橢圓中的定點、定值-2024年新高考數(shù)學含答案

橢圓中的定點、定值-2024年

新高考數(shù)學含答案

橢圓中的定點、定值

題目1(2023春?河北石家莊?高二校考開學考試)已知橢圓C：4+多=1,直線Z：y=for+就上＞0)與

橢圓。交于M,N兩點,且點M位于第一象限.

(1)若點A是橢圓。的右頂點，當門=0時，證明：直線厶”和AN的斜率之積為定值；

(2)當直線Z過橢圓。的右焦點F時，T軸上是否存在定點P,使點F到直線NP的距離與點尸到直線

的距離相等？若存在，求岀點P的坐標;若不存在，說明理由.

題目區(qū)(2023?全國?模擬預演U)在平面直角坐標系xOy中，A(-2,0),B(2,0),M(-l,0),N(l,0),點P是平

面內(nèi)的動點，且以AB為直徑的圓O與以為直徑的圓。內(nèi)切.

(1)證明\PM\+|PN|為定值，并求點P的軌跡Q的方程.

(2)過點A的直線與軌跡Q交于另一點Q(異于點B)，與直線x=2交于一點G,ZQNB的角平分線與直

線劣=2交于點H,是否存在常數(shù)人使得BH=ABG恒成立？若存在，求出1的值;若不存在，請說明理

由.

題目萬<2023?全國?高三專題練習)仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧

妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將+￡=l(a>b>0)由仿射

orb~

變換得：/=丄，？/=9則橢圓父■+￥=i變?yōu)閊+y'2=1，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為k'=長，然后

聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.已知橢圓。

考■+烏=l(a>b>0)的離心率為造，過右焦點后且垂直于2軸的直線與。相交于AB兩點且AB=

ab5

笆⑤,過橢圓外一點P作橢圓。的兩條切線厶，。且厶丄厶2,切點分別為M，N.

(1)求證：點P的軌跡方程為x2+y2=9；

(2)若原點O到厶,12的距離分別為4,d?,延長表示距離心,心的兩條直線,與橢圓。交于F,W兩點，過

。作OZ丄yw交yw于z,試求:點z所形成的軌跡與p所形成的軌跡的面積之差是否為定值,若是，

求出此定值;若不是，請求出變化函數(shù).

?2?

I題目］Wj(2023?湖南?湖南碑大府中校聯(lián)考模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓W：三+y=1

Q-O

(a>b>0)的離心率為烏，橢圓W上的點與點P?2)的距離的最大值為4.

(1)求橢圓W的標準方程；

(2)點3在直線7=4上，點B關(guān)于a;軸的對稱點為0,直線PB,PB｛分別交橢圓W于CD兩點(不同于

P點).求證:直線8過定點.

題目51(2023卷?四川眉山?方二校孝階盤練習)已知橢圓+￥=l(a>b>0)的離心率為空,短軸

a'b'2

長為2.

(1)求橢圓。的標準方程；

(2)點0(4,0),斜率為k的直線I不過點。，且與橢圓。交于A,B兩點，ZADO=NBDO(O為坐標原點).

直線，是否過定點？若過定點，求出定點坐標;若不過定點，說明理由.

?3?

題目6(2023?內(nèi)蒙古赤峰?校取才模楸預《1)已知橢圓C：皆+著=l(a>b>0)的離心率為/，且經(jīng)過點

(述,2),橢圓。的右頂點到拋物線艮7=2終c(p>0)的準線的距離為4.

(1)求橢圓。和拋物線E的方程；

(2)設(shè)與兩坐標軸都不垂直的直線，與拋物線E相交于4B兩點，與橢圓。相交于M,N兩點，。為坐標

原點，若瓦？?厠=—4,則在土軸上是否存在點H,使得工軸平分/MHN?若存在，求出點H的坐標;若

不存在，請說明理由.

I題目7；(2023.寧夏.六套山為越中學校才一模)已知橢圓E：岑+4=1(?>6>0)的左、右焦點分別為E,

Q-0~

號上頂點為B，若△EBE為等邊三角形，且點P(/)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點分別為4,42,不過坐標原點的直線Z與橢圓E相交于4、B兩點(異于橢圓E

的頂點)，直線厶4、氏42與？/軸的交點分別為河、N,若|CW|=3|OM，證明：直線過定點,并求該定點的

坐標.

?4?

I題目8i(2023?江蘇揚州儀征中學校才模擬預測)已知E(-2,0)，E(2,0)為橢圓￡;：4+￡=l(a>b>0)

a~b~

的左、右焦點，且厶(2,日)為橢圓上的一點.

(1)求橢圓E的方程；

2

(2)設(shè)直線y=—2/+1與拋物線y=2PMp>0)相交于P,Q兩點,射線FtP,RQ與橢圓E分別相交于M

、N.試探究:是否存在數(shù)集。，對于任意p€D時,總存在實數(shù)3使得點￡在以線段MN為直徑的圓內(nèi)？

若存在，求出數(shù)集。并證明你的結(jié)論:若不存在,請說明理由.

I題目9(2023.B川帰MB川看鼻用南山中學校才模擬預測)已知橢圓。：孑■+看?=l(a>b>0)的左、右

頂點分別為此、昭,短軸長為2肉點。上的點P滿足直線、P%的斜率之積為號.

(1)求。的方程；

(2)若過點(1,0)且不與y軸垂直的直線I與。交于A、B兩點，記直線財A、MB交于點Q.探究:點Q

是否在定直線上，若是，求岀該定直線的方程;若不是，請說明理由.

?5?

題目101(2023?全國?高三專題練習)如圖，橢圓E：W+g=l(a>b>0)內(nèi)切于矩形/BCD,其中厶B,

a；b~

CD與x軸平行，直線4。，BD的斜率之積為一/，橢圓的焦距為2.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)橢圓上的點P,Q滿足直線OP,OQ的斜率之積為-/,其中O為坐標原點.若河為線段PQ的中點,

貝iJ|MCf+|MQ|2是否為定值？如果是，求出該定值;如果不是，說明理由.

16,

I題目1?〕(2023春.湖北裏用.高三裏用五中校考階段練習)己知離心率為陰的橢圓。：4+￡=

2a'b'

l(a>b>0)的左焦點為F,左、右頂點分別為4、4,上頂點為B,且ZVliBF的外接圓半徑大小為

(1)求橢圓。方程；

(2)設(shè)斜率存在的直線I交橢圓C于P,Q兩點(P,Q位于X軸的兩側(cè))，記直線4P、AF、4Q、AQ的斜

率分別為自、后、融、心，若均+均=^1?(居+融)，求△人蛇面積的取值范圍.

題目以1(2023?江西南曷看模板預測)已知4(2,0),3(0,1)是橢圓用興+/=13>6>0)的兩個頂

點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)過點P(2,l)的直線I與橢圓E交于C,D,與直線AB交于點求舞^+的值.

?7?

I題目(2023?江蘇推城.校才三模)已知橢圓。疋+4=l(a>b>0)的左、右焦點分別為回，取點厶

Q~b~

在。上，當月回丄/軸時，|厶園=］；當|厶理=2時，/用4￡=冬.

(1)求。的方程；

(2)已知斜率為一1的直線I與橢圓C交于M,N兩點,與直線①=1交于點Q,且點刊，N在直線2=1的

兩側(cè)，點P(l,。(t>0).若［叱|?WQ|=\MQ\-|MP|,是否存在到直線I的距離d=血的尸點？若存在,

求t的值;若不存在,請說明理由.

題目川(2023?全??高三壽惠練習)已知橢圓。：名+4=l(a>b>0)與橢圓(+苧=1的離心率相

b~a~

同，P(烏,1)為橢圓C上一點.

(1)求橢圓。的方程.

(2)若過點Q(/,0)的直線，與橢圓。相交于A,B兩點,試問以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點T?若存

在，求出T的坐標;若不存在,請說明理由.

18,

I題目冋(2023?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學校考模板預測)已知雙曲線C：4-￡=l(a>0)的左、

Q~3al

右焦點分別為凡E，且E到。的一條漸近線的距離為心.

(1)求。的方程；

(2)過。的左頂點且不與①軸重合的直線交。的右支于點R,交直線于點P,過E作PE的平行線，

交直線朋于點Q,證明：Q在定圓上.

題目16(2023&湖南常卷高二桂讓縣第一中學校才開學才試)如圖，橢圓M：%+q=1(a>b>0)的

a~b

兩頂點4一2,0),。(2,0),離心率6=坐,過曠軸上的點乞(0")(罔〈4,叱0)的直線2與橢圓交于。,。

兩點,并與x軸交于點P,直線4。與直線BD交于點Q.

⑴當1=24且CD=4時,求直線，的方程；

⑵當點P異于力，B兩點時，設(shè)點尸與點Q橫坐標分別為xP,狽,是否存在常數(shù)4使工尸％=久成立，若存

在，求出4的值:若不存在,請說明理由.

?9?

I題目叵)(2023&B川建寧?高?？茧A段練習)已知橢圓C：4+￥=l(a>b>0)過點

a-b~

(1,萼)，且離心率為烏.

(1)求橢圓。的方程：

(2)已知直線Z:?=mc+2與橢圓交于不同的兩點P,Q,那么在立軸上是否存在點M,使MF=MQ且

丄MQ,若存在，求出該直線的方程;若不存在,請說明理由.

22

題目|181(2023春?陜西西安?高二陜西為大附中校才期木)已知橢圓。：%+當=l(a>b>0)的左頂點

Q-b'

為)A,P為。上一點,O為原點，|PA|=\PO\,/APO=90\4ApO的面積為1.

(1)求橢圓。的方程；

⑵設(shè)B為。的右頂點，過點(1,0)且斜率不為0的直線Z與。交于M,N兩點，證明：3tanZAMB=

ta.nZ.NBA.

■10?

題目國（2023M川內(nèi)江??？寄０孱A測）在平面直角坐標系吟/中，動圓P與圓G：（2+1尸+才=費內(nèi)

切,且與圓G：Q—1）之+娟=：外切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C

（1）求曲線。的方程；

（2）設(shè)曲線。的左、右兩個頂點分別為4、厶2，7為直線厶劣=4上的動點，且T不在工軸上，直線與C

的另一個交點為河，直線T4與。的另一個交點為N,F為曲線。的左焦點,求證：AFMN的周長為定

值.

題目2。（2023.B川峰相.四川看曲用南山中學?？既＃┮阎獧E圓。的焦點為月（一，^,0）,昌（蓼,0）,且。

過點E（血,1）.

（1）求。的方程；

（2）設(shè)力為橢圓。的右頂點，直線2與橢圓。交于P,Q兩點，且P,Q均不是。的左、右頂點，同為PQ的

中點.若黑試探究直線’是否過定點？若過定點，求出該定點坐標;若不過定點，請說明理由.

■11-

橢圓中的定點、定值

題目]TJ（2023春?河北石案莊?高二M才升學考誠）已知橢圓C：q+年=1,直線厶y=for+就上＞0）與

橢圓。交于M,N兩點，且點M位于第一象限.

（1）若點A是橢圓。的右頂點，當門=0時，證明：直線厶”和AN的斜率之積為定值；

（2）當直線Z過橢圓。的右焦點F時，T軸上是否存在定點P,使點F到直線NP的距離與點尸到直線

的距離相等？若存在，求岀點P的坐標;若不存在，說明理由.

【答案】（1）見解析；

（2）存在，尸（4,0）.

【分析】（1）聯(lián)立直線方程和橢圓方程得（1+2二）02一8=0,由韋達定理可得如旳的關(guān)系，再由拈4“?七N=

SL計笄即可得證;

Xi—2A/2X2-2A/2

⑵由題意可得直線，的方程為^=M；r-2）,聯(lián)立直線方程與橢圓方程得（1+2fc2）x2-8fc2x+8（fc2-l）=

0,由韋達定理旳，旳之間的關(guān)系，假設(shè)存在滿足題意的點P,設(shè)P（m,0）,由題意可得kPM+kPN=0.代入計

算，如果m有解，則存在，否則不存在.

【詳解】（1）證明：因為n=0,所以直線，：y=kx,

聯(lián)立直線方程和橢圓方程:xW-8=0，得（―。，

設(shè)M（翁，儀）,N（旳,功）,

O

則有為+旳=0,6]/2=（21,

所以期曲=后電旳=—

1:I:Z/以K,

又因為力（2，2,0）,

所以統(tǒng)"產(chǎn)己安’'員海，

8-8爐

所以如“?人,，=3_______L=________幽________=%如:―1+2/=一1+2従二

x-2V2rr-2V2gg—2口（電+防）+8①逆?+8——+816K

21+2M1+2fc-

8卜2=1

一封一一萬

所以直線4A1和厶N的斜率之積為定值一g：

（2）解:假設(shè)存在滿足題意的點P,設(shè)P（m,0）,

因為橢圓。的右焦點F（2,0）,所以2k+n=0,即有n=-2k,

所以直線，的方程為y=k（x—2）.

由｛^2^=0，可得（1+2於）弘22+8（標一1）=0,

設(shè)M（g，U3），N（g，Ui），

8k2____8(fc2-1)

則有g(shù)+g=T,X3X4一~:

l+2fc21+2k2

因為點F到直線NP的距離與點尸到直線MP的距離相等,

所以PF平分NMPN,

所以^PM+kpN=0.

?1?

Vt,ViMg-2)Mg-2)/C(X-2)(x-m)+k(x-m)(x-2)_

用J---------1------------=--------------1-------------=-------3---------4----------------3-----------4------=

x3-mx-mx3-mxA-m(a;3-m)(x4-m)

fc[2x3x4—(m+2)(g+g)+4m]_0

(x3-m)(g—TH)

又因為k>0,

所以2gg—(m+2)(x3+x4)+4m=0,

代入丄一8k2一882—1)

代入g+g=Tz/'旳叫

即有処二單二0,

l+2k2

故0軸上存在定點P(4,0),使得點F到直線NP的距離與點F到直線MP的距離相等.

題目0(2023?全國?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，厶(一2,0),R(2,0),M(-l,0),N(l,0)，點P是平

面內(nèi)的動點,且以厶R為直徑的圓。與以PM為直徑的圓Oi內(nèi)切.

(1)證明\PM\+\PN\為定值,并求點P的軌跡。的方程.

(2)過點厶的直線與軌跡。交于另一點Q(異于點B),與直線Z=2交于一點G,/QNB的角平分線與直

線式=2交于點H,是否存在常數(shù)人使得BH=4萬苕恒成立？若存在，求出4的值;若不存在，請說明理

由.

【答案】(1)證明見解析,+V*=1

(2)存在

【分析】⑴依題意可得QOJ=2—號]，連接PN,可得QOi|=，即可得至U\PM\+|PN|為定值，

根據(jù)橢圓的定義得到點P的軌跡是以“，N為焦點的橢圓，且2a=4,c=l,即可求出橢圓方程；

⑵設(shè)Q(班加)，3(2,%)，5(2,仏)，直線AQ的方程為c=S/-2(m#0),即可得到皿=丄，再聯(lián)立直線

幼

與橢圓方程，解出川,從而得到kQN,kNH,設(shè)NBNH=。，再根據(jù)二倍角的正切公式得到方程，即可得到y(tǒng)2

=4%，從而得解；

【詳解】(1)解：如圖，以A8為直徑的圓。與以PM為直徑的圓J內(nèi)切，

則…|OOi|=弓\AB」\一\PM\=2-\PM\

連接PN,因為點。和O1分別是MN和PM的中點，所以|OO]|=號".

故有f=2一號紅，即\PN\+\PM\=4,

■2?

又4>2=|MN],所以點P的軌跡是以A/,N為焦點的橢圓.

22

因為2a=4,c=l,所以h2=a2—c2=3,故。的方程為9+3~=1.

4o

理由如下：設(shè)Q（旳，物），G（2,?。?，H（2,g）.顯然劭3>0.

依題意，直線4Q不與坐標軸垂直，設(shè)直線4Q的方程為z=7ng—2（7n#0）,

因為點G在這條直線上，所以771%=4,m=

22

聯(lián)立::譽得(3m+4)y-12m?Z=0的兩根分別為譏和0,

JN十初一12,

12mc6m2—8

則浹：:―-，例=my-2=,

3m2+4Q3m2+4

1277?,

3m2+44m_4^i

所以LQN=.T，向陽=y.

力0-167n2—8_1m2—44一筑2

3m24-4

設(shè)乙BNH=夕，貝“NBNQ=2仇貝“kQN=tan2^,kNH=tan。，

所以tan26==3丁=，整理得（汕一2的）（幼的+2）=0,

1盧-ta％n~61一統(tǒng)4一婚

因為yiVi>0,所以y「2yF0,即y2=yyt.

故存在常數(shù)1=0,使得麗=ABG.

題目J（2023?全國?高三專題練習）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點軌跡的一類特殊而又及其巧

妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將C：4+￡■=l（a>b>0）由仿射

ab

變換得：/=丄，/=則橢圓4+4=1變?yōu)椴?式2=1,直線的斜率與原斜率的關(guān)系為川=白,然后

聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計算韋達定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.己知橢圓&

4+冬=13>6>0）的離心率為參，過右焦點用且垂直于立軸的直線與C相交于AB兩點且43=

ab~5

?3?

啓⑤,過橢圓外一點P作橢圓。的兩條切線小厶且厶丄厶,，切點分別為M,N.

5

⑴求證:點P的軌跡方程為x2+y2=9；

⑵若原點O到厶，厶2的距離分別為4,距延長表示距離4,d2的兩條直線,與橢圓。交于匕W兩點，過

。作OZ丄yw交YW于z,試求:點z所形成的軌跡與p所形成的軌跡的面積之差是否為定值,若是，

求出此定值;若不是，請求出變化函數(shù).

【答案】（1）證明見解析

（2）是定值，定值為號兀

【分析】（1）利用仿射變換將橢圓方程變?yōu)閳A的方程，設(shè)原斜率分別為瓦，居，鼠燈=-1,則變換后斜率k\-k'2

—7心也,設(shè)變換后坐標系動點QQo.Uo），過點Q（小劭））的直線為l：y—y（）=k（x—xQ），將圓的方程和直線

方程聯(lián)立，利用直線和圓相切結(jié)合韋達定理求解即可;

⑵由圖中的垂直關(guān)系，利用等面積法標e釦和靜+品=

Qy『+Qwf

??，結(jié)合橢圓的性質(zhì)求解即可.

|oy|2|ow|2Qw|2Qy|2

【詳解】（1）由仿射變換御：/=2?，/=￥■,則橢圓名+*=1變?yōu)閐+j/2=1

abab~

設(shè)原斜率存在分別為品，fc2,卜加2=一1,變換后為叢=生機,k：尸牛員,所以卜卜技=色*陷=—4=&-1,

b'bb2"b2

設(shè)變換后的坐標系動點Q（g,g（））,過點Q（的，窩）的直線為l:y—y（）=k（x—

l:kx—y—（fcx0—?/o）=0到原點距離為d=.吁）」=1,

Vfc%l

即（kg-%）JAr+1n（XQ—1）k~—2x（｝y（）k+y（-l—0,

由韋達定理得：總同=聾二丄=—g,化簡得：a2xt+b2y^a2+b2

視一1b2

由于原坐標系中x（）=—,y（）=J=>%=ag,g=by［｝

ab

所以在原坐標系中軌跡方程為：/+才=?2+匕2,

|e=5=噂［済=5

由（&，解得］，所以點P的軌跡方程為一+/=9,

丄=4V5匕=4

va5

當切線斜率不存在時，由橢圓方程弓—F2-=1易得P點在x1-\-y2=9上.

54

⑵如圖所示延長oy交。于N,延長ow交厶于“，

由題意可知NGPM=AOGP=4）HP=1，所以四邊形OGPH為矩形，/丫。W=1,

所以％~/。件。昨斎心岡且淅+冊=端譚齊瑞翳,

?4?

|YW|*2*84s2111

分子分母同乘|OZ『得2+2

\OW\2\OY\24|OZ|2s2QZ|2|oy|\ow\'

因為oy丄ow,當直線oy,o卬斜率存在時，設(shè)iOY-y=上巡，iow-y,

i

由十/一丄=解得點:aVMl，所以。力2=嚶普'

"a?成

,y-晩c0~rd必

償+營=1

鈕浮2附儲2a2b2aV(l+^)

由解得,.，Vw=,,,,,，所以QW|=52,「，

[y=~ixb2ki2,+a~2b~k§+a2b'k^a

,2

11〃十0竭b%+Q：a2+b2

所以2+a2fe2(l+硝+a262(l+確9,2'

|oy|\ow\|2a'b

當斜率不存在時仍成立，

所以曲=噥'磁3小心舞20

9

所以Z所形成的軌跡與P所形成的軌跡的面積之差=（9一日）兀=?兀是定值.

題目1（2023?湖南?湖南押大附中校展考模根預測）在平面直角坐標系吟/中，已知橢圓W：Z+4=1

a~b~

（a>b>0）的離心率為券，橢圓W上的點與點P（0,2）的距離的最大值為4.

（1）求橢圓W的標準方程；

（2）點3在直線c=4上，點B關(guān)于c軸的對稱點為3”直線PBP6分別交橢圓W于兩點（不同于

P點）.求證:直線CD過定點.

【答案】⑴4+￥=1

84

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)離心率可得a=V26=V2c,設(shè)點T（m,7i）結(jié)合橢圓方程整理得\TP\=

丿一（n+2）2+8+2/,根據(jù)題意分類討論求得b=2,即可得結(jié)果：

（2）設(shè)直線8及C,。的坐標，根據(jù)題意結(jié)合韋達定理分析運算，注意討論直線。。的斜率是否存在.

【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c,由橢圓W的離心率為際?，得a=，^b=2c,

22

設(shè)點T（m,n）為橢圓上一點，則衛(wèi)J+勺=1,—b&nWb,則m2=2b~—2n2,

2bb~

因為尸（0,2）,所以|7F|=（n-2）2=V2fe2-2n2+n2-4n+4=/一（++2尸+8+2/,

①當0VbV2時，|TP|m==J—（—b+2y+8+2七=4,解得b=2（舍去）;

②當b，2時，|TPQax=丿8+2b?=4,解得b=2:

綜上所述：b=2,則a=2V2,c=2,

故橢圓W的標準方程為名—F=1.

84

⑵①當CD斜率不存在時，設(shè)C（g,譏）,-2V2<gV2A/2且“W0,則。⑶,一譏），

則直線CP為g=—~~—X+2,令0=4,得9=4枷/+2,

gg

即B（4,處父■+2）,

?5?

同理可得Bi（4,-4：L8+2）

???B與B1關(guān)于/軸對稱,則4y0~8+2+一4妬一8

---4-2=0,

60

解得的=4>2V2,矛盾;

②當直線CD的斜率存在時，設(shè)直線8的方程為？=故+小，山r2,

設(shè)5為期），。（如例），其中劣110且入2、0,

y=kx+m

2

x2￡_，消去g化簡可得(2庁+1)/+4fcmx+2m-8=0,

{T+T=1

22222

△=16A;W-4(2A:+1)(2m-8)=8(8fc+4-n?)>o,則m<8/c+4,

2病一8

所以xt+x=，為旳=

21+2/？

由P(0,2),可得kpc=近2,3%三2,

C]JCO

所以直線PC的方程為g=—■—―1+2,令1=4,得沙=—―+2,

即（4,實+2）,

直線PD的方程為g=———X+2,令立=4,得夕=—―+2,

即(4,包*+2),

因為8和B關(guān)于/軸對稱，則&二9+2+也二^+2=0,

gx2

,,八、、i1、-4(kxi+m)-8入4(fcx+m)—8八八

扌巴y產(chǎn)kfxi+my=fcx+m代入上式，則--------------F2H----------2--------------1-2=0,

f22X1X-2

整理可得(1+2fc)x1x2+(m—2)(11+/2)=0,則(1+2k)x~+(m-2)x―@吟=0,

???mW2,則小一2Ho，可得(l+2k)x(m+2)-2km=0,

化簡可得小=一4k一2,

則直線CD的方程為。=k力-4k-2,即g+2=k（力-4）,

所以直線過定點（4,-2）：

綜上所述：直線CD過定點（4,-2）.

【點睛】方法定睛：過定點問題的兩大類型及解法

（1）動直線Z過定點問題.解法：設(shè)動直線方程（斜率存在）為0=kc+九由題設(shè)條件將力用k表示為力=

mk,得y=k（x+m）,故動直線過定點（―m,0）.

16,

(2)動曲線。過定點問題.解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等

于零，得出定點.

題目5(2023*M川眉山廣二校才階段練習)已知橢圓。：5+鳥=l(a>b>0)的離心率為空，短軸

ab2

長為2.

(1)求橢圓。的標準方程；

(2)點0(4,0),斜率為k的直線I不過點。，且與橢圓。交于力，B兩點，/4OO=NBDO(O為坐標原點).

直線Z是否過定點？若過定點，求出定點坐標;若不過定點，說明理由.

【答案】⑴〈+才=1：

⑵過定點，(1,0).

【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程即可解得a,b值，方程可求解；

(2)設(shè)直線/的方程為y=板+m,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理得g,g關(guān)系，又ZADO=4BDO得kAD

+晩0=0,代入坐標化簡即可求解.

26=2

【詳解】(1)由題意可得?￡=烏，解得。2=4,/=1

c2=a2-62

所以橢圓。的標準方程為+y~=1.

4

(2)設(shè)直線Z的方程為y=kx+mfA(xhy^,3(羯佻)

y=kx+m

聯(lián)立

4+y-1

整理得(4k2+l)x2+8k7nx+4m2—4=0,

則△=(8km)2-4(4k2+l)(4zn2_4)>o,即4fc2-m2+l>0

4m2—4

8km=

又X]+X2=—-----------,X\X->—--------

4fc2+l_4fc2+l

因為ZADO=ZBDO,所以kAD+kBD=0,

V\,y-2(kah+m)(旳-4)+(kg+m)(為-4)

電一4電一4(Xi-4)(X2-4)

所以2fcrg+(m—4k)(2i+g)—8m=0,

即2k?4+(m—4fc)?(——)—8m=0

4k2+1V4fc2+l>

整理得8k+8m=0,即m=—k,此時△=3fc2+l>0

則直線2的方程為沙=如一拈,故直線2過定點(1,0).

題目6(2023.內(nèi)蒙古赤峰.校取考模根預測)已知橢圓C：g+考?=：!(&>b>0)的離心率為J,且經(jīng)過點

cib2

2)，橢圓。的右頂點到拋物線E:y2=20rMp>0)的準線的距離為4.

(1)求橢圓。和拋物線E的方程；

(2)設(shè)與兩坐標軸都不垂直的直線I與拋物線E相交于力，B兩點,與橢圓。相交于M,N兩點，O為坐標

原點，若35?9=—4,則在z軸上是否存在點H,使得工軸平分4MHN?若存在，求出點H的坐標:若

不存在，請說明理由.

?7?

【答案】⑴4+需=1;婿=4刀

丄/J

⑵存在；方墻,0）

【分析】（1）依題意得到方程組，即可求出從而得到橢圓方程，再求出橢圓的右頂點，即可求出P,從

而求出拋物線方程：

⑵設(shè)直線I的方程為n=k"+m,4%％）,仍），聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，根

據(jù)OA-OB=-4得到n1=—2阮再假設(shè)在z軸上存在點”（網(wǎng),0）,使得/軸平分NMHN,則直線HM的斜

率與直線HV的斜率之和為0,設(shè)M（g,的），N（g,必），聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，由

物+"=0,即可求出竊,從而求出H的坐標；

力3一60X4—X0

【詳解】⑴解：由已知得《4+1,二Q2=12,b2=9.

a-b~

〔巒=624-C2

橢圓。的方程為需+r=1.

橢圓。的右頂點為（3,0）.

，3+/=4,解得p=2.

???拋物線E的方程為y2=4x.

（2）解：由題意知直線I的斜率存在且不為0.

設(shè)直線，的方程為y=kx+m,力（如仇）,Bl%%）,

由（“2_+='消去g,得fc2x2+（2fcm—4）rc+m2=0.

/.A]=（2km—4）2—4fc2m2=-16kni+16>0,km<1.

2

/.yiy2=(kXi+m)(kx2+rn)=k2gg+km(g+%2)+m

km(4-2km)4m

=-F—+22m=-?

：.OA-OB=電及+沙田2=簽+華1=-4?

k2k

+2)=0,~~—2.tn-—-2fc，此時km——2krV1.

'fc'k

.,.直線Z的方程為y=k(rc—2).

假設(shè)在re軸上存在點”(附0)，使得工軸平分乙MHN，

則直線的斜率與直線HV的斜率之和為0,

設(shè)M(g,y3),N(g,g),

[y=fc(.r—2)

由《支_竝一消去y,得(3/?+4)/-12k24+12/-36=0.

E+g=1

/.4=(12fc2)2-4(3fc2+4)(12fc2-36)>0,5fc2+12>0恒成立.

12k2-36

J.X:l+X4—

旳一例g一小

18,

辰*3-2)(費一的)+k(g-2)(g-%)=0.

二2旳4L(Co+2)(g+g)+4±o=0.

二攀爰一⑶+2)黑+4為=0.

；?墨善=0.解得。尸小

.?.在z軸上存在點"(3，°)，使得z軸平分NMHN.

【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓的方程以及韋達定理法在圓錐曲線綜合中的應(yīng)

用，屬于難題；在解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三

角形的面積等問題.

題目71(2023?寧夏?六疊山高載中學校考一模)已知橢圓E:5+￥=l(a>b>0)的左、右焦點分別為E，

ab-

&上頂點為5,若△EB內(nèi)為等邊三角形，且點叩用在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程：

(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點分別為厶1,42,不過坐標原點的直線，與橢圓E相交于厶、3兩點(異于橢圓E

的頂點)，直線厶4、34與夕軸的交點分別為M、N,若QN|=3|QM|,證明:直線過定點,并求該定點的

坐標.

【答案】⑴與+干=1

(2)點(1,0)或(4,0)

【分析】(1)由已知條件,橢圓的定義及a,b,c的關(guān)系可知a2=4<?和/=3。2,再設(shè)出橢圓的方程，最后將點

代入橢圓的方程即可求解；

(2)設(shè)點厶(g,仇)，B(①出")，由直線44的方程即可求出點河的坐標，由BA.,的方程即可求出點N的坐

標，由已知條件可知5(電+。2)—2]m2—8=0,分直線AB的斜率存在和直線AB的斜率不存在兩種情況

分別求解，得出直線48的方程，即可判斷出直線恒過定點的坐標.

【詳解】(1)V△片BE為等邊三角形，且BEI+田內(nèi)|=2a,

:.a=2c,

又?/a2=b2+c2,b2=3c2,

設(shè)橢圓的方程為力H—=1，

4c23c2

將點p(l,y)代入橢圓方程得擊+~~=1,解得c2=1,

所以橢圓E的方程為——F~~—1.

43

(2)由已知得4(—2,0),4(2,0),設(shè)厶(電，偽),8(孫紡),

則直線44的斜率為Tk，直線441的方程為？=一%3+2),

電+2為+2

即點河坐標為(o,3r),

\Xi+2/

直線BA；的斜率為丄7r，直線AA,的方程為y=半-2),

力2-2g—2