2023屆高三數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)立體幾何【知識(shí)點(diǎn)合集】

立體幾何

1立體幾何圖形

一、空間幾何體的相關(guān)概念

I、空間幾何體：在我們的周圍存在著各種各樣的物體，他們都占據(jù)著空間的一

部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體

抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。

例如：我們?nèi)粘＝佑|到的足球、籃球等，吐過只考了他們的形狀和大小，他們都

是球體，還有其他幾何體如長(zhǎng)方體、正方體等。

2、多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

(1)多面體的面：圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；

(2)多面體的棱：兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；

(3)多面體的頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。

3、旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所

形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫

做旋轉(zhuǎn)體的軸。

二、棱柱

I、定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四

邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫

棱柱。

(1)有兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的地面，它們是

全等的多邊形；

(2)其余各面叫做棱柱的側(cè)面，他們都是平行四邊

形；

(3)相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；

(4)側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。

【注意】

(1)有兩個(gè)面互相平行，并不代表只有兩個(gè)面互相平行，如長(zhǎng)方體有三組對(duì)面

互相平行，其中任意一組對(duì)面都可以作為底面。

(2)棱柱的另外一種定義一般地，由一個(gè)平面沿著某一方向平移形成的空間幾

何體叫做柱體，平移起止位置的兩個(gè)面叫做柱體的底面，縮變形的邊平移所形成

的的面叫做柱體的側(cè)面

2、棱柱的分類：

(1)按底面多邊形的邊數(shù)：可以把棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；

(2)按側(cè)棱與底面的旗關(guān)系：可以把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；

其中直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱.

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱.

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱.

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱.

三、棱錐

1、定義：一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，

由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。S/頂點(diǎn)

(1)這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；加生_/\\麗而

側(cè)棱-7/\側(cè)面

(2)有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；/：^\\

(3)相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱推的側(cè)棱；//

__AB

(4)各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)。

【注意】有一個(gè)面是多邊形，其余各面都使三角形的幾何體不一定是棱推如圖。

棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個(gè)公共頂點(diǎn)。/V.

2、棱錐的分類：

按底面多邊形的邊數(shù)，可以把棱錐分成三棱推、四棱錐和五

棱錐。

【注意】底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱推、正四棱錐……

四、棱臺(tái)

I、定義：用一個(gè)平行與棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面與截面之間的部

分叫做棱臺(tái)。

(1)原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；

(2)其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；

(3)相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；

(4)側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的定點(diǎn)。

【注意】(1)棱臺(tái)上下底面是互相平行且相似的多邊形；

(2)側(cè)面都是梯形；

(3)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)。

2、棱臺(tái)的分類：

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱

臺(tái)

五、圓柱

定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的旋

轉(zhuǎn)體角圓柱。

(1)旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；

(2)垂直于軸的變旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；，廠屏丫底面

A

(3)平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；

；側(cè)面

(4)無論轉(zhuǎn)到什么位置，平行與軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。

一母線

【注意】(1)底面是互相平行且全等的圓面；A

底面

(2)母線有無數(shù)條，都平行與軸；

(3)軸截面為矩形。

六、圓錐

定義：以直角三角形的一條所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。

(1)垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面；側(cè)面

(2)直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面；母線、

(3)無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直于軸的邊都叫做圓錐側(cè)面的母線。/

【注意】(1)底面是圓面，橫截面是比底面更小的圓面，軸截面是等腰三角形；底面

(2)圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是圓錐的母線；

(3)母線有無數(shù)條，且長(zhǎng)度相等，側(cè)面由無數(shù)條母線組成。

(4)直角三角形繞其任意一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體不一定是圓

錐。

七、棱臺(tái)

I、第一種定義：用平行與圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫

做圓臺(tái)。

2、第二種定義：以直角題型處置與底面的腰所在的的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊

旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體。

【注意】(1)圓臺(tái)上、下底面是半徑不相等且互相平行的圓面；

(2)母線有無數(shù)條且長(zhǎng)度相等，各母線的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

(3)軸截面為等腰梯形。

八、球

定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面

所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球。

(1)球心：半圓的圓心叫做球的球心；

(2)半徑：連接圓心與球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；

(3)直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑。

九、組合體的定義

現(xiàn)實(shí)世界中物體表示的是幾何體，除了柱體、錐體、臺(tái)體和球等簡(jiǎn)單幾何體外,

還有大量的幾何體是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成，這些幾何體稱作組合體。

組合體可以由幾何體拼接、截去或挖去一部分形成。

2立體圖形的直觀圖

一、空間幾何體的直觀圖的概念

直觀圖是觀察者在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形；

直觀圖是把空間圖形畫在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的

位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形。

二、立體圖形的直觀圖的畫法

I、斜二測(cè)畫法：我們常用斜二測(cè)畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀

圖.

斜二測(cè)畫法是一種特殊的平行投影畫法.

(1)"斜"：在已知圖形的%0y平面內(nèi)與%軸垂直的線段，在直觀圖中均與%'軸承

45°或135°

(2)"二測(cè)"：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于軸或/軸的線段長(zhǎng)度不變；

平行于V軸的長(zhǎng)度變成原來的一半，

2、平面圖形直觀圖的畫法及要求

第一步建系：在已知圖中取互相垂直的“軸和y軸，兩軸相交于。點(diǎn)，

畫直觀圖時(shí)，把他們弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的軸和y'軸，兩軸相交于。'，

且使N/Oy，=45°(或135。)，它們確定的平面表示水平面；

第二步平行不變：已知圖形中平行與%軸和y軸的線段，

在直觀圖中分別畫出平行與軸或y'軸的線段；

第三步長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于尢軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，

平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

3、空間幾何體直觀圖的畫法

(1)與平面圖形的直觀圖相比，多畫一個(gè)與x軸、)，軸都垂直的z軸，直觀圖中

與之對(duì)應(yīng)的是z軸；

(2)平面voy表示水平平面，平面yo勿和vo才表示豎直平面；

(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都

不變.

(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

4、直觀圖與原圖之間的"變"與"不變"

“三變"：(1)坐標(biāo)軸的夾角改變；

(2)與y軸平行的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

(3)圖形改變。

，，三不變，，：(1)平行性不改變；

(2)與%軸和z軸平行的線段長(zhǎng)度不改變；

(3)相對(duì)位置不改變。

三、直觀圖與原圖多邊形面積之間的關(guān)系

若一個(gè)多邊形的面積為S百，它的直觀圖的面積為s吉，則有S吉=^s百,s,=

原縣目■4原原

2歷S*

直

舉個(gè)例子：以三角形為例，如圖，設(shè)元三角形的底為a，高為/i,

則其面積為5吉=；岫，

在直觀圖中，優(yōu)=

a,"=-2hsin45°=—4A,

在直觀圖中，S吉=ga,=fs1s

Js.乙Z44原

3圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積

一、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積

1、側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

八

A2iro;

側(cè)面展開圖A；2y

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2nds圓錐側(cè)=2HS圓臺(tái)側(cè)=7i(n+ri)l

2、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積的求解步驟；

解決圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積問題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開

圖，借助平面幾何知識(shí)，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：

(1)得到空間幾何體的平面展開圖.

(2)依次求出各個(gè)平面圖形的面積.

(3)將各平面圖形的面積相加.

二,圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積

1、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式：

)圓柱的體積公式：洋

(11圓柱=S底^xh

(2)圓錐的體積公式：％鞋=庇xh

圓錐3底

(3)圓臺(tái)的體積公式：V=；(S上+S下+〈5上5下)〃

2、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

三、球的表面積和體積

1、球的體積公式：，=9兀R3

2、球的表面積公式：S=4兀R2

四、球的截面的性質(zhì)

(1)球的軸截面(過球心的截面)是將球的問題(立體幾何問題)轉(zhuǎn)化為平面

問題(圓的問題)的關(guān)鍵，因此在解決球的有關(guān)問題時(shí)，我們必須抓住球的軸截

面，并充分利用它來分析解決問題.

(2)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面，如圖，球的截面有以下，性質(zhì)：

①球心和截面圓圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足關(guān)系d=業(yè)2-戶.

4空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

一、平面

1、平面的表ZF:

(1)在立體幾何中，通常以用平行四邊形來表示平面。

(2)可寫成平面a,平面ABCD,平面AC或平面BD(對(duì)角線)

2、平面的畫法：

(1)當(dāng)平面水平放置時(shí)，平行四邊形的銳角一般畫成45°,且橫邊長(zhǎng)等于其鄰

邊長(zhǎng)的2倍；

(2)當(dāng)平面豎直放置時(shí)，平行四邊形的一組對(duì)邊通常畫成鉛垂線。

3、特點(diǎn)：

(1)平面是平的；

(2)平面是無限延展的沒有邊界的；

(3)平面是沒有厚度的。

4、點(diǎn)與直線(平面)、直線與平面的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與直線(平面)的位置關(guān)系只能用“G"或飛"

(2)直線與平面的位置關(guān)系只能用七”或.

二、平面的基本事實(shí)

1、基本事實(shí)1

(1)內(nèi)容：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

(2)圖形：/豆/

(3)符號(hào)表示：A,B,C三點(diǎn)不共線=存在唯一的平面a使A,8,C^a

(4)作用：確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法

2、基本事實(shí)：

(1)內(nèi)容：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

(2)圖形：NS7

(3)符號(hào)表ZF:AG/,BGI,且AGa,BGa=lua

(4)作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上

的點(diǎn)在平面內(nèi)

3、基本事實(shí)：

(1)內(nèi)容：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該

點(diǎn)的公共直線

(2)圖形：V

(3)符號(hào)表ZF:PRaI=/且P0

(4)作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線

4、三個(gè)推論：

推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

三、空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系

1,直線與直線的位置關(guān)系

(1)共面與異面直線

定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

異面直線的畫法：

②

(2)空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系特點(diǎn)

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

2、直線與平面的位置關(guān)系

直線。在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線a與平面a相交直線。與平面a平行

公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一^?公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

符號(hào)表示QU。aC\a=Aa//a

--a

圖形表不ZH7口

3、兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平兩平面相交

行

沒有公共有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直

公共點(diǎn)

點(diǎn)線上)

符號(hào)表示a//BaCB=l

口

圖形表示^7

5空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

一、平面

1、平面的表示：

(1)在立體幾何中，通常以用平行四邊形來表示平面。

(2)可寫成平面a,平面/BCD,平面AC或平面BO(對(duì)角線)

2、平面的畫法：

(1)當(dāng)平面水平放置時(shí)，平行四邊形的銳角一般畫成45。，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰

邊長(zhǎng)的2倍；

(2)當(dāng)平面豎直放置時(shí)，平行四邊形的一組對(duì)邊通常畫成鉛垂線。

3、特點(diǎn)：

(1)平面是平的；

(2)平面是無限延展的沒有邊界的；

(3)平面是沒有厚度的。

4、點(diǎn)與直線(平面1直線與平面的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與直線(平面)的位置關(guān)系只能用“右”或“中’，

(2)直線與平面的位置關(guān)系只能用七”或.

二、平面的基本事實(shí)

1、基本事實(shí)1

(1)內(nèi)容：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

(3)符號(hào)表示：A,B,C三點(diǎn)不共線=存在唯一的平面a使A,8,C《a

(4)作用：確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法

2、基本事實(shí)：

(1)內(nèi)容：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

(2)圖形：N37

(3)符號(hào)表示A^l,BGI,且AWa,BGa=lua

(4)作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上

的點(diǎn)在平面內(nèi)

3、基本事實(shí):

(1)內(nèi)容：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該

點(diǎn)的公共直線

(2)圖形：V

(3)符號(hào)表ZF:PWa,PSfinanB=/且PGI

(4)作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線

4、三個(gè)推論：

推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

三、空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系

1.直線與直線的位置關(guān)系

(1)共面與異面直線

定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

異面直線的畫法：

②

(2)空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系特點(diǎn)

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

2、直線與平面的位置關(guān)系

直線a在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線a與平面a相交直線。與平面a平行

公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

符號(hào)表示aC\a=Aa//a

--a

圖形表示L_/

3、兩個(gè)平面的位置關(guān)系

兩平面平

位置關(guān)系兩平面相交

行

沒有公共有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(在一條直

公共點(diǎn)

點(diǎn)線上)

符號(hào)表示a〃4

口

圖形表示^37

6空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

一、平面

I、平面的表示：

(1)在立體幾何中，通常以用平行四邊形來表示平面。

(2)可寫成平面a,平面ABCD,平面AC或平面B0(對(duì)角線)

2、平面的畫法：

(1)當(dāng)平面水平放置時(shí)，平行四邊形的銳角一般畫成45。，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰

邊長(zhǎng)的2倍；

(2)當(dāng)平面豎直放置時(shí),平行四邊形的一組對(duì)邊通常畫成鉛垂線。

3、特點(diǎn)：

(1)平面是平的；

(2)平面是無限延展的沒有邊界的；

(3)平面是沒有厚度的。

4、點(diǎn)與直線(平面1直線與平面的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與直線(平面)的位置關(guān)系只能用或飛”，

(2)直線與平面的位置關(guān)系只能用“u”或.

二、平面的基本事實(shí)

1、基本事實(shí)1

(1)內(nèi)容：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

(3)符號(hào)表示：A,8,C三點(diǎn)不共線今存在唯一的平面a使A,8,CGa

(4)作用：確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法

2、基本事實(shí)：

(1)內(nèi)容：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

(2)圖形：N37

(3)符號(hào)表ZF:A?/,BGI,且AWa,BGa=lua

(4)作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上

的點(diǎn)在平面內(nèi)

3、基本事實(shí)：

(1)內(nèi)容：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該

點(diǎn)的公共直線

(2)圖形：

(3)符號(hào)表示：PGa,PG歸aC/kl且PGI

(4)作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線

4、三個(gè)推論：

推論1:經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

三、空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系

1.直線與直線的位置關(guān)系

(1)共面與異面直線

定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

異面直線的畫法：

(2)空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系特點(diǎn)

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

2、直線與平面的位置關(guān)系

直線。在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線a與平面a相交直線。與平面a平行

公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)一**?公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

符號(hào)表示aQa=Aa//a

-------a

圖形表示/巨/L_/

3、兩個(gè)平面的位置關(guān)系

兩平面平

位置關(guān)系兩平面相交

行

沒有公共有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（在一條直

公共點(diǎn)

點(diǎn)線上）

符號(hào)表示a//[ia"二l

圖形表示口

7直線與平面平行

一、空間直線與平面的位置關(guān)系有以下三種：

1、直線在平面內(nèi)：如果一條直線。與平面?有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么這條直

線就在這個(gè)平面內(nèi)，記作aua.

2、直線與平面相交：直線a與平面a只有一個(gè)公共點(diǎn)A,叫做直線與平面相交,

記作aCa=A,公共點(diǎn)A叫做直線a與平面a的交點(diǎn).

3、直線與平面平行：如果一條直線。與平面a沒有公共點(diǎn)，叫做直線與平面平

行，記作a//a.

二、直線與平面平行的判定定理：

1、文字語言：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，該直線與此平

面平行

IQa,

2、符號(hào):mua,>=/〃a

且/-〃--”-7-/

3、圖形：

三、直線與平面平行的性質(zhì)定理

1、文字語言：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面

相交，那么這條直線就和交線平行.

2、符號(hào)語言l//a,lu0,RCa—m=>l//m.

3、圖形語言：

8平面與平面平行

一、平面與平面平行的判定定理

1、文字語言：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平

行

（簡(jiǎn)記為“線面平行=面面平行”）

2、符號(hào)語言:■:a"/},b//P,aC\b=P,ac.a,baa?.a//。

3、圖形：

4、判定定理推論：如果一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩

條相交直線，

則這兩個(gè)平面平行.

二、平面與平面平行的性質(zhì)定理

1、文字語言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

2、符號(hào)語言：'：a//p,aCly=a,^y=b,：.a//b

3、圖形：

4、性質(zhì)定理推論：

推論1：如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一個(gè)平面.

推論2：兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

9直線與直線垂直

一、兩條直線所成的角

I、兩條直線所成的角：平面內(nèi)兩條直線相交形成4個(gè)角，

其中不大于90。的角稱為這兩條直線所成

的角(或夾角).

2、異面直線所成角：

(1)定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)。作直線d

//a,b'//b,

我們把a(bǔ)與少所成的銳角(或直角川U做異面直線。與匕所成

的角(或夾角).

(2)角的范圍：異面直線所成的角0的取值范圍：0°＜長(zhǎng)90。.

(3)當(dāng)6=90。時(shí),a與b互相垂直,記作a±b.

垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直.

①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)

②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面

內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線.用符號(hào)語言可表示為A初，B

Ga,lua,陰與/是異面直線（如圖）.

二、求兩異面直線所成的角的步驟

1、作角：根據(jù)異面直線所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；

2、證角：證明作出的角就是要求的角，即證明所作角的兩邊分別與兩條異面直

線平行

3、計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出。

可用“一作二證三計(jì)算”來概括.同時(shí)注意異面直線所成角范圍是0。（生90。.

4、結(jié)論：若求出的角時(shí)銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；

若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角。

三、證明異面直線垂直的步驟：

1、作出兩異面直線所成的角；

2、求出兩異面直線所成角的余弦值或在特殊在三角形中說明垂直關(guān)系；

3、得出結(jié)論，

10直線與平面垂直

一、直線與平面垂直的定義

1、文字語言：如果直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線I

與平面a互相垂直

2、符號(hào)語言：/_La

3、有關(guān)概念：直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面.它們唯一的

公共點(diǎn)P叫做垂足

4、圖形語言:

5、畫法：畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一

邊垂直.

6、點(diǎn)到平面的距離：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)到垂足間的線段，

叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離。

【注意】過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

二、直線與平面垂直的判定定理

1、文字語言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與

此平面垂直

2、符號(hào)語言：/_La,l-Lb,aua,bua,aC\h=P=>/J_a

3、圖形語言：

5、作用：證明線面垂直

三、直線與平面垂直的性質(zhì)定理

1、文字語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

a_l_a

2、符號(hào)語言：\^a//b

b±a.

3、圖形語言：

4、作用：①線面垂直=線線平行②作平行線

5、推論:

(1)一條直線垂直于一個(gè)平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直.

(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直這個(gè)平面.

(3)若一條之心垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另外一個(gè)平面/

(4)垂直于同一條直線的兩個(gè)平行平行.

四、直線和平面所成的角

1、有關(guān)概念：

(1)斜線：與平面a相交，但不和平面a垂直，圖中直線PA

(2)斜足：斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A

(3)射影：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，

過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影，

圖中斜線PA在平面a上的射影為\0

2、直線與平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的