全國(guó)1-8屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題試題(非數(shù)學(xué)類)匯編

20XX年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷

一、填空題(每小題5分，共20分)

(x+y)ln(l+—)

1.計(jì)算一'xdxdy=_________其中區(qū)域。由直線x+y=l與兩坐

1]一x_y

標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.

2.設(shè)/(幻是連續(xù)函數(shù)，且滿足/。)=3/一J；/(x)dx-2,貝U/(x)=.

2

X2

3.曲面z=^+y2-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是.

4.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程xe"?=e，ln29確定，其中/具有二階導(dǎo)數(shù)，且/'聲1,則

蟲=

dx2

x.2x..fix￡

二、(5分)求極限Iim(----------——)"其中〃是給定的正整數(shù)

三、(15分)設(shè)函數(shù)/(x)連續(xù)，g(x)=「/(⑼山，且=A為常數(shù)，求g'(x)

J0A->0X

并討論g'(x)在X=0處的連續(xù)性.

四、(15分)已知平面區(qū)域O={(x,y)|0WxK7r,04yW7},L為。的正向邊界，試

證：

(1)Jxesinydy-ye-sin'dx=1^-sinydy-ye^nxdx；

LL

(2)fx*ydy-ye-sin'dr>-n2.

,2

2t

五、(10分)已知弘=xe'+e?*,y2=xe*+,%=xe、+e-e-'是某二階常系數(shù)

線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.

六、(10分)設(shè)拋物線.丫=。無2+bx+21nc過原點(diǎn).當(dāng)OWxWl時(shí),yNO,又已知該拋物線

與x軸及直線尤=1所圍圖形的面積為試確定c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋

轉(zhuǎn)體的體積最小.

七、(15分)已知”"(x)滿足〃：(x)=〃.(x)+x"Te，5=i,2「.)，且M,<1)=￡,求函數(shù)項(xiàng)

n

級(jí)數(shù)之和.

71=1

八、(10分)求xf「時(shí)，與￡>”2等價(jià)的無窮大量

71=0

2010年第二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷

一、(25分，每小題5分)

⑴設(shè)X”=(1+。)(1+。2).(1+/'),其中|4|<1,求1而天.

H-XC

(2)求。

*廿1X)

⑶設(shè)s>0,求/=公(〃=1,2,)。

設(shè)函數(shù)/(/)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，r=舊+兒g(x,y)=/(J)e2g,a2g

a70

x-y=0r—2v—?1z—3

（5）求直線:與直線，2：==三=一的距離。

z=04-2-1

二、（15分）設(shè)函數(shù)/（x）在（—，物）上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且

f\x）>0,limf\x）=?>0,limf\x）=為<0,且存在一點(diǎn)x0,使得f（x0）<0,

x=21+廠

三、（15分）設(shè)函數(shù)y=/（x）由參數(shù)方程4?>-1）所確定，其中〃⑺具有二

）=次）

ft223

階導(dǎo)數(shù)，曲線y=〃⑺與""而+『在f=l出相切，求函數(shù)〃⑺。

Jiyp

四、（15分）設(shè)4>0總=￡q,證明：

k=\

當(dāng)￡>1時(shí)，級(jí)數(shù)叁收斂；

⑴￡

Ea

⑵當(dāng)。《1且5,f8（〃―8）時(shí)，級(jí)數(shù)工湛發(fā)散。

〃=15〃

五、（15分）設(shè)/是過原點(diǎn)、方向?yàn)椋?/）,（其中。2+夕+尸=1）的直線，均勻橢

球

X2

其中（0<c<0<a,密度為1）繞/旋轉(zhuǎn)。

（1）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

（2）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于方向（%￡,/）的最大值和最小值。

六、(15分)設(shè)函數(shù)0(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡(jiǎn)單閉曲線。上，曲線

r2xydx+(p(x)dy

積分|41的值為吊數(shù)。

eX+r

(1)設(shè)L為正向閉曲線(x—2)2+y2=l,證明J型華野=0;

：-V+/

(2)求函數(shù)0(x)；

(3)設(shè)。是圍繞原點(diǎn)的光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線，求綽)小‘。

JYaA/

2011年第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷

-.計(jì)算下列各題(本題共3小題，每小題各5分，共15分)

I

(sin%y-cosx

⑴.求hm------；

3(X)

111

⑵球lim-、

----------1------------1...H

n—>con+1n+2n+n

x=ln(l+/z)求屋y

（3）已知

=7-arctanddx”

~.（本題10分）求方程（21+y一4）〃￥+（1+丁-1）由;=0的通解。

三.（本題15分）設(shè)函數(shù)f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

/（0）,/'（0）,/''（0）均不為0,證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)人，《，&，使得

HmW）+《“2/z）+&/（3/7）T（0）=0

20h2

xyz.7?

四.（本題17分）設(shè)心:—7H—r—~=1，其中。＞。＞。＞0,

abc

222

Z2:z=x+y,「為心與%的交線，求橢球面弓在「上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)

距離的最大值和最小值。

2

%+3/=1

五.（本題16分）已知S是空間曲線j0，繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部

分（z2。）取上側(cè)，口是s在P（%,y,z）點(diǎn)處的切平面，夕（x,y,z）是原點(diǎn)到切平

面n的距離，幾,u表示s的正法向的方向余弦。計(jì)算：

（1）jj—―——-dS；（2）jjz^x+3/Liy+vz）dS

s夕s

六.（本題12分）設(shè)耳X）是在（-8,+8）內(nèi)的可微函數(shù)，且礦（X）,其中

0<m<l,任取實(shí)數(shù)。0,定義。〃=ln/（a,i）,〃=L2,…，證明：

00

Z（4-%）絕對(duì)收斂。

n=\

七.（本題15分）是否存在區(qū)間［0,2］上的連續(xù)可微函數(shù)f（x）,滿足/（0）=/（2）=1,

|/'（x）|<1,^f^x）dx<1?請(qǐng)說明理由。

2012年第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷

一、（本大題共5小題，每小題6分共30分）解答下列個(gè)體（要求寫出要求寫

出重要步驟）

I

（）求極限

1〃T8

（2）求通過直線x+廣產(chǎn)+2：°的兩個(gè)互相垂直的平面町和町，使其中一

［5x+5j-4z+3=0

個(gè)平面過點(diǎn)（4,-3,1）0

分2

⑶已知函數(shù)7="(孫力63”且丹-=0。確定常數(shù)n和方，使函數(shù)z=z(x,y)

oxoy

e0七環(huán)d2zdzdz,?

；兩足方程—-——+z=0

oxoyoxoy

⑷設(shè)函數(shù)w=w(x)連續(xù)可微，W(2)=1,且J(x+2y)wJx+(x+〃3)〃dy在右半平

面與路徑無關(guān)，求〃(x,y)。

⑸求極限limVxfJ+，,S*n^dt

XT+8JXy/t+COSt

二、(本題10分)計(jì)算J；e-2x|sinx|rfx

三、求方程x2sinL=2x-501的近似解，精確至U0.001.

x

四、(本題12分)設(shè)函數(shù)y=/(x)二階可導(dǎo)，且尸(x)>0,/(0)=0,r(0)=0,

求lim咎斗,其中“是曲線y=f(x)上點(diǎn)尸(x,/(*))處的切線在x軸

go/(x)sinu

上的截距。

五、(本題12分)求最小實(shí)數(shù)C,使得滿足依=1的連續(xù)函數(shù)/(*)都有

j'f(Jx)dx<lC

六、(本題12分)設(shè)了(X)為連續(xù)函數(shù)，，>0。區(qū)域。是由拋物面Z=/+y2

22

和球面x+/+z=e(z>0)所圍起來的部分。定義三重積分

22

F(Z)=Jffn/(x+/+z)Jv

求尸⑺的導(dǎo)數(shù)尸”⑺

七、(本題14分)設(shè)石明與￡%為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，證明：

〃=1〃=1

(1)若lim(—%二-)>0,則級(jí)數(shù)￡%收斂；

〃T0°nun+luhn"h〃+1"=1

⑵若癡（氣-^-）

<o,且級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。

〃->8uftn+\unn"h〃+1n-l般=1

2013年第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷

一、解答下列各題(每小題6分共24分，要求寫出重要步驟)

1.求極限lim(l+sing/1+4/).

n->oo\)

+00?

2.證明廣義積分J出苣公不是絕對(duì)收斂的

0x

3.設(shè)函數(shù)y=y(x)由d+B/y-2y3=2確定，求y(x)的極值。

4.過曲線y=也(%20)上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面圖形的

3

面積為一，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。

4

二、(滿分12)計(jì)算定積分廠廠――%

-Jn1+cosX

三、(滿分12分)設(shè)在x=()處存在二階導(dǎo)數(shù)/(0),且理率=0。

證明：級(jí)數(shù)收斂。

四、(滿分12分)設(shè)歸乃,，證明Jsin/(x)dx<—

五、(滿分14分)設(shè)Z是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二

353

型的曲面積分/=JJ(X-x)dydz+(2y-y)dzdx+(3z-z)dxdyo試確定曲面

s,使積分I的值最小，并求該最小值。

六、(滿分14分)設(shè)/，⑺=］替卷,其中。為常數(shù)，曲線c為橢

2

圓Y+孫+y2=r,取正向。求極限limIa（r）

oo1,+1~+H-1

七（滿分14分）判斷級(jí)數(shù)工廠事一^的斂散性，若收斂，求其和。

仁（〃+1）（〃+2）

2014年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題

-、填空題（共有5小題，每題6分，共30分）

1.已知y=e'和弘=xe*是齊次二階常系數(shù)線性微分方程的解，則該方程是一

2.設(shè)有曲面S:z=V+2/和平面L：2x+2y+z=0。則與L平行的S的切平面方程是

3.設(shè)函數(shù)y=y（x）由方程x=「sin2但］力所確定。求半=_____________

}

'UJdxx=0

4.

設(shè)/4壯記則吧力

貝眄幺￥=_________________

?I。X

計(jì)算,工Wk。

（本題12分）設(shè)〃為正整數(shù),

（本題14分）設(shè)函數(shù)/（x）在［0J上有二階導(dǎo)數(shù)，且有正常數(shù)A3使得

If'W區(qū)3。證明：對(duì)任意Xe[0,1],有|(x)|<2/l+|o

四、(本題14分)(1)設(shè)一球缺高為〃，所在球半徑為R。證明該球缺體積為

g(3R-/z)『。球冠面積為2成〃;(2)設(shè)球體(x—+(y—1了+(z—I)?412被

平面P:x+y+z=6所截得小球缺為。，記球冠為E,方向指向球外。求第二型

曲面積分

/=jjxdydz+ydzdx+zdxdy

五、(本題15分)設(shè)/在3,加上非負(fù)連續(xù)，嚴(yán)格單增，且存在X.使得

"區(qū))「=」一["*)]"公。求limx”

b-aJa00

六、(本題15分)設(shè)+

n2+ln2+22

2015年第七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷

一、填空題(每小題6分，共5小題，滿分30分)

sin萬

(1)極限則〃泮+*+-+

n2+n

zz\/、

(2)設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程/x+—,y+—=0所決定，其中b(",u)具有連續(xù)偏導(dǎo)

Vy%7

aa

數(shù)，且xf；+，門,#0。貝+=

oxoy

(3)曲面z=x2+y2+l在點(diǎn)M(l,-1,3)的切平面與曲面所圍區(qū)域的體積

是.

3,xe-5,0,1

(4)函數(shù)/(%)=<:、,在(一5,5的傅立葉級(jí)數(shù)在x=0收斂的值

O.xe0,5)'」

是?

(3)設(shè)區(qū)間(0,”)上的函數(shù)“(x)定義域?yàn)榈?則“(x)的初等函數(shù)表

達(dá)式是.

二、(12分)設(shè)M是以三個(gè)正半軸為母線的半圓錐面，求其方程。

三、(12分)設(shè)/(X)在(。⑼內(nèi)二次可導(dǎo)，且存在常數(shù)。,萬，使得對(duì)于Vxe(aS),有

r(x)=a/(x)+/7/(x),則〃x)在(a㈤內(nèi)無窮次可導(dǎo)。

〃+2

四、(14分)求事級(jí)數(shù)Z前(1)”的收斂域，及其和函數(shù)。

〃=0

五、(16分)設(shè)函數(shù)“X)在［0』上連續(xù)，且辦:=(),￡.葉(x)辦:=1。試證：

(1)出0目0』使|/(七)|>4

⑵孫40,1］使|/(')|=4

六、（16分）設(shè)在f+y2<i上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且#+2療+

若

/（0,0）=0,力（0,0）=<（0,0）=0,證明：JJf（x,y）dxdy<^^a

2016年第八屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽

一、填空題（每小題5分，滿