備考2024年中考數(shù)學專題突破（全國通用）專題3-2 一網(wǎng)打盡14類·二次函數(shù)的存在性問題（原卷版）

專題3-2一網(wǎng)打盡14類·二次函數(shù)存在性問題TOC\o"1-3"\n\h\z\u解題策略梳理題型一等腰直角三角形存在性問題本溪中考遼寧阜新中考2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題2023·四川廣元·中考真題題型二等腰三角存在性問題山東泰安中考甘肅白銀中考江蘇鹽城中考（刪減）貴港中考（刪減）四川眉山中考刪減遼寧葫蘆島中考（刪減）題型三直角三角形存在性問題蘭州中考（刪減）遼寧本溪中考貴州安順中考真題懷化中考真題2023·四川內(nèi)江·中考真題2023·?？谌A僑中學考模題型四平行四邊形存在性問題【例4.1】對邊相等【例4.2】兩定兩動：x軸+拋物線【例4.3】兩定兩動：對稱軸+拋物線【例4.4】兩定兩動：斜線+拋物線【例4.5】兩定兩動：拋物線+拋物線【例4.6】三定一動2023·四川南充·中考真題2023·山東聊城·中考真題2023·四川巴中·中考真題2023-2024學年武漢市洪山區(qū)九年級統(tǒng)考題型五正方形存在性問題例5.1：兩動點：構(gòu)造等腰直角定第3點例5.2：兩定兩動：拋物線+拋物線南充中考真題2023·黑龍江綏化中考真題2023·四川涼山·中考真題2022·四川遂寧·中考真題2023年廣西欽州市一模2020·四川德陽·中考真題題型六菱形存在性問題例6.1例6.2例6.32023·湖南邵陽市·中考真題2023·四川廣安·中考真題題型七矩形存在性問題【例7.1】【例7.2】兩定兩動2023·海南·中考真題2023·內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市、興安盟中考真題2022·貴州黔西·中考真題2022·貴州黔東南·中考真題2022·湖北隨州·中考真題題型八相似三角形存在性問題【例8.1】【例8.2】【例8.3】【練習1】【練習2】【練習3】2022·湖南張家界·中考真題題型九角的存在性問題之轉(zhuǎn)化為相似或全等三角形2023廈門一中模擬2023-2024學年福建省福州屏東中學月考2023-2024學年湖北天門市九年級月考2024屆福州市晉安區(qū)統(tǒng)考深圳福田區(qū)模擬題型十角的存在性問題之轉(zhuǎn)化為等腰三角形2023年武漢市外國語學校中考模擬武漢·中考真題題型十一角的存在性問題之化為正切或斜率【例11.1】【例11.2】題型十二角的存在性問題之與特殊角結(jié)合【例12.1】【例12.2】2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模題型十三角的存在性問題之2倍角或半角2024屆·武漢市武珞路中學期中2022年長沙市雅禮教育集團中考一模錦州中考真題江蘇鹽城中考真題題型十四角的存在性問題之動點是角的頂點：構(gòu)造圓【例14】內(nèi)蒙赤峰·中考真題：一題四法山東日照中考真題甘肅蘭州·中考真題四川資陽·中考真題解題策略梳理一、等腰三角形的存在性問題：幾何法與代數(shù)法講解【問題描述】如圖，點A坐標為（1,1），點B坐標為（4,3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”得坐標（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．【注意】若有三點共線的情況，則需排除．作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來，可通過勾股或者三角函數(shù)來求．同理可求，下求．顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當點A坐標為（1,0），點B坐標為（4,2）時，可構(gòu)造直角三角形勾股解：而對于本題的，或許代數(shù)法更好用一些．二、直角三角形存在性問題：幾何法與代數(shù)法講解【問題描述】如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（1,1），點B坐標為（5,3），在x軸上找一點C使得△ABC是直角三角形，求點C坐標．【幾何法】兩線一圓得坐標（1）若∠A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（2）若∠B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C．（直徑所對的圓周角為直角）重點還是如何求得點坐標，求法相同，以為例：【構(gòu)造三垂直】求法相同，以為例：構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似．【代數(shù)法】表示線段構(gòu)勾股還剩下待求，不妨來求下：（1）表示點：設(shè)坐標為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示線段：，，；（3）分類討論：當為直角時，；（4）代入得方程：，解得：．三、等腰直角三角形在性問題方法突破【三垂直構(gòu)造等腰直角三角形】通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決問題．【模型呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AD，過點D作DE⊥AC于點，可以推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC=DE，BC=AE．我們把這個數(shù)學模型成為“K型”．推理過程如下：【模型遷移】【蘭州中考（刪減）】二次函數(shù)的圖像交軸于點A（-1,0），B（4,0）兩點，交軸于點．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點作軸交直線于點，交拋物線于點，連接，設(shè)運動的時間為秒．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）在直線上存在一點，當是以為直角的等腰直角三角形時，求此時點的坐標．【分析】（1）；（2）本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作水平線，得三垂直全等．設(shè)HP=a，PQ=b，則BQ=a，CH=b，由圖可知：，解得：．故D點坐標為（1,3）．同理可求此時D點坐標為（3,2）．思路2：等腰直角的一半還是等腰直角．如圖，取BC中點M點，以BM為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為P點．根據(jù)B點和M點坐標，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2，故P點坐標易求．P點橫坐標同D點，故可求得D點坐標．四、平行四邊形存在性問題方法突破考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：（各個點對應(yīng)的橫縱坐標相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若坐標系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．【題型分類】平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印焙汀皟啥▋蓜印眱纱箢悊栴}．三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標系內(nèi)確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設(shè)D點坐標為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標相加減）兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標．【分析】設(shè)C點坐標為（m，0），D點坐標為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設(shè)計，由動點設(shè)計可化解問題．五、矩形的存在性問題方法突破矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標系中的矩形滿足以下3個等式：（AC為對角線時）因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．題型如下：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；（2）1個定點+3個半動點．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有、、、在點C的基礎(chǔ)上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標，也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此．思路2：先平行，再矩形當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標后，代入點坐標解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在坐標系中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】設(shè)C點坐標為（a，0），D點坐標為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對角線時，，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對角線時，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對角線時，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．

【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等（1）表示點：設(shè)點坐標為（m，0），又A點坐標（1,1）、B點坐標（4,3），（2）表示線段：，（3）分類討論：根據(jù)，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐標為．【小結(jié)】幾何法：（1）“兩圓一線”作出點；（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點坐標．代數(shù)法：（1）表示出三個點坐標A、B、C；（2）由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．問題總結(jié)：（1）兩定一動：動點可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動：兩動點必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；（3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．六、菱形的存在性問題方法突破作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊都相等的四邊形是菱形．坐標系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個點坐標需滿足：考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點坐標的3個等式，故菱形存在性問題點坐標最多可以有3個未知量，與矩形相同．因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細分如下兩大類題型：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點（2）1個定點+3個半動點解決問題的方法也可有如下兩種：思路1：先平四，再菱形設(shè)點坐標，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．思路2：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個點，再確定第4個點．

看個例子：如圖，在坐標系中，A點坐標（1,1），B點坐標為（5,4），點C在x軸上，點D在平面中，求D點坐標，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形．思路1：先平四，再菱形設(shè)C點坐標為（m，0），D點坐標為（p，q）．（1）當AB為對角線時，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）當AC為對角線時，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）當AD為對角線時，由題意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求點C，點C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C，再確定D點．（1）當AB=AC時，C點坐標為，對應(yīng)D點坐標為；C點坐標為，對應(yīng)D點坐標為．（2）當BA=BC時，C點坐標為（8，0），對應(yīng)D點坐標為（4，-3）；C點坐標為（2，0），對應(yīng)D點坐標為（-2，-3）．（3）AC=BC時，C點坐標為，D點坐標為．以上只是兩種簡單的處理方法，對于一些較復雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法．七、正方形的存在性問題方法突破作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點坐標．從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標滿足4個等量關(guān)系，考慮對角線性質(zhì)，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線上確定點，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數(shù)，可能無解．從動點角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：（1）2個定點+2個全動點；（2）1個定點+2個半動點+1個全動點;甚至可以有：（3）4個半動點．不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！常用處理方法：思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系．正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主．例：在平面直角坐標系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是正方形．如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．至于具體求點坐標，以為例，構(gòu)造△AMB≌△，即可求得坐標．至于像、這兩個點的坐標，不難發(fā)現(xiàn)，是或的中點，是或的中點．題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．八、相似三角形存在性問題【模型解讀】在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”．【相似判定】判定1：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形是相似三角形；判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；判定3：有兩組角對應(yīng)相等的三角形是相似三角形．以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?，解決問題．【題型分析】通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、“雙動點”兩類問題．【思路總結(jié)】根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關(guān)鍵點也是先找到一組相等角．然后再找：思路1：兩相等角的兩邊對應(yīng)成比例；思路2：還存在另一組角相等．事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1．一、如何得到相等角？二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？搞定這兩個問題就可以了．九、角的存在性問題方法突破除了特殊幾何圖形存在性問題外，相等角存在性也是二次函數(shù)壓軸題中常見的題型，根據(jù)題目給的不同的條件，選擇恰當?shù)姆绞饺?gòu)造相等角，是此類問題的關(guān)鍵．回顧一下在幾何圖形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；（2）角平分線：角平分線分的兩個角相等；（3）等腰三角形：等邊對等角；（4）全等（相似）三角形：對應(yīng)角相等；（5）三角函數(shù)：若兩個角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；（6）圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．也許還有，但大部分應(yīng)該都在此了，同樣，在拋物線背景下亦可用如下思路構(gòu)造相等角．想得到相等角，先考慮如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函數(shù)值，因此在以上6種方案當中，若無明顯條件，可考慮求出角的三角函數(shù)值來構(gòu)造相等角．

題型一等腰直角三角形存在性問題本溪中考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點，點B（3,0），經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為，與y軸交點為D，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與點A、C重合）．（1）求該拋物線的解析式．（2）點在拋物線的對稱軸上運動，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點的坐標．

遼寧阜新中考如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求這個拋物線的函數(shù)表達式．（2）點的坐標為，點為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值．（3）點為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點，過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．2023·四川廣元·中考真題如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標.

題型二等腰三角存在性問題山東泰安中考如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由．

甘肅白銀中考如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點的橫坐標為．（1）求此拋物線的表達式；（2）過點作軸，垂足為點，交于點．試探究點在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由；江蘇鹽城中考（刪減）如圖所示，二次函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于、兩點，點在點的右側(cè)，直線分別與、軸交于、兩點，其中．（1）求、兩點的橫坐標；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的值．貴港中考（刪減）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點，與軸相交于點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖像上任意一點，軸于點，與線段交于點，連接．當是以為一腰的等腰三角形時，求點的坐標．

四川眉山中考刪減如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點．（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標；（2）如圖，連接、，點在線段上（不與、重合），作，交線段于點，是否存在這樣點，使得為等腰三角形？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．遼寧葫蘆島中考（刪減）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸另一交點為．點以每秒個單位長度的速度在線段上由點向點運動（點不與點和點重合），設(shè)運動時間為秒，過點作軸垂線交軸于點，交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，連接交于點，當是等腰三角形時，直接寫出的值．題型三直角三角形存在性問題蘭州中考（刪減）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決問題．【模型呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AD，過點D作DE⊥AC于點，可以推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC=DE，BC=AE．我們把這個數(shù)學模型成為“K型”．推理過程如下：【模型遷移】二次函數(shù)的圖像交軸于點A（-1,0），B（4,0）兩點，交軸于點．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點作軸交直線于點，交拋物線于點，連接，設(shè)運動的時間為秒．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）在直線上存在一點，當是以為直角的等腰直角三角形時，求此時點的坐標．

遼寧本溪中考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點，點B（3,0），經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為，與y軸交點為D，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與點A、C重合）．（1）求該拋物線的解析式．（2）點在拋物線的對稱軸上運動，當是以為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點的坐標．

【對稱軸上尋找點】貴州安順中考真題如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，．（1）若直線經(jīng)過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標；（3）設(shè)點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點坐標．【拋物線上尋找點】懷化中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）請在軸上找一點，使的周長最小，求出點的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點，使以點，，為頂點，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．2023·四川內(nèi)江·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．2023·?？谌A僑中學考模如圖1，拋物線交x軸于點和點，交于y軸點C，F(xiàn)為拋拋物線頂點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式(2)如圖2，直線EF垂直于x軸于點E，點P是線段BE上的動點（除B、E外）過點P作x軸的垂線交拋物線于點D，連接DA、DQ，當是直角三角形時，求出所有滿足條件的D點的橫坐標．題型四平行四邊形存在性問題【例4.1】對邊相等如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點，該拋物線的頂點為C．（1）求此拋物線和直線AB的解析式；（2）設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線EB上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由；【例4.2】兩定兩動：x軸+拋物線如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點在軸上，點在拋物線上，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

【例4.3】兩定兩動：對稱軸+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；（2）若點為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【例4.4】兩定兩動：斜線+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點且與軸的負半軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知，分別是直線和拋物線上的動點，當，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．

【例4.5】兩定兩動：拋物線+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，與拋物線的一個交點為，且點的橫坐標為2，點、分別是拋物線、上的動點．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）若以點、、、為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點的坐標．【例4.6】三定一動如圖，已知拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點坐標為，，，點為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）為坐標平面內(nèi)一點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標．

2023·四川南充·中考真題如圖，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

2023·山東聊城·中考真題如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標.

2023·四川巴中·中考真題在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和，其頂點的橫坐標為．

(1)求拋物線的表達式．(2)若點為拋物線的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移個單位長度后，為平移后拋物線上一動點．在（）的條件下求得的點，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點坐標；若不能構(gòu)成，請說明理由．

2023-2024學年武漢市洪山區(qū)九年級統(tǒng)考如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)直接寫出A，B，C點的坐標；(2)點D是拋物線上一點，點E位于第四象限．若由B，C，D，E四點組成的平行四邊形面積為30，求E點坐標；題型五正方形存在性問題例5.1：兩動點：構(gòu)造等腰直角定第3點如圖，拋物線與軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在過A、B兩點的拋物線，其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．例5.2：兩定兩動：拋物線+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，將一個正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線經(jīng)過點C．（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標，若不存在說明理由．南充中考真題如圖，拋物線頂點P（1，4），與y軸交于點C（0，3），與軸交于點A，B．（1）求拋物線的解析式．（2）若M、N為拋物線上兩個動點，分別過點M、N作直線BC的垂線段，垂足分別為D、E．是否存在點M、N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由．2023·黑龍江綏化中考真題如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．2023·四川涼山·中考真題如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點,當是等腰三角形時，求點的坐標．2022·四川遂寧·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為，點C的坐標為．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，N為射線CB上的一點，M是拋物線上的一點，M、N均在第一象限內(nèi)，B、N位于直線AM的同側(cè)，若M到x軸的距離為d，面積為，當為等腰三角形時，求點N的坐標．2023年廣西欽州市一模定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖①，拋物線與拋物線組成一個開口向下的“月牙線”，拋物線與拋物線與x軸有相同的交點M，N（點M在點N左側(cè)），與y軸的交點分別為點，．

(1)求出點M，N的坐標和拋物線的解析式；(2)如圖②，點D是點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接，在x軸上是否存在點F，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．2020·四川德陽·中考真題如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；題型六菱形存在性問題例6.1綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA=2，OC=6，連接AC和BC．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是y軸上的動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．例6.2綜合與探究如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點A（-4,0），與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過點A，C．（1）求拋物線的解析式（2）如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N．若點P恰好是線段MN的中點，點F是直線AC上一個動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點D，使以點D，F(xiàn)，P，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．例6.3如圖，已知直線分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過A、B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．（1）若拋物線的解析式為，設(shè)其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．①求點M、N的坐標；②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由．2023·湖南邵陽市·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標．2023·四川廣安·中考真題如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．(2)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．題型七矩形存在性問題【例7.1】如圖，拋物線與軸交于點A（-1，0），點B（-3，0），且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上兩點M，N，點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為m+4．點D是拋物線上M、N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E．①求DE的最大值；②點D關(guān)于點E的對稱點為F，當m為何值時，四邊形MDNF為矩形．【例7.2】兩定兩動如圖，直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過點B，與直線y=x-3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2023·海南·中考真題如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由2023·內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市、興安盟中考真題如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，設(shè)點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標．2022·貴州黔西·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點的直線AB與y軸交于點．經(jīng)過原點O的拋物線交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的表達式；(2)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內(nèi)一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2022·貴州黔東南·中考真題如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．2022·湖北隨州·中考真題如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸分則點A和點，與y軸交于點C，對稱軸為直線，且，P為拋物線上一動點．(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點，當P，M運動時，在坐標軸上是否存在點N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點P及其對應(yīng)點N的坐標；若不存在，請說明理由．題型八相似三角形存在性問題【例8.1】如圖，拋物線與軸交于點A（-1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，-3）．點Q是拋物線上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，直線OQ與線段BC相交于點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．【例8.2】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，其中A（m，0）、B（4，n），該拋物線與y軸交于點C，與x軸交于另一點D．（1）求m、n的值及該拋物線的解析式；（2）如圖2，連接BD、CD，在線段CD上是否存在點Q，使得以A、D、Q為頂點的三角形與△ABD相似，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【例8.3】如圖，已知拋物線經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（9，10），AC∥x軸．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求tan∠ABC的值；（3）若點D為拋物線的頂點，點E是直線AC上一點，當△CDE與△ABC相似時，求點E的坐標．【練習1】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C．動直線EF（EF//x軸）從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸負方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動．是否存在t，使得△BPF與△ABC相似．若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由．【練習2】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為M的拋物線y＝ax2＋bx（a＞0）經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．【練習3】如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點D，頂點為C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，過M作MN⊥x軸于點N，使以A、M、N為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．2022·湖南張家界·中考真題如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，點為拋物線的頂點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點的坐標；(2)若四邊形為矩形，．點以每秒1個單位的速度從點沿向點運動，同時點以每秒2個單位的速度從點沿向點運動，一點到達終點，另一點隨之停止．當以、、為頂點的三角形與相似時，求運動時間的值；題型九角的存在性問題之轉(zhuǎn)化為相似或全等三角形2023廈門一中模擬如圖，拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于兩點．(1)求拋物線的解析式：(2)點為第四象限拋物線上一動點，點橫坐標為，直線與交于點，連接．如圖，若時，求的值：2023-2024學年福建省福州屏東中學月考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（其中），交軸于兩點（點在點的左側(cè)），交軸負半軸于點．

(1)求點的坐標；(2)如圖，若在軸上方的拋物線上存在一點，使得，當時，求點的坐標；2023-2024學年湖北天門市九年級月考如圖，已知拋物線的頂點為A，且經(jīng)過點．

(1)求頂點A的坐標；(2)在對稱軸左側(cè)的拋物線上存在一點P，使得，求點P坐標；2024屆福州市晉安區(qū)統(tǒng)考如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C．

(1)求二次函數(shù)解析式；(2)如圖，若在x軸上方的拋物線上存在一點D，使得，求點D的坐標；深圳福田區(qū)模擬如圖，拋物線的圖象，經(jīng)過點，，三點，過點，的直線與拋物線的另一交點為．（1）請你直接寫出：①拋物線的解析式；②直線的解析式；③點的坐標，；（2）如圖1，若點是軸上一動點，連接，，則當點位于何處時，可使得，請