一點(diǎn)E，連結(jié)CE，使CE=(3)在圖③中，在AC邊上找一點(diǎn)F，連結(jié)BF，使△BFC的面積為10【變式15-2】（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)M,Q在格點(diǎn)上，點(diǎn)N為小正方形邊的中點(diǎn)，連接

(1)MN的長為_________(2)點(diǎn)P為線段MN上一點(diǎn)，當(dāng)∠MPQ=45°時(shí)，請用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)P，并簡要說明點(diǎn)【變式15-3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，點(diǎn)P為線段AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，僅用無刻度的直尺完成以下作圖，畫圖過程用虛線表示.(1)在圖1中，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE；連接PE交AC于F，則sin∠(2)在圖2中，在線段AC上畫點(diǎn)Q，連接PQ，使得PQ(3)在圖3中，分別在線段AC，線段BC上畫M，N連接PM，MN，使得PM+MN考點(diǎn)二定義、命題、定理類別相關(guān)內(nèi)容定義與命題1．一般地，對某一名稱或術(shù)語進(jìn)行描述或作出規(guī)定就叫做該名稱或術(shù)語的定義．2．判斷一件事情的語句叫做命題．3．命題的組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．4．命題的表達(dá)形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．真命題、假命題1．正確的命題叫做真命題．2．要說明一個(gè)命題是正確的，需要根據(jù)命題的題設(shè)和已學(xué)的有關(guān)公理、定理進(jìn)行說明（推理、證明）．3．要說明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可．逆命題1．把原命題的結(jié)論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題．2．在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題．3．正確寫出一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是能夠正確區(qū)分這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論．4．每個(gè)命題都有逆命題，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題．公理與定理1．如果一個(gè)命題的正確性是人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理．2．如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理．3．公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù)．4．由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進(jìn)一步推理依據(jù)的真命題叫做推論．互逆命題1．如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．2．任何一個(gè)命題都有逆命題，而一個(gè)定理并不一定有逆定理．3．角平分線性質(zhì)定理及其逆定理、線段的垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．反證法1．定義：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即命題結(jié)論的反面成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法．2．反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確．題型01判斷是否命題【例1】（2021·廣東深圳·明德學(xué)校?？家荒＃┫铝兴膫€(gè)選項(xiàng)中不是命題的是（

）A．對頂角相等B．過直線外一點(diǎn)作直線的平行線C．三角形任意兩邊之和大于第三邊D．如果a=b【變式1-1】（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考二模）下列句子中哪一個(gè)是命題（

）A．你的作業(yè)完成了嗎？ B．美麗的天空．C．猴子是動(dòng)物． D．過直線l外一點(diǎn)作l的平行線．題型02判斷命題真假【例2】（2023·江蘇蘇州·蘇州市景范中學(xué)校?？级＃┮阎魏瘮?shù)y=x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1，0)；命題②：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3，0)；命題③：該函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)位于yA．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④【變式2-1】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）下列命題中，為真命題的是（

）（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形（3）對角線相等的平行四邊形是菱形（4）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）【變式2-2】（2023·重慶九龍坡·重慶市楊家坪中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列命題為假命題的是（

）A．對角線相等的平行四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形C．有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形 D．有一組鄰邊相等的矩形是正方形【變式2-3】（2023·湖南岳陽·岳陽市弘毅新華中學(xué)?？家荒＃┫铝忻}中是假命題的是（

）A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半B．如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等C．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【變式2-4】（2022·江蘇無錫·?？家荒＃┫旅鎍，b的取值，能夠說明命題“若a＞b，則|a|＞|b|”是假命題的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝2 B．a(chǎn)＝3，b＝﹣2 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣5 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝5題型03舉反例說明命題為假命題【例3】（2022·福建福州·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）要說明命題“若a2>b2，則a>b是假命題”，下列A．a(chǎn)=3，b=2 B．a(chǎn)=-2，b=-1 C．a(chǎn)=-1，b【變式3-1】（2023·北京·模擬預(yù)測）“如果a2>b2，那么a>b”是假命題，請舉出一個(gè)反例．在你舉出的反例中，題型04寫出命題的逆命題【例4】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）下列命題的逆命題中，是假命題的是（

）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相平分的四邊形是矩形C．對角線互相垂直的四邊形是矩形 D．有