重慶市涪陵區(qū)第十九中學(xué)2024年中考二模數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

重慶市涪陵區(qū)第十九中學(xué)2024年中考二模數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是A. B. C. D.2.如圖是由三個(gè)相同的小正方體組成的幾何體,則該幾何體的左視圖是()A. B. C. D.3.如圖,直線AB與半徑為2的⊙O相切于點(diǎn)C,D是⊙O上一點(diǎn),且∠EDC=30°,弦EF∥AB,則EF的長度為()A.2 B.2 C. D.24.某體育用品商店一天中賣出某種品牌的運(yùn)動鞋15雙,其中各種尺碼的鞋的銷售量如表所示:鞋的尺碼/cm2323.52424.525銷售量/雙13362則這15雙鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A.24.5,24.5 B.24.5,24 C.24,24 D.23.5,245.如圖,邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中,半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上,則∠BED的正切值等于()A. B. C.2 D.6.如圖,在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分別平分∠EDC、∠BCD,則∠P的度數(shù)是()A.60° B.65° C.55° D.50°7.如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖象,圖①是產(chǎn)品日銷售量y(單位:件)與時(shí)間t(單位;天)的函數(shù)關(guān)系,圖②是一件產(chǎn)品的銷售利潤z(單位:元)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系,已知日銷售利潤=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.第24天的銷售量為200件 B.第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元C.第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等 D.第27天的日銷售利潤是875元8.納米是一種長度單位,1納米=10-9米,已知某種植物花粉的直徑約為35000納米,那么用科學(xué)記數(shù)法表示該種花粉的直徑為()A.米 B.米 C.米 D.米9.下列計(jì)算正確的是()A.﹣= B.=±2C.a(chǎn)6÷a2=a3 D.(﹣a2)3=﹣a610.如圖已知⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE,連接BE、CE,若AB=BC=CE,∠EDC=130°,則∠ABE的度數(shù)為()A.25° B.30° C.35° D.40°二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.隨意的拋一粒豆子,恰好落在圖中的方格中(每個(gè)方格除顏色外完全相同),那么這粒豆子落在黑色方格中的可能性是_____.12.如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC上的動點(diǎn),則DA+DE的最小值為_____.13.函數(shù)y=+的自變量x的取值范圍是_____.14.如圖,已知圓錐的母線SA的長為4,底面半徑OA的長為2,則圓錐的側(cè)面積等于.15.如圖,AB為⊙O的弦,C為弦AB上一點(diǎn),設(shè)AC=m,BC=n(m>n),將弦AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周,若線段BC掃過的面積為(m2﹣n2)π,則=______16.三角形的每條邊的長都是方程的根,則三角形的周長是.17.已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象如圖所示,根據(jù)圖中信息請寫出不等式ax+b≥2的解集為___________.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)如圖,⊙O直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD長.19.(5分)如圖,已知點(diǎn)E,F分別是□ABCD的邊BC,AD上的中點(diǎn),且∠BAC=90°.(1)求證:四邊形AECF是菱形;(2)若∠B=30°,BC=10,求菱形AECF面積.20.(8分)某數(shù)學(xué)興趣小組為測量如圖(①所示的一段古城墻的高度,設(shè)計(jì)用平面鏡測量的示意圖如圖②所示,點(diǎn)P處放一水平的平面鏡,光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處.已知AB⊥BD、CD⊥BD,且測得AB=1.2m,BP=1.8m.PD=12m,求該城墻的高度(平面鏡的原度忽略不計(jì)):請你設(shè)計(jì)一個(gè)測量這段古城墻高度的方案.要求:①面出示意圖(不要求寫畫法);②寫出方案,給出簡要的計(jì)算過程:③給出的方案不能用到圖②的方法.21.(10分)矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處.(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.①求證:△OCP∽△PDA;②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長.(2)如圖2,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動點(diǎn)M在線段AP上(不與點(diǎn)P、A重合),動點(diǎn)N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問動點(diǎn)M、N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若不變,求出線段EF的長度;若變化,說明理由.22.(10分)水果店張阿姨以每斤2元的價(jià)格購進(jìn)某種水果若干斤,然后以每斤4元的價(jià)格出售,每天可售出100斤,通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元,每天可多售出20斤,為保證每天至少售出260斤,張阿姨決定降價(jià)銷售.若將這種水果每斤的售價(jià)降低x元,則每天的銷售量是斤(用含x的代數(shù)式表示);銷售這種水果要想每天盈利300元,張阿姨需將每斤的售價(jià)降低多少元?23.(12分)某工廠生產(chǎn)部門為了解本部門工人的生產(chǎn)能力情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查.該部門隨機(jī)抽取了30名工人某天每人加工零件的個(gè)數(shù),數(shù)據(jù)如下:202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面數(shù)據(jù),得到條形統(tǒng)計(jì)圖:樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表所示:統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)數(shù)值23m21根據(jù)以上信息,解答下列問題:上表中眾數(shù)m的值為;為調(diào)動工人的積極性,該部門根據(jù)工人每天加工零件的個(gè)數(shù)制定了獎勵(lì)標(biāo)準(zhǔn),凡達(dá)到或超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的工人將獲得獎勵(lì).如果想讓一半左右的工人能獲獎,應(yīng)根據(jù)來確定獎勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)比較合適.(填“平均數(shù)”、“眾數(shù)”或“中位數(shù)”)該部門規(guī)定:每天加工零件的個(gè)數(shù)達(dá)到或超過25個(gè)的工人為生產(chǎn)能手.若該部門有300名工人,試估計(jì)該部門生產(chǎn)能手的人數(shù).24.(14分)有這樣一個(gè)問題:探究函數(shù)y=﹣2x的圖象與性質(zhì).小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對函數(shù)y=﹣2x的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過程,請補(bǔ)充完整:(1)函數(shù)y=﹣2x的自變量x的取值范圍是_______;(2)如表是y與x的幾組對應(yīng)值x…﹣4﹣3.5﹣3﹣2﹣101233.54…y…﹣﹣0﹣﹣m…則m的值為_______;(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;(4)觀察圖象,寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)________.

參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、B【解析】

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念,軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.【詳解】A、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,不符合題意;B、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,符合題意;C、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,不符合題意;D、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,不符合題意.故選B.2、C【解析】分析:細(xì)心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置,根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可.詳解:從左邊看豎直疊放2個(gè)正方形.故選:C.點(diǎn)睛:此題考查了幾何體的三種視圖和學(xué)生的空間想象能力,左視圖是從物體左面看所得到的圖形,解答時(shí)學(xué)生易將三種視圖混淆而錯(cuò)誤的選其它選項(xiàng).3、B【解析】本題考查的圓與直線的位置關(guān)系中的相切.連接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°,所以△ECO為等邊三角形.又因?yàn)橄褽F∥AB所以O(shè)C垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2.4、A【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可得.【詳解】這組數(shù)據(jù)中,24.5出現(xiàn)了6次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)為24.5,這組數(shù)據(jù)一共有15個(gè)數(shù),按從小到大排序后第8個(gè)數(shù)是24.5,所以中位數(shù)為24.5,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù),熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)的定義以及求解方法是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】

根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等可知∠BED=∠BAD,再結(jié)合圖形根據(jù)正切的定義進(jìn)行求解即可得.【詳解】∵∠DAB=∠DEB,∴tan∠DEB=tan∠DAB=,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理(同弧或等弧所對的圓周角相等)和正切的概念,正確得出相等的角是解題關(guān)鍵.6、A【解析】試題分析:根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°,由∠A+∠B+∠E=300°,可求∠BCD+∠CDE的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和,進(jìn)一步求得∠P的度數(shù).解:∵五邊形的內(nèi)角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°,∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)O,∴∠PDC+∠PCD=(∠BCD+∠CDE)=120°,∴∠P=180°﹣120°=60°.故選A.考點(diǎn):多邊形內(nèi)角與外角;三角形內(nèi)角和定理.7、C【解析】試題解析:A、根據(jù)圖①可得第24天的銷售量為200件,故正確;B、設(shè)當(dāng)0≤t≤20,一件產(chǎn)品的銷售利潤z(單位:元)與時(shí)間t(單位:天)的函數(shù)關(guān)系為z=kx+b,把(0,25),(20,5)代入得:,解得:,∴z=-x+25,當(dāng)x=10時(shí),y=-10+25=15,故正確;C、當(dāng)0≤t≤24時(shí),設(shè)產(chǎn)品日銷售量y(單位:件)與時(shí)間t(單位;天)的函數(shù)關(guān)系為y=k1t+b1,把(0,100),(24,200)代入得:,解得:,∴y=t+100,當(dāng)t=12時(shí),y=150,z=-12+25=13,∴第12天的日銷售利潤為;150×13=1950(元),第30天的日銷售利潤為;150×5=750(元),750≠1950,故C錯(cuò)誤;D、第30天的日銷售利潤為;150×5=750(元),故正確.故選C8、C【解析】

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示,一般形式為a×10-n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.【詳解】35000納米=35000×10-9米=3.5×10-5米.故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為a×10-n,其中1≤|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.9、D【解析】

根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則,同類二次根式的判斷,開算術(shù)平方根,同底數(shù)冪的除法及冪的乘方運(yùn)算.【詳解】A.不是同類二次根式,不能合并,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.=2≠±2,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.

a6÷a2=a4≠a3,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.

(?a2)3=?a6,故D選項(xiàng)正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的運(yùn)算法則,開算術(shù)平方根,同底數(shù)冪的除法及冪的乘方運(yùn)算,熟記法則是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】

如圖,連接OA,OB,OC,OE.想辦法求出∠AOE即可解決問題.【詳解】如圖,連接OA,OB,OC,OE.∵∠EBC+∠EDC=180°,∠EDC=130°,∴∠EBC=50°,∴∠EOC=2∠EBC=100°,∵AB=BC=CE,∴弧AB=弧BC=弧CE,∴∠AOB=∠BOC=∠EOC=100°,∴∠AOE=360°﹣3×100°=60°,∴∠ABE=∠AOE=30°.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理,圓心角,弧,弦之間的關(guān)系等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考常考題型.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、【解析】

根據(jù)面積法:求出豆子落在黑色方格的面積與總面積的比即可解答.【詳解】∵共有15個(gè)方格,其中黑色方格占5個(gè),∴這粒豆子落在黑色方格中的概率是=,故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率的求法,利用概率=相應(yīng)的面積與總面積之比求出是解題關(guān)鍵.12、【解析】【分析】如圖,作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A',連接AA',交BC于F,過A'作AE⊥AC于E,交BC于D,則AD=A'D,此時(shí)AD+DE的值最小,就是A'E的長,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比可得結(jié)論.【詳解】如圖,作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A',連接AA',交BC于F,過A'作AE⊥AC于E,交BC于D,則AD=A'D,此時(shí)AD+DE的值最小,就是A'E的長;Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,∴BC==9,S△ABC=AB?AC=BC?AF,∴3×6=9AF,AF=2,∴AA'=2AF=4,∵∠A'FD=∠DEC=90°,∠A'DF=∠CDE,∴∠A'=∠C,∵∠AEA'=∠BAC=90°,∴△AEA'∽△BAC,∴,∴,∴A'E=,即AD+DE的最小值是,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃虇栴}、三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題.13、x≥1且x≠3【解析】

根據(jù)二次根式的有意義和分式有意義的條件,列出不等式求解即可.【詳解】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件可得:解得:且故答案為:且【點(diǎn)睛】考查自變量的取值范圍,掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.14、8π【解析】

圓錐的側(cè)面積就等于母線長乘底面周長的一半.依此公式計(jì)算即可.【詳解】側(cè)面積=4×4π÷2=8π.故答案為8π.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的計(jì)算,正確理解圓錐的側(cè)面積的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為扇形的面積的計(jì)算,理解圓錐與展開圖之間的關(guān)系.15、【解析】

先確定線段BC過的面積:圓環(huán)的面積,作輔助圓和弦心距OD,根據(jù)已知面積列等式可得:S=πOB2-πOC2=(m2-n2)π,則OB2-OC2=m2-n2,由勾股定理代入,并解一元二次方程可得結(jié)論.【詳解】如圖,連接OB、OC,以O(shè)為圓心,OC為半徑畫圓,則將弦AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周,線段BC掃過的面積為圓環(huán)的面積,即S=πOB2-πOC2=(m2-n2)π,OB2-OC2=m2-n2,∵AC=m,BC=n(m>n),∴AM=m+n,過O作OD⊥AB于D,∴BD=AD=AB=,CD=AC-AD=m-=,由勾股定理得:OB2-OC2=(BD2+OD2)-(CD2+OD2)=BD2-CD2=(BD+CD)(BD-CD)=mn,∴m2-n2=mn,m2-mn-n2=0,m=,∵m>0,n>0,∴m=,∴,故答案為.【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理,垂徑定理,一元二次方程等知識,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定線段BC掃過的面積是解題的關(guān)鍵,是一道中等難度的題目.16、6或2或12【解析】

首先用因式分解法求得方程的根,再根據(jù)三角形的每條邊的長都是方程的根,進(jìn)行分情況計(jì)算.【詳解】由方程,得=2或1.當(dāng)三角形的三邊是2,2,2時(shí),則周長是6;當(dāng)三角形的三邊是1,1,1時(shí),則周長是12;當(dāng)三角形的三邊長是2,2,1時(shí),2+2=1,不符合三角形的三邊關(guān)系,應(yīng)舍去;當(dāng)三角形的三邊是1,1,2時(shí),則三角形的周長是1+1+2=2.綜上所述此三角形的周長是6或12或2.17、x≥1.【解析】試題分析:根據(jù)題意得當(dāng)x≥1時(shí),ax+b≥2,即不等式ax+b≥2的解集為x≥1.故答案為x≥1.考點(diǎn):一次函數(shù)與一元一次不等式.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、2【解析】試題分析:過O作OF垂直于CD,連接OD,利用垂徑定理得到F為CD的中點(diǎn),由AE+EB求出直徑AB的長,進(jìn)而確定出半徑OA與OD的長,由OA﹣AE求出OE的長,在直角三角形OEF中,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OF的長,在直角三角形ODF中,利用勾股定理求出DF的長,由CD=2DF即可求出CD的長.試題解析:過O作OF⊥CD,交CD于點(diǎn)F,連接OD,∴F為CD的中點(diǎn),即CF=DF,∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8,∴OA=4,∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2,在Rt△OEF中,∠DEB=30°,∴OF=12在Rt△ODF中,OF=1,OD=4,根據(jù)勾股定理得:DF=OD2-O則CD=2DF=215.考點(diǎn):垂徑定理;勾股定理.19、(1)見解析(2)25【解析】試題分析:(1)利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)即可判定四邊形AECF是菱形;(2)連接EF交于點(diǎn)O,運(yùn)用解直角三角形的知識點(diǎn),可以求得AC與EF的長,再利用菱形的面積公式即可求得菱形AECF的面積.試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),∴AE=CE=12同理,AF=CF=12∴AF=CE.∴四邊形AECF是平行四邊形.∴平行四邊形AECF是菱形.(2)解:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,BC=10,∴AC=5,AB=53連接EF交于點(diǎn)O,∴AC⊥EF于點(diǎn)O,點(diǎn)O是AC中點(diǎn).∴OE=12∴EF=53∴菱形AECF的面積是12AC·EF=25考點(diǎn):1.菱形的性質(zhì)和面積;2.平行四邊形的性質(zhì);3.解直角三角形.20、(1)8m;(2)答案不唯一【解析】

(1)根據(jù)入射角等于反射角可得∠APB=∠CPD,由AB⊥BD、CD⊥BD可得到∠ABP=∠CDP=90°,從而可證得三角形相似,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,即可求出CD的長.(2)設(shè)計(jì)成視角問題求古城墻的高度.【詳解】(1)解:由題意,得∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP=90°,∴Rt△ABP∽Rt△CDP,∴,∴CD==8.答:該古城墻的高度為8m(2)解:答案不唯一,如:如圖,在距這段古城墻底部am的E處,用高h(yuǎn)(m)的測角儀DE測得這段古城墻頂端A的仰角為α.即可測量這段古城墻AB的高度,過點(diǎn)D作DCAB于點(diǎn)C.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,tanα=,∴AC=αtanα,∴AB=AC+BC=αtanα+h【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用.解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.21、(1)①證明見解析;②10;(2)線段EF的長度不變,它的長度為25..【解析】試題分析:(1)先證出∠C=∠D=90°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可證出△OCP∽△PDA;根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1:4,得出CP=12(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ=12PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF=12QB,再求出EF=12試題解析:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°,∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,∴OPPA=CPDA=14(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2,∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP,∴MP=MQ,∵BN=PM,∴BN=QM.∵M(jìn)P=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=12PQ.∵M(jìn)Q∥AN,∴∠QMF=∠BNF,在△MFQ和△NFB中,∵∠QFM=∠NFB,∠QMF=∠BNF,MQ=BN,∴△MFQ≌△NFB(AAS),∴QF=12QB,∴EF=EQ+QF=12PQ+12QB=12PB

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