數(shù)學(xué)必修四復(fù)習(xí)提綱

第二講平面向量★知識梳理一、根本概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量〔注意向量和數(shù)量的區(qū)別〕2、零向量：長度為0的向量，記作：〔注意零向量的方向是任意的〕3、單位向量：長度為1的向量提醒：1〕假設(shè)是單位向量，那么2〕與共線的單位向量是)4、相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量〔〕5、平行向量〔也叫共線向量〕：方向相同或相反的非零向量，記作：∥〔規(guī)定：〕提醒：1〕相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；2〕兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量所在直線重合,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；3〕平行向量不滿足傳遞性〔因為有)；6、相反向量：長度相等方向相反的向量〔〕二、向量的表示：1、幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后〔注意向量不能說就是有向線段，有向線段也不能說是向量〕2、字母表示：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；3、坐標表示：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，那么平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。〔如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同〕三、平面向量根本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使基底：任意不共線的兩個向量稱為一組基底〔平面內(nèi)的基底有無數(shù)組〕四、向量的運算：1、幾何運算：1〕向量加法：“平行四邊形法那么”：共起點，連對角線〔只適用于不共線的向量〕“三角形法那么”：尾首相接，連首尾〔設(shè)，那么向量叫做與的和，〕特殊地，假設(shè)，2〕向量減法：“三角形法那么”：共起點，連終點，后到前〔設(shè)，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同〕3〕向量數(shù)乘：幾何意義：將的長度擴大〔或縮小〕倍，改變〔或不改變〕的方向，就得到了長度和方向規(guī)定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，提醒：線性運算(加法、減法、數(shù)乘)的結(jié)果還是向量4〕數(shù)量積：①兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，〔當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，〕②在上的投影：〔它是一個實數(shù)，不一定大于0〕③平面向量的數(shù)量積〔或內(nèi)積〕：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，那么(規(guī)定：〕〔注意數(shù)量積結(jié)果是一個實數(shù)，不再是一個向量〕④的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積⑤向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，，其夾角為，那么：〔特別地，〕2、坐標運算：設(shè)，那么：①向量的加減法：，②數(shù)乘：③假設(shè)，那么，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。④數(shù)量積：〔坐標對應(yīng)相乘相加〕3、向量的運算律：〔1〕交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；〔3〕分配律：，。4、向量運算的常見應(yīng)用：1〕向量的模：或2〕兩點間的距離公式：假設(shè)，那么3〕非零向量，夾角的計算公式：4〕向量平行(共線)：〔坐標交叉相乘相減等于0〕5〕向量垂直：設(shè)兩個非零向量，，〔坐標對應(yīng)相乘相加等于0〕提醒：五、向量的一些常用結(jié)論：1、不等關(guān)系：1〕設(shè)兩個非零向量，，當且僅當，時取等號〔其中=〕2〕如果，那么當且僅當，時取等號3〕同向或有反向或有；不共線2、線段的定比分點：1〕定比分點的概念：設(shè)點P是直線PP上異于P、P的任意一點，假設(shè)存在一個實數(shù)，使，那么叫做點P分有向線段所成的比，P點叫做有向線段的以定比為的定比分點；2〕的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當P點在線段PP上時>0；當P點在線段PP的延長線上時<－1；當P點在線段PP的延長線上時；3〕線段的定比分點公式：①向量表示：假設(shè)P分有向線段所成的比為，點為平面內(nèi)的任一點，那么，②坐標表示：設(shè)、，分有向線段所成的比為，那么，〔在使用定比分點的坐標公式時，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比〕特別地，為線段的中點4〕點為平面內(nèi)的任一點，假設(shè)該平面內(nèi)三點共線存在實數(shù)使得且.3、三角形四心的表示1〕重心〔三角形三邊上中線的交點〕：把中線分成2:1①向量表示O為△ABC所在平面的一點，O是△ABC的重心②坐標表示：在中，假設(shè)，那么其重心的坐標2〕垂心〔三角形三條高的交點〕：O為△ABC所在平面的一點，O是△ABC的垂心3〕外心〔三角形三邊的中垂線的交點〕：O為△ABC所在平面的一點，O是△ABC的外心4〕內(nèi)心〔三角形三條角平分線的交點〕：O為△ABC所在平面的一點，假設(shè)點O滿足：①，②③O是△ABC的內(nèi)心★考點題型及相關(guān)練習(xí)考點1：向量及與向量相關(guān)的根本概念題型1：概念判析【例1】判斷以下各命題是否正確(1)零向量沒有方向(2)假設(shè)(3)單位向量都相等(4)向量就是有向線段(5)兩相等向量假設(shè)共起點,那么終點也相同(6)假設(shè)，，那么；(7)假設(shè)，，那么(8)假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形,那么(9)的充要條件是且；【解題思路】正確理解向量的有關(guān)概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明?！窘馕觥?1)不正確，零向量方向任意,(2)不正確，說明模相等,還有方向(3)不正確，單位向量的模為1,方向很多(4)不正確，有向線段是向量的一種表示形式(5)正確，〔6〕正確，向量相等有傳遞性〔7〕不正確，因假設(shè)，那么不共線的向量也有，。(8)不正確,如圖〔9〕不正確，當，且方向相反時，即使，也不能得到；【小結(jié)】對于有關(guān)向量根本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過舉出反例而排除或否認相關(guān)命題。【例2】〔1〕假設(shè)，那么______〔答：〕；〔2〕以下向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.〔答：B〕；〔3〕中，點在邊上，且，，那么的值是___〔答：0〕〔4〕AD，BE分別是的邊上的中線,且,那么可用向量表示為_____〔答：〕；【相關(guān)練習(xí)】1．判斷以下命題是否正確，假設(shè)不正確，請簡述理由.①向量與是共線向量，那么A、B、C、D四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是＝⑤模為0是一個向量方向不確定的充要條件；⑥共線的向量，假設(shè)起點不同，那么終點一定不同.【解析】①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.2．以下命題正確的選項是〔〕A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，那么ａ與c也共線ａ與ｂ不共線，那么ａ與ｂ都是非零向量【解析】由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確；對于C，其條件以否認形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假假設(shè)ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.3.以下說法：〔1〕假設(shè)，那么?！?〕兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同?！?〕假設(shè)，那么是平行四邊形。〔4〕假設(shè)是平行四邊形，那么?！?〕假設(shè)，那么。〔6〕假設(shè)，那么。其中正確的選項是_______〔答：〔4〕〔5〕〕考點2：向量的運算題型1：考查加、減法運算及相關(guān)運算律【例1】化簡解：〔利用〕設(shè)O是平面內(nèi)任意一點，那么===【小結(jié)】掌握向量加減的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等根底知識．在求解時需將雜亂的向量運算式有序化處理，必要時也可化減為加，減低出錯率．【例2】〔1〕作用在點的三個力，那么合力的終點坐標是〔答：〔9,1〕〕〔2〕，，那么點的坐標是?！泊穑骸?,2〕〕〔3〕,向量與相等，求的值。〔答：x=0,y=〕〔4〕是坐標原點，，且，求的坐標?！泊穑?-2,5)〕題型2：結(jié)合圖形考查向量加、減法【例3】〔1〕在中，是的中點，請用向量表示〔答案：〕〔2〕在平行四邊形中，，求〔答案：〕【小結(jié)】三角形中兩邊對應(yīng)向量，可求第三邊所對應(yīng)的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞錯．當向量運算轉(zhuǎn)化成代數(shù)式運算時，其運算過程可仿照多項式的加減運算進行．題型3：向量的數(shù)乘運算【例4】〔1〕，那么?！泊鸢福骸常弧?〕設(shè)，且，，那么C、D的坐標分別是__________〔答案：〕；題型4：向量的數(shù)量積運算【例5】〔1〕△ABC中，，，，那么_________〔答：－9〕；〔2〕，與的夾角為，那么等于____〔答：1〕；〔3〕，那么向量在向量上的投影為______〔答：〕〔4〕，且與的夾角為，求〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕?！泊穑?,15，-2,0〕；〔5〕，求〔1〕，〔2〕，〔3〕〔答：〕題型5：向量的運算律【例6】以下命題中：①；②；③；④假設(shè)，那么或；⑤假設(shè)那么；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的選項是______〔答：①⑥⑨〕【注意】〔1〕向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；〔2〕向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即【相關(guān)練習(xí)】假設(shè)3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是向量，求ｍ，ｎ.【解析】記3ｍ＋2ｎ＝ａ①ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.∴ｎ＝ａ－ｂ④將④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ2．如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個三等分點，eq\o(CA,\s\up6(→))=3a，eq\o(CB,\s\up6(→))=2b，求eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．ABCDE【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=－3a+2b，ABCDE因D、E為eq\o(AB,\s\up6(→))的兩個三等分點，故eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))=－a＋b=eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))=3a－a＋b=2a＋b，eq\o(CE,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))=2a＋b－a＋b=a＋b．3.〔1〕化簡：①___；②____；③_____〔答：①；②；③〕；〔2〕假設(shè)為的邊的中點，所在平面內(nèi)有一點，滿足，設(shè)，那么的值為___〔答：2〕；〔3〕假設(shè)M〔-3，-2〕，N〔6，-1〕，且，那么點P的坐標為_______〔答：〕4.點，假設(shè)，那么當＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上〔答：〕；當＝____時，點P在第三象限〔答：〕，，那么__________〔答：或〕；6.，，如果與的夾角為鈍角，那么的取值范圍是______〔答：〕；7.是單位向量，其夾角為，假設(shè)求的范圍，假設(shè)？〔〕8.求證：9.(2009)在所在的平面上有一點，滿足，那么與的面積之比是()A．B．C．D．P【解析】由,得,PP即,所以點是邊上的第二個三等分點,PB故．B考點三：向量的幾個重要應(yīng)用題型1：求向量的?！纠?】〔1〕，那么等于____〔答：〕；〔2〕均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____〔答：〕；〔3〕，求〔1〕，〔2〕，〔3〕〔答：〕《二教》P60題型2，P63當堂檢測5題型2：求向量的夾角【例2】〔1〕，，求與的夾角?！泊穑骸场?〕，求與的夾角。〔答：〕〔3〕是兩個非零向量，且，那么的夾角為____〔答：〕〔4〕，，，求。〔答：〕〔5〕向量，，假設(shè)與的夾角為鈍角，那么的取值范圍是〔A〕....《二教》P47能力提升1，P52例2，P60例3，P61根底穩(wěn)固6，P63題型4，當堂檢測6題型3：向量的平行與垂直問題【例3】(1)假設(shè)向量，當＝_____時與共線且方向相同〔答：2〕；〔2〕，，，且，那么x＝______〔答：4〕；〔3〕設(shè)，那么k＝_____時，A,B,C共線〔答：－2或11〕【例4】，假設(shè)，那么〔答：〕；【例5】1.，，當為何值時，〔1〕？〔2〕？〔答：－1,9〕2