2023-2024學年新課標全國Ⅱ卷高考數(shù)學真題模擬試題（含解析）

2023-2024學年新課標全國II卷高考數(shù)學真題模擬試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.在復平面內(nèi),(l+3i)(3-i)對應的點位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設集合/=8={1,。一2,2。一2},若A=B,貝。=().

A.2B.1C.|D.-1

3.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初

中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不

同的抽樣結果共有().

A.C：QC短種B.種

C.C力C*種D.C力C乳種

為偶函數(shù),

4.若/(%)=(x+〃)ln'I貝|］。=().

A.-1B.0Jc-2D.1

丫2

5.已知橢圓C:±+/=1的左、右焦點分別為耳，E,直線y=x+優(yōu)與C交于兩點，若△與N2

3’一

面積是面積的2倍，則機=().

A.|B.克C.一也_2

D.

333~3

6.已知函數(shù)/■(xbaex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則0的最小值為().

2e-2

A.eB.eC.eTD.

7.已知a為銳角，cosa=H^5,貝心山1=().

42

A3—5/5口—1+y/5r3—^5-1+V5

D.

8844

8.記S“為等比數(shù)列{%}的前〃項和，若其=-5,久=21邑，則4=().

A.120B.85C.-85D.-120

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，48為底面直徑，ZAPB=}2Q°,P/=2,點。在底面

圓周上，且二面角P-/C-O為45。，貝U().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為467t

C.AC=26D.△P4C的面積為6

10.設。為坐標原點，直線>=-百卜-1)過拋物線C:y2=20x(p>0)的焦點，且與C交于

N兩點，/為C的準線，則().

O

A.0=2B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.AOWN為等腰三角形

11.若函數(shù)/(x)=alnx+g+5(aw0)既有極大值也有極小值，貝I]().

A.bc>0B.ab>QC.b2+Sac>0D.ac<0

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a(0<a<D，

收到0的概率為l-a；發(fā)送1時，收到0的概率為q(0<?<1),收到1的概率為1-正考慮兩種

傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重

復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳

輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-c)(l-A)?

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為￡(1-￡)2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為/(1-02+(1-03

D.當0<。<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼

為0的概率

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量I,[滿足歸_司=百，歸+可=忸一可,則歸卜.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3的正

四棱錐，所得棱臺的體積為.

8

15.已知直線/：%-町+1=0與OC:(x—91)+/=4交于Z,5兩點，寫出滿足面積為二”

的m的一個值_____.

1

16.已知函數(shù)〃x)=sin(0x+e)，如圖/,3是直線y=3與曲線了=/(x)的兩個交點，若7r,

貝(兀)=.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.記》BC的內(nèi)角48,C的對邊分別為aR,c,己知的面積為抬，。為3C中點，且40=1.

7T

(l)^1Z.ADC=—,求tan8；

⑵若/+。2=8,求"c.

、I。”-6,〃為奇數(shù)Z.Z>.

18.已知(?！盀榈炔顢?shù)列，"=:=便蜥，記S,,(分別為數(shù)列%,總的前n項和，5=32,

|2%,〃為偶數(shù)

4=16.

(1)求｛%｝的通項公式;

(2)證明：當〃>5時，Tn>Sn.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大

量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

&40驪率，忸距

U38

O36

O34

0.010

707580859095100105

夫患病2

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值如將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等

于C的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為P(c);誤診率是

將未患病者判定為陽性的概率，記為4(。).假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相

應事件發(fā)生的概率.

⑴當漏診率M。)=。5%時，求臨界值c和誤診率4(c)；

⑵設函數(shù)/(c)=p(c)+q(c),當ce［95,105］時，求/(c)的解析式,并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最

小值.

20.如圖，三棱錐/—6CD中，DA=DB=DC,BD1CD,ZADB=ZADC=60°，E為BC的中

點.

(1)證明：BC工DA；

(2)點尸滿足麗=刀，求二面角。-45-尸的正弦值.

21.已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為卜2石,0),離心率為右.

(1)求C的方程；

⑵記C的左、右頂點分別為4，4,過點(-4,0)的直線與c的左支交于“，N兩點，M在第二

象限，直線"4與M4?交于點尸.證明:點P在定直線上.

22.(1)證明：當0<x<l時，X-/<sinx<x;

(2)已知函數(shù)/'(xHcos辦若x=0是/(x)的極大值點，求。的取值范圍.

1.A

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法結合復數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為(l+3i)(3-i)=3+8i-3i?=6+8i,

則所求復數(shù)對應的點為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)包含關系分。-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為則有：

若。一2=0,解得a=2,此時/={0,-2},5={1,0,2},不符合題意;

若2a-2=0,解得。=1,此時/={0,-1},5={1,-1,0},符合題意;

綜上所述.a=l

故選：B.

3.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x縹=40人，高中部共抽取60x空=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結果共有禽種.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為/⑸為偶函數(shù)，貝Ij/(I)=/(-I).(1+a)In|=(-1+a)In3,解得a=0,

當a=0時，/(x)=xln^^,(2x-l)(2x+l)>0,解得或

2x+122

則其定義域為或x<-g，，關于原點對稱.

2(-x)-l2x+l2x-l]2x-\

/(r)=(r)ln=(-x)ln=(-x)ln2x4-1J=xln=/(x)，

2(—x)+12x-l2x4-1

故此時/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

5.C

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A>0,求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關于

加的方程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線>=%+加與橢圓聯(lián)立,消去y可得4f+6蛆+3病—3=0,

——+y=1

[3/

因為直線與橢圓相交于48點，貝必=36/-4x4(3/一3)>0,解得-2<切<2,

設耳到AB的距離4,占到距離d2,易知片卜夜,0),居(60),

則I-，7

|-^2+m|

S4FlAB_6|^|l=2,解得加=4或-30(舍去),

m

SAF2ABI6"+I

【分析】根據(jù)/'(尤)=在'-：20在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/'(x)="e、-工20在(1,2)上恒成立，顯然0>0,所以xe—L

xa

設g(x)=xe*,xe(l,2),所以g，(x)=(x+l)e、＞0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故即即a的最小值為

ae

故選：c.

7.D

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因為cosa=l-25出2q=匕且，而口為銳角,

24

解得：si吟=?_產(chǎn)：丫

故選：D.

8.C

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比，再根據(jù)邑，工的關系即可解出；

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設等比數(shù)列｛%｝的公比為9,首項為%,

若g=-l,則$4=0-5,與題意不符，所以4片-1；

若q=l,則艮=6%=3x2%=3邑H0,與題意不符，所以qwl；

由其=-5,凡=2電可得，%(1一力=_5,%(1Y)=21X%(「”①,

\-q1-q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得：夕2=4,

所以項=可二必=3■，二QX(1+/)=_5X(1+16)=-85.

故選：C.

方法二：設等比數(shù)列｛4｝的公比為

因為邑=-5,凡=21邑，所以4/-1,否則邑=0，

從而，邑‘S"-S?，5-邑,國-久成等比數(shù)列，

5

所以有，(-5-邑)92=$2(2電+5),解得：邑=-1或Sz=j

當邑=T時，S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即為-1,-4,-16,$8+21,

易知,S8+21=-64,即$8=-85；

當其=|■時，$4=%+。2+%+。4=(%+。2乂1+0=(1+/)$2>0，

與邑=-5矛盾，舍去.

故選：C.

本題主要考查等比數(shù)列的前〃項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握反,工的關

系，從而減少相關量的求解，簡化運算.

9.AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項

的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以OP=1,04=OB=5

A選項，圓錐的體積為gx兀x(6)xl=7t,A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀xKx2=2#7i，B選項錯誤；

C選項，設。是/C的中點，連接。。，尸。，

則/。_10。,/(7_1尸￡),所以NPDO是二面角P—/C—O的平面角，

則/尸。。=45。，所以OP=OD=1,

故AD=CD=4^i=^，則NC=20，C選項正確；

D選項，po=Vl2+12=41>所以凡"c=；x20xa=2,D選項錯誤.

故選：AC.

【分析】先求得焦點坐標，從而求得P,根據(jù)弦長公式求得1MM，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確

定正確答案.

【詳解】A選項：直線y=-G(x-l)過點(1,0),所以拋物線。：/=2夕工(°>0)的焦點廠(1,0),

所以］=l,p=2,2p=4,則A選項正確，且拋物線。的方程為丁2=4x.

B選項:設M(x2J,"(%,%)，

由卜2=二四("一1)消去V并化簡得3--10x+3=(x-3)(3xT)=0,

y=4x

解得再=3,X2=§，所以=再+工2+?=3+§+2=}~,B選項錯誤.

C選項：設的中點為A,到直線/的距離分別為4&，",

因為〃=g（4+4）=g（|g|+|7VF|）=gpW|,

即A到直線/的距離等于血W的一半，所以以為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線了=-V^(x-1),即+y-=0,

。至U直線68+>-百=。的距離為〃=，

2

所以三角形OW的面積為1x3x3=逑

2323

由上述分析可知凹=-V3（3-1）=-2^3

所以10Ml==a,卬卜

所以三角形。兒W不是等腰三角形，D選項錯誤.

【分析】求出函數(shù)/（x）的導數(shù)/'（X）,由已知可得/（X）在。內(nèi)）上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元

二次方程有兩個不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)/（x）=alnx+%W的定義域為（0,期），求導得八無）=@一々-三=竺上

XXXXXX

因為函數(shù)/（%）既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'（X）在（0,+00）上有兩個變號零點，而QW0,

因此方程辦2-bx—2c=0有兩個不等的正根石,%2，

\=b2+8tzc>0

于是<占+%2=2>°，即有〃+8qc>0,ab>0,ac<0,顯然/bcvO，即bc<0,A錯誤，BCD

a

2c八

X]%2---->0

、a

正確.

故選：BCD

12.ABD

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算

判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、

發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1-￡)(1-。)(1-4)=(1-。)(1-￡)2,A正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1-￡)力?(1-4)=例1-2)2,B正確；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,

1的事件和，

它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為-6)2+(1-4)3=(1一￡)2(1+2￡),C錯誤；

對于D,由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率尸=(l-a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率尸而0<a<0.5,

因止匕「一尸'=(1一a)“l(fā)+2a)—(l-a)=a(l-a)(l—2a)>0,即P>P,D正確.

故選：ABD

關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨立事件的積是解題的關鍵.

13.6

X1

【分析】法一:根據(jù)題意結合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令c=9-6,結合數(shù)量

積的運算律運算求解.

【詳解】法一：因為歸+可=忸-3，即伍+.=(23-注,

rrI%rrTcc

貝++6,整理得/一2屋3=0，

又因為忖-可=氐即"耳=3,

則二2工九九3,所以小后

-

±±inrIrrrrrr

法二：設°=才—6，貝1］口=J3,Q+6=C+2d2a—b=2c+6,

由題意可得：g+2討=他+q，則抹+4：3+/2=丁+4廿+；

整理得：u，即啊=口=百.

故答案為.百

14.28

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二:

根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.

【詳解】方法—2由于］=而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

所以正四棱錐的體積為:x(4x4)x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x(2x2)x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x(16+4+&^>)=28.

故答案為.28

E

15.2(2,-2,"中任意一個皆可以)

22

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系，求出弦長以耳，以及點C到直線的距離，結合面積公式

即可解出.

【詳解】設點C到直線的距離為d,由弦長公式得|/邳=244-的,

所以SA4BC=；X"X2J4-/=1，解得：d=述或1=拽，

2355

由亍，所以—=="或二==羋，解得：機=±2或優(yōu)=±1.

71+fn71+mVl+m25sll+m252

故2（2,-2。=中任意一個皆可以）.

V3

16.V

【分析】設/依題可得，X2-Xt=^,結合Sinx=；的解可得，?（x2-x,）=y,

從而得到0的值，再根據(jù)/闔=0以及/⑼<0,即可得/（x）=sin（4x-|T，進而求得/（兀）.

【詳解】設由|/同=1可得迎-%=1，

1兀、571—

由sinx=—可知，x=—+2版或、=——+2E,左eZ,由圖可知,

266

a）x2+夕一（叫+9）='兀一己=g,即研馬-%）=T'??&=4?

所以即°=一號兀+

因為/=sin=0,2'+e=E,E,k￡Z.

33

所以/(x)=sin[4x-]兀+AjiJ=sin[4x—兀+加

所以/"(x)=sin14x_g兀)或/(x)=-sin14x_：7T

又因為/(o)<o,所以〃x)=sin(4x-1

故岑.

本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)/（無）的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關性質(zhì),

以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵.

17.⑴》

（2）b=c=2.

【分析】（1）方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角

形面積公式求出。，作出3c邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面積公式求出//OC即可求解作答；方法2,

利用向量運算律建立關系求出a,再利用三角形面積公式求出//DC即可求解作答.

JT

【詳解】（1）方法1：在“臺。中，因為。為8C中點，AADC^-,AD=\,

A

則5/℃=!/。.。。5吊/4￡^=1*1*」ax—=—a=^SABC=^，解得a=4,

2222822

在△/8D中，ZADB=—,由余弦定理得°?=3￡>2+NO2—2灰).4DCOSN/DB,

解得c=V7,則cos8=、^=位,

即c2=4+l-2x2xlx=7,

2V7x214

sinB=A/1-COS2B=

所以tanB=皿=1

cosB5

71

方法2：在“3。中，因為。為BC中點,/-ADC=—,AD=1f

3

則S'?DCsinZADC=-:"13x13=3-%.q,解得。=4,

△AUL2

222822

在A/CZ)中，由余弦定理得/=CD2+AD2-2CD-ADcosZADB,

即/=4+l—2x2xl><；=3,解得6=WAC2+AD2=4=CD2,貝與，

2/

C=y,過A作/ELBC于￡,于是C￡=/CeosC=』，/￡=ZCsinC=9,BE三

6222

所以tanB=1|=g

11

c2=~a2+l-2x—axlxcos(7i-Z.ADC)

(2)方法1：在△/BD與A/CO中，由余弦定理得＜

11

b9=—a9+l-2x—axlxcosZADC

42

整理得;/+2=62+'2,而/+C2=8,貝L=2

=—xy/3x1xsinZ.ADC->解得sin=1,ffff0<Z.ADC<71,于是/ADC=—,

又s^AVC.

Anr222

所以6=c=^AD2+CD2=2.

方法2：在J3C中，因為。為8c中點，則2而=在+/，又施=刀-示j，

于是4通?+92=(次+/y+(方—％)2=2(〃+°2)=16,即4+/=16,解得4=2百,

=-xV3xlxsinZ^Z)C=―,解得sinZADC=l,而0<//。。<兀，于是N/DC="，

又sA4t兒

Anc222

所以6=c=>]AD2+CD2=2.

18.⑴。，=2〃+3；

（2）證明見解析.

【分析】（1）設等差數(shù)列｛g｝的公差為d,用/”表示S“及即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結論求出S“，bn,再分奇偶結合分組求和法求出7；,并與，作差比較

作答；方法2,利用（1）的結論求出S“，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項和公式求出《，并與

。作差比較作答.

,、\a-6,n=2k-l*

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,而，左eN*,

則bx=ax-6,b2=2a2=2al+2d,b3=a3-6=2d-6,

S—4%+6d=32

于是4解得%=5,d=2,=%+(〃_l)d=2n+3,

T3=4〃[+4(7—12=16

所以數(shù)列｛&｝的通項公式是?！?2〃+3.

方法：由(知，"(5+j+3)\2n-3,n=2k-1

(2)11)s.=="2+4"b=\，左EN*,

〃[An+6,n=2k

n

當為偶數(shù)時，bn_]+b〃=2(〃—1)-3+4〃+6=6〃+1,

13(6?1)^,37

J-—++—"T〃，

n2222

當〃>5時，[—s〃=3+J7”)—(/+4〃)=1_])>o,因此北>S〃，

327325

當〃為奇數(shù)時，^^^+I-^+I=-(?+1)+-(?+1)-[4^+1)+6]--77+-77-5,

351

當〃〉5時，北—S“=(―n2+——5)—(w2+4n)=—(/?+2)(w—5)>0,因此北>S〃,

所以當〃〉5時，Tn>Sn.

方法：由(知，S“=〃(5+:+3)=/+4〃,2〃一3,〃二2左一1*

21)BN=，左EN*,

4幾+6,〃=2左

當〃為偶數(shù)時,

—1+2(〃—1)—3n14+4w+6n37

(=(4+&+…+?+4+…+6〃)=----1,一=-TI2H-n,

22-------2--------222

371

22

當〃>5時，Tn-Sn=(-n+-n)-(n+4n)=--1)>0,因此]>S〃,

當〃為奇數(shù)時，若"23,則

一1+2〃一3H+114+4(〃-1)+6n-\

北=(4+a+…+%)+@+a+…+”-)=22-22-

3535

=5〃2+5〃—5,顯然(=4=-1滿足上式，因此當〃為奇數(shù)時，7^=—n2+—n—5,

351

當〃>5時，Tn_$n=(5"2+5〃—5)—(/+4〃)=萬(〃+2)(〃—5)〉0,因此北>S〃，

所以當〃〉5時，Tn>Sn.

19.⑴。=97.5,")=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/（。）=，最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出c,再根據(jù)第二個圖求出。之97.5的矩形面積即可解出;

（2）根據(jù)題意確定分段點100,即可得出/'（c）的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以（c-95）x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

4(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當ce［95,100］時,

/(c)=夕(。)+q(c)=(c-95)x0.002+(100—c)x0.01+5x0.002=-0,008c+0,82>0,02；

當(100,105］時,

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故〃c)=

0.01c-0.98,100<c<105

所以/（c）在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.（1）證明見解析；

⑵，.

【分析】（1）根據(jù)題意易證8c工平面從而證得3C_LD4；

（2）由題可證平面BCD,所以以點E為原點，即,防，口所在直線分別為x,y,z軸，建立

空間直角坐標系，再求出平面/助,/3下的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函

數(shù)關系即可解出.

【詳解】（1）連接因為￡為8C中點，DB=DC,所以8c①，

因為'ZADB=ZADC=60°，所以A/C。與△48。均為等邊三角形,

AC=AB,從而4E_L3C②，由①②，AEp\DE=E,/E,DEu平面/。石，

所以，3c1平面/DE,而/Du平面/DE,所以BC_LZM.

(2)不妨設DA=DB=DC=2,-.■BDYCD,BC=141,DE=AE=41.

AE2+DE1=4=AD1>AEA.DE,X"AE±BC,DEC\BC=E,DE,BC<=BCDAE

面BCD.

以點E為原點，ED,EB,￡4所在直線分別為x/,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設Dg,0,0),A(0,0,V2),5(0,y[2,0),￡(0,0,0),

設平面。48與平面尸的一個法向量分別為名=(%,%,zj,〃2=(乙，%/2)，

二面角D-48-尸平面角為。，而AB=(0,V2,-V2),

因為赤=53=卜后,0,0)，所以川-0,0,0)，即有方=卜后,0,0),

i+yf^Z[—0—?

K血_°，取玉=1，所以々=(1,1,1)；

fV2y9-V2Z9=0一

廠，取為=1，所以%=(0,1,1),

[-V2X2=0

所以，|cos0\=L||jj=-F=—i==>AWsine=J1--=—■

同㈣J3xj23\93

所以二面角。-/B-尸的正弦值為由.

3

/V2

21.(1)土-匕=1

416

(2)證明見解析.

【分析】(1)由題意求得。的值即可確定雙曲線方程；

(2)設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線初4與此的方程，聯(lián)立

直線方程，消去結合韋達定理計算可得Y三+2二-：1，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點?

x-23

在定直線x=-l上.

丫22

【詳解】(1)設雙曲線方程為十方=1(?！?/〉0),由焦點坐標可知c=2退,

則由？=￡=店可得4=2,b=A/C2-a2=4，

a.

雙曲線方程為E-亡=1.

416

(2)由⑴可得4(-2,0),4(2,0),設,%),

顯然直線的斜率不為0,所以設直線MN的方程為》=陽-4,且一:〈俏＜；,

與片上

=1聯(lián)立可得（4冽2-1）V_32叼+48=0,且A=64（4冽2+3）>0,

416

,直線乂42的方程為產(chǎn)上7(》一2),

一/

聯(lián)立直線MA,與直線NA2的方程可得:

x+2=+2）=孫-2）=叼|%—2（必+%）+2%

x-2y^x2-2）yl（my2-6）myiy2-6yi

48_32m_-16m.

m-----3------2---z——+2y]—內(nèi)-----F2y}1

_4冽2_]4加2_]_________4加2_]=_J_

—48—48加「一3

4"-114m--11

x+21

由^一=,可得％=-1,即與=-1,

x-23

據(jù)此可得點P