2021年中考數(shù)學(xué) 一輪訓(xùn)練相似三角形及其應(yīng)用

2021中考數(shù)學(xué)一輪專題訓(xùn)練：相似三角形及其

應(yīng)用

一、選擇題（本大題共io道小題）

1.如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于（）

A.平移變換B.相似變換

C.旋轉(zhuǎn)變換D.對稱變換

2.如圖，在AABC中，D,E分別是AB,AC邊上的點，DE//BC,若AD=2,

AB=3,DE=4,則等于（）

A.5B.6C.7D.8

3.如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與

△4與。］相似的是

1/20

4.如圖平行四邊形ABC。中，/為3c中點，延長AD至E,使DE：AD=1：3,

連接EF交DC于點G,則deg:CFG=（）

A.2:3B.3:2C.9:4D.4：9

5.（2019雅安）若。：匕=3：4,且。+。=14,則2a-。的值是

A.4B.2

C.20D.14

6.如圖所示，P是菱形ABCD的對角線AC上一動點，過P垂直于AC的直線交

菱形ABCD的邊于M、N兩點，設(shè)AC=2,BD=1,AP=x,AAMN的面積為

y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀是（）

7.如圖①，長、寬均為3,高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有

水，水面高為6,繞底面一棱進行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②

是此時的示意圖，則圖②中水面高度為（）

2/20

A-TC.粵

8.（2020.營口）如圖，在小臺。中，DE//AB,且＞~=-,則^~■的值為（）

BD2CA

3

D.

cI2

9.（2020?重慶A卷）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A

（1,2）,8（1,1）,C（3,1）,以原點為位似中心，在原點的同側(cè)畫使

△。所與△ABC成位似圖形，且相似比為2:1,則線段。P的長度為（）

A.、石B.2C.4D.2至

10.（2019貴港）如圖，在△A3C中，點。，E分別在AB,AC邊上，DE//BC,

ZACD=ZB,若AO=25。，BC=6,則線段的長為

3/20

A.2摳B.30

C.2#D.5

二'填空題（本大題共7道小題）

11.（2019郴州）若'=],則上=

x2x

12.（2020?吉林）如圖，在ABC中，D,E分別是邊46,AC的中點.若ADE

的面積為則四邊形。5CE的面積為.

2

AA

2

13.（2020?郴州）在平面直角坐標系中，將AA03以點。為位似中心，可為位似

比作位似變換，得到AA03.已知4（2,3）,則點A的坐標是

111------------------------

14.（2020?綏化）在平面直角坐標系中，和△ARg的相似比等于：，并且

4/20

是關(guān)于原點0的位似圖形，若點A的坐標為（2,4）,則其對應(yīng)點A的坐標是

15.（2020?深圳）如圖，在四邊形A3CD中，AC與3。相交于點O,ZABC=

//1BO4則不皿:

XDAC=90°,tan/ACB=T，'Q^=y

'^CBD

16.如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CDLAB,垂足為

D,E為3c的中點，AE與CD交于點/，則DE的長為.

17.（2019?伊春）一張直角三角形紙片ABC,ZACB=90°,AB=10,AC=6,點

。為BC邊上的任一點，沿過點。的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊48上的

點E處，當(dāng)是直角三角形時，則的長為.

三、解答題（本大題共4道小題）

18.如圖，在銳角三角形ABC中，點。，E分別在邊AC,A3上，AGLBC于點

G,AbLDE于點凡ZEAF=ZGAC.

⑴求證：AADE^AABC；

5/20

(2)若AD=3,AB=5,求茶的值.

19.(2020麗水)如圖，在八43。中，AB=4^2,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求邊上的高線長.

(2)點E為線段A3的中點，點/在邊AC上，連結(jié)ER沿將△AEB折疊

得到

①如圖2,當(dāng)點尸落在上時，求NAEP的度數(shù).

②如圖3,連結(jié)AP,當(dāng)PbLAC時，求AP的長.

20.已知：在等邊△ABC中，D、E分別是AC、BC上的點，且NA4E=NCB。

<60°,DHLAB,垂足為點H.

(1)如圖①，當(dāng)點。、E分別在邊AC、5c上時，求證：AABE/ABCD；

6/20

(2)如圖②，當(dāng)點。、E分別在AC、延長線上時，探究線段AC、AH、BE的

數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖③，作EK〃B。交射線AC于點K,連接HK,交于

點G,交BD于點、P,當(dāng)AC=6,BE=2時，求線段BP的長.

21.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于圓0,ZBAD=90°,AC為直徑，過點A作圓。

的切線交CB的延長線于點E,過AC的三等分點內(nèi)靠近點。作CE的平行線交

于點G,連接CG.

(1)求證：AB=CD；

(2)求證：CD2=BEBC；

_9

(3)當(dāng)CG=yj3,BE.，求CD的長.

7/20

2021中考數(shù)學(xué)一輪專題訓(xùn)練：相似三角形及其

應(yīng)用?答案

一、選擇題（本大題共io道小題）

1.【答案】B

2.【答案】B［Mtff］,JDE//BC,

:.xADEsXABC,

.?郎誓即沁；，解得3c=6,故選B.

ADDCJDC

3.【答案】B［解析］根據(jù)勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長，同理利用勾

股定理表示出四個選項中陰影三角形的各邊長，利用三邊長對應(yīng)成比例的兩個三

角形相似可得結(jié)果，各邊長分別為1,0\5,選項A中陰影三角形

三邊長分別為:3,三邊不與已知三角形各邊對應(yīng)成比例，故兩三角形不

相似;選項B中陰影三角形三邊長分別為:收，2,、而，三邊與已知三角形的各邊

對應(yīng)成比例，故兩三角形相似;選項C中陰影三角形三邊長分別為:1,0,2也，

三邊不與已知三角形各邊對應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項D中陰影三角形

三邊長分別為:2,回713,三邊不與已知三角形各邊對應(yīng)成比例，故兩三角形

不相似，故選B.

4.【答案】D［解析］因為四邊形A5CD是平行四邊形，所以AD=BC.因為。E：

AD=1：3,歹為3c中點，所以DE：CT=2：3,因為平行四邊形ABCD中，DE

//CF,所以ADEGsACFG,相似比為2:3,所以S.nFC-S=4：9.故選

D.

8/20

5.【答案】A

4〃

【解析】由。：b=3：4知3Z?=4。，所以b=彳.

4〃

所以由。+人=14得到：a+y=14,

解得a=6.所以6=8.

所以2a—Z?=2x6—8=4.故選A.

6.【答案】C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象和

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).解題思路:設(shè)AC、BD交于點0,由于點P是菱形ABCD

AP

的對角線上一動點，所以.當(dāng)時，△彳=

AC0VxV20Vx<lAMNs^ABDnAU

益MNn,X=-FMnNMN=xny=51x2.此二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸是x=0,

r>U11Z

此時y隨x的增大而增大.所以B和D均不符合條件.當(dāng)1VXV2時，ACMN

—CPMN2-xMN…__11_“一、匚

A—;—="j—=>MN=2-x=>y=/(2—x)=—5xz+x.此一次

v_/UX.JJLJL乙乙

函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是x=l,此時y隨X的增大而減小.所以A不符

合條件.綜上所述，只有C是符合條件的.

7.【答案】A［解析］如圖所示.設(shè)則CAf=8-x,

根據(jù)題意得:,(8-x+8)x3x3=3x3x6,解得x=4,/.DM=4.

水面高度

ZD=90°.

???由勾股定理得:

5M=^BD2+DM2=^42+32=5.

過點B作BH1水平桌面于H,'：ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=90°,

ZHBA=ZDBM,

'：ZAHB=ZD^90°,

9/20

?，.???提=言，即瞿=：,解得即水面tWj度為=.

/VBt5MoJJJ

8.【答案】A

CE.CECD3

【解析】利用平行截割定理求修的值.VDE//AB,??=~~,

AEBD2

CE3

：CE+AE=AC,-----=-.

CA5

9.【答案】D

【解析】VA(1,2),B(1,1),C(3,1)BC=2,AC=曲4DEF與

△ABC成位似圖形，且相似比為2,...DF=2AB=2.

10.【答案】c

【解析】設(shè)AD=2x,BD=x,AB=3x,

DE//BC,：.AADEs△ABC,

.DEADAE.DE_2x

??"—-'，??—，

BCABAC63x

AE2

：.DE=4,—=-,

AC3

ZACD=ZB,ZADE=ZB,：.ZADE=ZACD,

VZA=ZA,/.AADE^AACD,

ADAE_DE

~AC~~AD~~CD

設(shè)&E=2y，AC=3y,.?.A夯D=2￡y

l2y4

??,ADWy,：?耐F,/.CD=2#,

故選C.

二、填空題（本大題共7道小題）

10/20

11.【答案】-

【解析】?.?±±2=3,，2x+2y=3x,

x2

故2y=x,則上=：,故答案為：i.

x22

3

12.【答案】-

【解析】:點。，E分別是邊AB,AC的中點,

:.DE//BC,DE=-BC

2

ADEABC

S]

「?=(----)2=一,即S=45

AS~ABC4^ABC△APE

△ABC

又S=—,S=4x-=2

ADE2ABC2

…13

則四邊形。BCE的面積為S-S=2--=-.

ABCADE22

3

故答案為：

13.【答案】（言，2）

【解析】???將△A05以點。為位似中心，2為位似比作位似變換，得到

311

A（2,3）,??.點4的坐標是：（2x2,2x3）,即兒（生2）.故答案為：（土2）.

133133

11/20

14.【答案】(一4,—8)或(4,8)

I

【解析】?.,△ABC和△A1B1C1的相似比等于1,...△A1B1C1和AABC的相

似比等于2.因此將點A(2,4)的橫、縱坐標乘以±2即得點A1的坐標，.?.點

A1的坐標是(一4,—8)或(4,8).

3

15.【答案】32

［解析］法1：過3點作BE//AD交AC于點E,則△ADQs/\EBO,由ZDAC

=90°,得到BELA。，

1

.A00D3-

"OE='OB=^,由tan/ACB2可得CE=2BE=4AE,

?—_____3______3

---

,,SACgDOC4+(3+4)X432-

法2：如圖，過點。作交C4的延長線于點延長及1交DM于點

ABAN

得到進而得出對應(yīng)邊成比例，說而

N,AOBCS^ODM,nC=lylVL

1BCOB4.

=tanZACB=^,而=而=不又＜NA5C=NZMC=90。，AZBAC+ZNAD

=90°,VZBAC+ZBCA=90°,：.ZNAD=ZBCA,：.AABC^ADAN,得出

對應(yīng)邊之間關(guān)系，器=器=\設(shè)AB=a,DN=b,則BC=2a,NA=2b,MN

nC1NAZ

,33即b=^a,進而表示三角形的面積，得到3

=4b,得DM=]Q,???4b+b=而,

、ACBD

13

a2

jABDN_ab_-[Q_3

1MR2a?+2份1632

12/20

y

…54

16.【答案】

85

【解析】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì).已知/

ACB=90°,AC=3,BC=4r,由勾股定理，得A5=5.CDLAB,由三角形的面

積，得CD=4CBC=工.易得AABCsAACDsACBD,由相似三角形對應(yīng)

AB5

邊成比例，得AD=也竺=2,BD=BCBC=過過點E作EG〃AB交。。

AB5AB5

于點G,由平行線分線段成比例，得DG=LCD=9,EG=*,所以變=也，

255GFEG

9

DF-

即5

-所以。廣，故答案為羨

68

。

5--5-

17.【答案】3或萬

【解析】分兩種情況：

①若NDEB=90°,則4即=90。=/。，CD=ED,

13/20

cD'B

連接A。，則Rt^ACD/RtAEAD,

/.AE=AC=6,3E=10—6=4,

設(shè)。=。￡=尤，則30=8-x,

:RtABDE中,DE2+BE2=BD］，；.以+42=(8—x”,

解得x=3,:.CD=3；

②若NBDE=90°,則NCOE=/￡>Eb=/C=90°,CD=DE,

四邊形CDEF是正方形，AZAFE=ZEDB=9Q°,ZAEF=/B,

AAAFEF

..AAEF^AEBD,-------------=—,

EDBD

設(shè)O)=x,則所=Ob=x,AF=6-x,BD=8—x,

綜上所述，。的長為3或〒故答案為：3或亍

14/20

三、解答題（本大題共4道小題）

18.【答案】

【思維教練】（1）要證△ADES^ABC,現(xiàn)已知NEAD=NCAB,故只需找另一

組對角相等或夾角的兩邊對應(yīng)成比例.由題干條件易知NEAF=NGAC,ZAFE

=NAGC,故AAEFsaACG,NAEF=NC,由兩角對應(yīng)相等即可得證；（2）

由（1）中的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

（1）證明：在△ABC中，：AG，BC于點G,AFLDE于點F,

.,.ZAFE=ZAGC=90°,

在^AEFACG中，

:ZAFE=ZAGC,ZEAF=ZGAC,

I.△AEF^AACG,/.ZAEF=ZC.（2分）

在^ADE和^ABC中，

VZAED=ZC,NEAD=NCAB,

.,.△ADE^AABC；（4分）

（2）解：由（1）知△ADES^ABC,

.ADAE3八

，，AB=AC=5,母刀）

AFAE3

又才=#=不（分）

AAEF^AACG,AUACJ8

19.【答案】

解：（1）如圖1中，過點A作ADLBC于D.

在RtAABD中，AD=ABsin45°=4V'2x'；=4.

（2）①如圖2中,

15/20

VAAEF^APEF,.*.AE=EP,：AE=EB,，BE=EP,AZEPB=ZB=45°,

/.ZPEB=90°,/.ZAEP=180°-90°=90°.

②如圖3中，由⑴可知：AC=

sm6003

VPFXAC,.*.ZPFA=90°,VAAEF^APEF,，NAFE=NPFE=45°,

.?.NAFE=NB,VZEAF=ZCAB,AAEF^AACB,

AFAF25/2

Ai八I'

??.、&=、,：，即證一瓦"：.AF=2J，3,在Rt^AFP,AF=FP,

ABAC?—Y

：.AP=\2AF=2\6

20.【答案】

⑴證明：???△ABC為等邊三角形，

AZABC=ZC=ZG4B=60°,AB=BC,

在△ABE和△BCD中，

(ZBAE=ZCBD

\AB=BC,

1/ABE=/BCD

：.AABE/△30)(ASA)；

(2)解：?.,△ABC為等邊三角形,

16/20

AZABC=ZCAB=60°,AB=BC,

：.ZABE=ZBCD=1SQ°—60°=120°.

在△ABE和叢BCD中，

(ZBAE=ZCBD

\AB=BC,

【NABE=/BCD

：.AABE^ABCD(ASA),

：.BE=CD.

'：DH±AB,

：.ZD/M=90°,

VZCAB=60°,

ZADH=30°,

：.AD=2AH,

：.AC=AD-CD=2AH-BE；

(3)解：如解圖，作。SLBC延