《勾股定理第2課時》教學(xué)設(shè)計【人教版八年級數(shù)學(xué)下冊】

7/7《勾股定理》教學(xué)設(shè)計第2課時教材分析教材分析勾股定理有廣泛應(yīng)用，本節(jié)課學(xué)習(xí)應(yīng)用勾股定理進行直角三角形的邊長計算，解決一些簡單的實際問題．教學(xué)目標教學(xué)目標能從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊之間長度的聯(lián)系，進而求出未知邊長解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想；通過勾股定理建立已知邊和未知邊之間的關(guān)系列出方程解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的方程思想.教學(xué)重難點教學(xué)重難點如何利用或構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解決問題.課前準備課前準備課件.教學(xué)過程教學(xué)過程一、知識回顧1.直角三角形的性質(zhì)如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，則∠A和∠B的關(guān)系為；a，b為直角邊，c為斜邊，三邊關(guān)系為；a，b，c，h之間的關(guān)系式為.2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三邊，則c=（已知a、b，求c）；a=（已知b、c，求a）；b=（已知a、c，求b）3.（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，則c=.（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=10，則b=.（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，則a=.設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)勾股定理，進一步復(fù)習(xí)直角三角形中三邊關(guān)系，從而為后面研究實際問題提供知識保證.二、解決實際問題例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？分析：此題可看出，木板橫著或豎著都不能通過門框，只能試試斜著能否通過.而門框?qū)蔷€AC的長度是斜著能通過的最大長度，所以求出AC，再與木板的寬進行比較，就將此實際問題轉(zhuǎn)化為已知直角三角形的兩直角邊，求斜邊的問題，利用勾股定理輕松求解.解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.∴AC=≈2.24.∵AC大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過.設(shè)計意圖：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立幾何模型，畫出幾何圖形，分析已知量、待求量，讓學(xué)生掌握解決實際問題的一般套路.例2如圖，一架2.6米長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4米．（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？分析：已知斜邊和一直角邊求另一直角邊.解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB===1；在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD===≈1.77；∴BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.答：梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端外移約0.77m.例3池塘中有一株荷花的莖長為OA，無風(fēng)時露出水面部分CA=0.4米，如果把這株荷花旁邊拉至使它的頂端A恰好到達池塘的水面B處，此時荷花頂端離原來位置的距離BC=1.2米，求這顆荷花的莖長OA．解：如圖，已知AC=0.4m，BC=1.2m，∠OCB=90°設(shè)OA=OB=x，則OC=OA-AC=(x-0.4)m在Rt△OBC中，由勾股定理可知OC2+BC2=OB2∴(x-0.4)2+1.22=x2解得，x=2答：荷花的莖長OA等于2m.設(shè)計意圖：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如果不能直接用已知線段求待求線段時，應(yīng)想到設(shè)未知數(shù)列方程，這里勾股定理是常用列方程的方法.練習(xí)1如圖，一棵樹被臺風(fēng)吹折斷后，樹頂端落在離底端3米處，測得折斷后長的一截比短的一截長1米，你能計算樹折斷前的高度嗎？解：根據(jù)題意畫出圖形，已知∠ACB=90°，AC=3，AB-BC=1.設(shè)BC=x，則AB=BC+1=x+1.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AC2+BC2=AB2∴32+x2=(x+1)2解得，x=4.∴AB+BC=3+5=8m.答：樹折斷前的高度為8m.【點撥】此題中能將實際問題的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵.例4科技改變生活，手機導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離．解：過B點作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，∵∠BAD=60°，∴∠ABD=90°-∠BAD=30°，∴AD=AB=2km.∴BD==km.在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，∴CD=BD=km.∴BC==km.答：B，C兩地的距離為km.練習(xí)2如圖所示，兩艘貨船分別從點A出發(fā)離開碼頭，甲船以16海里/時的速度向北偏東60o的方向行駛，乙船以12海里/時的速度向南偏東30o的方向行駛，若兩船同時出發(fā)，2小時后兩船相距多遠？解：根據(jù)題意可得∠BAC=90o，AB=16ｘ2=32海里，AC=12ｘ2=24海里，根據(jù)勾股定理可得BC===40.∴2小時后兩船相距40海里.例5如圖所示，C城市在A城市正東方向，現(xiàn)計劃在A、C兩城市間修建一條高速公路（即線段AC），經(jīng)測量，森林保護區(qū)的中心P在A城市的北偏東60°方向上，在線段AC上距A城市120km的B處測得P在北偏東30°方向上，已知森林保護區(qū)是以點P為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域，請問計劃修建的這條高速公路是否穿越保護區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)≈1.73）

【分析】此題中，過P點作AB的垂線，由垂線段最短可知，P點是直線AB上所有點的連線中DP最短，也就是公路上D點離P最近，如果此時DP＜100km，則D點在保護區(qū)內(nèi)，即公路穿越了保護區(qū)；反之，則不會穿越保護區(qū).解：公路不會穿越保護區(qū)，理由如下：過P作PD⊥AC于D，在Rt△BDP中，∵∠PBD=60°，∴∠BPD=90°-∠PBD=30°，∴PB=2BD，設(shè)BD=x，則PB=2x，∴PD==x.∵∠PBD=∠A+∠APB，∴∠APB=∠PBD-∠A=30°，∴∠A=∠APB，∴PB=AB=120km，∴2x=120解得，x=60.∴PD=x=60≈103.8km＞100km.∴這條公路不會穿過保護區(qū).練習(xí)3如圖，一幢居民樓與馬路平行且相距9米，在距離載重汽車41米處（圖中B點位置）就會受到噪音影響，試求在馬路上以4米/秒速度行駛的載重汽車，給這幢居民樓帶來多長時間的噪音影響？若影響時間超過25秒，則此路禁止該車通行，那么載重汽車可以在這條路上通行嗎？

解：如圖，過點A作AC⊥BD于點C，

∵由題意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，

∴Rt△ACB中，BC==40m，

∵AB=AD，AC⊥