蘇教版高中數(shù)學(xué)選修第二冊(cè) 練習(xí) 07 空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及空間兩點(diǎn)距離公式

07空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及空間兩點(diǎn)距離公式

目錄

☆【題型一】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式...........................................................?

☆【題型二】空間向量的垂直.....................................................................1

☆【題型三】空間向量的模長(zhǎng)公式.................................................................3

☆【題型四】空間向量的夾角公式.................................................................3

☆【題型五】?jī)蓷l直線所成角的余弦值.............................................................5

☆【題型六】已知兩個(gè)向量的夾角為銳角求參數(shù)的范圍...............................................8

☆【題型七】已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角求參數(shù)的范圍...............................................9

☆【題型八】空間兩點(diǎn)間的距離公式...............................................................9

☆【題型一】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式

【例題】已知。=(-1,2,1),6=(2,0,1),則(2α+3b)?(α-6)=.

【答案】-4

【詳解】易得2α+3b=(4,4,5),a~∕>=(~3,2,0),貝∣J(2α+3Z>)?(α—6)=4x(—3)+4χ2+5χ0=—4.

【變式訓(xùn)練】

1.已知向量0=(3,5,-4),?=(2,1,8).求“?b.

【答案】一21.

【詳解】。協(xié)=(3,5,-4)-(2,1,8)=3×2+5×l+(-4)×8=6+5-32=-21.

2.已知向量α,b,C滿足2α+B=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),且α?c=4,求B?c.

【答案】6?c=-18

【詳解】由已知b,c=((θ,—5,10)—2a)?c=(0,—5,10)?(1,—2,—2)-2a?c=IO-20—2x4=—18.

☆【題型二】空間向量的垂直

【例題】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體48CD-48∣CQι中，E,尸分別為DQ,8。的中點(diǎn)，G在棱8上,

且CG=』CD,，為GG的中點(diǎn).

4

求證：EF1B↑C.

【詳解】證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一平，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

仇?°],

則有

J°‘°,3?°)，C(O,1,O),C1(O,1,1),βl(l,l,l),Gl

ooo

彷=L?]-(3=B?3,^Γb=(0,ι,0)-(i,ι,i)=(-ι,o,—1).

力x(—1)=0,

ΛEp-B1C=~×(-1)H--×O-I-

：.EPl即EF_LBlC

【變式訓(xùn)練】

1.已知。=。+1,1,22),若同=3，且。與c=(2,-2λ,一7)垂直，求”.

【答案】4=(0,1,-2).

【詳解】因?yàn)榛?弋5,KaLc,

2+12+l2+2λ2=5,

所以：.

λ+l,1,2λ；2,~2λ,~λ=0,

5/2+24=3,

化簡(jiǎn)得,解得2=-1.因此，a-(0,1,—2).

∣2-2A2=0,

2.若向量Z=(TL-2)與否=(LX,2)垂直，則實(shí)數(shù)X的值為.

【答案】5

【詳解】因?yàn)椤阓LL所以2與=0,得一1+x—4=0,即x=5?

3.已知向量Q=(1,1,0),A=(T,0,2),且履+6與2αf互相垂直,則左的值是()

137

A.1B.1C.-D.-

555

【答案】D

【詳解】依題意得(版+b)(2α-8)=0,

所以2k?a?i-ka?b+2a-b-?b?2=0,

而同2=2,血2=5,a-b--↑,

所以4%+4—2—5=0,解得A=1.

4.已知向量α=(3,5,-4),6=(2,1,8).若右α+%6與Z軸垂直,求，乃滿足的關(guān)系式.

【詳解】因?yàn)?九a+226)?(0,0,1)=(3九+222,5九+反-42l+8A2)(0,0,1)=-4λ,+822=0.

所以九一222=0.

☆【題型三】空間向量的模長(zhǎng)公式

【例題】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/8CZ)—48∣GG中，E,尸分別為DQ,8。的中點(diǎn)，G在棱Co上,

且CG=;CZ),"為CIG的中點(diǎn).求|兩.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一平，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

I，0,力,ft'2'0),C(0,l,0),C∣(O,1,1),8ι(l,l,l),

則有.G94'(La8'3

“I?o)=［-r?H

Fh=

一兩7+卷+:乎

【變式訓(xùn)練】

1.已知點(diǎn)4(1,4,1),5(-2,0,1),求網(wǎng).

［答案］5_________________

【詳解】???∑S=(-3,-4,0),.?,∣∑5∣=^(-3)2+(-4)2+02=5.

2.設(shè)一地球儀的球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0,球面上的兩個(gè)點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為(1,2,2),(2,-2,1),

則I港I等于()

A.18B.12C.2√3D.3也

【答案】D

［詳解］∣Zδ∣=√2-12+-2-22+1-22=3√2,故選D.

☆【題型四】空間向量的夾角公式

【例題】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力8CO-48∣CQ∣中，E,尸分別為A。，8。的中點(diǎn)，G在棱CD上,

且CG=IC。，，為GG的中點(diǎn).

4

求COS{Ep,C^3}.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。一中Z,。為坐標(biāo)原點(diǎn),

則有小器

3P°],C(OΛO),C1(0,l,l),.,(U,!),J"√°],

oo

濟(jì)=E?]-(。3=@?4),

因?yàn)?b=[°'4,°]-(0,1,1)4°,-%T.所以I弟尸痘

4

卜力+b)(τ)=∣,防=4

?×O+?×∣

2282

=球?6?=區(qū)

所以CoS〈彷,說7〉

麗品17

【變式訓(xùn)練】

1.已知向量α=(x,l,2),6=(1,yf—2),c=(3,l,z),a∕∕b,b±c.

⑴求x,y,z的值；

(2)求向量(α+c)與S+c)所成角的余弦值.

【詳解】(l)Va=(x,l,2),b=(l,y9一2),c=(3,l9z)9且”〃瓦b±c9

X=I=N-,x=-ιt

.?.jy-2,解得.y=_],

3+y—2z=0,

(2)由⑴知Q=(-1,1,2),?=(1,-1,-2),c=(3,l,l),

.?.α+c=(223),∕>+c=(4,0,-1).

Λ(α+c)?(*+c)=2×4+2×0+3×(-l)=5,

?a+c?=?∣22+22+32=?[?7,?b+c?=?∣42+02+^^-∏^^^=?[?7.

5_5

；?向量(α+c)與(〃+c)所成角的余弦值為

√Γ7×√Γ7-171

2.求下列各題中兩個(gè)向量夾角的大小:

(1)α=(2,-3,√3),B=(1,O,O);

(2)α=2∕+2√6√?-2^,b=-2i+2k>其中｛7,]K｝是單位正交基底.

t-—?a?b2X1+f—3)×0+??∣3×01

【詳解】⑴由"*福,二工⑼?"F則彳

(2)由｛7J,i｝是單位正交基底，則￡=27+20-2%=(2,2訪一2),6=-2/+2^^(-2,0,2)

a??=(2,2√6,-2)?(-2,0,2)=-4+0-4=-8,Iq=J4+24+4=45?b?=√4+0+4=2√2.

/一工?Q/-81----2π

所以c°s")=麗=南Wr'則s>=τ

3.已知2(2,—5,1),BQ,-2,4).C(l,-4,1),則向量力與祀的夾角為.

【答案】：

【詳解】：赤=(0,3,3),於=(-1,1,0),

Λ∣^∣=3√2,IkI=/，

Aδ?Jt,=0×(-∣)+3×l+3×0=3,

Ah-At

cos〈港,就〉

港Il和2'

又；〈孫,祀〉∈[0,π],二〈孫,祀〉=：.

☆【題型五】?jī)蓷l直線所成角的余弦值

【例題】如圖，在直三棱柱∕8C-48∣G中，CA=CB=I,NBe4=90。，/m=2,N為小4的中點(diǎn).

(1)求BN的長(zhǎng)；

(2)求出8與BC所成角的余弦值.

【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4CACG所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-XVz.

(1)依題意得點(diǎn)5(0,1,0),M1,0,1),

所以I勵(lì)=?√I-Q2+0一！21LQ2=S,所以av=√5.

(2)依題意得點(diǎn)小(1,0,2),C(0,0,0),5(0,1,2),

所以石方=(一1,1,-2),^t=(0,-1,-2),

所以W??員t?=(-1)X0+1X(—l)+(-2)χ(-2)=3.

又因?yàn)镮/詢=*,∣β∣b∣="?∕5,所以COS〈4花，瓦七〉="山B∣C=

|砌的?θ

而異面直線所成角為銳角或直角，故/山與BC所成角的余弦值為呼.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體∕188-48ιClDl中，EF分別為DIDB。的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱。上，且CG

=LCDH為ClG的中點(diǎn).

4

(1)求證：EFLBiC;

(2)求尸，的長(zhǎng)；

(3)求EF與CiG所成角的余弦值.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

,

則知點(diǎn)M°,z),fU,ΓJ,C(0,1,0),Cι(0,1,l),β∣(l,1,?),G[°4,°),?V>?2.

o,

因?yàn)闈?jì)=S?]-(°OT=G2,^3.

β∣c=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-I),

所以成?杭=3x(-l)+jxθ+(-Jx(-1)=0,

所以彷，短7,即EFLBlC

3f∣

⑵由(1)可得前=I2,8,2J,

Z

所以I兩==畫.所以FH=?.

MI+B+088

(3)因?yàn)?3*-(0,1,1)=-)，

,TT階箭、所

所以CoS(彷，C∣G)==---.

防?∣箭I17

故異面直線EF與GG所成角的余弦值為姮.

2.在正方體/8CZ)-∕∣8∣CLDl中，Oi是底面/向CQl的中心，點(diǎn)El在囪G上，并且8∣E∣=0∣G,求BEl

3

與CoI所成的角的余弦值.

【詳解】不妨設(shè)48=1,如圖，以N8所在直線為X軸、NO所在直線為y軸、

/小所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則知點(diǎn)8(1,0,0),El(LP1),C(l,l,0),θE’2,",

展」°,?ι],歷尸昌WD

→→k1,l]f-l-1,1]5

BEvCO?=V3Jl22J=-,

6

蝎尸乎國|=§.

5

6,√15

所以COS〈屁],ee?)

√10χ√66

32

即BE?與Col所成角的余弦值為近

6

√BC

3：如圖，在四棱錐P-/8C。中，底面NBC。為矩形，側(cè)棱以，底面NBCD/8=3,BC^↑,PA=2,E

為。。的中點(diǎn).求力C與尸8所成角的余弦值.

AR

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則知點(diǎn)/(0,O,O),8(√LO,0),C(√3,1,0),

?o,?,11

￡>(0,1,O),P(O,0,2),￡<2

從而祀=(√L1,0),防=(3，0,-2).

一→AC?P?311?Fj

設(shè)企與協(xié)的夾角為0,則cos6===------尸=

Qj兩2×√714

所以ZC與PB所成角的余弦值為域

☆【題型六】已知兩個(gè)向量的夾角為銳角求參數(shù)的范圍

【例題】已知向量α=(5,3,l),6=[一2,“一(J，若α與6的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為.

【答案】(],一8)

【詳解】由已知得α?6=5χ(—2)+3f+lχ[sj=3∕—

因?yàn)椤芭c/>的夾角為銳角，所以“仍>0,

即3f—區(qū)>0,所以小.

515

若。與b的夾角為0。，則存在人使α=M,

[5=-2z,

即(5,3,1)=卜2,t，所以.3="?,所以f=—g,

.2?5

1=—Λ,

5

故t的取值范圍是(^|,一8).

【變式訓(xùn)練】

1.若“=(2,-1,4),?=(-l,t,-2),若。與b的夾角是銳角，則/的值的取值范圍為

【答案】(-8,-10).

【詳解】因?yàn)棣僚c〃的夾角是銳角，所以“?b>O,

即-2-f-8>0,解得/<-10，

若。與、的夾角為0。，則存在九使α=動(dòng)，

2=-λ

(2,-1,4)=2(-1,t,-2),所以.-I=At，所以E=L

2

4=-22

故t的取值范圍是(一oo,-10).

☆【題型七】已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角求參數(shù)的范圍

~2,t,

【例題】已知向量α=(5,3,l),b=—3,若。與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)，的取值范圍為

0,)

【答案】[-°^‰[-f3

52

【詳解】由己知得〃力=5x(—2)+3z+1χ∣

5

因?yàn)椤芭c6的夾角為鈍角，所以α?X0,

即3/一“<0,所以女".

515

若。與b的夾角為180。，則存在卜0,a=λb(λ<O),

5=-2Λ9

即(5,3,1)=4一2''

-3,所以3=tλ,所以/=_；,

2,

1=--A

59

-_,_6]f652]

故t的取值范圍是°°?jul?lil.

【變式訓(xùn)練】

1.若α=(2,-1,4),A≈(-l,t,-2),若α與b的夾角是鈍角，則f的值的取值范圍為.

【答案】(-10，)U(L+8)

22

【詳解】因?yàn)椤芭cb的夾角是鈍角，所以"?b<O,

BP-2-∕-8<0.解得/>-10,

若α與6的夾角為180。，則存在九使。=助,

2=-4

(2)—1,4)=2(—1>t,-2),所以,?-?=λt1所以r=；，

4=-22

故t的取值范圍是(-10」)U(L+8).

22

☆【題型八】空間兩點(diǎn)間的距離公式

【例題】已知點(diǎn)4(3,1,3),2(1,5,0).

(1)求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度;

(2)求到A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x,y,Z)的坐標(biāo)xj,Z滿足的條件.

【詳解】(1)設(shè)M是48的中點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

加=眄+彷)=權(quán)3,l,3)+(l,5,0)]=e3'J

所以線段48的中點(diǎn)坐標(biāo)是J2，3，3

因?yàn)楦?(—2,4,-3),所以線段/8的長(zhǎng)度為成I=M—22+42+-32=標(biāo).

(2)因?yàn)镻(x,y,Z)到A,B兩點(diǎn)距離相等,則

√χ-3.2+y-l^^^^Z-32=

NX-1^^2+?-?~H^^Z-Q2,

化簡(jiǎn)得4χ-8y+6z+7=0.

所以到A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P的坐標(biāo)X,y,Z滿足的條件是4χ-8y+6z+7=0.

【總結(jié)】

(1)平面內(nèi)到48兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線.

(2)空間內(nèi)到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,Z)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面.

【變式訓(xùn)練】

1.已知點(diǎn)M(3,2,l),M1A5),求：

(1)線段MN的長(zhǎng)度；

(2)到W,N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,力z)的坐標(biāo)滿足的條件.

【詳解】(1)根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得線段MN