專(zhuān)題06 圓中的相關(guān)證明及計(jì)算（解析版）

1/159專(zhuān)題06圓中的相關(guān)證明及計(jì)算目錄原創(chuàng)精品資源學(xué)科網(wǎng)獨(dú)家享有版權(quán)，侵權(quán)必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01圓中的角度和線段計(jì)算問(wèn)題題型02垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用題型03與圓有關(guān)的弧長(zhǎng)、扇形面積計(jì)算題型04利用弧長(zhǎng)、扇形公式解決實(shí)際問(wèn)題題型05求弓形面積或不規(guī)則圖形面積題型06正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算題型07與圓有關(guān)的位置關(guān)系題型08切線的判定題型09三角形內(nèi)切圓、外接圓的相關(guān)計(jì)算題型10三角形內(nèi)切圓與外接圓的綜合題型11四點(diǎn)共圓題型12圓冪定理題型13阿基米德折弦定理題型14圓與相似綜合題型15圓與三角函數(shù)綜合（時(shí)間：60分鐘）2/159題型01圓中的角度和線段計(jì)算問(wèn)題1．（2024·四川瀘州·一模）如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為，則它的外接圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，進(jìn)而求出，根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．【詳解】解：如圖，連接、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，為等邊三角形，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、余弦的定義，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，若，下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B．直線垂直平分 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理可得，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，A選項(xiàng)即可判斷；根據(jù)平行的性質(zhì)及圓周角定理設(shè)，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出的值，從而求出，，，從而可判斷C、D選項(xiàng)；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)頂角相等可得到，從而求出，再結(jié)合垂徑定理可判斷出與的關(guān)系，即可判斷出選項(xiàng)B．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

是的直徑，，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；，設(shè)，則，，，故D選項(xiàng)不正確，符合題意；，；故C選項(xiàng)正確，不符合題意；根據(jù)對(duì)頂角相等可得：，，，是圓心，，直線垂直平分；故B選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及垂徑定理，涉及到垂直平分線的定義、三角形內(nèi)角和等，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓周角定理和垂徑定理．3．（2023·山東青島·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的兩條直線分別與圓相切于點(diǎn)、，點(diǎn)是圓周上任意一點(diǎn)，連接、，若，則（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，連接，根據(jù)切線長(zhǎng)定理結(jié)合等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)，切線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理，即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，

，分別切圓于、，，，，，是圓的直徑，，．故選：D．4．（2022·山西大同·一模）如圖，是的直徑，、分別切于點(diǎn)B、C，若，則的度數(shù)是；

【答案】/50度【分析】連接，由切線長(zhǎng)定理證明，再求得，最后由三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)．【詳解】解：連接，

∵、分別切于點(diǎn)B、C，，∴，∴，∵是的直徑，∴∵，∴，∴，∴；故答案為50°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度一般．題型02垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用5．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）筒車(chē)是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具．如圖，半徑為3m的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)圈，筒車(chē)與水面分別交于點(diǎn)A、B、長(zhǎng)為4m，筒車(chē)上均勻分布著若干個(gè)盛水筒（用點(diǎn)表示）．若以某個(gè)盛水筒（點(diǎn)P）剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．

(1)設(shè)點(diǎn)D為盛水筒在運(yùn)行中的最高點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段，用其長(zhǎng)度表示盛水筒到水面的最大距離．（不說(shuō)理由），并求最大距離約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)筒車(chē)每秒轉(zhuǎn)°，°；(3)浮出水面2.6秒后，盛水筒（點(diǎn)P）距離水面多高？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，最大距離為5.2米(2)5，43(3)0.7米【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，交于，連接，由垂徑定理得，由題意知，，由勾股定理得，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）由題意知，每分鐘轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為，由，解得，則每秒鐘轉(zhuǎn)，由，可求的值；（3）由題意知，，則，如圖2，連接，過(guò)作于，于，則四邊形是矩形，，，則，，進(jìn)而可求浮出水面2.6秒后，盛水筒（點(diǎn)P）距離水面的高度．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，交于，連接，

由垂徑定理得，由題意知，，由勾股定理得，∴（m），∴最大距離約為5.2米；（2）解：由題意知，每分鐘轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為，∴，解得，∴每秒鐘轉(zhuǎn)，∵，∴，故答案為：5，43；（3）解：由題意知，，∵，∴，如圖2，連接，過(guò)作于，于，則四邊形是矩形，

∴，，∴，∴（m），∴（m），∴浮出水面2.6秒后，盛水筒（點(diǎn)P）距離水面0.7米．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，弧長(zhǎng)公式，正弦，余弦，矩形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．6．（2023·廣東佛山·三模）古往今來(lái)，橋給人們的生活帶來(lái)便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無(wú)阻，中國(guó)橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中），已知跨度，拱高，則這條橋主橋拱的半徑是______；(2)某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬，拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面，求橋拱拋物線的解析式；(3)如圖③，某時(shí)橋A和橋B的橋下水位均上升了，求此時(shí)兩橋的水面寬度．【答案】(1)25(2)(3)此時(shí)橋的水面寬度為，橋的水面寬度為【分析】（1）設(shè)所在圓的圓心為點(diǎn)，連接，則，，再設(shè)這條橋主橋拱的半徑是，則，，然后在中，利用勾股定理求解即可得；（2）以水面所在直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，再利用待定系數(shù)法求解即可得；（3）根據(jù)（1）可得，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，再利用垂徑定理即可得此時(shí)橋的水面寬度；根據(jù)（2）的結(jié)論求出時(shí)，的值，由此即可得此時(shí)橋的水面寬度．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)所在圓的圓心為點(diǎn)，連接，

由垂徑定理得：點(diǎn)共線，則，，設(shè)這條橋主橋拱的半徑是，則，，在中，，即，解得，故答案為：25．（2）解：如圖，以水面所在直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意得：，則設(shè)橋拱拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，所以橋拱拋物線的解析式為．（3）解：如圖，橋中，由（1）可知：，

由題意得：，，在中，，由垂徑定理得：，即此時(shí)橋的水面寬度為；如圖，橋中，，

當(dāng)時(shí)，，解得或，所以此時(shí)橋的水面寬度為，答：此時(shí)橋的水面寬度為，橋的水面寬度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握垂徑定理和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2023·寧夏中衛(wèi)·二模）在一次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課上，吳老師制作了一張簡(jiǎn)易的海域安全監(jiān)測(cè)平面圖，在圖中標(biāo)明了三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，，，由三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)確定的圓形區(qū)域是安全警戒區(qū)域．（單位：海里）

(1)某天海面上出現(xiàn)可疑船只C，在監(jiān)測(cè)點(diǎn)A測(cè)得C位于南偏東，同時(shí)在監(jiān)測(cè)點(diǎn)O測(cè)得C位于南偏東，求監(jiān)測(cè)點(diǎn)O到C船的距離．（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）(2)當(dāng)可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行時(shí)，是否會(huì)闖入安全警戒區(qū)域？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算作答．【答案】(1)海里(2)不會(huì)，見(jiàn)詳解【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，設(shè)，則，在中，解直角三角形求得x，進(jìn)而求得；（2）由（1）知，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，交于H，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，則四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，

依題意，得，，設(shè)，則，∵，∴，∴在中，，∴，∵，即，∴，∴，所以監(jiān)測(cè)點(diǎn)O到C船的距離為海里；（2）解：不會(huì)，計(jì)算如下：由（1）知，∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，交于H，

∴，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，則四邊形是矩形，∴，由已知得，，∵，∴線段是的直徑，，∴，∵，∴，∴直線與相離，C船不會(huì)闖入安全警戒區(qū)域．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系．熟練掌握垂徑定理以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)是解題關(guān)鍵．8．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑是河底線，弦是水位線，．已知儀器在A處測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，水深（點(diǎn)D到河底線的距離）．

(1)求的大小及的長(zhǎng)；(2)受暴雨影響，水面以平均每小時(shí)的速度升高，若不及時(shí)進(jìn)行開(kāi)閘泄洪，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間水面將淹沒(méi)整個(gè)橋洞？（參考數(shù)據(jù)：取4）【答案】(1)，(2)6小時(shí)【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求出，連接，解和，求出，再由求解即可；（2）過(guò)O作，與交于點(diǎn)E，與半圓O交于點(diǎn)F．求出，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）∵的長(zhǎng)表示點(diǎn)D到河底線的距離，∴，∴，∵，∴，連接，∵是直徑，∴，∴，∴，且，∴，，∴，即的長(zhǎng)為；（2）如圖，過(guò)O作，與交于點(diǎn)E，與半圓O交于點(diǎn)F．

∵∴∵，∴，∴（小時(shí)）即經(jīng)過(guò)6小時(shí)水面將淹沒(méi)整個(gè)橋洞．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形以及圓周角定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．題型03與圓有關(guān)的弧長(zhǎng)、扇形面積計(jì)算9．（2023·貴州黔東南·二模）如圖，在平行四邊形中，，以為直徑的恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平分 B．C． D．的長(zhǎng)為【答案】B【分析】本題考查了圓的相關(guān)計(jì)算，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式計(jì)算即可，熟練掌握弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接、，作于，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，平分，故A正確，不符合題意；四邊形是平行四邊形，，，，，，故C正確，不符合題意；，，，，故B錯(cuò)誤，不符合題意；，故D正確，符合題意；故選：B．10．（2023·廣東東莞·三模）如圖，和是兩個(gè)完全重合的直角三角板，，斜邊長(zhǎng)為三角板繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，則點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．

【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和和含度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，于是可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：，，，，，三角板繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在邊上，∴，∴為等邊三角形，∴弧的長(zhǎng)度，即點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)．故答案為：．11．（2023·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)A在扇形的半徑上，點(diǎn)B．C在上，點(diǎn)D在上，若，則扇形的面積為．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和扇形的面積計(jì)算，能求出半徑的長(zhǎng)度是解此題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，求出，求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)扇形的面積公式求出答案即可．【詳解】解：連接，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴扇形的面積為．故答案為：．12．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖物體由兩個(gè)圓錐組成．其主視圖中，，，若上面圓錐的側(cè)面積為，則下面圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意得出為等腰直角三角形，為等邊三角形，則上面圓錐的側(cè)面積與下面圓錐的側(cè)面積的比等于：，即可求解．【詳解】解：，，為等腰直角三角形，，，，，而，為等邊三角形，，上面圓錐與下面圓錐的底面相同，上面圓錐的側(cè)面積與下面圓錐的側(cè)面積的比等于：，下面圓錐的側(cè)面積．故答案為：．13．（2023·湖南湘西·二模）在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，某同學(xué)用一張如圖①所示的矩形紙板制做了一個(gè)扇形，并由這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐模型（如圖②所示），若扇形的圓心角為，圓錐的底面半徑為2，則此圓錐的母線長(zhǎng)為．

【答案】【分析】設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為l，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則利用弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為l，則，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．題型04利用弧長(zhǎng)、扇形公式解決實(shí)際問(wèn)題14．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)要把一塊長(zhǎng)，寬的矩形空地改建為一個(gè)如圖所示的花園．花園內(nèi)的小路（陰影部分）由圓心角為，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)形小路和寬為且垂直于矩形邊的筆直小路組成，則花園內(nèi)小路的總占地面積為．【答案】【分析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積公式．用豎直道路的面積加上弧形小路的面積即可得出答案．【詳解】解：花園內(nèi)小路的總占地面積為：．故答案為：．15．（2023·安徽·二模）《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆高5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有斛．

【答案】22【分析】根據(jù)米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計(jì)算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數(shù)．【詳解】解：設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為尺，由題意，得：，∴，∴米堆的體積為：，∴米堆的斛數(shù)為：；故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算及弧長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出圓錐的知識(shí)，難度不大．16．（2024·遼寧沈陽(yáng)·一模）圖1是一種折疊門(mén)，由上下軌道和兩扇長(zhǎng)寬相等的活頁(yè)門(mén)組成，整個(gè)活頁(yè)門(mén)的右軸固定在門(mén)框上，通過(guò)推動(dòng)左側(cè)活頁(yè)門(mén)開(kāi)關(guān)；圖2是其俯視圖簡(jiǎn)化示意圖，已知軌道，兩扇活頁(yè)門(mén)的寬，點(diǎn)B固定，當(dāng)點(diǎn)C在上左右運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的長(zhǎng)度不變（所有結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：，，，π?。?1)若，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)的長(zhǎng)約為(2)點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為【分析】本題主要考查了解直角三角形，弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用；（1）作于H，根據(jù)推出，然后在中解直角三角形求出即可；（2）證明是等邊三角形，可得點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是半徑為，圓心角為的弧長(zhǎng)，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，作于H，∵，∴，在中，，∴，∴，∴的長(zhǎng)約為；（2）∵當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，即，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是半徑為，圓心角為的弧長(zhǎng)，即，∴點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．17．（2024·河北邯鄲·二模）水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近市民的目光．據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為，最低點(diǎn)距離地面，摩天輪的圓周上均勻地安裝了個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙．(1)小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度為_(kāi)_____；(2)在小明進(jìn)座艙后間隔個(gè)座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時(shí)小明和小亮分別位于，兩點(diǎn)），求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（的長(zhǎng)）和直線距離（線段的長(zhǎng)）．【答案】(1)(2)在摩天輪上的距離（的長(zhǎng)）為，直線距離（線段的長(zhǎng)）為【分析】本題考查了點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，求弧長(zhǎng)，等邊三角形的性質(zhì)與判定（1）根據(jù)點(diǎn)到圓的距離可得最高點(diǎn)到地里的距離為；（2）根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；證明為等邊三角形，即可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，由題意可知，當(dāng)座艙轉(zhuǎn)到點(diǎn)時(shí)，距離地面最高，此時(shí)；（2）圓周上均勻的安裝了24個(gè)座艙，因此每相鄰兩個(gè)座艙之間所對(duì)的圓心角為，的長(zhǎng)為，如圖，連接，且，為等邊三角形，．答：兩人所在座艙在摩天輪上的距離（的長(zhǎng)）為，直線距離（線段的長(zhǎng)）為．18．（2023·吉林松原·三模）圓錐是生活中常見(jiàn)的立體圖形，如雪糕筒，漏斗，羽毛球，路障等，趙亮同學(xué)用一個(gè)如圖①所示的扇形圍成如圖②所示的圓錐，為圓錐的高，點(diǎn)D為母線上的中點(diǎn)，，為底面圓半徑，，求圖①中的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：取，，）解：如圖②，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谥校c(diǎn)D為邊中點(diǎn)，，所以（__________）（填推理依據(jù)），_________（填“”或“”）．如圖①，所以_______（填相應(yīng)的三角形函數(shù)值）________（）（結(jié)果精確到）．【答案】在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，，，【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，三角函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得，再根據(jù)，求出r，再根據(jù)弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)即可得出答案．【詳解】解：如圖②，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谥?，點(diǎn)D為邊中點(diǎn)，，所以（在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半）（填推理依據(jù)），（填“”或“”）．如圖①，所以（填相應(yīng)的三角形函數(shù)值）（）（結(jié)果精確到）．題型05求弓形面積或不規(guī)則圖形面積19．（2023·山西臨汾·二模）如圖，是的直徑，是弦，，在直徑上截取，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，求出，由圓周角定理得，得，由三角形外角的性質(zhì)得，由垂徑定理得，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，

則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴∠，∴∠，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等知識(shí)，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關(guān)鍵．20．（2023·山東濟(jì)南·三模）如圖，已知中，，，內(nèi)切圓半徑為，則圖中陰影部分面積和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，扇形面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得圖中陰影部分面積和是的面積與扇形的面積的差，進(jìn)而即可求解【詳解】解：是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，，，圖中陰影部分面積和是的面積扇形的面積，、分別是、的角平分線，，，，，，，，故選：A．21．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，是的直徑，，°，將沿翻折，與直徑交于點(diǎn)，則圖中陰影部分面積為

【答案】【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，圓周角定理以及折疊軸對(duì)稱(chēng)，掌握?qǐng)A周角定理以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．根據(jù)圓周角定理以及直角三角形的邊角關(guān)系可求出、，再根據(jù)中位線定理求出，由圖形中面積之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵是的直徑，∴，在中，，，∴，，，∵，，∴是的中位線，∴，=，故答案為：．

22．（2023·河南周口·二模）如圖所示的是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開(kāi)，將扇形沿向右平移至扇形，如圖，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】連接，作于點(diǎn)，，即可求得弧和以及圍成的重疊部分的面積，則重疊部分的面積即可求得．本題考查了扇形的面積的計(jì)算，正確理解不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和、差計(jì)算是關(guān)鍵．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)．，，，，在直角中，，則，則弧和以及圍成的陰影部分的面積是：，則．故答案是：．23．（2023·廣東肇慶·三模）如圖，在中，，，，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交C于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積是．(結(jié)果保留π)【答案】/【分析】本題考查不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，扇形的面積公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是等邊三角形，從而得到，繼而得到從而得解．掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，連接．∵，，，∴，，又∵，∴是等邊三角形∴，，∵，∴，∴∴=．故答案為：．題型06正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算24．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）如圖是半徑為4的的內(nèi)接正六邊形，則圓心O到邊的距離是（

）A． B．3 C．2 D．【答案】A【分析】本題過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及垂徑定理得到，，從而得出，最后利用勾股定理算出，即可解題．【詳解】解：如圖，做于點(diǎn)，正六邊形外接半徑為4的，，，，，，圓心O到邊的距離為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，勾股定理，30度所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，以及垂徑定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題．25．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）如圖，P，Q分別是的內(nèi)接正五邊形的邊，上的點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正多邊形和圓、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正多邊形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．連接、、，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】解：連接、、，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，，，，，在和中，，，，，，，，，．故選：．26．（2023·寧夏·二模）中國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，奠定了中國(guó)圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位．劉微提出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”，由此求得圓周率的近似值．例如：設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)為C，圓的直徑為d，如圖，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，．（結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【分析】本題主要考查了正多邊形和圓以及解直角三角形的運(yùn)用，圓的內(nèi)接正十五邊形被半徑分成頂角為的十五個(gè)等腰三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)中心角的度數(shù)以及半徑的大小，求得，，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：如圖，圓的內(nèi)接正十五邊形被半徑分成15個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點(diǎn)H，則，，在中，，即，，，，，，故答案為：．27．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)小組在一個(gè)半徑為2的圓形場(chǎng)地上做探究實(shí)踐活動(dòng)．

（1）如圖1，小組將圓形場(chǎng)地分為12等份．機(jī)器人從一個(gè)點(diǎn)到另外一個(gè)點(diǎn)均是直線行走．①機(jī)器人從點(diǎn)走到點(diǎn)的路程為；②機(jī)器人從點(diǎn)到點(diǎn)走了兩條不同的路線．路線1：；路線2：，路線1的長(zhǎng)記為，路線2的長(zhǎng)記為，則；（填“>”“<”或“=”）（2）如圖2，機(jī)器人從出發(fā)，沿與半徑夾角為的方向行走，走到場(chǎng)地邊緣后，再沿與夾角為的方向折向行走至，…按照這樣的方式，機(jī)器人走到時(shí)第一次超過(guò)，且，則．【答案】>【分析】(1)①根據(jù)中心角為，結(jié)合從點(diǎn)走到點(diǎn)其路徑對(duì)的圓心角為，根據(jù)半徑為2計(jì)算即可．②根據(jù)中心角為，得到繼而判定都是等邊三角形，，得到；根據(jù)，得到為圓的直徑，根據(jù)中心角為，得到，，得到即，比較大小即可．（2）設(shè)多邊形的中心角為，當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，,，根據(jù)，求得，再計(jì)算即可．【詳解】(1)①∵中心角為，∴從點(diǎn)走到點(diǎn)其路徑對(duì)的圓心角為，∵，∴，故答案為：．②根據(jù)中心角為，∴，∴都是等邊三角形，∴，∴；∵∴，∴為圓的直徑，∴，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．（2）設(shè)多邊形的中心角為，當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，,，∵，∴，解得，∵半徑相等，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了中心角的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，無(wú)理數(shù)的估算，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握中心角的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型07與圓有關(guān)的位置關(guān)系28．（2023·山東泰安·三模）如圖，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，P是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段PA的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值是（）

A． B．2 C． D．【答案】A【分析】連接，如圖，先解方程得，再判斷為的中位線得到，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，過(guò)圓心C時(shí)，最小，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，最小，然后計(jì)算出即可得到線段的最小值．【詳解】解：連接，如圖，

當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∵Q是線段的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，當(dāng)最小時(shí)，最小，而過(guò)圓心C時(shí)，最小，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，最小，∵，∴，∴線段的最小值是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了三角形中位線．確定位置是解題的關(guān)鍵．29．（2023·陜西西安·一模）如圖，的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，且、與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時(shí)點(diǎn)的位置．由中知要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最大值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接，∵，∴，∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，∴，若要使取得最大值，則需取得最大值，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最大值，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則、，∴，又∵，∴，∴；∴，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為，故答案為：．30．（2023·北京·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對(duì)于直線l和線段，給出如下定義：若將線段關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，可以得到的弦(，分別是B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱(chēng)線段是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．例如，圖1中線段是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．

(1)如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①在線段，，中，以直線：為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是；②在線段，，中，存在以直線：為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，求b的值；(2)已知直線：交x軸于點(diǎn)A．在中，，，若線段是以直線為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出m的最大值與最小值，以及相應(yīng)的的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②1或3(2)m的最大值為，；m的最小值為，．【分析】（1）①根據(jù)題中定義即可畫(huà)圖得出；②通過(guò)判斷直線，的最長(zhǎng)的弦即直徑為4，可排除，，所以成為的弦，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，分兩種情況討論；（2）畫(huà)與關(guān)于直線：對(duì)稱(chēng)，以點(diǎn)A為圓心，6為半徑畫(huà)，則與至少有一個(gè)交點(diǎn)，才能滿足題目條件，畫(huà)出圖形即可求出m的最大值和最小值，通過(guò)勾股定理即可求出．【詳解】（1）解：①如圖所示：

∴以直線：為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是；②∵直線：與x軸夾角為，∴線段直線，∴線段關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)線段還在直線上，不可能是的弦，∵的最長(zhǎng)的弦即直徑為4，，∴線段的對(duì)稱(chēng)線段不可能是的弦；∵線段直線，且，∴線段的對(duì)稱(chēng)線段可以是的弦．線段的對(duì)稱(chēng)線段，且．如圖，平移線段使之成為的弦，有兩種情況：

(ⅰ)，的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)；(ⅱ)，的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)．綜上所述，或3．（2）解：畫(huà)與關(guān)于直線：對(duì)稱(chēng)，∵，以點(diǎn)A為圓心，6為半徑畫(huà)，則與至少有一個(gè)交點(diǎn)，才能滿足題目條件，∵與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則與至少有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，

此時(shí)m取得最小值；

此時(shí)m取得最大值；把代入直線：得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∵與至少有一個(gè)交點(diǎn)，∴，解得：，∴m的最大值為，m的最小值為；連接、、，過(guò)點(diǎn)C作，如圖所示，

∵，的半徑為2，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴；連接、、，過(guò)點(diǎn)C作如圖所示，

∵，的半徑為2，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了圓的幾何問(wèn)題，難度較大，正確理解新定義和考慮到以點(diǎn)A為圓心，6為半徑畫(huà)，則與至少有一個(gè)交點(diǎn)，才能滿足題目條件，是關(guān)鍵．31．（2023·江蘇常州·二模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形M，N間的“最小距離”，記作.已知點(diǎn)，，連接．

(1)填空：______；(2)的半徑是r，若，直接寫(xiě)出r的取值范圍；(3)的半徑是r，若將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)C.①當(dāng)時(shí)，求此時(shí)r的值；②對(duì)于取定的r值，若存在兩個(gè)不同的值使得，直接寫(xiě)出r的取值范圍．【答案】(1)3(2)(3)①，②【分析】（1）由題意得出軸，則可根據(jù)“最小距離”的定義得出答案；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由直角三角形的性質(zhì)及“最小距離”的定義得出答案；（3）①過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；②由題意可知線段在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖形即可得出答案．【詳解】（1）∵，，∴軸，∴，故答案為：3；（2）如圖所示，表示與線段有交點(diǎn)，

此時(shí),∴；（3）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C恰好落在x軸上，如圖，

過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，，，，，點(diǎn)C落在x軸上，，；②存在兩個(gè)不同的值使得，即線段在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中與有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖，

此時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“最小距離”的概念，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)．32．（2023·北京房山·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有圖形W和點(diǎn)P，我們規(guī)定：若圖形W上存在點(diǎn)M、N（點(diǎn)M和N可以重合），滿足，其中點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)P是圖形W的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”．

(1)如圖1所示，已知，點(diǎn)，點(diǎn)．①在點(diǎn)中，是線段的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”的是___________；②線段上是否存在線段的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出符合要求的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖2，以點(diǎn)為圓心，1為半徑作．坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)C滿足，再以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作，若上存在的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”，直接寫(xiě)出C點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)①，；②不存在，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①根據(jù)對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；②不存在，根據(jù)對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)的定義進(jìn)行討論可得結(jié)論；（2）畫(huà)出圖形進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）①如圖所示，點(diǎn)，，則；，則，

∴線段的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”的是，；故答案為：，；②不存在設(shè)P為線段上任意一點(diǎn)，則它與線段上點(diǎn)的距離最小值為0，最大值為和中的較大值；顯然點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，它到線段上任意一點(diǎn)的距離即若是線段上的任意兩點(diǎn)，，不存在∴線段上不存在線段的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”；（2）如圖，由②可知線段上不存在的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”，上存在的“對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)”，

∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱(chēng)平衡點(diǎn)．兩圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)特殊位置解決問(wèn)題．題型08切線的判定33．（2024·遼寧沈陽(yáng)·一模）如圖，直線l與相切于點(diǎn)M，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線段上，連接BC，且．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，的半徑為，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線是的切線，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先證明，得出，即可得出直線是的切線；（2）利用切線的性質(zhì)定理以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，則，以及的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式以及扇形面積公式得出答案即可．【詳解】（1）解：直線是的切線，理由：連接，，∵直線l與相切于點(diǎn)M，∴，在和中，∴，∴，為直徑，∴直線是的切線；（2）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)N，

∵，∴，即，又∵，則，∴，∴，則，∴，∵，，∴，∴，，∴，則，∴圖中陰影部分的面積為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了扇形面積公式以及切線的性質(zhì)和判定和銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用以及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)和判定定理是解題關(guān)鍵．34．（2024·陜西西安·二模）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在下方作，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由，得到，由為的直徑，可得，推出，結(jié)合，即可求解；（2）連接，可得，且，進(jìn)一步求得和，即可求得．【詳解】（1）證明：，，為的直徑，，，，，即，，是的切線；（2）連接，如圖，

，且為的直徑，，，，，，，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、切線的判定定理、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)．35．（2023·廣東湛江·三模）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段上，且，(1)求證：；(2)求證：以為直徑的圓與相切；(3)若，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)，可得，同理可得；結(jié)合即可求證；（2）取的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作于H，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于G，可得；證可得是的中位線，即可求證；（3）過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)A作于N，分別解直角三角形，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）證明：如圖1，取的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作于H，∴∴∵，∴∵，，∴四邊形是梯形，∴點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于G，∴，∵∴（），∴，∴是的中位線，∴∵，∴以為直徑的圓與相切；（3）解：如圖2，由（1）知，，∵，∴，在中，，∴，∴∵，，∴，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于M，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴過(guò)點(diǎn)A作于N，∴四邊形是矩形，∴，由（1）知，，∵，∴，在中，，∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)、圓的切線證明等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)．36．（2023·廣東江門(mén)·一模）如圖，矩形中，＝13，＝6，點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的⊙O與交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G．?(1)當(dāng)E是的中點(diǎn)時(shí)：tan的值．(2)在（1）的條件下，證明：是圓O的切線．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，利用E為中點(diǎn)即可求得；（2）連接，矩形的性質(zhì)證明，得出，利用等邊對(duì)等角得角相等，等量代換得，得出平行從而有，則結(jié)論得證．【詳解】（1）（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴．（2）證明：連接，在矩形中，，，又，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∴．∵，∴，∵是⊙O的半徑，∴是⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定．熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．題型09三角形內(nèi)切圓、外接圓的相關(guān)計(jì)算37．（2023·浙江杭州·二模）如圖，O為等腰三角形的外心，，連接，記，，則滿足的關(guān)系式為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∴，連接，

∵O為等腰三角形的外心，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．38．（2023·陜西西安·一模）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)（1）在中，，，則面積的最大值為；（2）如圖1，在四邊形中，，，，求的值．問(wèn)題解決（3）有一個(gè)直徑為的圓形配件，如圖2所示．現(xiàn)需在該配件上切割出一個(gè)四邊形孔洞，要求，，并使切割出的四邊形孔洞的面積盡可能?。噯?wèn)，是否存在符合要求的面積最小的四邊形？若存在，請(qǐng)求出四邊形面積的最小值及此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，四邊形面積的最小值為，此時(shí)【分析】（1）易知點(diǎn)C在以為弦的確定的圓上，作的外接圓，可得當(dāng)點(diǎn)C在的位置，即垂直平分時(shí)，的面積最大，求出，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（2）將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，，證明C、D、E在同一條直線上，求出，利用勾股定理求出，進(jìn)而可得的值；（3）如圖作輔助線，證明是等邊三角形，求出，可得要使四邊形的面積最小，就要使的面積最大，然后由（1）可知，當(dāng)是直徑，且時(shí)，的面積最大，同（1）的方法求出面積的最大值，可得四邊形面積的最小值，然后證明O、C、M共線，解直角三角形求出，根據(jù)可得此時(shí)的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，，∴點(diǎn)C在以為弦的確定的圓上，如圖，作的外接圓，∴當(dāng)點(diǎn)C在的位置，即垂直平分時(shí)，的面積最大，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴面積的最大值為，故答案為：；（2）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，，，，∵，，∴，∵，∴C、D、E在同一條直線上，∵，∴，∴，∴；（3）存在；如圖，連接，∵，，∴將繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴要使四邊形的面積最小，就要使的面積最大，作的外接圓，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，交于M，由（1）可知，當(dāng)是直徑，且時(shí)，的面積最大，此時(shí)，，∴，∴面積的最大值為，∴四邊形面積的最小值為，又∵垂直平分，是等邊三角形，∴O、C、M共線，∴,∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外接圓，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，作出合適的輔助線，靈活運(yùn)用三角形的外接圓求出三角形面積的最大值是解題的關(guān)鍵．39．（2024·山西朔州·一模）閱讀與思考閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．在某科技雜志上有這樣一道題：如圖1，在中，三邊分別為是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為．求的半徑．思路分析：如圖1．連接，則存，，設(shè)．于是有，∴．（其中S表示的面積，p表示的周長(zhǎng)的一半）用語(yǔ)言敘述：三角形的內(nèi)切圓的半徑．若已知的三邊長(zhǎng)，如何求的面積呢？我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202～1261），曾提出利用三角形的三邊長(zhǎng)求它的面積的秦九韶公式：若則秦九韶公式為．例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面積．解：，……任務(wù)：(1)請(qǐng)完成材料中利用秦九韶公式求面積的剩余步驟，并求出的內(nèi)切圓的半徑．(2)如圖2，在中，為它的內(nèi)切圓，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)剩余步驟見(jiàn)解析，的內(nèi)切圓的半徑為(2)1【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，三角形的內(nèi)切圓，正方形的判定和性質(zhì)，正確運(yùn)用材料中的公式是解題的關(guān)鍵．（1）利用二次根式及有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算出，再根據(jù)計(jì)算的內(nèi)切圓的半徑；（2）先利用勾股定理求出，進(jìn)而求出的周長(zhǎng)的一半和，根據(jù)即可求出的內(nèi)切圓的半徑，再證四邊形是正方形，即可求解．【詳解】（1）解：，又的周長(zhǎng)的一半，的內(nèi)切圓的半徑．（2）解：如圖，連接和，在中，，，設(shè)，p為的周長(zhǎng)的一半，則，，的內(nèi)切圓的半徑．；又為的內(nèi)切圓，，，，四邊形是正方形，．故答案為：1．40．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)I是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與的外接圓交于點(diǎn)D，與交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)F，的平分線交于點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，則，從而得到，即可得出結(jié)論；（2）證明，利用相似比得到，則，再計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；

（2）解；∵，，∴，∴，即，∴，∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及平行線的判定、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)角是解題的關(guān)鍵．題型10三角形內(nèi)切圓與外接圓的綜合41．（2022·河南信陽(yáng)·三模）如圖，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是內(nèi)心，O是外心，則∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．125【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理求出，求出度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)三角形的內(nèi)心得出，，求出的度數(shù)，再求出答案即可．【詳解】解：在中，，是外心，，，，為的內(nèi)心，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和三角形的外接圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．42．（2023·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，在中，．

(1)在圖①中作的外接圓；在圖②中作的內(nèi)切圓．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若O、I兩點(diǎn)在同一中，當(dāng)，時(shí)，______，______．（如需畫(huà)草圖，請(qǐng)使用圖③）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓得到的外接圓；作和的平分線，它們相交于點(diǎn)，作過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓得到的內(nèi)切圓；（2）如圖③，設(shè)與各邊的切點(diǎn)為、、，連接、、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則，先根據(jù)圓周角定理可判斷為的直徑，利用勾股定理可計(jì)算出得到，接著證明四邊形為正方形得到，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，從而得到，解得，然后利用勾股定理可計(jì)算出，再利用面積法求出，接著利用勾股定理求出，最后利用余弦的定義求出的余弦值．【詳解】（1）解：如圖①，為所作；

如圖②，為所作；

（2）如圖③，設(shè)與各邊的切點(diǎn)為、、，連接、、，則，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則，

，為的直徑，，，，，，，四邊形為矩形，，四邊形為正方形，，，，，，解得，，，在中，，在中，，，，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．主要考查了三角形外接圓和三角形的內(nèi)切圓．43．（2022·陜西西安·二模）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EC并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的度數(shù)為_(kāi)_____°；【問(wèn)題探究】（2）如圖2，在Rt△ABC中，，點(diǎn)D、E在直線BC上，連接AD、AE，若，，求△ADE面積的最小值；【問(wèn)題解決】（3）近日，教育部印發(fā)了《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》，此次修訂中增加的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，突破學(xué)科邊界，鼓勵(lì)教師開(kāi)展跨學(xué)科教研，設(shè)計(jì)出主題鮮明、問(wèn)題真實(shí)的跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)．為此，某校欲將校園內(nèi)一片三角形空地ABC（如圖3所示）進(jìn)行擴(kuò)建后作為跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)中心，在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，連接AE，已知，米，，為節(jié)約修建成本，需使修建后△ADE的面積盡可能小，問(wèn)△ADE的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）60；（2），詳見(jiàn)解析；（3）3200m2，詳見(jiàn)解析．【分析】（1）由四邊形內(nèi)角和360°得到答案；（2）分析得出三角形ADE面積數(shù)值為3DE，只需求出CE最小值即可；作出三角形ADE外接圓，圓心為O，過(guò)O作OH⊥DE，可得AO+OH≥AB，由∠ODH=30°知AO=2OH，求出OH最小值，借助三角函數(shù)得DH最小值；最后由垂徑定理得DE=2DH的最小值，代入求解；（3）過(guò)C作CH⊥AE，證明出四邊形ABCF為正方形，設(shè)BD=x，EF=y，利用三角函數(shù)得到xy=1600，利用不等式得到x+y的最小值，代入三角形ADE面積1600+20（x+y），求值即可．【詳解】（1）解：在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BCD=360°－∠A－∠ABC－∠ADC=120°，∴=180°－∠BCD=60°，故答案為：60．（2）解：S△ADE=DE·AB=3DE，∴當(dāng)DE取最小值時(shí)，△ADE面積取最小值．作△ADE的外接圓，圓心為O，連接OD、OE、OA，過(guò)O作OH⊥DE于H，則∠DOE=2∠DAE=120°，由OD=OE知，∠ODH=30°，∴OD=2OH，∵OA+OH≥AB，∴OA+OA≥6，即OA≥4，OH≥2，由垂徑定理得：DE=2DH=2OH≥，此時(shí)，A、O、H共線，AD=AE，∴△ADE面積的最小值為：3×=．（3）解：過(guò)C作CH⊥AE于H，如圖所示，設(shè)BD=x，EF=y，∵∠ABC=90°，AE∥BC，∴四邊形ABCF為矩形，∵AB=BC=40∴四邊形ABCF為正方形，由tan∠E=tan∠BCD知，，即，∴y=，即xy=1600，∵，∴=80，當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，即x+y的最小值為80，又△ADE的面積=正方形ABCF面積+三角形BCD面積+三角形CEF面積，即△ADE的面積=1600+20（x+y）≥1600+20×80=3200，綜上所述，△ADE的面積的最小值為3200m2．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和、圓心角與圓周角關(guān)系、垂徑定理、三角函數(shù)、正方形判定、不等式性質(zhì)等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，對(duì)定高定角圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題及靈活利用不等式是解題關(guān)鍵．44．（2020·貴州遵義·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上，一條拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M是直線BC在第一象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N．①求線段MN的最大值；②當(dāng)MN取最大值時(shí)，在線段MN右側(cè)的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，連接PM、PN，當(dāng)△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）【分析】（1）將三個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中列出方程組求得a、b、c，便可得拋物線的解析式；（2）①用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再設(shè)M的橫坐標(biāo)為t，用t表示MN的距離，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得MN的最大值；②分三種情況：當(dāng)∠PMN=90°時(shí)；當(dāng)∠PNM=90°時(shí)；當(dāng)∠MPN=90°時(shí)．分別求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)便可．【詳解】解：（1）把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）1°設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），則，解得，，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，設(shè)M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），則N（t，t2﹣4t+3），∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，∴當(dāng)t＝時(shí)，MN的值最大，其最大值為；2°∵△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上，∴△PMN為直角三角形，由1°知，當(dāng)MN取最大值時(shí)，M（，），N（，），①當(dāng)∠PMN＝90°時(shí)，PM∥x軸，則P點(diǎn)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)y＝時(shí)，y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（）；②當(dāng)∠PNM＝90°時(shí)，PN∥x軸，則P點(diǎn)與N點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣，當(dāng)y＝﹣時(shí)，y＝x2﹣4x+3＝﹣，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（）；③當(dāng)∠MPN＝90°時(shí)，則MN為△PMN的外接圓的直徑，∴△PMN的外接圓的圓心Q為MN的中點(diǎn)，∴Q（），半徑為，過(guò)Q作QK∥x軸，與在MN右邊的拋物線圖象交于點(diǎn)K，如圖②，

令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝<（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，∴⊙Q與MN右邊的拋物線沒(méi)有交點(diǎn)，∴在線段MN右側(cè)的拋物線上不存在點(diǎn)P，使△PMN的外接圓圓心Q在MN邊上；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）或（，）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，直角三角形的存在性質(zhì)的探究，圓的性質(zhì)，第（2）題的①題關(guān)鍵是把MN表示成t二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法解決問(wèn)題；第（2）②小題關(guān)鍵是分情況討論．難度較大．題型11四點(diǎn)共圓45．（2023·河南南陽(yáng)·三模）綜合實(shí)踐課上，劉老師介紹了四點(diǎn)共圓的判定定理：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓．在實(shí)際應(yīng)用中，如果運(yùn)用這個(gè)定理，往往可以讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以下是小明同學(xué)對(duì)一道四邊形問(wèn)題的分析，請(qǐng)幫助他補(bǔ)充完整．

特殊情況分析(1)如圖1，正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，交直線于點(diǎn)．小明的思考如下：連接，∵，，∴，（依據(jù)1）∵，∴，∴點(diǎn)共圓，∴，，（依據(jù)2）∴，∴．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應(yīng)為_(kāi)__________，②依據(jù)2應(yīng)為_(kāi)__________，③依據(jù)3應(yīng)為_(kāi)__________；一般結(jié)論探究(2)將圖1中的正方形改為菱形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)僅以圖2的形式證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；結(jié)論拓展延伸(3)如圖2，若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；等角對(duì)等邊(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)或3【分析】（1）根據(jù)材料中的證明過(guò)程，即可得到答案；（2）連接DQ，如圖1所示，由菱形的性質(zhì)得到，從而確定點(diǎn)共圓，再由圓周角定理得到，，進(jìn)而結(jié)合菱形性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可得證；（3）如圖2所示，當(dāng)時(shí)，，從而由為直角三角形可分兩種情況討論求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，②同弧所對(duì)的圓周角相等，③等角對(duì)等邊，故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；等角對(duì)等邊；（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：連接DQ，如圖1所示：

∵在菱形中，∴，，∵，∴點(diǎn)共圓，∴，，∵為菱形的對(duì)角線，∴，∴，∴；（3）解：或3．由于點(diǎn)為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分兩類(lèi)情況討論如下：①當(dāng)時(shí)，如圖2所示：

∵在菱形中，，，∴，∵，∴，∴，由（2）中知點(diǎn)共圓，知，，∴，∴，即，∴在中，，則，∴由（2）知；②當(dāng)時(shí)，如圖3所示：

在菱形中，，則，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，由（2）可知，，，綜上所述：或3．【點(diǎn)睛】本題考查特殊平行四邊形綜合，涉及正方形性質(zhì)、菱形性質(zhì)、含的直角三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何知識(shí)并靈活運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．46．（2022·河南駐馬店·三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱(chēng)為西姆松線）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上（不與點(diǎn)A、B、C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過(guò)程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，．請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．【答案】(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④等量代換(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等進(jìn)行求解即可；（2）如圖，連接PA，PB，PC，只需要證明即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④等量代換；（2）證明：如圖，連接PA，PB，PC．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．∴，．又∵，，∴．∴（HL）．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦，圓周角的關(guān)系，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等等等，正確作出輔助線和熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．47．（23-24九年級(jí)下·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）在中，為上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，取中點(diǎn)G．(1)如圖1，點(diǎn)D不與B、C重合，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若，且，連接，當(dāng)，，依題意補(bǔ)全圖2，并直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)的值為，補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)到F，連接，使，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，從而可證，可得，即可得出結(jié)論；（2）如圖，連接，與的交點(diǎn)記作點(diǎn)N，根據(jù)等邊三角形的判定證得是等邊三角形，可得，，，從而證得點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)共圓，從而可得，進(jìn)而證得是的垂直平分線，可得，設(shè)，則，進(jìn)而得出，，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，即可求解．【詳解】（1）解：線段與的數(shù)量關(guān)系：，理由如下：延長(zhǎng)到F，連接，使，∵G為的中點(diǎn)，．繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，．．，．又，．．．（2）解：依題意補(bǔ)全圖2如圖：連接，與的交點(diǎn)記作點(diǎn)N，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∵，∴，∴是的垂直平分線，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，由（1）可得，，∴，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，在中，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、四點(diǎn)共圓、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理，判斷點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．48．（2023·吉林長(zhǎng)春·二模）（1）【感悟】如圖①，把直角三角板的直角頂點(diǎn)放在破損圓形玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)、，連接，則線段為圓形玻璃鏡的直徑．此操作體現(xiàn)的數(shù)學(xué)道理是：______．（2）【應(yīng)用】如圖②，、、三點(diǎn)在上且，過(guò)點(diǎn)作垂直的切線于點(diǎn)，若，．求的長(zhǎng)．（3）【拓展】如圖③，已知是等邊三角形，以為底邊在外作等腰，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1）的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑；（2）；（3）．【分析】（1）【感悟】根據(jù)的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑即可得解；（2）【應(yīng)用】連接，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即得；（3）【拓展】連接，由是等邊三角形，是的中點(diǎn)，得，，由是等于直角三角形，得，，可得，，，四點(diǎn)共圓，從而，，即得的度數(shù)是．【詳解】解：（1）【感悟】把直角三角板的直角頂點(diǎn)放在破損圓形玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)、，連接，則線段為圓形玻璃鏡的直徑．此操作體現(xiàn)的數(shù)學(xué)道理是：的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑，故答案為：的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑；（2）【應(yīng)用】連接，，如圖②：，是的直徑，，是的切線，，，，，，，，，，，即，；（3）【拓展】連接，如圖③：是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理．題型12圓冪定理49．（2023·河南信陽(yáng)·三模）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．

(1)為了說(shuō)明相交弦定理正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出證明過(guò)程．已知：如圖①，弦，交于點(diǎn)P，求證：______________．(2)如圖②，已知是的直徑，與弦交于點(diǎn)P，且于點(diǎn)P，過(guò)D作的切線，交的延長(zhǎng)線于E，D為切點(diǎn)，若，的半徑為5，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明，再利用相似的性質(zhì)即可；（2）利用（1）可知，求出，再證明，利用相似的性質(zhì)求出，求差即可得到的長(zhǎng)．【詳解】（1）求證：．證明：連接AC、BD．如圖①．

∵，．∴．∴．∴．（2）解：∵，，．由（1）可知．∴．∵，是的直徑，，．連接OD．如圖②．∵為切線．∴．∵．．∴．∴．∵，∴．∴，．又∵．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，嚴(yán)格的邏輯思維和嚴(yán)密的書(shū)寫(xiě)過(guò)程是解題的關(guān)鍵．50．（22-23九年級(jí)上·山西忻州·期末）閱讀與思考九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書(shū)，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），下面是書(shū)上的證明過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，的兩弦相交于點(diǎn)P．求證：．證明：如圖1，連接．∵，．∴，（根據(jù)）∴@，∴，∴兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．任務(wù)：(1)請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整．根據(jù)：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是的弦，P是上一點(diǎn)，，，，求的半徑．【答案】(1)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；；(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)F，設(shè)圓O的半徑為rcm，則，，根據(jù)（1）中結(jié)論代入求解即可．【詳解】（1）連接．∵，．∴，（有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）∴，∴，∴兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．故答案為：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；；（2）延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)F，設(shè)圓O的半徑為rcm，則，，根據(jù)（1）中結(jié)論得，即為，解得：或（不符合題意，舍去），的半徑為．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用圓的相交弦定理是解題關(guān)鍵．51．（2021·河南新鄉(xiāng)·三模）圓冪定理是平面幾何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割線定理、割線定理以及它們推論，其中切割線定理的內(nèi)容是：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．喜歡思考的天天在了解這個(gè)定理之后嘗試給出證明，下面是他的部分證明過(guò)程：已知；如圖①，點(diǎn)為外一點(diǎn)，切線與圓相切于點(diǎn)，割線與圓相交于點(diǎn)、．求證：證明：如圖③，連接、、、，∵切于點(diǎn)，∴，即，……閱讀以上材料，完成下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)幫助天天補(bǔ)充完成以上證明過(guò)程；（2）如圖②，割線與圓交于點(diǎn)、，且，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）利用切線的性質(zhì)得到，利用三角形內(nèi)角和定理及圓周角定理推出，從而證明，即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論，得到，代入數(shù)值即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接、、、，∵切于點(diǎn)，∴，即，∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，又，∴，∴，即；（2）∵，同理有，，∴，∴，∴，即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．52．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．證明過(guò)程如下：如圖1：已知：點(diǎn)P是外一點(diǎn)，是切線，F(xiàn)是切點(diǎn)，是割線，點(diǎn)A，B是它與的交點(diǎn)，求證：證明：連接并延長(zhǎng)交于C，連接，∵是的切線，（依據(jù)________________________________)∵是的直徑，（依據(jù)_______________________________)

又∵（依據(jù)_____________________________________)......任務(wù)：(1)完成材料證明部分中的“依據(jù)”，填入空格．(2)把證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)定理應(yīng)用：已知為的切線，T是切點(diǎn)，是的割線，交于D，為的直徑，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)切線的性質(zhì)定理；直徑所對(duì)的圓周角是直角；同弧所對(duì)的圓周角相等(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用圓周角定理推論、切線性質(zhì)找等角即可解答；（2）先構(gòu)造相似三角形，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可；（3）設(shè)，如圖：連接，先證，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求得x，然后再利用切割線定理求y長(zhǎng)度即可．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交與C，連接，∵是的切線，（依據(jù)：切線的性質(zhì)定理)∵是的直徑，（依據(jù)：直徑所對(duì)的圓周角是直角)

又∵（依據(jù)：同弧所對(duì)的圓周角相等)…………故答案為：切線的性質(zhì)定理；直徑所對(duì)的圓周角是直角；同弧所對(duì)的圓周角相等．（2）證明：連接并延長(zhǎng)交與C，連接，∵是的切線，（依據(jù)：切線的性質(zhì)定理)∵是的直徑，（依據(jù)：直徑所對(duì)的圓周角是直角)

又∵（依據(jù)：同弧所對(duì)的圓周角相等)又∵∴

．（3）解：設(shè)，如圖：連接，∵∴，∴，即，解得：或（舍去）由切割線定理，由勾股定理可得：，解得，∴.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了閱讀理解能力、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，從閱讀材料中提取有用信息是解答本題的關(guān)鍵．53．（2022·河南商丘·二模）讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．下面是不完整的證明過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．已知：P為外一點(diǎn)，PA與交于A，B兩點(diǎn)，PM與相切于點(diǎn)M．求證：．證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，連接BC．∵PM為的切線，∴_______，∴，∵CM為的直徑，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．學(xué)習(xí)任務(wù)：如圖，若線段AB與相交于C，D兩點(diǎn)，且，射線AB，BF為的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接CF．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)∠CMP；∠CBM；∠BMP；△PMA；見(jiàn)解析(2)27【分析】閱讀材料：連接AM，BM，連接MO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，連接BC，證△PMA即可得出結(jié)論；（1）由閱讀材料得，，再由AC=BD，證AD=BC，即可得出結(jié)論；（2）由閱讀材料得，從而求出，再過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，解求出，最后利用計(jì)算即可求解．【詳解】（1）閱讀材料證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，連接BC．∵PM為的切線，∴∠CMP，∴，∵CM為的直徑，∴∠CBM，∴，∴∠BMP，∵，∴．∵，∴△PMA．∴，∴．故答案為：∠CMP，∠CBM，∠BMP，△PMA．（1）證明：∵AE，BF為的兩條切線，∴，．∵，∴，即．∴，∴．（2）解：∵，設(shè)，則，，由由閱讀材料得，，即，解得，∴，如圖1，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，在中，，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，本題屬閱讀材料題，通過(guò)閱讀，探究出一個(gè)結(jié)論，再運(yùn)用結(jié)論解決其他問(wèn)題，屬中考試常用考類(lèi)型．54．（2023·河南周口·三模）閱讀與思考學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們進(jìn)行了如下探究活動(dòng)，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．割線定理如圖，A是外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線分別交于點(diǎn)B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據(jù)：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務(wù)：(1)上述閱讀材料中①處應(yīng)填的內(nèi)容是________，②處應(yīng)填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學(xué)們繼續(xù)思考，當(dāng)直線AE與圓相切時(shí)，是否仍有類(lèi)似的結(jié)論．請(qǐng)將下列已知、求證補(bǔ)充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)B，C，__________．求證：___________．

【答案】(1)同弧所對(duì)的圓周角相等；；(2)與相切于點(diǎn)E．；證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得到結(jié)論即可；（2）如圖，連接，證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖，連接．∵（依據(jù)：①__同弧所對(duì)的圓周角相等__），，∴．∴②_______．∴．故答案為：同弧所對(duì)的圓周角相等；；（2）已知：如圖，A是外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)B，C，與相切于點(diǎn)E．求證：．

證明：如圖，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接．

∵為的切線，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：與相切于點(diǎn)E．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，割線定理，熟練掌握割線定理是解題的關(guān)鍵．55．（2022·廣東深圳·三模）弗朗索瓦·韋達(dá)是十六世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，最早提出“切割線定理”（圓冪定理之一），指的是從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，則切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)，下面緊跟著圓的切線作圖的思路嘗試證明與運(yùn)用．(1)作圖（保留作圖痕跡）：已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，①作線段OP的中垂線MN交OP于點(diǎn)Q；②以Q為圓心，PQ為半徑作圓，交圓O于點(diǎn)E、F；③連接PE和PF；試說(shuō)明PE是圓O切線的理由．(2)計(jì)算：若圓O半徑OB=4，PB=14，嘗試證明“切割線定理”并計(jì)算出PE的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）按要求作圖，根據(jù)MN是OP的中垂線，得到OQ=OP，點(diǎn)O在圓Q上，OQ=EQ=PQ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得∠OEP=90°，即可證明；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理的推論可得∠EBO=∠AEP，證得，所以，，根據(jù)OB=4，PB=14，求出AP的長(zhǎng)度，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）作圖如下：連接OE，EQ，∵以Q為圓心，PQ為半徑作圓，交圓O于點(diǎn)E、F；∴QE=QP，∵M(jìn)N是OP的中垂線，∴OQ=OP，點(diǎn)O在圓Q上，∴OQ=EQ=PQ，∴∠EOQ=∠OEQ，∠PEQ=∠EPQ，∵∠EOP+∠OEQ+∠QEP+∠EPQ=180°，∴2（∠OEQ+∠QEP）=180°，∴∠OEQ+∠QEP=90°，即∠OEP=90°，OE垂直EP，∴PE是圓O的切線．（2）證明：連接BE，OA，∵EP是圓O的切線，AB為圓O的直徑，∴∠OEP=90°，∠BEA=90°，∴∠BEO=∠AEP∵OE和OB為圓O的半徑，∴∠BEO=∠EBO，∴∠EBO=∠AEP，∵∠EPB=∠EPA，∴，∴，∴．∵OB=4，PB=14，∴AB=2OB=8，AP=BP－AB=14－8=6，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線證明以及相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意證明是解題的關(guān)鍵．題型13阿基米德折弦定理56．（2022·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問(wèn)題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是．

【答案】/【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則可用阿基米德折弦定理得，，根據(jù)中，，于點(diǎn)，可得是等腰直角三角形，可求出的長(zhǎng)