三星和多星模型問題

三星和多星模型問題1.三星模型：(1)如圖1所示，三顆質(zhì)量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動，另外兩顆行星圍繞它做圓周運動．這三顆行星始終位于同一直線上，中心行星受力平衡，運轉(zhuǎn)的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,（2r）2)＝ma向．兩行星運行的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．(2)如圖2所示，三顆質(zhì)量相等的行星位于一正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做圓周運動．每顆行星運行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬有引力的合力來提供，即eq\f(Gm2,L2)×2×cos30°＝ma向，其中L＝2rcos30°.三顆行星運行的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．2.四星模型：①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)．②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)．3.(1)記憶口訣：N星系統(tǒng)周期同，受力源自其他星；幾何關(guān)系找半徑，第二定律列方程．(2)思維導(dǎo)圖【題型1】在宇宙中，單獨存在的恒星占少數(shù)，更多的是雙星、三星甚至多星系統(tǒng)。如圖所示為一個簡化的直線三星系統(tǒng)模型：三個星球的質(zhì)量均為m，a、b兩個星球繞處于二者中心的星球c做半徑為r的勻速圓周運動。已知引力常量為G，忽略其他星體對他們的引力作用，則下列說法正確的是（）A．星球a做勻速圓周運動的加速度大小為B．星球a做勻速圓周運動的線速度大小為C．星球b做勻速圓周運動的周期為D．若因某種原因中心星球c的質(zhì)量緩慢減小，則星球a、b的線速度均將緩慢增大【題型2】宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，下列說法正確的是()A.每顆星做圓周運動的角速度為eq\r(\f(Gm,L3))B.每顆星做圓周運動的加速度大小與三星的質(zhì)量無關(guān)C.若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D.若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍【題型3】進(jìn)行科學(xué)研究有時需要大膽的想象，假設(shè)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)(忽略其他星體對它們的引力作用)，這四顆星恰好位于正方形的四個頂點上，并沿外接于正方形的圓形軌道運行，若此正方形邊長變?yōu)樵瓉淼囊话?，要使此系統(tǒng)依然穩(wěn)定存在，星體的角速度應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?)A.1倍B.2倍C.eq\f(1,2)倍D.2eq\r(2)倍【題型4】(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設(shè)這三個星體的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運動周期相同，則()A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B．直線三星系統(tǒng)的運動周期T＝4πReq\r(\f(R,5GM))C．三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝eq\r(3,\f(12,5))RD．三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))針對訓(xùn)練1.(多選)如圖所示，甲、乙、丙是位于同一直線上的離其他恒星較遠(yuǎn)的三顆恒星，甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運行，若三顆星質(zhì)量均為M，萬有引力常量為G，則()A．甲星所受合外力為eq\f(5GM2,4R2)B．乙星所受合外力為eq\f(5GM2,4R2)C．甲星和丙星的線速度相同D．甲星和丙星的角速度相同2.(多選)如圖所示，天文觀測中觀測到有三顆星位于邊長為l的等邊三角形三個頂點上，并沿等邊三角形的外接圓做周期為T的勻速圓周運動．已知引力常量為G，不計其他星體對它們的影響，關(guān)于這個三星系統(tǒng)，下列說法正確的是()A.三顆星的質(zhì)量可能不相等B.某顆星的質(zhì)量為eq\f(4π2l3,3GT2)C.它們的線速度大小均為eq\f(2\r(3)πl(wèi),T)D.它們兩兩之間的萬有引力大小為eq\f(16π4l4,9GT4)3.(多選)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上，其中L遠(yuǎn)大于R。已知萬有引力常量為G。忽略星體自轉(zhuǎn)效應(yīng)，關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是（）A.四顆星圓周運動的軌道半徑均為eq\f(L,2)B.四顆星圓周運動的線速度均為eq\r(\f(Gm,L)(2＋\f(\r(2),4)))C.四顆星圓周運動的周期均為2πeq\r(\f(2L3,(4＋\r(2))Gm))D.四顆星表面的重力加速度均為Geq\f(m,R2)34.宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m。(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期。(2)假設(shè)兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？54.由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動(圖為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況)．若A星體質(zhì)量為2m、B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，求：(1)A星體所受合力大小FA；(2)B星體所受合力大小FB；(3)C星體的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運動的周期T.三星和多星模型問題參考答案【題型1】【答案】C

【解析】對星球a有解得，故A錯誤；對星球a有，解得，故B錯誤；對星球b有，解得，故C正確；若因某種原因中心星球c的質(zhì)量緩慢減小，則星球a，b做離心運動，線速度均將緩慢減小，故D錯誤?！绢}型2】【答案】C【解析】任意兩星間的萬有引力F＝Geq\f(m2,L2)，對任一星受力分析，如圖所示，由圖中幾何關(guān)系知r＝eq\f(\r(3),3)L，F(xiàn)合＝2Fcos30°＝eq\r(3)F，由牛頓第二定律可得F合＝mω2r，聯(lián)立可得ω＝eq\r(\f(3Gm,L3))，an＝ω2r＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，選項A、B錯誤；由周期公式可得T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(L3,3Gm))，L和m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期T′＝2T，選項C正確；由速度公式可得v＝ωr＝eq\r(\f(Gm,L))，L和m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度v′＝v，大小不變，選項D錯誤.【題型3】【答案】D【解析】設(shè)正方形邊長為L，每顆星的軌道半徑為r＝eq\f(\r(2),2)L，對其中一顆星受力分析，如圖所示，由合力提供向心力：2×eq\f(Gm2,L2)cos45°＋eq\f(Gm2,2L2)＝mω2r得：ω＝eq\f(\r(2＋\f(\r(2),2)Gm),L\r(L))，所以當(dāng)邊長變?yōu)樵瓉淼囊话耄求w的角速度變?yōu)樵瓉淼?eq\r(2)倍，故D項正確.【題型4】【答案】BC【解析】直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相同，方向相反，選項A錯誤；三星系統(tǒng)中，對直線三星系統(tǒng)有Geq\f(M2,R2)＋Geq\f(M2,（2R）2)＝Meq\f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，選項B正確；對三角形三星系統(tǒng)根據(jù)萬有引力和牛頓第二定律可得2Geq\f(M2,L2)cos30°＝Meq\f(4π2,T2)·eq\f(L,2cos30°)，聯(lián)立解得L＝eq\r(3,\f(12,5))R，選項C正確；三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v＝eq\f(2πr,T)＝eq\f(2π\(zhòng)f(L,2cos30°),T)，代入解得v＝eq\f(\r(3),6)·eq\r(3,\f(12,5))·eq\r(\f(5GM,R))，選項D錯誤．針對訓(xùn)練1.【答案】AD【解析】甲星所受合外力為乙、丙對甲星的萬有引力的合力，F(xiàn)甲＝eq\f(GM2,R2)＋eq\f(GM2,（2R）2)＝eq\f(5GM2,4R2)，選項A正確；由對稱性可知，甲、丙對乙星的萬有引力等大反向，乙星所受合力為零，選項B錯誤；由于甲、丙位于同一軌道上，甲、丙的角速度相同，由v＝ωR可知，甲、丙兩星的線速度大小相同，但方向相反，故選項C錯誤，D正確．2.【答案】BD【解析】軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，r＝eq\f(\f(l,2),cos30°)＝eq\f(\r(3),3)l.根據(jù)題意可知其中任意兩顆星對第三顆星的合力指向圓心，所以這兩顆星對第三顆星的萬有引力等大，由于這兩顆星到第三顆星的距離相同，故這兩顆星的質(zhì)量相同，所以三顆星的質(zhì)量一定相同，設(shè)為m，則2Geq\f(m2,l2)cos30°＝m·eq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(3),3)l，解得m＝eq\f(4π2l3,3GT2)，它們兩兩之間的萬有引力F＝Geq\f(m2,l2)＝Geq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π2l3,3GT2)))2,l2)＝eq\f(16π4l4,9GT4)，A錯誤，B、D正確；線速度大小為v＝eq\f(2πr,T)＝eq\f(2π,T)·eq\f(\r(3)l,3)＝eq\f(2\r(3)πl(wèi),3T)，C錯誤．3.【答案】CD【解析】如圖所示，四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，軌道半徑均為r＝eq\f(\r(2),2)L。取任一頂點上的星體為研究對象，它受到相鄰的兩個星體與對角線上的星體的萬有引力的合力為F合＝eq\r(2)Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(m2,(\r(2)L)2)。由F合＝F向＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)·r，可解得：v＝eq\r(\f(Gm,L)(\f(1＋\r(2),4)))，T＝2πeq\r(\f(2L3,(4＋\r(2))Gm))。故A、B項錯誤，C項正確。對于星體表面質(zhì)量為m0的物體，受到的重力等于萬有引力，則有m0g＝Geq\f(mm0,R2)，故g＝Geq\f(m,R2)，D項正確。4.【答案】(1)v=T=4πR(2)【解析】(1)第一種形式下，由萬有引力定律和牛頓第二定律得解得星體運動的線速度v=星體運動的周期T==4πR。(2)設(shè)第二種形式下星體做圓周運動的半徑為r，則相鄰兩星體之間的距離s=r，相鄰兩星體之間的萬有引力F=G=由星體做圓周運動可得F=mr解得相鄰兩星體之間的距離s=r=.5.【答案】(1)2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)eq\f(\r(7),4)a(4)πeq\r(\f(a3,Gm))【解析】(1)由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA方向如圖所示 則合力大小為FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)同上，B星體所受A、C星體引力大小分別為FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)FCB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)方向如圖所示，由余弦定理得合力為：FB＝eq\r(F\o\al(2,AB)＋F\o\al(2,CB)－2FAB·F