新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試（新高考專用） 基本立體圖形表面積及體積

專題41基本立體圖形、表面積及體積

知考綱要求

識

考點預測

梳

理常用結論

方法技巧

題題型一：基本立體圖形

型題型二：表面積與體積

歸題型三：與球有關的切'接問題

類

訓練一：

培

訓練二：

優(yōu)

訓練三：

訓

練訓練四：

訓練五：

訓練六：

強

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測

試填空題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能

運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.

2.知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實

際問題.

3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體）的直觀

圖.

【考點預測】

1.空間幾何體的結構特征

（1）多面體的結構特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'AD'

您

圖形

4B

4BAB

互相平行互相平行

底面多邊形

且全笠且相似

側棱平行且相等相交于一點延長線交

但不一定相等于一一點

側面形狀平行四邊形三角形梯形

(2)旋轉體的結構特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

通怎

圖形

mA1

互相平行且相等，

母線相交于一點延長線交于一點

垂直于底面

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓

側面展開圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

(1)畫法：常用斜二測畫法.

(2)規(guī)則:

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸、，軸的夾角為45?；?35。，z'軸與一軸和/

軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸,平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持

原長度丕變，平行于1軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

3.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺

，八

八P

側面展開圖

s圓臺側=十工2)/

側面積公式S圓柱側=2?！眘圓惟惻=匹旦

4.柱、錐、臺、球的表面積和體積

名稱

幾色冰、表面積體積

柱體S&=S側+25底V=Sh

錐體S表=$惻+S底V=-Sh

3

夕=如上+5下+65m

臺體S表=SM+S上+SF

P=j4tR3

球S及

3

【常用結論】

1.正方體與球的切、接常用結論：正方體的棱長為°,球的半徑為七

(1)若球為正方體的外接球，則2R=Sa；

(2)若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=a；

(3)若球與正方體的各棱相切，則2H=/a.

2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2&=@2+62+,2.

3.正四面體的外接球的半徑及=*a,內(nèi)切球的半徑其半徑R：尸=3：l(a為該正四面

412

體的棱長).

4.直觀圖與原平面圖形面積間關系S或觀圖=當5原圖形

【方法技巧】

1.空間幾何體結構特征的判斷技巧

(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據(jù)條件構建幾何模型，在條

件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.

(2)通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.

2.在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平

行于y軸的線段平行性不變，長度減半

3.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：

S支理蹌=[S展國壽.

4.幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖

的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.

5.空間幾何體表面積的求法

(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用，并弄清底面半徑、母線長與對應

側面展開圖中邊的關系.

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

6.求空間幾何體的體積的常用方法

(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進行求解：

(2)割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何

體；

(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.

7.求解多面體的外接球時，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設球。的半徑為R,

截面圓。的半徑為r,A/為截面圓上任意一點，球心。到截面圓O的距離

為d,則在RtZxOO'M中，01^=00'-+O'M1,即膽=/十戶.

8.求解球的內(nèi)接正方體、長方體等問題的關鍵是把握球的直徑即是幾何體的

體對角線.

9.“切”的問題處理規(guī)律

（1）找準切點，通過作過球心的截面來解決.

（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.

二、【題型歸類】

【題型一】基本立體圖形

【典例1】（多選）下面關于空間幾何體的敘述正確的是（）

A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

C.長方體是直平行六面體

D.存在每個面都是直角三角形的四面體

【解析】A中，當頂點在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，不正確；

B中，當平面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一

部分，B不正確；

C正確；

D正確，如圖，正方體/BCD-4&GA中的三棱錐C1一48C,四個面都是直角三角形.

故選CD.

【典例2】一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為“的正方形，則原平面四邊形

的面積等于（）

A亭2缶2c爭D.聿2

【解析】根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在X軸上（或與X軸平行）的線段，

其長度保持不變；在歹軸上（或與y軸平行）的線段，其長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且NfOT=45。（或

135°）,所以若設原平面圖形的面積為S,則其直觀圖的面積為可以提出一個

平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S，之間的關系是s，=烏，本題中直觀圖的面積為解，

4

故選B.

【典例3］如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m,一只小蟲從

圓錐的底面圓上的點尸出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處.若該小蟲爬行

的最短路程為4gm,則圓錐底面圓的半徑等于m.

【解析】圓錐頂點記為O,把圓錐側面沿母線0P展開成如圖所示的扇形,

由題意OP=4,PP=4?

42+42—（43）21

則cos/POP'

2X4X42,

又/POP為APOP'一內(nèi)角,

所以

3

設底面圓的半徑為r,則2口=竽X4,

所以r=^.

【題型二】表面積與體積

【典例1】如圖，四面體的各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一個圓柱的下底面圓周上，另

一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的表面積是（）

A（也+2）兀口（9/+8）兀

312

C2（A/2+1）%口（/+2加

-3-2

【解析】如圖所示，過點尸作PC平面/3C,E為垂足，點E為等邊三角形N8C的中心，連接ZE并延

長，交8c于點D

AE=-AD,AD=^3,

32

:.AE=Z義也=迫,

323

PE=\1PA2-AE2=^.

設圓柱底面半徑為r,則/?=/!￡=*,

，圓柱的側面積S=2m~PE=27tx立X?=處5,

333

底面積52=兀/義2=兀*[3]乂2="

3

二圓柱的表面積S=5I+S2=0醫(yī)+”

33

=2（^2+]>

31

故選C.

【典例2】如圖所示，在四邊形Z8CD中，ZDAB=90°,N/L>C=135。，4B=5,CD=2電/0=2,則

四邊形ABCD繞AD旋轉一周所成幾何體的表面積為.

【解析】由題意可得，四邊形N8CD繞4）旋轉一周所成幾何體為圓臺上面挖去一個圓錐的組合體.如圖，

過C作CEJ_/。交/。的延長線于E,過C作的垂線，垂足為反

則ZEDC=180°-ZADC=45°,

EC=CDsin45°=2,EZ?=CDcos45°=2,

CF=AE=4,BF=AB-AF=3,5C=\/32+42=5.

故圓臺的上底面半徑r=2,

下底面半徑火=5,高〃=4,母線長2=5.

圓錐底面半徑r=2,if；h—2,母線長/i=23.

所以圓臺側面積

Si=7t（R+r）/2=7t（5+2）X5=35兀，

圓錐側面積

52=-X2jtrX/1=-X27tX2X2A/2=4^7t,

22

圓臺下底面面積53=兀咫=25兀

故該幾何體的表面積

S=S+S2+S3=35兀+4/兀+257r

=（60+4圾兀

【典例3】正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+123B.28/

「56?28也

C.一D.---

33

【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，

因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,

所以該棱臺的高6=啦2—（2也—/）2=/,

下底面面積Si=16,上底面面積S2=4,

所以該棱臺的體積/=，(Si+S2+Y^)=gx/x(16+4+病尸管2

【題型三】與球有關的切、接問題

【典例1】圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓

臺的體積為.

【解析】截面圖如圖所示，下底面半徑為5,圓周直徑為10.

則圓臺的下底面位于圓周的直徑上，OC=OB=5,O'C=4,ZOO1C=*，

2

則圓臺的高為3,H=?(SI+A/^E+S2)=25兀+16兀+207t=61兀.

【典例2】已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

【解析】圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設其半徑為廠.作出圓錐的軸截面以8,如圖所示，則△必8

的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓.在△刈8中，PA=PB=3,。為的中點，AB=2,E為切點、,則尸。=

2也△PEOS^PDB,

解得

2

故內(nèi)切球的體積為與月3=烏.

33

【典例3】已知正三棱錐S—45C的側棱長為43,底面邊長為6,則該正三棱錐外接球的表面積是.

【解析】如圖，過點S作平面Z8C于點￡,記球心為O.

?.?在正三棱錐S—48c中，底面邊長為6,

側棱長為43，

:.BE=Z義亞乂6=2電,

32

：.SE=^SB2-BE2=6.

?.?球心。到四個頂點的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑七

：.OB=R,OE=6-R.

在中，OB2=BE2+OE2,即火2=12+(6一尺產(chǎn)，

解得R=4,

外接球的表面積為S=4nR2=647r.

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】(多選)沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,

開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙

時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全部在上部時，其高度為

圓錐高度的!（細管長度忽略不計），假設該沙漏每秒鐘漏cn?的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個

蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，以下結論正確的是（兀七）（）

A.沙漏中的細沙體積為上班co?

81

B.沙漏的體積是128兀cm?

C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為cm

D.該沙漏的一個沙時大約是1985秒

【解析】A項，根據(jù)圓錐的截面圖可知，細沙在上部時，細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細沙

的高與圓錐的高之比，所以細沙的底面半徑，=泊=刎），

所以體積/甘兀嚀.等竽

=管（加）；

O1

B項，沙漏的體積-=2乂1X兀義02乂〃

3

253

=2X-X3iX4X8=^（cm）；

33

C項，設細沙流入下部后的高度為加，根據(jù)細沙體積不變可知，

813

所以干犯=乎加，所以加心2.4（cm）；

813

D項，因為細沙的體積為上班cm3,

81

沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，

10247t

所以一個沙時為81x50

0.0281

*1985（秒）.

故選ACD.

【訓練二】若E，E是三棱柱/3。一4囪G側棱881和CG上的點，且3￡=CF,三棱柱的體

積為加，則四棱錐N—8EFC的體積為.

【解析】如圖所示，連接/Bi,ACi.

因為所以梯形8EFC的面積等于梯形尸G的面積.

又四棱錐4一8￡尸。的高與四棱錐的高相等,

=

所以VA-BEFCVA-B{EFC[=3匕—附]C[C.

VABC-A[81q=S△力[81q，44\=m9

所以乙一44q=:,

rZ_2加

所以VA町qc=VABC-A}B}C}

12mm

所以VA-BEFC=-X-

233'

即四棱錐/-BEFC的體積是場.

3

【訓練三】在半徑為15的球O內(nèi)有一個底面邊長為123的內(nèi)接正三棱錐Z—8C。，則此正

三棱錐的體積為.

【解析】①如圖所示，

顯然OA=OB=OC=OD=T5.

設”為△8C。的中心，

則4O,“三點在同一條直線上.

\"HB=HC=HD=-X^X[2^=12,

32

=9,

...正三棱錐的高力=9+15=24.

又5AfiCD=-X(123)2=1083，

???匕一BCD=；X108^/3X24=864^.

②如圖所示，同理，可得正三棱錐Z—8C。的高"=15—9=6,S?a>=108S，

...%.BS=；X108A/3X6=216^.

綜上，正三棱錐〃一8C。的體積為8643或216g.

【訓練四】我國南北朝時期的數(shù)學家祖咂提出了一條原理：“鼎勢既同，則A

積不容異”.意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾

何體的體積相等.橢球體是橢圓繞其軸旋轉所成的旋轉體.如圖，將底面直徑都為助，高皆

為a的半橢球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面夕上，用平行于平面用且與平面例壬

意距離d處的平面截這兩個幾何體，可橫截得到S網(wǎng)及S環(huán)兩截面.可以證明S網(wǎng)=S0總成立.據(jù)

此，短半軸長為1，長半軸長為3的橢球體的體積是.

【解析】因為Sg|=S環(huán)總成立，所以半橢球體的體積為n〃a—,nb2a=2nb2a,

33

4

所以橢球體的體積V=~nb2a.

3

因為橢球體的短半軸長為1，長半軸長為3.

44

所以橢球體的體積V=-nb2a=~TiX12X3=4n.

33

【訓練五】我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》第八卷“商功”第五章撰述：“芻第(chdrA。)：倍

下長，加上長，以廣乘之，又以高乘，用六歸之.如屋脊：上斜下平.”劉徽注曰：止斬方亭

兩邊，合之即“芻薨”之形也.即將方臺的兩邊切下來合在一起就是“芻薨”，是一種五面體

(如圖)：矩形Z8CD，棱EF//AB，/8=4，EF=2，AADE和aBC尸都是邊長為2的等邊三角

形，則此幾何體的表面積為，體積為.

【解析】由題意知該五面體的表面積S=S紀般ABCD+2S△ADE+2s犀?ABFE=2義4+

2X；X2義亞-12+2x：X(2+4)義卷-12=8+83.過點/作R7_L平面Z8CO，垂足為O，

取BC的中點P，連接PF，過點尸作FQLAB，垂足為Q，連接00.因為“DE和△8CF都

是邊長為2的等邊三角形，所以OP=^(AB-EF)=\>PF=^22-12=A/3，OQ=^BC=\，所

以OF=\[P產(chǎn)一OP2=y/i，采用分割的方法，分別過點F，E作與平面ABCD垂直的平面，這

兩個平面把幾何體分割成三部分，如圖，包含一個三棱柱EMN-FQH，兩個全等的四棱錐

E-AMND，F(xiàn)-QBCH>所以這個幾何體的體積V=VEMN.FQH+2VF.QB^S^QFH^MQ+2X

QBCHXF0=；X2X也X2+2X：X1X2X也

【訓練六】在半徑為15的球。內(nèi)有一個底面邊長為123的內(nèi)接正三棱錐Z—88,求此正三棱錐的體

積.

【解析】①如圖所示，顯然O/=O8=OC=OD=15.

設〃為△38的中心，

則4O,〃三點在同一條直線上.

；HB=HC=HD=2X^■義12祖=12,

32

,OH=\jOB2~HB2=9,

...正三棱錐A-BCD的高71=9+15=24.

又S&BCD^—X(123)2=1084，

4

^A-BCD=-X1083X24=864業(yè)

3

②如圖所示，同理，可得正三棱錐力-8co的高/=15-9=6,

SABCD=108^,

：.VA88=1X1083X6=2163.

3

綜上，正三棱錐/一8。。的體積為8643或216氈.

四、【強化測試】

【單選題】

1.下列說法中，正確的是()

A.棱柱的側面可以是三角形

B.若棱柱有兩個側面是矩形，則該棱柱的其他側面也是矩形

C.正方體的所有棱長都相等

D.棱柱的所有棱長都相等

【解析】棱柱的側面都是平行四邊形，A錯誤；其他側面可能是平行四邊形，B錯誤；棱柱的

側棱與底面邊長并不一定相等，D錯誤；易知C正確.

故選C.

2.一個菱形的邊長為4cm,一內(nèi)角為60。，用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為

()

\/3cm2cm2

,\；6cm2\;3cm2

【解析】直觀圖的面積為*x*X42=2#(cm2).

故選B.

3.現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓錐的側面積為

()

A.3兀B.—C.-D.0

22

【解析】設底面圓的半徑為R,圓柱的高為九

依題意2/?=/z=2,：,R=\.

圓錐的母線/=4序+夫2=卷幣=芯,

因此S閩箱他=nR!=lX?n=#7t.

故選D.

4.在我國古代數(shù)學名著《數(shù)學九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺.葛生其下，纏

本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向

上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？"（注：1丈等于10尺），則這個問題中，

葛藤長的最小值為（）

A.2丈4尺B.2丈5尺

C.2丈6尺D.2丈8尺

【解析】如圖，由題意，圓柱的側面展開圖是矩形，一條直角邊（即圓木的高）長24尺，另一條直角邊長

5X2=10（尺），因此葛藤長的最小值為/衣前=26（尺），即為2丈6尺.

故選C.

5.在梯形中，ZABC=~,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,則將梯形繞/。所在的直線旋轉

2

一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為（）

A.（5+的兀

B.（4+/）兀

C.（5+2物兀

D.（3+啦）兀

【解析】如圖所示，梯形力8。繞工。所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑

為AB=l,高為8c=2的圓柱挖去一個底面半徑為45=1,高為8c—4。=2—1=1的圓錐，

,該幾何體的表面積S=TIXl2+2nXlX2+nX1X\'''l2+12=（5+A^）7T.

故選A.

6.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱為“六器”，是古人用于祭

祀神祇的一種禮器.《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文.如圖

為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對稱，圓筒內(nèi)徑cm,外徑cm,筒高cm,方高cm,則其體積約

為（單位：cnP）（）

A.-B.-

C.-D.一

【解析】由題圖可知，組合體由圓柱、長方體構成，

組合體的體積為/=2X7t><2+4xX—TCX『x6=—3.12兀

故選D.

7.已知表面積為12兀的圓柱的上下底面的中心分別為。1,。2.若過直線。。2的平面截該圓柱所得的截面是

正方形，則。1。2=（）

A.B.2sC.SD.也

【解析】因為圓柱的軸截面是正方形，設底面半徑為，，則母線長為2r,所以圓柱的表面積為2加2+2w?2r

=\2n,解得廠=/,所以OiQ=2r=2/，

故選B.

8.在長方體力中，四邊形/8C。是邊長為2的正方形，與。C所成的角是60。，則長方

體的外接球的表面積是（）

A.16兀B.8兀

C.4兀D.4/兀

【解析】如圖，在長方體中，因為DC〃4B,所以相交直線與48所成的角是異面直

線DiB與DC所成的角.

連接/A，由力8_L平面小，得所以在RtZkZB。中，NABDi就是D山與DC所展的甬,

即NN8￡>i=60°,又AB=2,AB=BD\cos60°,

所以8A=-=4,設長方體外接球的半徑為R,則由長方體的體對角線就是長方體外

cos60°

接球的直徑得4尺2=。歸2=16,則R=2,

所以長方體外接球的表面積是4?！?=[6兀.

故選A.

【多選題】

9.下列結論中正確的是（）

A.由五個面圍成的多面體只能是三棱柱

B.正棱臺的對角面一定是等腰梯形

C.圓柱側面上的直線段都是圓柱的母線

D.各個面都是正方形的四棱柱一定是正方體

【解析】由五個面圍成的多面體可以是四棱錐>所以A選項錯誤.B，C，D說法均正確.

故選BCD.

10.已知/，6，C三點均在球。的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距離

等于球半徑的3，則下列結論正確的是（）

A.球。的表面積為6“

B.球。的內(nèi)接正方體的棱長為1

C.球。的外切正方體的棱長為g

D.球。的內(nèi)接正四面體的棱長為2

【解析】設球。的半徑為r'AABC的外接圓圓心為。，，半徑為R易得R=".因為球心0

3

11A1

到平面Z6C的距離等于球O半徑的工，所以戶一工戶，得戶=2.所以球。的表面積

3932

=4nX：=6TT，選項A正確：球O的內(nèi)接正方體的棱長a滿足Sa=2r，顯然選項B不正確；

球O的外切正方體的棱長b滿足b=2r，顯然選項C不正確；球O的內(nèi)接正四面體的棱長c

滿足c=&Ar="kx諉=2，選項D正確.

332

故選AD.

11.將正三棱錐P-48C置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐"P-/BC。，如圖.下列關

于該“倒影三棱錐”的說法中，正確的有（）

A.P。，平面N8C

B.若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上

C.若該“倒影三棱錐”存在外接球，則4B=?4

D.^AB=^PA，則尸。的中點必為“倒影三棱錐”外接球的球心

【解析】由“倒影三棱錐”的幾何特征可知PQ_L平面/8C，A正確；當在同一

球面上時，若△/BC的外接圓不是球的最大圓，則點Q不在該球面上，B錯誤：若該“倒影

三棱錐”存在外接球，則三棱錐P-N8C的外接球的半徑與等邊三角形N8C外接圓的半徑相等，

設其為R，則AB=\{3R,PA=y^R'W']AB=^PA，C錯誤；由C的推導可知該“倒影三棱錐”

外接球的球心為A4BC的中心，即PQ的中點，D正確.

故選AD.

12.已知圓錐的頂點為P，母線長為2，底面半徑為由，A，B為底面圓周上兩個動點（4與B

不重合），則下列說法正確的是（）

A.圓錐的體積為n

B.三角形刃8為等腰三角形

C.三角形以8面積的最大值為

D.直線口與圓錐底面所成角的大小為三

【解析】如圖所示，點0為點尸在圓錐底面上的射影，連接OA，OB.PO=

\j22~(\5)2=1，圓錐的體積2=；XTTX(3)2X1=TI，A正確；PA=PB=2，

B正確；易知直線PA與圓錐底面所成的角為ZR4O=—，D正確；取48中點C，連接PC，

6

nrt]

----'------1rr

設NR4C=e，則62J-S^PAB=lsin0-2cos8=2s加28，當。=一時，△a8面積取

4

得最大值2，C錯誤.

故選ABD.

【填空題】

13.一個六棱錐的體積為23，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為

【解析】設六棱錐的高為兒則/=；S/7,

所以重X4X6〃=23，解得〃=1.

34

設六棱錐的斜高為〃'，

則712+(3)2=/2,故萬，=2.

所以該六棱錐的側面積為1x2X2X6=12.

2

14.已知△/8C是面積為迪的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上.若球。的表面積為16兀，則。

4

到平面ABC的距離為.

【解析】如圖所示，過球心。作0?！蛊矫鎆8C,

則Oi為等邊三角形力8C的外心.

設△/8C的邊長為a,

則重。2=也，解得。=3,

44

：.O\A=-X—X3=y5.

32

設球0的半徑為廣，則由4兀戶=16兀，得r=2,即04=2.

22

在RtaOOM中，OOi=\IOA-OtA=l,

即。到平面48c的距離為1.

15.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的底面