數(shù)學(xué)重積分的應(yīng)用

目錄TOC\o"1-3"\u摘要 1關(guān)鍵詞 1Abstract 1Keywords 1前言 11立體體積. 12曲面的面積 23物體的重心 34物體的轉(zhuǎn)動慣量 65物體的引力 7結(jié)語 8參考文獻 8

重積分的應(yīng)用摘要：重積分主要用來解決實際問題，在本文中，我總結(jié)一下學(xué)習(xí)中遇到的重積分的應(yīng)用，比方求空間立體的體積，空間物體的質(zhì)量及在幾何和物理方面的應(yīng)用，并用實例加以說明。關(guān)鍵詞：重積分；曲面面積；重心；轉(zhuǎn)動慣量；引力；應(yīng)用；Abstract:Heavyintegralismainlyusedtosolvepracticalproblems,inthisarticle,Iencounteredinthestudysummarizedtheapplication,suchasheavypointsforthree-dimensionalvolume,spaceobjectsinthequalityandtheapplicationsofgeometryandphysics,andsomeexamplestoillustrate.Keywords:Heavyintegral;Surfacearea;Gravity;Inertia;Gravity;Application.前言學(xué)習(xí)重積分，主要掌握重積分的計算和應(yīng)用，用重積分的思想解決實際問題，而計算又涵蓋在應(yīng)用中，我歸納其應(yīng)用如下：1.立體體積曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面,,那么其體積為占有空間有界域的立體的體積為.例1求曲面任一點的切平面與曲面所圍立體的體積.解曲面在點的切平面方程為.它與曲面的交線在面上的投影為〔記所圍域為〕..令.原式.例2求半徑為的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為..那么立體體積為.2.曲面的面積設(shè)光滑曲面，，那么面積可看成曲面上各點處小切平面的面積無限積累而成.設(shè)它在上的投影為，那么.〔稱為面積元素〕.故有曲面面積公式.即.假設(shè)光滑曲面方程為，，那么有.假設(shè)光滑曲面方程為，，那么有.假設(shè)光滑曲面為隱式，且，那么，，..例3求半徑為的球的外表積.解利用球坐標方程設(shè)球面方程為.球面面積元素為..例4計算雙曲拋物面被柱面所截出的面積.解曲面在面上投影為,那么..3.物體的重心設(shè)空間有個質(zhì)點,分別位于,其質(zhì)量反別為,由力學(xué)知,該質(zhì)點系的重心坐標為...設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)那么采用大化小常代變?nèi)O限可求出其重心公式即:把分成小塊,在第塊上任取一點,將第塊看作質(zhì)量集中于點的質(zhì)點,此質(zhì)點系的重心坐標就近似該物體的重心坐標.假設(shè)令各小區(qū)域的最大直徑，即得.同理可得..當常數(shù)時，那么有：..〔為的體積〕.假設(shè)物體為占有面上區(qū)域的平面薄片，其面密度為，那么它的重心坐標為.當常數(shù)時，那么有〔為的面積〕.例5求位于兩圓和之間均勻薄片的重心.解利用對稱性可知.而.例6一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為，假設(shè)爐內(nèi)儲有高為的均勻鋼液,不計爐體的自重,求它的重心.解利用對稱性可知重心在軸上故其坐標為,.采用柱坐標,那么爐壁方程為,.因此...4.物體的轉(zhuǎn)動慣量因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù),該物體位于處的微元對的轉(zhuǎn)動慣量為因此物體對軸的轉(zhuǎn)動慣量.類似可得對軸的轉(zhuǎn)動慣量.對軸的轉(zhuǎn)動慣量.對原點的轉(zhuǎn)動慣量.如果物體是平面薄片,面密度為，那么轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分..例7求半徑為的均勻半圓薄片對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量.解建立坐標系如下圖..半圈薄片的質(zhì)量.例8求均勻球體對于過球心的一條軸的轉(zhuǎn)動慣量.解取球心為原點,軸為軸,設(shè)球所占域為,那么().5.物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,其密度函數(shù)連續(xù),物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.利用元素法,引力元素在三坐標軸上的投影分別是為引力常數(shù).在上積分即得各引力分量:.對面上的平面薄片,它對原點處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為.().例9設(shè)密度函數(shù)為,半徑為的圓形薄片,,求它對于位于點處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.解由對稱性知引力.例10求半徑為的均勻球?qū)ξ挥邳c的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.解利用對稱性知引力分量(為球的質(zhì)量).參考文獻：[1]王貴鵬.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001年6月.[2]田國華.數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)及習(xí)題全解[M].北京:人民日報出版社,2007年8月.[3]閆曉紅,王貴鵬.數(shù)學(xué)分析全程導(dǎo)學(xué)及學(xué)習(xí)習(xí)題全解[M].北京:中國時代經(jīng)濟出版社,2006年3月.[4]強文久,李元章,黃雯榮.數(shù)學(xué)分析的根本概念與方法[M].上海:高等教育出版社,1989年4月..

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