非平穩(wěn)時(shí)間序列模型

關(guān)于非平穩(wěn)時(shí)間序列模型引言：前面我們討論的是平穩(wěn)時(shí)間序列的建模和預(yù)測方法，即所討論的時(shí)間序列都是寬平穩(wěn)的。一個(gè)寬平穩(wěn)的時(shí)間序列的均值和方差都是常數(shù)，并且它的協(xié)方差有時(shí)間上的不變性。但是許多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域產(chǎn)生的時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的，非平穩(wěn)時(shí)間序列會(huì)出現(xiàn)各種情形，如它們具有非常數(shù)的均值μt，或非常數(shù)的二階矩，如非常數(shù)方差σt2，或同時(shí)具有這兩種情形的非平穩(wěn)序列。(長期趨勢(shì)、季節(jié)性變化)第2頁,共127頁，2024年2月25日，星期天例1①美國1961年1月至1985年12月16—19歲女性失業(yè)人數(shù)的月度序列如圖所示：顯然，均值水平是隨時(shí)間改變的.第3頁,共127頁，2024年2月25日，星期天②美國1871年至1979年的年度煙草生產(chǎn)量序列如圖所示：均值水平是隨時(shí)間改變的，同時(shí)方差也隨均值水平的增長而增長.第4頁,共127頁，2024年2月25日，星期天③某地1987年至1996年某商品月銷售量序列如圖所示：該序列的季節(jié)特征是明顯的，季節(jié)周期為12.第5頁,共127頁，2024年2月25日，星期天※非平穩(wěn)過程※

ARIMA模型5.1ARIMA模型※

ARIMA模型的建立※

疏系數(shù)模型※非平穩(wěn)性的檢驗(yàn)第6頁,共127頁，2024年2月25日，星期天一非平穩(wěn)過程（一）平穩(wěn)過程與非平穩(wěn)過程的差異1、從統(tǒng)計(jì)屬性看平穩(wěn)時(shí)間序列具有如下特性：（1）具有常定均值，序列圍繞在均值周圍波動(dòng)；（2）方差和自協(xié)方差具有時(shí)間不變性；（3）理論上，序列自相關(guān)函數(shù)隨滯后階數(shù)的增加而衰減.第7頁,共127頁，2024年2月25日，星期天非平穩(wěn)時(shí)間序列不具有上述特性：（1）或者不具有常定的長期均值；（2）或者方差和自協(xié)方差不具有時(shí)間不變性；（3）理論上，序列自相關(guān)函數(shù)不隨滯后階數(shù)的增加而衰減.第8頁,共127頁，2024年2月25日，星期天考慮如下例子：第9頁,共127頁，2024年2月25日，星期天2、從圖像特征看（1）平穩(wěn)過程的時(shí)序圖沒有明顯的趨勢(shì)性與周期性：序列的振動(dòng)是短暫的，經(jīng)過一段時(shí)間以后，振動(dòng)的影響會(huì)消失，序列將會(huì)回到其長期均值水平；在不同時(shí)刻或時(shí)段，序列偏離均值的程度基本相同.非平穩(wěn)過程可觀察出明顯的趨勢(shì)性與周期性.第10頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

第11頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（2）平穩(wěn)過程的ACF與PACF呈指數(shù)（或阻尼正弦波）衰減或截尾.非平穩(wěn)過程的ACF一般呈線性緩慢衰減，PACF一般呈截尾.第13頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共127頁，2024年2月25日，星期天3、從建模要求看平穩(wěn)序列具有許多優(yōu)良性質(zhì)，一般可滿足建模的各種要求，諸如參數(shù)估計(jì)、模型檢驗(yàn)等，傳統(tǒng)方法均能獲得良好效果.非平穩(wěn)序列，因不滿足若干統(tǒng)計(jì)分析方法的基本假定，傳統(tǒng)方法不再適用.第15頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（二）均值非平穩(wěn)過程1、均值非平穩(wěn)的表現(xiàn)（1）均值非平穩(wěn)是指序列均值隨時(shí)間的變化而變化，是時(shí)間的函數(shù)，從而導(dǎo)致序列呈現(xiàn)某種時(shí)間趨勢(shì).（2）時(shí)間趨勢(shì)依其內(nèi)在屬性，分為確定性時(shí)間趨勢(shì)和隨機(jī)性時(shí)間趨勢(shì).（3）對(duì)均值非平穩(wěn)進(jìn)行分析的首要工作是：由單個(gè)樣本實(shí)現(xiàn)來構(gòu)造均值函數(shù)，以刻畫相應(yīng)的時(shí)間依賴現(xiàn)象.第16頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

2、均值非平穩(wěn)過程的描述（1）確定性趨勢(shì)模型—刻畫確定性時(shí)間趨勢(shì)（2）隨機(jī)趨勢(shì)模型—刻畫隨機(jī)性時(shí)間趨勢(shì)

確定性趨勢(shì)模型當(dāng)非平穩(wěn)過程均值函數(shù)可由一個(gè)特定的時(shí)間趨勢(shì)表示時(shí)，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的回歸模型曲線可用來描述這種現(xiàn)象。第17頁,共127頁，2024年2月25日，星期天☆思路將非平穩(wěn)過程的均值函數(shù)用一個(gè)時(shí)間的確定性函數(shù)來描述.☆模型表達(dá)式第18頁,共127頁，2024年2月25日，星期天＊數(shù)字特征因此，稱均值的這種趨勢(shì)為確定性趨勢(shì).為平穩(wěn)過程的方差。綜上，具有確定性趨勢(shì)的其均值為確定性函數(shù)，方差為常數(shù).為平穩(wěn)過程的方差。第19頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

此外，均值函數(shù)還可能是指數(shù)函數(shù)、正弦—余弦波函數(shù)等，這些模型都可以通過標(biāo)準(zhǔn)的回歸分析處理。處理方法是先擬合出μt的具體形式，然后對(duì)殘差序列yt={xt－μt}按平穩(wěn)過程進(jìn)行分析和建模。第21頁,共127頁，2024年2月25日，星期天☆

趨勢(shì)平穩(wěn)過程若一均值非平穩(wěn)過程可由模型（1）刻畫，則稱此過程為趨勢(shì)平穩(wěn)過程.

＊趨勢(shì)平穩(wěn)過程由確定性時(shí)間趨勢(shì)所主導(dǎo)；＊對(duì)于趨勢(shì)平穩(wěn)過程，應(yīng)選用退勢(shì)的方法獲得平穩(wěn)過程；＊趨勢(shì)平穩(wěn)過程的差分過程是過度差分過程；第22頁,共127頁，2024年2月25日，星期天＊對(duì)于趨勢(shì)平穩(wěn)過程，隨機(jī)沖擊只具有有限記憶能力，其影響會(huì)很快消失，由其引起的對(duì)趨勢(shì)的偏離只是暫時(shí)的；（旋轉(zhuǎn)）＊對(duì)于趨勢(shì)平穩(wěn)過程，只要正確估計(jì)出其確定性趨勢(shì)，即可實(shí)現(xiàn)長期趨勢(shì)與平穩(wěn)波動(dòng)部分的分離。第23頁,共127頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)趨勢(shì)模型隨機(jī)趨勢(shì)模型又稱齊次非平ARMA模型。為理解齊次非平穩(wěn)ARMA模型，可先對(duì)ARMA模型的性質(zhì)作一回顧。第24頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

可見我們所能分析處理的僅是一些特殊的非平穩(wěn)序列，即齊次非平穩(wěn)序列。由于齊次非平穩(wěn)序列模型恰有d個(gè)特征根在單位圓上，即有d個(gè)單位根，因此齊次非平穩(wěn)序列又稱單位根過程?！钏悸窂腁RMA

模型的參數(shù)不滿足平穩(wěn)性條件入手.第27頁,共127頁，2024年2月25日，星期天例2對(duì)于過程從其參數(shù)的不同取值范圍討論過程的屬性.☆齊次非平穩(wěn)過程（差分平穩(wěn)過程）通過一次或多次差分即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)過程的序列，差分次數(shù)即為齊次的階數(shù).例3考察過程有漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走過程.（隨機(jī)游走）第28頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（1）對(duì)過程進(jìn)行一階差分后，為平穩(wěn)序列——稱該過程為差分平穩(wěn)過程；（2）輔助方程，令，得，有一單位根，該過程又稱為單位根過程.（3）對(duì)不斷向后迭代，可得第29頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（4）自相關(guān)函數(shù)第30頁,共127頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列

第31頁,共127頁，2024年2月25日，星期天◆對(duì)于差分平穩(wěn)過程，每個(gè)隨機(jī)沖擊都具有長記憶性，方差趨于無窮，從而其均值毫無意義.

◆服從趨勢(shì)平穩(wěn)的時(shí)間序列與服從差分平穩(wěn)的時(shí)間序列在圖形上非常相似.

◆區(qū)分趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)的主要方法——單位根檢驗(yàn)法.第32頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共127頁，2024年2月25日，星期天退勢(shì)平穩(wěn)序列差分平穩(wěn)序列第35頁,共127頁，2024年2月25日，星期天對(duì)數(shù)的中國國民收入序列，近似于隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列和退勢(shì)平穩(wěn)序列.第36頁,共127頁，2024年2月25日，星期天中國人口序列，近似于確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)序列.第37頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

平穩(wěn)化方法確定性趨勢(shì)的消除，可采取退勢(shì)方法獲得平穩(wěn)過程。對(duì)于非確定趨勢(shì)，由于它是一個(gè)慢慢的向上或向下漂移的過程，要判斷這種序列的趨勢(shì)是隨機(jī)性還是確定性的十分困難，采取差分消除趨勢(shì)，效果很好。（回憶查分運(yùn)算、解釋平穩(wěn)化原因）第38頁,共127頁，2024年2月25日，星期天二、非平穩(wěn)性的檢驗(yàn)（一）、通過時(shí)間序列的趨勢(shì)圖來判斷（二）、通過自相關(guān)函數(shù)(ACF)判斷（三）、單位根檢驗(yàn)第39頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（一）通過時(shí)間序列的趨勢(shì)圖來判斷這種方法通過觀察時(shí)間序列的趨勢(shì)圖來判斷時(shí)間序列是否存在趨勢(shì)性或周期性。優(yōu)點(diǎn)：簡便、直觀。對(duì)于那些明顯為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，可以采用這種方法。缺點(diǎn)：對(duì)于一般的時(shí)間序列是否平穩(wěn)，不易用這種方法判斷出來。第40頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（二）通過自相關(guān)函數(shù)(ACF)判斷

平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我們可以根據(jù)這個(gè)特性來判斷時(shí)間序列是否為平穩(wěn)序列。

若時(shí)間序列具有上升或下降的趨勢(shì)，那么對(duì)于所有短期的滯后來說，自相關(guān)系數(shù)大且為正，而且隨著時(shí)滯k的增加而緩慢地下降。（三）單位根檢驗(yàn)(Unitroottest)第41頁,共127頁，2024年2月25日，星期天單位根檢驗(yàn)定義通過檢驗(yàn)特征根是在單位圓內(nèi)還是單位圓上（外），來檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性方法DF檢驗(yàn)ADF檢驗(yàn)PP檢驗(yàn)第42頁,共127頁，2024年2月25日，星期天DF檢驗(yàn)DF檢驗(yàn)是Dickey和Fuller（1976）提出的單位根檢驗(yàn)方法。DF檢驗(yàn)有三種形式：1、2、3、第43頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第一種形式

或

原假設(shè)相當(dāng)于認(rèn)為序列有一個(gè)單位根，備則假設(shè)認(rèn)為序列是一個(gè)平穩(wěn)的一階自回歸序列。第44頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第二種形式

或

原假設(shè)相當(dāng)于認(rèn)為序列是一隨機(jī)游走序列，而備則假設(shè)認(rèn)為序列是一個(gè)帶有漂移項(xiàng)平穩(wěn)序列。第45頁,共127頁，2024年2月25日，星期天第三種形式

或

原假設(shè)相當(dāng)于認(rèn)為序列是一個(gè)帶有漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走序列，而備則假設(shè)認(rèn)為序列是一個(gè)退勢(shì)平穩(wěn)序列。第46頁,共127頁，2024年2月25日，星期天ADF檢驗(yàn)ADF檢驗(yàn)亦稱增廣（Augmented）DF檢驗(yàn)，是Dickey和Fuller提出的改進(jìn)DF檢驗(yàn)方法。DF檢驗(yàn)有三種形式：1、2、3、第47頁,共127頁，2024年2月25日，星期天關(guān)于ADF（DF）檢驗(yàn)的兩點(diǎn)說明1、當(dāng)被檢驗(yàn)序列接近含有單位根但實(shí)為平穩(wěn)過程時(shí)，在有限樣本，特別是小樣本條件下的單位根檢驗(yàn)結(jié)果容易接受原假設(shè)，識(shí)別為單位根過程，即檢驗(yàn)功效降低。2、應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)被檢驗(yàn)過程含有未發(fā)現(xiàn)的突變點(diǎn)時(shí)，常導(dǎo)致單位根檢驗(yàn)易于接受原假設(shè)。第48頁,共127頁，2024年2月25日，星期天三ARIMA模型（一）一般ARIMA模型1、使用場合差分平穩(wěn)序列擬合2、模型結(jié)構(gòu)第49頁,共127頁，2024年2月25日，星期天在ARIMA(p,dq)模型中，若p=0，則該模型也稱為求和階數(shù)為(d,q)的滑動(dòng)平均模型，簡記為IMA(d,q)；若q=0，則該模型也稱為求和階數(shù)為(p,d)的自回歸模型，簡記為ARI(p,d)。第50頁,共127頁，2024年2月25日，星期天在ARIMA(p,d,q)模型的一般形式中，還包含了一個(gè)θ0項(xiàng)，它在當(dāng)d=0和d≠0時(shí)所起的作用是非常不同的。當(dāng)d=0時(shí)，原過程是平穩(wěn)的當(dāng)d≥1時(shí)，θ0被稱為確定趨勢(shì)項(xiàng)。在一般的討論中，常將θ0項(xiàng)略去。第51頁,共127頁，2024年2月25日，星期天3、ARIMA模型的性質(zhì)平穩(wěn)性：ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個(gè)自回歸輔助方程的根，其中p個(gè)在單位圓外，d個(gè)在單位圓上.所以當(dāng)時(shí)ARIMA(p,d,q)模型非平穩(wěn).第52頁,共127頁，2024年2月25日，星期天ARIMA模型的方差齊性時(shí)，原序列方差非齊性1階差分后，差分后序列方差齊性第53頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（二）特殊ARIMA模型1、ARIMA(0,1,1)模型3、ARIMA(1,1,1)模型2、ARIMA(1,1,0)模型4、ARIMA(0,1,0)模型第54頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（三）單整序列★如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)；★

一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d

階單整（integratedofd）序列，記為I(d)；★

I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列；第55頁,共127頁，2024年2月25日，星期天★

無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的時(shí)間序列.稱為非單整的（non-integrated）；★

I(0)過程與I(1)過程的特性有本質(zhì)差別.第56頁,共127頁，2024年2月25日，星期天四ARIMA模型的建立

ARIMA模型的建立①判斷序列的非平穩(wěn)性；②識(shí)別差分階數(shù)；③

對(duì)差分序列建立ARMA模型；④對(duì)原序列建立ARIMA模型.第57頁,共127頁，2024年2月25日，星期天ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)差分運(yùn)算YN白噪聲檢驗(yàn)Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型第58頁,共127頁，2024年2月25日，星期天差分階數(shù)的判定

※數(shù)據(jù)背景

※

數(shù)據(jù)圖

※ACF、PACF識(shí)別法

※差分序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)法第59頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

注★差分階數(shù)不宜過高，否則會(huì)導(dǎo)致SACF產(chǎn)生明顯的震蕩起伏(差分后可考察數(shù)據(jù)動(dòng)蕩范圍)；★

由低階開始，初步估計(jì)出d，擬合模型并檢驗(yàn)，接受模型，則d適合；否則，用更高階d對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行ARIMA擬合，直至確定出適當(dāng)?shù)膁；★

現(xiàn)實(shí)中，各經(jīng)濟(jì)序列一般通過低階差分(d=1,2)即可達(dá)到平穩(wěn)(B-J)；第60頁,共127頁，2024年2月25日，星期天★（李子奈）現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如一些價(jià)格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整；3)大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的.第61頁,共127頁，2024年2月25日，星期天五疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動(dòng)平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個(gè)獨(dú)立的未知系數(shù)：如果該模型中有部分自回歸系數(shù)或部分移動(dòng)平均系數(shù)為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型.第62頁,共127頁，2024年2月25日，星期天如果只是自回歸部分有缺省系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為為非零自回歸系數(shù)的階數(shù)如果只是移動(dòng)平均部分有缺省系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為為非零移動(dòng)平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動(dòng)平滑部分都有缺省，可以簡記為第63頁,共127頁，2024年2月25日，星期天5.2季節(jié)模型※季節(jié)時(shí)間序列的特征※季節(jié)時(shí)間序列模型※季節(jié)模型的建立第64頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（一）季節(jié)時(shí)間序列1、一個(gè)時(shí)間序列，若經(jīng)過s個(gè)時(shí)間間隔后呈現(xiàn)出相似的特征，稱該序列為季節(jié)時(shí)間序列，周期為s.一

季節(jié)時(shí)間序列的特征2、季節(jié)時(shí)間序列按周期的重新排列列一個(gè)矩陣式二維表，將每一周期內(nèi)相同周期點(diǎn)的值列在同一列上.第65頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

周期點(diǎn)周期1234….s1X1X2X3X4…Xs2Xs+1Xs+2Xs+3Xs+4…X2s….…nX(n-1)s+1X(n-1)s+2X(n-1)s+3X(n-1)s+4….Xns第66頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（二）季節(jié)時(shí)間序列的特征

重要特征表現(xiàn)為周期性：在一個(gè)序列中，如果經(jīng)過S個(gè)時(shí)間間隔后觀測點(diǎn)呈現(xiàn)出相似性——該序列具有以S為周期的周期特性。第67頁,共127頁，2024年2月25日，星期天二季節(jié)時(shí)間序列模型（一）隨機(jī)季節(jié)模型1、隨機(jī)季節(jié)模型：對(duì)季節(jié)時(shí)間序列中，不同周期的同一周期點(diǎn)之間的相關(guān)性的擬合。2、（1）設(shè)周期為s.Xt、Xt-s、Xt-2s….等可能適合三類模型中的任何一種.前提條件是它們是平穩(wěn)序列.若不平穩(wěn),進(jìn)行季節(jié)差分.第68頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（2）D階季節(jié)差分

sXt=Xt-Xt-s=（1-Bs)Xt

sDXt=（1-Bs)dXt

s2Xt=(1-Bs)2Xt=(1-2Bs+B2s)Xt

Xt=Xt-Xt-1

sXt=Xt-Xt-s

aD:a:相減的時(shí)期D:差分的階數(shù)第69頁,共127頁，2024年2月25日，星期天設(shè)

sDXt=Wt

，則sDXt-s=Wt-s

若Wt適合AR(1)以D=1為例，若Wt適合MA(1)

若Wt適合ARMA(1,1)

第70頁,共127頁，2024年2月25日，星期天更一般的情形，季節(jié)性的SARIMA為其中分別稱為：k階季節(jié)自回歸多項(xiàng)式m階季節(jié)移動(dòng)平均多項(xiàng)式

第71頁,共127頁，2024年2月25日，星期天3、（1）模型將序列不同周期上的相同周期點(diǎn)之間的關(guān)系表示出來，但是沒有反映同一周期內(nèi)不同周期點(diǎn)之間的關(guān)系.（2）序列可能還存在長期趨勢(shì)，相同周期的不同周期點(diǎn)之間可能也有一定的相關(guān)性，所以，模型可能有一定的擬合不足。第72頁,共127頁，2024年2月25日，星期天使用場合序列的季節(jié)效應(yīng)、長期趨勢(shì)效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系.構(gòu)造原理短期相關(guān)性用低階ARIMA(p,d,q)模型提取季節(jié)相關(guān)性用以周期步長S為單位的ARIMA(k,D,m)模型提取假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系（二）乘積季節(jié)模型第73頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

1、乘積季節(jié)模型的一般形式

可能是平穩(wěn)的，也可能是非平穩(wěn)的，不妨設(shè)一般情況，

適合ARIMA（p，d，q）第74頁,共127頁，2024年2月25日，星期天若

適合，而

又適合在前式兩邊同乘得：第75頁,共127頁，2024年2月25日，星期天其中：（1）式稱為乘積季節(jié)模型，記為第76頁,共127頁，2024年2月25日，星期天常見的乘積季節(jié)模型（s=12）1、(1-B)(1-B12)Xt=(1-1B)(1-12B12)at它是由兩個(gè)模型組成的。（1）(1-B12)Xt=(1-12B12)et（2）et-et-1=(1-B)et=at-

1at-1=(1-1B)at在（1）兩端同乘（1-B）得：第77頁,共127頁，2024年2月25日，星期天(1-B)(1-B12)Xt=(1-12B12)(1-B)et

=(1-12B12)(1-1B)at(Xt-Xt-12)–(Xt-1-Xt-13)=(at-12at-12)-1(at-1-12at-13)2、(1-B12)Xt=(1-1B)(1-12B12)at(1)(1-B12)Xt=(1-12B12)et

Xt、Xt-12、Xt-24….是非平穩(wěn)的，有趨勢(shì)，差分后平穩(wěn)，適合MA(1)模型.(2)et是平穩(wěn)序列，適合MA(1)，第78頁,共127頁，2024年2月25日，星期天et=at-

1at-1=(1-1B)at代入（1）得：(1-B12)Xt=(1-12B12)et=(1-12B12)(1-1B)at=(at-12at-12)-1(at-1-12at-12)

第79頁,共127頁，2024年2月25日，星期天3、(1-1B)(1-B12)Xt=(1-12B12)at(1)(1-B12)Xt=(1-12B12)et(2)et是平穩(wěn)序列，適合AR(1)，et=1et-1+at，即(1-1B)et=at(1)兩邊同乘(1-1B)得：(1-1B)(1-B12)Xt

=(1-1B)(1-12B12)et

=(1-12B12)at(Xt-Xt-12)-1(Xt-1-Xt-13)=at-12at-12第80頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

與ARMA模型類似，季節(jié)模型的識(shí)別、定階、參數(shù)估計(jì)、適應(yīng)性檢驗(yàn)基本上是以隨機(jī)序列的樣本自相關(guān)與偏自相關(guān)為依據(jù)的.三

季節(jié)模型的建立第81頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

季節(jié)模型的建立①判明序列的周期性；②識(shí)別差分的階數(shù)；③識(shí)別季節(jié)差分的階數(shù)；④對(duì)差分序列建立ARMA模型；⑤對(duì)原序列建立季節(jié)模型.第82頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

季節(jié)模型建模要點(diǎn)①模型識(shí)別要點(diǎn)：

原始序列圖是判定季節(jié)特征的有力工具；

周期的確定更傾向于依賴數(shù)據(jù)的實(shí)際背景；

若SACF與SPACF既不拖尾也不截尾，且不呈線性衰減；而是在相應(yīng)于周期的整數(shù)倍點(diǎn)上，出現(xiàn)絕對(duì)值相當(dāng)大的峰值并呈現(xiàn)振蕩變化，則可判定序列適合季節(jié)模型.第83頁,共127頁，2024年2月25日，星期天②階數(shù)判定要點(diǎn)：

差分與季節(jié)差分階數(shù)d、D的選取，可采用試探的方法，一般宜較低階（如1、2、3階）.對(duì)于某一組d、D，計(jì)算差分后序列的SACF與SPACF，若呈現(xiàn)較好的截尾或拖尾性，則d、D適宜.此時(shí)若增大d、D，相應(yīng)SACF與SPACF會(huì)呈現(xiàn)離散增大及不穩(wěn)定狀態(tài)；

通常D不會(huì)超過1階，特別對(duì)S=12的月份數(shù)據(jù)（B-J）；

季節(jié)模型應(yīng)慎重使用，特別序列長度不夠理想時(shí)（B-J）.第84頁,共127頁，2024年2月25日，星期天

季節(jié)差分后序列ACF、PACF特征（1）若季節(jié)差分后序列適合MA模型:S=12Xt-Xt-12=(1-

12B12)et=(1-

1B)(1-

12B12)at=at-

1at-1-12at-12+1

12at-12-1季節(jié)差分后，適應(yīng)MA(13)，其中

i=0（i=2,3,…,11）,ACF截尾（k=1,11,12,13不為零，其余顯著為零），PACF拖尾.第85頁,共127頁，2024年2月25日，星期天（2）季節(jié)差分后適應(yīng)AR模型:(1-1B)(1-B12)Xt=at(1-1B)(Xt

–Xt-12)=atXt-Xt-12=1Xt-1-

1Xt-13+atACF拖尾，PACF截尾.第86頁,共127頁，2024年2月25日，星期天例11962—1975年奶牛月產(chǎn)奶量（P244）例21997.1—2003.8到北京海外旅游人數(shù)第87頁,共127頁，2024年2月25日，星期天5.3殘差自回歸模型※模型結(jié)構(gòu)※殘差自相關(guān)檢驗(yàn)第88頁,共127頁，2024年2月25日，星期天一模型結(jié)構(gòu)1、構(gòu)造思想首先通過確定性因素分解方法提取序列中主要的確定性信息然后對(duì)殘差序列擬合自回歸模型，以便充分提取相關(guān)信息

第89頁,共127頁，2024年2月25日，星期天2、Auto-Regressive模型結(jié)構(gòu)第90頁,共127頁，2024年2月25日，星期天3、對(duì)趨勢(shì)效應(yīng)的常用擬合方法自變量為時(shí)間t的冪函數(shù)自變量為歷史觀察值第91頁,共127頁，2024年2月25日，星期天4、對(duì)季節(jié)效應(yīng)的常用擬合方法給定季節(jié)指數(shù)建立季節(jié)自回歸模型第92頁,共127頁，2024年2月25日，星期天例1使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中國農(nóng)業(yè)實(shí)際國民收入指數(shù)序列。時(shí)序圖顯示該序列有顯著的線性遞增趨勢(shì)，但沒有季節(jié)效應(yīng)，所以考慮建立如下結(jié)構(gòu)的Auto-Regressive模型第93頁,共127頁，2024年2月25日，星期天趨勢(shì)擬合方法一：變量為時(shí)間t的冪函數(shù)方法二：變量為一階延遲序列值第94頁,共127頁，2024年2月25日，星期天趨勢(shì)擬合效果圖第95頁,共127頁，2024年2月25日，星期天二、殘差自相關(guān)檢驗(yàn)1、檢驗(yàn)原理回歸模型擬合充分，殘差的性質(zhì)回歸模型擬合得不充分，殘差的性質(zhì)第96頁,共127頁，2024年2月25日，星期天2、Durbin-Waston檢驗(yàn)（DW檢驗(yàn)）假設(shè)條件原假設(shè)：殘差序列不存在一階自相關(guān)性備擇假設(shè)：殘差序列存在一階自相關(guān)性第97頁,共127頁，2024年2月25日，星期天DW統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量DW統(tǒng)計(jì)量和自相關(guān)系數(shù)的關(guān)系(大樣本下)第98頁,共127頁，2024年2月25日，星期天DW統(tǒng)計(jì)量的判定結(jié)果正相關(guān)相關(guān)性待定不相關(guān)相關(guān)性待定負(fù)相關(guān)042第99頁,共127頁，2024年2月25日，星期天例1續(xù)檢驗(yàn)第一個(gè)確定性趨勢(shì)模型殘差序列的自相關(guān)性。第100頁,共127頁，2024年2月25日，星期天例1續(xù)檢驗(yàn)第二個(gè)確定性趨勢(shì)模型殘差序列的自相關(guān)性。第101頁,共127頁，2024年2月25日，星期天Durbinh檢驗(yàn)DW統(tǒng)計(jì)量的缺陷當(dāng)回歸因子包含延遲因變量時(shí)，殘差序列的DW統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)有偏統(tǒng)計(jì)量。在這種場合下使用DW統(tǒng)計(jì)量容易產(chǎn)生殘差序列正自相關(guān)性不顯著的誤判Durbinh檢驗(yàn)第102頁,共127頁，2024年2月25日，星期天殘差序列擬合確定自回歸模型的階數(shù)參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)第103頁,共127頁，2024年2月25日，星期天例1續(xù)擬合三個(gè)模型1、ARIMA(0,1,1)模型2、ARIMA(1,1,0)模型3、確定性趨勢(shì)模型第104頁,共127頁，2024年2月25日，星期天殘差序列自相關(guān)圖第105頁,共127頁，2024年2月25日，星期天殘差序列偏自相關(guān)圖第106頁,共127頁，2024年2月25日，星期天模型擬合定階AR(2)參數(shù)估計(jì)方法極大似然估計(jì)最終擬合模型口徑第107頁,共127頁，2024年2月25日，星期天例1第二個(gè)Auto－Regressive模型的擬合結(jié)果第108頁,共127頁，2024年2月25日，星期天三個(gè)擬合模型的比較模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：6.8702426.914229ARIMA(1,1,0)模型：6.93566.9801Auto－Regressive模型一：6.893758

6.982635

第109頁,共127頁，2024年2月25日，星期天四、條件異方差模型ARCH模型GARC