應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)(第四章-概率與概率分布)

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)第四章概率與概率分布一、概率的基礎(chǔ)知識(shí)1.概率的基本概念 1）事件(隨機(jī))試驗(yàn)：在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并且事先不知道會(huì)有哪些可能的結(jié)果，也不確定某一次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果(隨機(jī))事件：隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果;通常用A、B、C等來(lái)表示不能再分的事件稱為基本事件;由若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件。在編號(hào)為①~⑤的5件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則有5種不同的可能結(jié)果：“取得一個(gè)編號(hào)是①”、“取得一個(gè)編號(hào)是②”、…、“取得一個(gè)編號(hào)是⑤”，這5個(gè)事件都是不可能再分的事件，是基本事件?！叭〉靡粋€(gè)編號(hào)小于3”是一個(gè)復(fù)合事件，它由“取得一個(gè)編號(hào)是1”、“取得一個(gè)編號(hào)是2”兩個(gè)基本事件組合而成。確定性事件和隨機(jī)事件：確定性事件：在一定條件下必然出現(xiàn)某種結(jié)果或必然不出現(xiàn)某種結(jié)果必然事件U不可能事件V隨機(jī)事件:在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生 2）頻率(frequency)

在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)的次數(shù)m稱為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，比值m/n稱為事件A出現(xiàn)的頻率，記為：W(A)=m/n(0≤W(A)≤1)玉米種子發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果種子總數(shù)(n)1020501002005001000發(fā)芽種子數(shù)(m)9194791186458921種子發(fā)芽率(m/n)0.900.950.940.910.930.920.92種子發(fā)芽與否是不能事先確定的，但從表中可以看出，試驗(yàn)隨著n值的不同，種子發(fā)芽率也不相同，當(dāng)n充分大時(shí)，發(fā)芽率在0.92附近擺動(dòng)。 3）概率(probability,P)

相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，若事件A的頻率穩(wěn)定地在某一確定值p的附近擺動(dòng)，稱p為事件A出現(xiàn)的概率在一般情況下，隨機(jī)事件的概率P是不可能準(zhǔn)確得到的以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值 a.概率的古典定義某些隨機(jī)事件，不用進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)來(lái)確定其概率，而是根據(jù)隨機(jī)事件本身的特性直接計(jì)算其概率隨機(jī)事件若滿足試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空間中的基本事件只有有限個(gè)各個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容則若樣本空間由n個(gè)等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個(gè)基本事件，則事件A的概率為m/n，即

P(A)=m/nb.古典概率計(jì)算

例：在編號(hào)為1～10的10個(gè)球中有3個(gè)紅色、7個(gè)黃色的球，求下列事件的概率：A＝抽得一個(gè)編號(hào)<4，B=抽得一個(gè)編號(hào)是2的倍數(shù)，C=抽得一個(gè)紅球，D=一次取5個(gè)球，其中有2個(gè)紅球的概率。10個(gè)球中任意取5個(gè),其可能結(jié)果有個(gè)基本事件

D=5個(gè)球中有2個(gè)紅球，則D包含的基本事件

【例】某養(yǎng)殖廠養(yǎng)殖了30頭牛，其中3頭患有某種遺傳病。從這群牛中任意抽出10頭，試求其中恰有2頭患病牛的概率是多少？

即從這群牛中隨機(jī)抽出10頭，其中恰有2頭患病牛的概率為22.17%。c.概率的基本性質(zhì)任何事件 0≤P(A)≤1必然事件 P(U)=1不可能事件 P(V)＝0隨機(jī)事件 0<P(A)<1d.概率的計(jì)算事件的相互關(guān)系和事件：二者之一發(fā)生，A∪B(A+B)積事件：二者同時(shí)發(fā)生，A∩B(AB)互斥事件：二者不能同時(shí)發(fā)生，A∩B=V(多個(gè)事件)對(duì)立事件：其一發(fā)生但不同時(shí)發(fā)生，A∪B=U，A∩B=V，B=完全事件系：多個(gè)事件兩兩互斥，其一必發(fā)生，

P(A1＋A2＋…＋An)＝１獨(dú)立事件：A發(fā)生與否與B無(wú)關(guān)(多個(gè)事件)e.概率的計(jì)算法則加法定理兩個(gè)事件的和事件的概率：如果A和B是互斥：條件概率

已知事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率。記作P(B|A)，讀作“在A條件下B的概率”?！纠磕称废等錾蠡畹?2歲的概率為0.70，活到15歲的概率為0.49，求現(xiàn)年為12歲的該品系犬活到15歲的概率。設(shè)A表示“某品系犬活到12歲”，B表示“某品系犬活到15歲”，則P(A)=0.70，P(B)=0.49。由于AB=B，故P(AB)=P(B)=0.49，故

即，現(xiàn)年為12歲的這種狗活到15歲的概率為0.70。乘法定理若事件A和事件B是同一個(gè)樣本空間的兩個(gè)事件

P(AB)=P(A)P(B

A)若事件A與事件B相互獨(dú)立，則

P(B

A)=P(B)，

P(AB)=P(A)P(B)若有A1，A2，···An個(gè)事件，則： P(A1A2···An)=P(A1)P(A2

A1)P(A3

A1A2)···P(An

A1A2···An-1)若A1，A2，···An相互獨(dú)立，則： P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)P(A3)···P(An)

【例】一批零件共有100個(gè)，其中10個(gè)不合格。從中一個(gè)一個(gè)不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率。

記Ai=“第i次取出的是不合格品”，Bi=“第i次取出的是合格品”，則B1B2A3表示第三次才取出不合格品。

即，第三次才取出不合格品的概率為0.083。f.概率分布隨機(jī)變量：表示隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果的變量概率分布：隨機(jī)變量的每一個(gè)取值對(duì)應(yīng)一定的概率，其一切可能取值的概率的分布概率分布用函數(shù)表示離散型變量和連續(xù)型變量的概率分布不同 a)離散型變量的概率分布

離散型變量x的所有一切可能值xi(i=1,2,3…)與相應(yīng)的概率pi對(duì)應(yīng)排列起來(lái)，稱為離散型隨機(jī)變量x的概率分布或分布律。 P(x=xi)=pi pi≥0,Σpi=1

變量(x) x1

x2

x3 … xk

概率(P) p1

p2

p3 … pk離散型變量的概率分布用函數(shù)表示，稱為概率函數(shù)二項(xiàng)分布的概率函數(shù)：離散型變量x的取值小于等于某一可能值x0的概率稱為累積分布函數(shù)，或分布函數(shù)F(x0)。單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)

F(x2);歸一性： b.連續(xù)型變量的概率分布

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布因取值數(shù)不可數(shù)而不能用分布律來(lái)表示樣本容量n足夠大時(shí)，頻率分布趨于穩(wěn)定，近似地看成總體概率分布n無(wú)限大時(shí)頻率轉(zhuǎn)化為概率頻率密度轉(zhuǎn)化為概率密度頻率分布轉(zhuǎn)化為概率分布曲線為總體概率密度曲線函數(shù)f(x)稱為概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布由概率密度函數(shù)確定概率密度函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)取值的概率為：二、幾種常見(jiàn)的理論分布二項(xiàng)分布泊松分布正態(tài)分布正態(tài)分布離散型變量連續(xù)型變量二項(xiàng)分布泊松分布變量1.正態(tài)分布高斯分布(Gaussdistribution)多數(shù)變量圍繞在平均值左右中間多，兩頭少，兩側(cè)對(duì)稱多數(shù)計(jì)量資料近似服從正態(tài)分布試驗(yàn)誤差的分布一般服從正態(tài)分布 1)正態(tài)分布的特征 a.x=μ時(shí)f(x)值最大，密度曲線以μ為中心分布 b.x-μ絕對(duì)值相等時(shí)f(x)

相等，密度曲線以μ為中心兩側(cè)對(duì)稱 c.f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線 d.正態(tài)分布曲線由參數(shù)μ，σ決定，μ確定正態(tài)分布曲線在x軸上的中心位置，σ確定正態(tài)分布的變異度 e.正態(tài)分布曲線在x=μ±σ處各有一個(gè)拐點(diǎn)，曲線通過(guò)拐點(diǎn)時(shí)改變彎曲度 f.分布曲線與x軸圍成的全部面積為12）正態(tài)分布函數(shù)概率密度函數(shù)，N(μ，σ2)累積分布函數(shù)3）正態(tài)分布的區(qū)間概率

若一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量x取值于區(qū)間[a,b)，其總概率為4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布的參數(shù)為μ,σ2，曲線的位置及形態(tài)隨μ,σ2而不同N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(u分布)如果令，則N(μ,σ2)

變?yōu)镹(

0,1)

(u分布)概率密度函數(shù)為：累積分布函數(shù)區(qū)間的概率5）正態(tài)分布表

為了計(jì)算方便，對(duì)于不同的u值，計(jì)算出不同的Φ(x)，編成的函數(shù)表

可以查到u任意一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率

附錄APage268 6）正態(tài)分布的概率計(jì)算正態(tài)分布的概率計(jì)算

一般正態(tài)分布的概率，需將區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換(標(biāo)準(zhǔn)化)，才可用正態(tài)分布表的方法求其概率

服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量，x的取值落在區(qū)間[x1,x2)的概率P(x1≤x<x2)，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u在[(x1-μ)/σ,(x2-μ)/σ)內(nèi)取值的概率。a

b-aP(|x|≤μ+σ)=P(|u|≤1)=0.6826P(|x|≤μ+2σ)=P(|u|≤2)=0.9545P(|x|≤μ+3σ)=P(|u|≤3)=0.9973P(|x|≤μ+1.960σ)=P(|u|≤1.960)=0.95P(|x|≤μ+2.576σ)=P(|u|≤2.576)=0.99P(|x|≥μ+1.960σ)=P(|u|≥1.960)=0.05P(|x|≥μ+2.576σ)=P(|u|≥2.576)=0.01P(x≥μ+1.645σ)=P(u≥1.645)=0.057)正態(tài)分布的應(yīng)用參數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，可以用樣本平均數(shù)

和標(biāo)準(zhǔn)差s

來(lái)估計(jì)μ和σ

質(zhì)量控制正態(tài)分布的變量在μ±2σ

及μ±3σ的概率為95.45%和99.73%，試驗(yàn)中誤差控制以x±2s為警戒線，以x±3s為控制線正態(tài)分布是很多統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)二項(xiàng)分布、泊松分布在極限均為正態(tài)分布，可按正態(tài)分布處理t檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)回歸分析等均要求指標(biāo)服從正態(tài)分布非正態(tài)分布資料可作變量轉(zhuǎn)換，使其成近似正態(tài)分布，然后按正態(tài)分布作統(tǒng)計(jì)處理2.二項(xiàng)分布事件A發(fā)生x次的概率等于展開(kāi)式中含px的項(xiàng)P(x)為隨機(jī)變量x服從參數(shù)n和p的二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p)二項(xiàng)分布的條件重復(fù)性：試驗(yàn)條件不變時(shí)，事件A出現(xiàn)的概率恒定為p獨(dú)立性：一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)與否與其他試驗(yàn)無(wú)關(guān)概率函數(shù)

理論次數(shù)累積分布函數(shù)例題1：豌豆紅花、白花純合基因型雜交，F(xiàn)2分離比3:1，隨機(jī)觀察4株，求得紅花0、1、2、3、4株的概率。紅花株數(shù)F(x)01×0.750×0.254=0.00390.003914×0.751×0.253=0.04690.050826×0.752×0.252=0.21090.261734×0.753×0.251=0.42190.683641×0.754×0.250=0.31641.0000總和1.0000例題2：種雞蛋的孵化率為90%，隨機(jī)抽取5只，求孵化出小雞數(shù)的各種可能概率。孵化出小雞數(shù)F(x)01×0.900×0.105=0.000010.0000115×0.901×0.104=0.000450.00046210×0.902×0.103=0.008100.00856310×0.903×0.102=0.072900.0814645×0.904×0.101=0.328050.4095151×0.905×0.100=0.590491.0000例題3：小麥田間變異概率為0.0045，求①100株出現(xiàn)2株及以上變異的概率；②有0.99概率獲得1株以上變異需調(diào)查的株數(shù)。①P(x≥2)=1-P(0)-P(1)=0.0751②欲求P(x≥1)=0.99，即求P(0)=0.01也即于是0.9955n=0.01→n=1021(株)二項(xiàng)分布的形狀和參數(shù)形狀B(n,p)的形狀由n和p兩個(gè)參數(shù)決定p(q)值較小且n不大時(shí)分布是偏倚的隨n的增大，分布趨于對(duì)稱p值趨于0.5時(shí)分布趨于對(duì)稱np≥5時(shí)，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布二項(xiàng)分布平均數(shù)(次數(shù))標(biāo)準(zhǔn)差(次數(shù))二項(xiàng)成數(shù)平均數(shù)(成數(shù))標(biāo)準(zhǔn)差(成數(shù))3.泊松分布離散型隨機(jī)變量的分布，二項(xiàng)分布的一種特殊類(lèi)型用來(lái)描述和分析隨機(jī)發(fā)生的稀有事件的概率分布概率函數(shù)，

λ=np,x=0,1,2,…

可由二項(xiàng)分布概率函數(shù)導(dǎo)出參數(shù)：μ=np=λ，二項(xiàng)分布當(dāng)p<0.1或np<5時(shí)，可用泊松分布來(lái)近似描述形狀P(λ)的形狀由λ確定λ較小時(shí)，泊松分布偏倚λ

增大時(shí)，泊松分布趨于對(duì)稱λ

無(wú)限增大時(shí)，泊松分布接近正態(tài)分布例題：小麥田間變異概率為0.0045，求①100株出現(xiàn)2株及以上變異的概率；②有0.99概率獲得1株以上變異需調(diào)查的株數(shù)。①λ=np=100×0.045=0.45

P(x≥2)=1-

P(0)-P(1)=0.0755

(0.0751)②欲求P(x≥1)=0.99,即求P(0)=0.01

也即n=1023(1021)(株)三、抽樣分布1.抽樣試驗(yàn)與無(wú)偏估計(jì)

根據(jù)樣本對(duì)總體做出估計(jì)和推斷，并不是直接用樣本本身，而是用樣本的統(tǒng)計(jì)量來(lái)對(duì)總體做出估計(jì)和判斷

由于從總體中抽取的樣本提供的信息僅是總體的一部分，因此它不能提供完全準(zhǔn)確的信息，必然存在著一定的誤差

對(duì)于樣本容量相同的多次隨機(jī)抽樣，得到的觀察值也是不同的，且其取值有一定的概率

統(tǒng)計(jì)數(shù)也是隨機(jī)變量，也有它的分布，稱為抽樣分布

對(duì)無(wú)限總體抽取一部分樣本進(jìn)行研究，或?qū)?小的)有限總體進(jìn)行放回式抽樣，確保每個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等 1）抽樣試驗(yàn) N=3，具有變量3、4、5的總體

參數(shù)：μ=4.0,σ2＝0.6667，σ＝0.8165

以n=2作獨(dú)立的有放回式抽樣

總共可得到Nn＝32＝9個(gè)樣本樣本編號(hào)樣本值xs2s13,33.00.00.000023,43.50.50.707133,54.02.01.414244,33.50.50.707154,44.00.00.000064,54.50.50.707175,34.02.01.414285,44.50.50.707195,55.00.00.0000Σ36.06.05.6568N=3，具有變量3、4、5的總體參數(shù)：μ=4.0，

σ2＝0.6667，σ＝0.8165以n=2作獨(dú)立的有放回式抽樣總共可得到Nn＝32＝9個(gè)樣本抽樣分布：2)無(wú)偏估計(jì)

如果所有可能樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)的平均數(shù)等于總體的相應(yīng)參數(shù)，則稱該統(tǒng)計(jì)數(shù)為總體相應(yīng)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)值

樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無(wú)偏估計(jì)值

樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)值樣本標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)值2.大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律概率論中用來(lái)闡述大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定律的總稱伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律樣本容量越大，樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)與總體參數(shù)之差越小中心極限定理大量隨機(jī)變量累積分布函數(shù)逐步收斂到正態(tài)分布樣本容量越大，樣本數(shù)據(jù)的分布越接近正態(tài)分布1)大數(shù)定律 a.伯努利大數(shù)定律(頻率轉(zhuǎn)化為概率)

試驗(yàn)次數(shù)n無(wú)限大時(shí)，設(shè)m是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而p是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對(duì)于任意小的正數(shù)ε，有如下關(guān)系：b.辛欽大數(shù)定律(樣本平均數(shù)轉(zhuǎn)化為總體平均數(shù))

試驗(yàn)次數(shù)n無(wú)限大時(shí)，對(duì)來(lái)自同一總體的變量x，對(duì)于任意小的正數(shù)ε，有如下關(guān)系：2)中心極限定理

設(shè)X1，X2，…，Xk是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且各具有平均數(shù)

和方差，如果，那么，隨機(jī)變量的和的分布趨于正態(tài)分布只要n足夠大，均可認(rèn)為樣本平均數(shù)

服從正態(tài)分布3.樣本平均數(shù)的分布

從總體中抽出的樣本為所有可能樣本，且每個(gè)樣本中的變量均為隨機(jī)變量，所以樣本平均數(shù)為隨機(jī)變量，形成一定的理論分布，稱為樣本平均數(shù)的分布總體方差已知的樣本，樣本平均數(shù)服從u分布總體方差未知的樣本，樣本平均數(shù)服從t分布總體方差未知的大樣本，樣本平均數(shù)近似服從u分布總體方差已知的樣本，樣本平均數(shù)的差數(shù)服從u分布總體方差未知的樣本，樣本平均數(shù)的差數(shù)服從t分布總體方差未知的大樣本，樣本平均數(shù)的差數(shù)近似服從u分布1)總體方差已知的樣本平均數(shù)的分布

從正態(tài)分布總體N(

,

2)中進(jìn)行抽樣，樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布N(

,

2/n)

，且：根據(jù)中心極限定理，平均數(shù)和方差分別為μ、σ2的非正態(tài)總體，樣本平均數(shù)也服從N(μ,σ2/n)分布標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)量：總體方差未知的大樣本，近似地，用s估計(jì)σ：樣本標(biāo)準(zhǔn)誤和樣本標(biāo)準(zhǔn)差

樣本標(biāo)準(zhǔn)差s：反映樣本各觀測(cè)值間變異程度，說(shuō)明樣本平均數(shù)對(duì)樣本的代表性

樣本標(biāo)準(zhǔn)誤

：反映抽樣的樣本平均數(shù)間的變異程度，表示樣本平均數(shù)的抽樣誤差，說(shuō)明樣本間變異程度的大小及樣本平均數(shù)精確性的高低

大樣本：

，描述性誤差

小樣本：

，推斷性誤差 2）總體方差未知的樣本平均數(shù)的分布總體方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)服從t分布，自由度df=n-1概率密度函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)量： a.t分布的特征

分布曲線是左右對(duì)稱的，圍繞平均數(shù)μt

=0向兩側(cè)遞降 t分布受自由度df=n-1的制約，每個(gè)自由度都有一條t分布曲線

和正態(tài)分布相比，t分布頂端偏低，尾部偏高 df≥30時(shí)，接近正態(tài)分布曲線，df→∞時(shí)和正態(tài)分布曲線重合 t分布曲線與橫軸所圍成的面積為1

同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線一樣，統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中最為關(guān)心的是t分布曲線下的面積(即概率Ｐ)與橫軸t值間關(guān)系

不同自由度df下的t值表-2.776

2.776在自由度df相同時(shí)，t值越大，概率P越小在t值相同時(shí)，雙尾概率P為單尾概率P的兩倍df增大時(shí)，t分布接近正態(tài)分布(t值接近u)b.不同自由度的t分布概率df=10P(|t|≥2.228)=0.05P(t≥1.812)=0.05P(t≤-1.812)=0.05df=4P(|t|≥2.776)=0.05

t0.05/2(4)=2.776P(|t|≥4.604)=0.01

t0.01/2(4)=4.604t落于[-

t0.05,+t0.05]內(nèi)的概率為0.95t落于[-

t0.01,+t0.01]內(nèi)的概率為0.99c.樣本平均數(shù)差數(shù)的分布

從平均數(shù)為μ1、μ2，標(biāo)準(zhǔn)差為σ1、σ2的兩個(gè)正態(tài)總體中，分別獨(dú)立隨機(jī)地抽取容量為n1和n2的樣本，則兩個(gè)樣本平均數(shù)差的分布服從正態(tài)分布