2024屆重慶市拔尖強基聯(lián)盟高三下2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

西南大學(xué)附中重慶育才中學(xué)萬州中學(xué)高2024屆拔尖強基聯(lián)盟高三下二月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）命題學(xué)校：西南大學(xué)附中2024年2月注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評講）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．一個容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（A．15B．162．已知點Q1,4在拋物線x2py上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則直線QF的斜率為（）C．17D．182）16363166415A．3B．C．D．mnl．已知，，，）mmn，n//m//nm且nA．，則B．D．，則n//m//mn，nll//n，則C．，則，，1N*，則S5（4．?dāng)?shù)列a的前n項和為Sn，滿足Sn1an）nn2A．30B．64C．62D．126x2y24P1AB5．已知圓O：A．22，弦過定點，則弦長不可能的取值是（??）B．23C．4D．25高三下二月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)第1頁（共4頁）6．在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點O0，A2,0，B0,2，點P滿足0，則OPOB的最小值為（）A．222B．222C．222D．222tanAtanBtanAtanB127．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，c3，C，3則ab的值為（）33A．B．C．3D．342x22y228．如圖，已知M為雙曲線E:0上一動點，1abab過M作雙曲線E的切線交x軸于點AA作AD⊥OM于點DODOMA．a(chǎn)B．bC．cD．不確定）222二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．63，則下列說法正確的是（9．已知函數(shù)fx2sin2x）k,0,kZA．fx的值域為1,5B．fx的對稱中心為22356C．fx在上的遞增區(qū)間為D．fx在上的極值點個數(shù)為110．2023年旅游市場強勁復(fù)蘇，7，8月的暑期是旅游高峰期.甲、乙、丙、丁四名旅游愛好者計劃2024人選擇.事件M為“甲選擇北京，事件N為“乙選擇上海，則下列結(jié)論正確的是（）PN|MPM|NNMA．事件與互斥B．D．233136PMNC．P11．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)為fx，且滿足fxyfxfy，1f10，f1，則（）212A．f00B．fx的圖像關(guān)于點,0成中心對稱2024fkC．f202410122023D．10122024k1高三下二月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)第2頁（共4頁）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．302x27x，集合Bxx，則212．已知集合AAB________．13ABCDABCD中，2，1E為1xZ11111C中點到平面DCE的距離為________．1a2114．已知實數(shù)a,b滿足a2abb21ab的最大值為________；的取值范圍1b21為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．的前n項和為Sn，同時滿足n15．(13分)等差數(shù)列an*N，a,S,a成等差數(shù)列，S是3372a1和S1的等比中項．23(1)求數(shù)列a的通項公式；n1(2)當(dāng)ba時，求數(shù)列b的前n項和n．nnnanan116．(15分)2024年春節(jié)期間，某家庭設(shè)計了一個抽紅包游戲，以營造和諧輕松愉快的家庭氛圍．游戲中有外觀完全相同的紅包共6個，其中裝有10元，20元，30元的紅包各兩個，小明每次從中任意抽取3個紅包，記錄金額后放回，共抽2次．若每次抽的紅包總金額超過60元記2分，超過40元不超過60元記1分，不超過40元不計分，兩次結(jié)束得分恰好為3分獎勵旺旺零食大禮包一份．(1)求小明在第一次抽取中，抽出裝有20元紅包個數(shù)多于裝有10元紅包個數(shù)的概率；(2)用隨機變量X表示小明抽兩次的得分總和，求X的分布列及期望．高三下二月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)第3頁（共4頁）17．(15分)在四棱錐MABCD中，已知，CD2，1，10CM，60，．2(1)求證：平面平面ABCD；(2)若線段MB上存在點EACE與平面ADM的夾角的余弦值為70，求實數(shù)的值．70x2y2x2y218．(17)E：11ab0與橢圓E2：1有相同的離心率，a2b2124點P3,1在橢圓EP的兩條不重合直線l,l與橢圓E相交于Q,H1121E2相交于,B和C,D四點．E(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；1SAPDSBQD(2)求證：；為定值．(3)若，設(shè)直線l,l的傾斜角分別為，求證：1219．(17分)已知函數(shù)fxlnx1mx，gxcosmx1，其中mR．(1)討論fx的單調(diào)性；(2)若m1，hxfxgx1，求證：hx在定義域內(nèi)有兩個不同的零點；(3)若fxgx0恒成立，求m的值．高三下二月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)第4頁（共4頁）高三數(shù)學(xué)參考答案3323222212125，n243310．BC解：nMnNACA，nCCCCA361．D2，3，5，7，9，10，16，18，20，23．∴i1075％7.5，則取1236135∴PMPN，P，∴B正確36第8個數(shù)，選D．1∵M(jìn)與N可能同時發(fā)生，∴M與N不互斥，∴A錯誤3141411663162．C解：由題意得8p1，∴拋物線方程為x2y，∴點F，∴KQF，故選C5∵P1P1，∴C正確101636363．B解：對于A，若m,mn則n或n對于B，若mn,m則n1313519∵PMNPMPNP，∴D錯誤3636對于C，若m,mn則n或n或n與相交對于D，若,l,n則ln或l與n異面故選BC11．ACD解：對于A，令xy0得f0f0f00，∴f00，故A正確對于B，令xy1得f2ff11，0114．C解：令n1，S1a，a2，由：Sn11n1nnN*，得n2n111122令x1，y1得f0f1f11，∴ff2，故B錯誤1121252S562，選C∴n是公比為的等比數(shù)列，對于C，令xn，y1得fnfnfn，∴fn1fnn12f1f3f2f20240123202310122023，故C正確5．D解：當(dāng)AB過圓心O時，AB最大為4，當(dāng)時，AB最小為24222，，故選D∴f2024f1f2f2023∴22,46．A解：∵PA0，∴P在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB中點為C，對于D，令y1得fx1fxx，兩邊同時求導(dǎo)得f'x1f'x1，202420242023110122024，則P在P處時原式取最小值，OP212222，∴f'kf'k11f'k2024f'112k1∴選A故D正確B11cosAcosBsinAsinCB12．3解：易知A2,3，B，∴A7．C解：∵2tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinB22C3c213．AC中點為OO到平面DCE距離為A到平面DCEA到平面CDE111sin∴23，∴ab3∴選C4sinAsinB2ab113的距離為d，由VCDEVADE，即SCDEdSOD18．A解：過M作MB⊥x軸，由題意可得OMB．設(shè)點Mx,y，直線AM的斜率為k．，∴ODOMOAOBAC13121x12200∴，∴O到平面CDE的距離為d2y2224x12則直線AM方程：yykxx與雙曲線1聯(lián)立，2b200a2523x0yy0a2421312可得AM方程為1，∴A,0，Bx,0，∴a2．141(1)由題a2abb21a2abb2b21abb1a2b2x074420，∴fx5，∴A正確61239．ACD解：∵sin2xcosabasincos3令,2，得kk1212,3,kZ，∴B錯誤3233令2xk，則x，∴fx的對稱中心為bsinbsin612122626令2k2x2kkxkk=0x323323232313sin2sinsin∴absinsin，226k2333356C正確.令2xkxfx在上的唯一極值點為3163∴ab,1，ab的最大值為13D1(1)另解：由題1aba2b22ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等17．解析：(1)∵AB=BC=1，60，∴為正三角形AC=1，①當(dāng)ab0時，1ab2ab，1又AB∥CD，∴ACDBAC60112②當(dāng)ab0時，1ab2ab，ab,0，綜上：ab,1又CD=2，∴22CD22CDcos60142123331a2b223ab∵AD22CD2，∴，(2)由題知，原式t3，令tab,12a21ba2b2ab2又ADAM，AM、AC為平面AMC內(nèi)兩條相交直線，∴AD⊥平面MAC，，∴平面MAC⊥平面ABCD(2)取AC中點O，CD中點F，∵AM=CM，∴MO⊥AC，由(1)知平面MAC⊥平面ABCD，面MAC∩面ABCD=AC，∴MO⊥平面ABCD，又OF⊥AC，t381∴原式,t3,4t2t228t33t35t3t355838842，m令mt3,4，m42,65，∴原式42mm715．解：(1)已知數(shù)列n為等差數(shù)列，1132故以O(shè)為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，C,0，A,0，M，2S337d21221212110aSad2adadS2221331312323111F,0,0，D3,,0，B,0,0，122a或a2nnN*1n11332x,y,1111設(shè)Ex,y,z，由得x,y,zz，(2)n2n12n122n12n12n12n123111nx∴Tbbbn2n221n12n2n122n1321∴y0∴E,0,C12C6C23222116．解：(1)1（1個20元，0個10元）20z21C22C12C232C1242（2個20元，0個10元或1個10元）206設(shè)平面ADM的法向量為mx,y,z16311∴PPPx,y,z3,0,01220100001111m00則13取m1(2)抽取一次得分情況為隨機變量，的取值為：2，1，01322y10x,y,z,212111C2C212C22C12C22C123抽取一次得兩分：P2)310設(shè)平面ACE的法向量為nx,y,z26221,0x,y,z022C12C21C126C23112C1235222y02CnCA00抽取一次得一分：P則31032z2x,y,z,,022221221C22C121抽取一次得零分：P0)6310取n,0,1，則mn0,3,1,1，m，n21∴抽取兩次的得分情況為隨機變量X，X的取值為：4，3，2，1，0：mn170，17由∴得：2X493213012170mn10392521P20，∴2，又21001009931240∴Ex分432101002550251001002ba224311x1，f'xm18(1)由題意知，ee，∴，∴a2b2，又∵P3,1在橢圓上，∴1，19．解析：(1)fx定義域為x1212a2b2x2y2①當(dāng)m0即m0時，f'x0，fx在上為增函數(shù)；1∴b2a26，∴橢圓1的標(biāo)準(zhǔn)方程為621mmx1Ax,y,Bx,y,Px,y,Qx,y1(2)要證SAPDSBQD即證，設(shè)AABBPPQQ②當(dāng)m0即m0時，f'x0x11，x1m①當(dāng)直線1斜率不存在時，由橢圓對稱性可知成立1f'x1，01x1②當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)k，則AB方程：y1kx3m11111my1kx3上為減函數(shù)∴fx在1上為增函數(shù)，在2x31160m聯(lián)立得k211x26k6k21x2y2111x1時，hxxxx，h'xsinx(2)m116223116612611,0①x時，h'x在1,0上單調(diào)遞減，∴h'xh'00∴xx,xxPQ2PQ2111111ee1∴hx在1,0上單調(diào)遞增，又h010，h1cos1210y1kx322e21212y2∴11,0，使得hx0，即hx在0上有且僅有1個零點x112聯(lián)立得121x26k6k21x31k1201ex11124,時，由(1)知fxxx在,上單調(diào)遞減，2②x3111261261∴xx,xxABAB221即fxf1111xxxxQ1e302QxAB，∴∴hx