與圓有關(guān)的位置關(guān)系(原卷版)-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題30與圓有關(guān)的位置關(guān)系

【專題目錄】

技巧1：有關(guān)圓的位置關(guān)系的四種判斷方法

技巧2：切線的判定和性質(zhì)的四種應(yīng)用類型

技巧3：圓中常用的作輔助線的八種方法

【題型】一、判斷點與圓的位置關(guān)系

【題型】二、三角形外接圓的相關(guān)計算

【題型】三、確定圓的條件

【題型】四、判斷直線與圓的位置關(guān)系

【題型】五、利用切線的性質(zhì)定理進行計算

【題型】六、切線性質(zhì)與判定的綜合

【題型】七、利用切線長定理進行計算

【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計算

【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計算

【題型】十、判斷圓與圓的位置關(guān)系

【考綱要求】

1.T解直線和圓的位置關(guān)系，并會判斷直線和圓的位置關(guān)系.

2.T解點和圓的位置關(guān)系，并會判斷點和圓的位置關(guān)系.

3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì).

4.掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì).

【考點總結(jié)】一、點、線與圓的位置關(guān)系

1.如果圓的半徑為r,某一點到圓心的距離為d,那么：

(1)點在圓外0辦r；

(2)點在圓上=上匕

（3）點在圓內(nèi)o8兀

2.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切和相交

位置

相離相切相交

關(guān)系

(J)CD

圖形小

公共點個數(shù)012

數(shù)量

d>rd=rd<r

關(guān)系

3.切線的性質(zhì)與判定

（1）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

4.*切線長定理

（1）切線長：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

（2）定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

【技巧歸納】

技巧1：有關(guān)圓的位置關(guān)系的四種判斷方法

類型一：點與圓的位置關(guān)系

方法1定義法

1.如圖，在網(wǎng)格中（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）選取9個格一點（格線的交點稱為格點）.如果以A

為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍一為（）

A.2也<r<\：T75，V17<r<3^2

C.\T7<r<5D.5<r〈標(biāo)

2.在矩形ABCD中，AB=8,BC=3近，點P在邊AB上，且BP=3AP,如果圓P是以點P為圓心，PD

的長為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

4點B,C均在圓P外

8.點B在圓P外，點C在圓P內(nèi)

。.點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外

。.點B,C均在圓P內(nèi)

方法2比較法

3.。。的半徑r=5cm,圓心O到直線1的距離OD=3c%,在直線1上有P,Q,R三點，且有PD=4cw,

QD=5c機，RD=3cm,那么P,Q,R三點與。O的位置關(guān)系各是怎樣的？

類型二：直線與圓的位置關(guān)系

方法3交點個數(shù)法

4.已知直線1經(jīng)過。O上的A,B兩點，則直線1與。O的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離D.無法確定

方法4距離比較法

5.如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CDXAB,BC=4cm,以點C為圓心，4c僅為半徑畫

OC,試判斷直線BD與。C的位置關(guān)系，并說明理由.

A。/第5題）

6.如圖，在比AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊只有一個公

共點，求R的取值范圍.

技巧2：切線的判定和性質(zhì)的四種應(yīng)用類型

類型一：應(yīng)用于求線段的長

1.如圖，在4ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0與邊BC,AC分別交于D,E兩點，過點D作DF_LAC,

垂足為點F.

(1)求證：DF是。0的切線；

(2)若AE=4,cosA=(,求DF的長.

類型二：應(yīng)用于求三角函數(shù)值

2.如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC,AE_LBC于E,NADC的平分線交AE于點O,以點0為圓心,

0A為半徑的圓經(jīng)過點B,交BC于另一點F.

(1)求證：CD與。0相切;

⑵若BF=24,0E=5,求加〃/ABC的值.

類型三：應(yīng)用于求圓的半徑

3.如圖，已知AB為。0的直徑，AD,BD是。0的弦，BC是。0的切線，切點為B,OC〃AD,BA,

CD的延長線相交于點E.

(1)求證一：DC是。0的切線；

(2)若AE=1,ED=3,求。0的半徑.

類型四：應(yīng)用于求圖形的面積

4.如圖，AB為。。的直徑，D為辰的中點，連接0D交弦AC于點F,過點D作DE〃AC,交BA的延

長線于點E.

(1)求證：DE是。O的切線;

(2)連接CD,若0A=AE.=4,求四邊形ACDE的面積.

(第4題)

技巧3：圓中常用的作輔助線的八種方法

類型一：作半徑，巧用同圓的半徑相等

1.如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點A,D在半圓0上，頂點B,C在半圓O的直徑

上；小正方形BEFG的頂點F在半圓O上，E點在半圓0的直徑上，點G在大正方形的邊AB上.若小正

方形的邊長為4cm,求該半圓的半徑.

COBE

(第1題)

類型二：連接圓上兩點，巧用同弧所對的圓周角相等

2.如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角NACM的平分線與圓交于D點，DPLAC,垂足是P,DHXBM,垂

足為H.求證：AP=BH.

iM

iH

C

(第2題)

類型三：作直徑，巧用直徑所對的圓周角是直角

3.如圖，0O的半徑為R,弦AB,CD互相垂直，連接AD,BC.

⑴求證：AD2+BC2=4R2；

(2)若弦AD,BC的長是方程x2-6x+5=0的兩個根(AD>BC),求00的半徑及點0到AD的距離.

(第3題)

類型四：證切線時輔助線作法的應(yīng)用

4.如圖，AABC內(nèi)接于。O,CA=CB,CD〃AB且與OA的延長線交于點D.判斷CD與。0的位置關(guān)系,

并說明理由.

(第4題)

類型五：遇弦加弦心距或半徑

5.如圖，在半徑為5的＜30中，AB,CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且AB=CD=8,則OP的長為

A.3B.4C.3也D.4也

6.如圖，AB是。0的弦，OH_LAB于點H,點P是優(yōu)弧上一點，若AB=23，0H=l,則NAPB=

類型六：遇直徑巧加直徑所對的圓周角

7.如圖，在AABC中，AB=BC=2,以AB為直徑的分別交BC,AC于點D,E,且點D是BC的中

點.

(1)求證：AABC為等邊三角形;

(2)求DE的長.

7題）

類型七：遇切線巧作過切點的半徑

8.如圖，0O是比△ABC的外接圓，/ABC=90。，點P是圓外一點，PA切于點A,且PA=PB.

（1）求證：PB是。。的切線；

（2）已知PA=3，NACB=60。，求。。的半徑.

類型八：巧添輔助線計算阻影部分的面積

9.如圖，點B,C,D都在。O上，過點C作AC〃:BD交0B的延長線于點A,連接CD,且/CDB=/OBD

=30°,DB=6A/3cm.

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）求由弦CD,BD與靛所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留心.

9題）

【題型講解】

【題型】一、判斷點與圓的位置關(guān)系

例1、若。N的半徑為5,圓心4的坐標(biāo)是（1,2）,點P的坐標(biāo)是（5,2）,那么點尸的位置為（）

A.在。/內(nèi)B.在。/上C.在。/外D.不能確定

例2、已知。。的半徑為5,若PO=4,則點P與。。的位置關(guān)系是（）

A.點P在。。內(nèi)B.點P在。。上C.點尸在。。外D.無法判斷

【題型】二、三角形外接圓的相關(guān)計算

例3、有一題目：“已知；點。為A4BC的外心，ZSOC=130°,求NZ.”嘉嘉的解答為：畫A4BC以及

它的外接圓。，連接05,0C,如圖.由/5。。=2乙4=130°,得44=65。.而淇淇說：“嘉嘉考慮

的不周全，NZ還應(yīng)有另一個不同的值.“，下列判斷正確的是()

A.淇淇說的對，且NZ的另一個值是115。

B.淇淇說的不對，乙4就得65。

C.嘉嘉求的結(jié)果不對，NZ應(yīng)得50°

D.兩人都不對，NZ應(yīng)有3個不同值

例4、過三點J(2,2),B(6，2),C(%5)的圓的圓心坐標(biāo)為()

A.(4,—)B.(4,3)C.(5,—)D.(5,3)

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【題型】三、確定圓的條件

例5、如圖，PA,P5為。O的切線，切點分別為A、B,PO交48于點C,的延長線交00于點D.下

A.△APN為等腰三角形B.45與尸。相互垂直平分

C.點A、B都在以P。為直徑的圓上D.PC為△APN的邊48上的中線

例6、如圖，已知尸4必是。。的兩條切線，A,2為切點，線段C『交。。于點給出下列四種說法:

①P4=PB；②OPLAB；③四邊形。4ps有外接圓；④M是A/OP外接圓的圓心，其中正確說法的個

數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【題型】四、判斷直線與圓的位置關(guān)系

cos//

例7、如圖，中，ZC=90°,AB=5,以點B為圓心，「為半徑作08,當(dāng)r=3

5

時，05與/C的位置關(guān)系是（）

A.相禺B.相切C.相交D.無法確定

【題型】五、利用切線的性質(zhì)定理進行計算

例8、如圖，是。。的弦，NC與。。相切于點4連接04,OB,若/。=130。，則/B/C的度數(shù)是

C.70°D.75°

例9、如圖，AB是。。的切線，/切點，連接OA,0B,若NB=20。，則N/QB的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

例10、如圖，。。是等邊△48C的內(nèi)切圓，分別切BC,AC于點、E,F,D,尸是曲上一點，貝！尸尸

的度數(shù)是（）

ED

A.65°B.60°C.58°D.50°

例11、如圖,△ABC內(nèi)接于圓，ZACB=90°，過點C的切線交AB的延長線于點P,ZP=28°.則ZCAB=

C.28°D.56°

例12、如圖，尸4必分別與。。相切于48兩點，ZP=72°,則NC=（)

A.108°B.72°C.54°D.36°

【題型】六、切線性質(zhì)與判定的綜合

例13、如圖，48為。O的直徑，點C是0。上一點，CD與。。相切于點C,過點/作連接/C,

BC.

（1）求證：NC是/D43的角平分線;

(2)若40=2,AB=3,求NC的長.

D

例14、如圖，在△ABC中，4B=AC,以AB為直徑的。0與BC相交于點D,過點D作。O的切線交AC

于點E.

(1)求證：DELAC；

(2)若。O的半徑為5,BC=16,求DE的長.

【題型】七、利用切線長定理進行計算

例15、如圖，P為。。外一點，PA、PB分別切。。于A、B兩點，若尸/=3,則必=()

例16、如圖，PA、PB為圓0的切線，切點分別為A、B,P0交AB于點C,P0的延長線交圓0于點D,

下列結(jié)論不一定成立的是()

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計算

例17、如圖，ZiABC的內(nèi)切圓。0與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F,且AB=5,BC=13,CA

12,則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（）

A

D。

A.4B.6.25C.7.5D.,9

例18、如圖，A43C內(nèi)心為/,連接//并延長交AA8C的外接圓于。，則線段。/與。8的關(guān)系是（）

D

A.DI=DBB.DI>DBC.DKDBD.,不確定

【題型】九.圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計算

例19、如圖，四邊形4SCZ）內(nèi)接于O。，AB=CD,4為命中點，ZBDC=60°,則ZADB等于（）

◎

A.40°B.50°C.60°D..70°

例20、如圖，48為。。的直徑，點C,點。是。。上的兩點，連接C4,CD,AD.若NCA8=40。，則//DC

的度數(shù)是（）

A.110°B.130°C.140°D.,160°

例21、如圖，已知四邊形48CD內(nèi)接于。。，ZABC=10°,則N/OC的度數(shù)是（）

A

o

A\~--------------IB

A.70°B.110°C.130°D.140°

【題型】十、判斷圓與圓的位置關(guān)系

例22、已知。A與。B外切，（DC與。A、。8都內(nèi)切，且AB=5,AC=6,BC=7,那么。C的半徑長是

（）

A.11B.10C.9D.8

例23、如果兩個圓的圓心距為3,其中一個圓的半徑長為4,另一個圓的半徑長大于1,那么這兩個圓的位

置關(guān)系不可能是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.外切D.相交

與圓有關(guān)的位置關(guān)系（達標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M（3,5）為圓心，N8為直徑的圓與x軸相切，與》軸交于C兩點，

2.如圖，已知。O上三點/、B、C,連接48、AC.OB、OC,切線3。交。C的延長線于點。，ZA=25°,

則/。的度數(shù)為（）

A

3.如圖，。。的內(nèi)接四邊形48co中，ZD=50°,則43為（）

4.如圖，四邊形Z8CD是。。的內(nèi)接四邊形，點E為邊CD上任意一點（不與點C,點。重合），連接BE,

若乙4=60。，則aBED的度數(shù)可以是（）.

5.如圖，O。的直徑4B與弦/C的夾角為25。，過點C的切線PC與48的延長線交于P,則/尸的度數(shù)為

6.下列說法正確的是（）

A.為調(diào)查全國人民對糧食的關(guān)注度，應(yīng)采用全面調(diào)查

B.“三點確定一個圓”是必然事件

C.成語“水中撈月”是隨機事件

D.隨意擲一枚5角錢幣，落地后每一面向上的機會一樣

二、填空題

7.如圖，是。。的直徑，CD切。。于點C.若/3CO=50。，則N/2C的大小為'

8.如圖，四邊形內(nèi)接于。O,ZABC=10°,則的度數(shù)是.

三、解答題

9.如圖，已知AB是。0的直徑，BD是。0的弦，延長BD到C,使DC=BD,連接AC,過點D作DE_LAC,

垂足為E.

(1)求證：AB=AC；

(2)求證：DE是。。的切線；

(3)若。0的半徑為6,ZBAC=60°,則DE=.

10.如圖，AD是。O的弦，AB經(jīng)過圓心O交。O于點C,ZA=ZB=30°,連接BD.求證：BD是。O

的切線.

與圓有關(guān)的位置關(guān)系（提升測評）

一、單選題

1.如圖，四邊形48C。內(nèi)接于OO,4840=70。，則的度數(shù)是（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

2.如圖，PA,PB分別與0t9相切于點A,B,過圓上點C作。。的切線EF分別交PA,PB于

點E,/，若以=4,則!PEF的周長是（)

A.4B.8C.10D.12

3.如圖,