新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 數(shù)列小題專項(xiàng)練學(xué)案（含解析）

專題四數(shù)列

從2020年新高考全國(guó)卷和2020年山東新高考模擬卷對(duì)數(shù)列的考查來(lái)看，數(shù)列在高

考中考查的力度在增強(qiáng).這是由于新高考試題刪除了選做題,使數(shù)列成為新高考六大解答

考題的必選內(nèi)容，高考對(duì)數(shù)列命題的“一大一小或一大”的趨勢(shì)比較明顯，數(shù)列題和三角函數(shù)

情及解三角形題會(huì)交替處在解答題的第一題或第二題的位置上，考查難度處在中等，這兩個(gè)

分題目會(huì)有一道題設(shè)計(jì)成是“結(jié)構(gòu)不良”試題，這種新題型的條件具有開(kāi)放性,給考生以更多

析的選擇性.數(shù)列題考查的重點(diǎn)仍是等差、等比數(shù)列的基本內(nèi)容以及數(shù)列的通項(xiàng)、求和.在

核心素養(yǎng)考查上主要是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

4.1數(shù)列小題專項(xiàng)練

必備知識(shí)精要梳理

1.數(shù)列的本質(zhì):定義域?yàn)镹*(或它的有限子集｛1,2,…川)的函數(shù).

2.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S",則如求＞9

3.等差數(shù)列

(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)an=a\+(.n-\)d,

通項(xiàng)的推廣l:an=ani+(n-in)d,

通項(xiàng)的推廣24=2.

(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S產(chǎn)出手=〃，“+彎旦/.

(3)等差數(shù)列的性質(zhì):若m+〃=p+g,則ain+a?=ap+aq.

4.等比數(shù)列

(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)an=a\q"',

nm

通項(xiàng)的推廣1■.an=amq',

通項(xiàng)的推廣2:〃"=詈.

(na^q=1,

(2)等比數(shù)列的S“=卜式/)=

(1-ql-q,q41.

(3)等比數(shù)列的性質(zhì):若加+〃=p+q,則am-an=ap-aq.

考向訓(xùn)練限時(shí)通關(guān)

考向數(shù)列及與其有

一關(guān)的概念

1.（2020河北武邑校級(jí)聯(lián)考，理4）大衍數(shù)列來(lái)源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之

數(shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極

衍生過(guò)程中曾經(jīng)經(jīng)歷的兩儀數(shù)量總和.已知數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則大衍數(shù)

列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為（）

2.（2020遼寧大連24中一模,8）數(shù)列｛斯｝滿足對(duì)任意的"GN",均有知+斯+|+%+2為定值.若

47=2,“9=3,a98=4,則數(shù)列｛斯｝的前100項(xiàng)的和Sioo=（）

A.132B.299C.68D.99

3.（2020山東煙臺(tái)一模,14）已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和公式為5“=2/一〃+1,則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式

為.

4.（2020全國(guó)/,文16）數(shù)歹U｛斯｝滿足%+2+（-1）"斯=3〃-1,前16項(xiàng)和為540,則由=.

等差數(shù)列的基

本運(yùn)算

5.（2020北京人大附中二模,6）記5?為等差數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和.已知54=0,的=5,則（）

A.a”=2〃-5B.??=3n-10

C.5?=2n2-8n

（2020全國(guó)〃，理4）北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層.上層中心有一塊

圓形石板（稱為天心石）,環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下

一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下

層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

7.（多選）下列關(guān)于等差數(shù)列的命題中正確的有（）

A.若a,b,c成等差數(shù)列，則〃力2丄2一定成等差數(shù)列

B.若a,h,c成等差數(shù)列，則2”,2”?？赡艹傻炔顢?shù)列

C.若a,b,c成等差數(shù)列，則ka+2,kb+2,kc+2一定成等差數(shù)列

D.若a,b,c成等差數(shù)列，則丄可能成等差數(shù)列

abc

8.（2020北京,8）在等差數(shù)列｛〃”｝中,。1=?9,。5=?1.記刀尸〃口25=12…）,則數(shù)列｛乙｝（）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

9.（2020全國(guó)〃，文14）記S”為等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和.若卬=-2,〃2+〃6=2,則Sio=.

考向等比數(shù)列的基

本運(yùn)算

10.（2020遼寧錦州一模,7）已知等比數(shù)列｛斯｝中，若恁+。7=8,則。4m6+2為）+。3m的值為（）

A.128B.64C.16D.8

11.（2020全國(guó)〃，文6）記Sn為等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和.若〃5-。3=12,46?44=24,則&=（）

an

A.2M-IB.2-2,H

C.2-2"-'D.2ln-1

12.（多選）數(shù)列｛”“｝滿足斯=q"（q>0,〃GN*）,則以下結(jié)論正確的是（）

A."｝是等比數(shù)列B.｛J不是等比數(shù)列

C.｛lga“｝不是等差數(shù)列D.｛lg磋｝是等差數(shù)列

13.（2020山東淄博一模,14）記S,,為數(shù)列㈤的前n項(xiàng)和，若y豹，則$7=.

考向等差、等比數(shù)列

四的綜合

14.（2020河南鄭州二模,10）已知等差數(shù)列｛斯｝的公差存0,且3,俏,03成等比數(shù)列，若0=1$為

數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，則注的最小值為（）

A.4B.3C.2V3-2D.2

15.（2020江蘇,11）設(shè)｛斯｝是公差為d的等差數(shù)列,｛仇｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛斯+/%｝

的前n項(xiàng)和S“=〃2-"+2"-l（〃eN*）,則d+q的值是.

16.（多選）（2020山東青島5月模擬,10）已知等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”（〃GN*）,公差

存0,S6=90,47是。3與。9的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.〃i=22

B.d=-2

C.w=10或"=11時(shí)上取得最大值

D.當(dāng)S?>0時(shí),”的最大值為20

專題四數(shù)列

4.1數(shù)列小題專項(xiàng)練

考向訓(xùn)練?限時(shí)通關(guān)

1.B解析由數(shù)列的第一項(xiàng)為0,可知D錯(cuò);因?yàn)閿?shù)列的第三項(xiàng)為4,將〃=3代入選項(xiàng)A,得到3,

故A錯(cuò);將"=3代入選項(xiàng)C,得到2,故C錯(cuò);將〃=3代入選項(xiàng)B,得到4,故B正確.

2.B解析對(duì)任意的〃GN*,均有斯+如+1+“”+2為定值，?：（。"+|+如+2+4"+3）-（如+4”+1+如+2）=0,故

斯+3=%,?：｛?。且?為周期的數(shù)列，

故0="7=2,42=498=4,的=.9=3,

,：Sioo=3i+他+。3）+…+（。97+。98+。99）+。100=33（。1+。2+的）+。1=33x（2+4+3）+2=299.

3.斯=6^；J,9解析由題意知，當(dāng)n=］時(shí),0=Si=2;

當(dāng)時(shí)，斯=S〃$/=2/-〃-2（小1）2+〃-1=4〃-3.

又因?yàn)?|=1不滿足0尸4/2-3,所以?！?｛豐3~九；12

4.7解析當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有斯+2+知=3〃-1,則

（〃2+。4）+（。6+。8）+（。10+。12）+314+。16）=5+17+29+41=92,

因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540,所以+43+05+07+例+。11+。13+。15=448.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有?！?2s由累加法得斯+2-〃I=3（1+3+5+…+辦扌=所以

244

321

加2=_療+〃+—+〃1,

44

所以〃］+（。x12+1+丄+〃J+（。X32+3+-+6/Ix52+5+工+〃］）+（。X72+7+丄+〃I）+（

44444444

-x9^+9+-+tz1^+^-xlP+ll+工+0）+（三x13~+13+-+6fi=448,解得a\=7.

444444

5.A解析由題知J4=4O1+|X4X3=0,

la5=%+4d=5,

解得佇二,3八斯=2〃-5,故選A.

（d=2,

6.C解析由題意可知，從上到下,從內(nèi)至U外,每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項(xiàng),9為公差的

等差數(shù)列，設(shè)為｛a“）.

設(shè)上層有"環(huán)，則上層扇面形石板總數(shù)為中層扇面形石板總數(shù)為S2"S”下層扇面形石

板總數(shù)為S3"-S加三層扇面形石板總數(shù)為S3”.因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，所以S",S2"$,S3"$”構(gòu)成等

差數(shù)歹山公差為9〃2.因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以9〃2=729,解得〃=9.所以

S3”=$27=27x9+2^x9=3402.故選C.

7.BCD解析對(duì)于A,取〃=l,b=2,c=3,得層=1,從=4,<?=9,所以a2,62,c2不成等差數(shù)列，故A錯(cuò)；

對(duì)于B,取a=8=c,可得2a=2憶2。,故B正確；

對(duì)于C,由題意a+c=26,所以（hi+2）+（Rc+2）=Zc（a+c）+4=2（姉+2）,即ka+2,kb+2,kc+2成等

差數(shù)列，故C正確；

對(duì)于D,取“斗="0,可得工=<=:故D正確.

abc

8.B解析由題意公差公旳-出_:1±2=2,則a-a\+（n-1）J=-9+（n-1）x2=2??-11,

5-15-1n

由通項(xiàng)知。1<。2<〃3<〃4<45<0<〃6=1<〃7<…，且由厶<0可知,7]<0（，26/WN）,由

4=a>l（i27」￡N）可知數(shù)列｛丁〃｝不存在最小項(xiàng)，由于。|=?9,〃2=-7,〃3=-5,44=?3,〃5=?1。6=1,故

Ti-i

數(shù)列｛厶｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng),72=63,0=63x15=945.故數(shù)列｛〃｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為

爲(wèi).故選B.

9.25解析設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d.

:0=-2,.：〃2+。6=〃1+d+〃i+5d=2〃i+6d=?4+6d=2,解得d=l.

?：Sio=lO0+芋"-20+45=25.

10.B解析。4（。6+2。8）+。3。】1=。4。6+2。4。8+。3。11=。2+2。5。7+誇=35+。7）2=64.故選B.

11.B解析設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為q.

:%5-。3-12&-。4二24,

二

q=2.

旳口3

又^5-^3-ci?q4-a1^r2=11=12,

?：aI=1.?：斯=41=2””,

Qi(i-q")1><(1-2與

=2〃-L

l-q1-2

.Sn_2叫1]_〃

nl

一an-222n-i22.

故選B.

12.AD解析如=q"(q>0,〃GN*),故匂=/,&!_=嗚=況故A正確;

a2n-2q

=；，則t｝是等比數(shù)列，故B不正確;

lg%=Ig/="lgq,故lg“"-lga"-i="lgq-（"-l）lgq=lgq,則｛IgaQ是等差數(shù)列，故C不正確;

lgW=lgq2"=2Mg%故IgW-lg碌1=2〃愴〃-2（”-1）皿=2愴4，故D正確.

13.-254解析由已知知=箏1,得&$-1=箏1,所以S「2=2（S,N-2）（〃》2）.又0=*1,即

Si=-25-2=-4,所以｛S,「2｝是以-4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，

8

所以S.-2=-4x2叫即S”=2-2"+）所以S7=2-2=-254.

14.D解析由題意M,“3,a13成等比數(shù)列，則試=a?七13,

.：（1+24=1+12”.得（1-2或"=0（舍去），.：斯=2〃-1,.：S”=""+；""=武