




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文檔簡介
§4.3等腰三角形與直角三角形中考數(shù)學(xué)
(廣西專用)1§4.3等腰三角形與直角三角形中考數(shù)學(xué)(廣西專用)1考點(diǎn)一等腰三角形五年中考A組2014-2018年廣西中考題組五年中考1.(2017河池,12,3分)已知等邊△ABC的邊長為12,D是AB上的動(dòng)點(diǎn),過D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過E作
EF⊥BC于點(diǎn)F,過F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí),AD的長是
()A.3
B.4
C.8
D.92考點(diǎn)一等腰三角形五年中考A組2014-2018年廣西中答案
B設(shè)AD=2x,∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE⊥AC于點(diǎn)E,EF⊥BC于點(diǎn)F,FG⊥AB于點(diǎn)G,且點(diǎn)G與D重合,
∴∠ADF=∠DEC=∠EFC=90°,∴AE=x,∴CE=12-x,∴CF=6-
,∴BF=6+
,∴BD=3+
,∴3+
+2x=12,∴x=4,∴AD=4.故選B.3答案
B設(shè)AD=2x,∴x=4,∴AD=4.32.(2016賀州,7,3分)一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則它的周長為
()A.12
B.16
C.20
D.16或20答案
C①當(dāng)腰長為4時(shí),4+4=8,故此種情況不存在.②當(dāng)腰長為8時(shí),8-4<8<8+4,符合題意,故此三角形的周長=8+8+4=20.故選C.易錯(cuò)警示
本題易錯(cuò)選D選項(xiàng),主要是沒有考慮腰長為4時(shí)不符合三角形兩邊之和大于第三邊
這個(gè)條件.42.(2016賀州,7,3分)一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為43.(2015來賓,9,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分線DE分別交AB,BC于
點(diǎn)D,E,則∠BAE等于
()
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°答案
D∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°,∵DE所在直線是AB的垂直平分線,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=40°,故選D.思路分析
先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù),再利用中垂線的性質(zhì)求解.主要考點(diǎn)
等腰三角形及線段的垂直平分線的性質(zhì).53.(2015來賓,9,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC4.(2018桂林,16,3分)如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,則圖中等腰三角形的個(gè)
數(shù)是
.
答案3解析∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=
=72°,又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠BDC=72°,∴AD=BD=BC,∴△ABD,△BCD,△ABC均為等腰三角形,故有3個(gè).64.(2018桂林,16,3分)如圖,在△ABC中,∠A=3考點(diǎn)二直角三角形1.(2018柳州,6,3分)如圖,圖中直角三角形共有
()
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)答案
C題圖中共有3個(gè)直角三角形,故選C.7考點(diǎn)二直角三角形1.(2018柳州,6,3分)如圖,圖中直2.(2018賀州,10,3分)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D,E是邊BC的中點(diǎn),AD=ED=
3,則BC的長為
()
A.3
B.3
C.6
D.6
答案
D∵AD⊥BC,AD=ED=3,∴AE=
=
=3
.又∠BAC=90°,E為BC的中點(diǎn),∴BC=2AE=2×3
=6
.82.(2018賀州,10,3分)如圖,在△ABC中,∠BAC3.(2016百色,6,3分)如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,則BC=
()
A.6
B.6
C.6
D.12答案
A∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=
AB=
×12=6.故選A.93.(2016百色,6,3分)如圖,△ABC中,∠C=90°4.(2016北海,8,3分)如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的高,BE為AC邊上的中線,AB=10,BC=12,AD
=6,連接DE,則DE的長為
()
A.
B.
C.2
D.2
答案
B在Rt△ABD中,AB=10,AD=6,根據(jù)勾股定理得BD=
=8,則CD=BC-BD=4.在Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理得AC=
=2
,又點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),所以DE=
AC=
.故選B.評析本題考查了勾股定理,及直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半.104.(2016北海,8,3分)如圖,在△ABC中,AD為BC5.(2015桂林,8,3分)下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是()A.30,40,50
B.7,12,13C.5,9,12
D.3,4,6答案
A
A.∵302+402=502,∴該組線段能構(gòu)成直角三角形,故正確;B.∵72+122≠132,∴該組線
段不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤;C.∵52+92≠122,∴該組線段不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤;D.∵
32+42≠62,∴該組線段不能構(gòu)成直角三角形,故錯(cuò)誤.故選A.115.(2015桂林,8,3分)下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的6.(2018玉林,17,3分)如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,則AD的取值范圍是
.
答案2<AD<8126.(2018玉林,17,3分)如圖,在四邊形ABCD中,∠解析過B作BE⊥AD于E,分別延長AD,BC交于F,在Rt△ABE中,
=cos60°,∴AE=4×
=2.在Rt△ABF中,
=cos60°,∴AF=
=8.故2<AD<8.
13解析過B作BE⊥AD于E,137.(2018貴港,26,10分)已知:A,B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè),線段AO,BM均是直線l的垂線段,且BM在
AO的右邊,AO=2BM,將BM沿直線l向右平移,在平移過程中,始終保持∠ABP=90°不變,BP邊與
直線l相交于點(diǎn)P.(1)當(dāng)P與O重合(如圖2所示),設(shè)點(diǎn)C是AO的中點(diǎn),連接BC.求證:四邊形OCBM是正方形;(2)請利用圖1所示的情形,求證:
=
;(3)若AO=2
,且當(dāng)MO=2PO時(shí),請直接寫出AB和PB的長.
圖1圖2147.(2018貴港,26,10分)已知:A,B兩點(diǎn)在直線l的解析(1)證明:∵AO⊥l,BM⊥l,∴AO∥BM,∵AO=2BM,C為AO中點(diǎn),∴OC=BM,∴四邊形OCBM是平行四邊形.∵∠OMB=90°,∴四邊形OCBM是矩形,∴∠OCB=90°,在△OCB和△ACB中,
∴△OCB≌△ACB(SAS),∴∠CBO=∠ABC,又∵∠ABO=90°,∴∠CBO=45°,又∵∠OCB=90°,∴∠COB=45°,∴CO=CB.∴四邊形OCBM是正方形.(2)證明:過B作BC⊥AO于C,設(shè)AO與PB相交于D.15解析(1)證明:∵AO⊥l,BM⊥l,∴AO∥BM,15∵∠AOM=∠OMB=∠OCB=90°,∴四邊形OCBM是矩形.∴OM=BC.∵∠POA=∠ABP=90°,∠ADB=∠PDO,∴∠BPM=∠A.又∵∠ACB=∠PMB=90°,∴△ACB∽△PMB.∴
=
.∵OM=BC,∴
=
.(3)①當(dāng)P在線段OM外時(shí),如圖.設(shè)OA與BP相交于點(diǎn)C.
16∵∠AOM=∠OMB=∠OCB=90°,16∵M(jìn)O=2PO,∴
=
.∵CO∥BM,∴△POC∽△PMB.∴
=
=
=
,又∵AO=2
,BM=
AO=
,∴OC=
,AC=
.∵∠ABP=∠POA=90°,∠PCO=∠ACB,∴△ABC∽△POC,∴
=
,∴CB·CP=AC·CO.∵
=
,∴設(shè)PC=x(x>0),則CB=2x.∴
×
=2x2,解得x=
(負(fù)值舍去).∴PB=
,CB=
.∴在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=
=
=
.②當(dāng)P在線段OM內(nèi)時(shí),如圖.17∵M(jìn)O=2PO,∴?=?.17
過A作AC⊥BM交MB的延長線于C,∴∠ACB=∠AOM=∠OMB=90°.∴四邊形AOMC是矩形.∴AO=CM,AC=OM,又∵AO=2BM,AO=2
,∴BC=BM=
.∵∠ABP=90°,∠OMB=90°,∴∠PBM+∠ABC=90°,∠PBM+∠BPM=90°,∴∠ABC=∠BPM.∴△PMB∽△BCA.18?18∴
=
.∴AC·PM=BM·CB,即MO·PM=6.又∵M(jìn)O=2PO,∴PO=PM=
MO,∴2PM2=6.∴PM=
.∴MO=AC=2
.在Rt△BPM中,PB=
=
=3,在Rt△ABC中,AB=
=
=3
.∴綜上所述,AB=
或3
,PB=
或3.19∴?=?.19B組2014—2018年全國中考題組考點(diǎn)一等腰三角形1.(2018福建,5,4分)如圖,等邊三角形ABC中,AD⊥BC,垂足為D,點(diǎn)E在線段AD上,∠EBC=45°,則
∠ACE等于
()
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°答案
A由等邊三角形ABC中,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,可得∠ACB=60°,且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所
以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根據(jù)等邊對等角,得到∠ECB=∠EBC=45°,故∠ACE=∠ACB-∠
ECB=60°-45°=15°.20B組2014—2018年全國中考題組考點(diǎn)一等腰三角形1.2.(2017內(nèi)蒙古包頭,6,3分)若等腰三角形的周長為10cm,其中一邊長為2cm,則該等腰三角形
的底邊長為
()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm答案
A當(dāng)腰長為2cm時(shí),底邊長為6cm,但是2+2=4<6,即兩邊之和小于第三邊,不合題意;當(dāng)
底邊長為2cm時(shí),腰長為4cm,符合題意,故選A.212.(2017內(nèi)蒙古包頭,6,3分)若等腰三角形的周長為103.(2017湖北武漢,10,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得
它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為
(
)
\A.4
B.5
C.6
D.7答案
D①如圖1,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)D,則△BCD就是等腰三角形;②如圖2,以A為圓心,AC長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E,則△ACE就是等腰三角形;③如圖3,以C為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于M,交AC于點(diǎn)F,則△BCM、△BCF是等腰三角
形;④如圖4,作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H,則△ACH就是等腰三角形;223.(2017湖北武漢,10,3分)如圖,在Rt△ABC中,⑤如圖5,作AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)G,則△AGB就是等腰三角形;⑥如圖6,作BC的垂直平分線交AB于I,則△BCI就是等腰三角形.故選D.23⑤如圖5,作AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)G,則△AGB就是等腰4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一個(gè)底角為50°,則它的頂角的度數(shù)為
.答案80°解析∵等腰三角形的兩底角相等,∴180°-50°×2=80°,∴頂角為80°.244.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一個(gè)底角為55.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),EF⊥AC于點(diǎn)F,
G為EF的中點(diǎn),連接DG,則DG的長為
.
答案
255.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊△AB解析連接DE,在等邊△ABC中,
∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),∴DE∥AC,DE=EC=
AC=2.∴∠DEB=∠C=60°.∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠FEC=30°,EF=
.∴∠DEG=180°-60°-30°=90°.∵G是EF的中點(diǎn),∴EG=
.∴在Rt△DEG中,DG=
=
=
.26解析連接DE,在等邊△ABC中,∴在Rt△DEG中,DG=思路分析
連接DE,根據(jù)題意可得DE∥AC,又EF⊥AC,可得到∠FEC的度數(shù),判斷出△DEG是
直角三角形,再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長.疑難突破
本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì),勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段
DG的長,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系,所以應(yīng)根據(jù)條件連接DE,構(gòu)造直角三角形,運(yùn)用勾股
定理求出DG的長.27思路分析
連接DE,根據(jù)題意可得DE∥AC,又EF⊥A6.(2018遼寧沈陽,16,3分)如圖,△ABC是等邊三角形,AB=
,點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn),點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn),連接BH、CH,當(dāng)∠BHD=60°,∠AHC=90°時(shí),DH=
.
答案
286.(2018遼寧沈陽,16,3分)如圖,△ABC是等邊三角解析延長AD至點(diǎn)E,使得HE=BH,連接BE、CE,
∵∠BHD=60°,∴△BHE是等邊三角形,∴BH=BE=HE,∠BEH=60°,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,∴∠ABH=∠CBE,∴△ABH≌△CBE,∴∠BEC=
∠BHA=120°,∴∠HEC=60°,∵CH⊥AD,∴∠CHE=90°,設(shè)BH=x(x>0),則HE=x,CH=
x,過點(diǎn)B作BG⊥HE于G,則BG=
x,EG=
,∠BGD=∠CHD=90°,又∵∠BDG=∠CDH,∴△BDG∽△CDH,∴
=
=
=
,∵BC=
,∴CD=
,又DH=
GH=
×
HE=
,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即
+(
x)2=
,解得x=1,∴DH=
.29解析延長AD至點(diǎn)E,使得HE=BH,連接BE、CE,=?,疑難突破
此類題型中,可根據(jù)等邊三角形、60°這些條件,通過補(bǔ)全小等邊三角形,構(gòu)造全等
三角形,從而實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化.30疑難突破
此類題型中,可根據(jù)等邊三角形、60°這些條件考點(diǎn)二直角三角形1.(2018陜西,6,3分)如圖,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足為D,∠ABC的平
分線交AD于點(diǎn)E,則AE的長為
()
A.2
B.3
C.
D.
答案
D∵AC=8,∠C=45°,AD⊥BC,∴AD=ACsin45°=4
,過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,∵BE是∠ABC的平分線,∴DE=EF,∵∠ABC=60°,AD⊥BC,∴∠BAE=30°,在Rt△AEF中,EF=
AE,又∵AD=4
,DE=EF,∴AE=
AD=
,故選D.31考點(diǎn)二直角三角形1.(2018陜西,6,3分)如圖,在△A思路分析
首先利用AC的長及∠C的正弦求出AD的長,進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角
形中30度角的性質(zhì)確定DE和AE的數(shù)量關(guān)系,最后求出AE的長.32思路分析
首先利用AC的長及∠C的正弦求出AD的長,進(jìn)2.(2016四川南充,7,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,點(diǎn)D,E分別是直角邊BC,AC的中點(diǎn),
則DE的長為
()
A.1B.2
C.
D.1+
答案
A在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=1,∴AB=2.∵點(diǎn)D,E分別是BC,AC的中點(diǎn),∴DE=
AB=
×2=1.332.(2016四川南充,7,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠3.(2017內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,
交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5,則CE的長為
()
A.
B.
C.
D.
343.(2017內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在Rt△ABC中答案
A過F作FG⊥AB于點(diǎn)G,∵AF平分∠CAB,∠ACB=90°,∴FC=FG.易證△ACF≌△AGF,∴AC=AG.
∵∠5+∠6=90°,∠B+∠6=90°,∴∠5=∠B.∵∠3=∠1+∠5,∠4=∠2+∠B,∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴CE=CF.∵AC=3,AB=5,∴BC=4.在Rt△BFG中,設(shè)CF=x(x>0),則FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=
,∴CE=CF=
.選A.35答案
A過F作FG⊥AB于點(diǎn)G,由BF2=FG2+B4.(2018福建,13,4分)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點(diǎn),則CD=
.
答案3解析依題意可知CD是直角三角形ABC斜邊上的中線,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜
邊的一半”可得CD=
AB=3.364.(2018福建,13,4分)如圖,Rt△ABC中,∠AC5.(2018福建,15,4分)把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個(gè)三
角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上.若
AB=
,則CD=
.
375.(2018福建,15,4分)把兩個(gè)同樣大小的含45°角的答案
-1解析由題意知△ABC,△ADE均為等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=
,由勾股定理得BC=AD=2.過A作AF⊥BC于F,則FC=AF=1,在Rt△AFD中,由勾股定理得FD=
,故CD=FD-FC=
-1.
38答案
?-1解析由題意知△ABC,△ADE均為等腰6.(2018湖北黃岡,13,3分)如圖,圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5
cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處,則螞
蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為
cm(杯壁厚度不計(jì)).
396.(2018湖北黃岡,13,3分)如圖,圓柱形玻璃杯高為1答案20解析如圖,將圓柱側(cè)面展開,延長AC至A',使A'C=AC,連接A'B,則線段A'B的長為螞蟻到蜂蜜的
最短距離.過B作BB'⊥AD,垂足為B'.在Rt△A'B'B中,B'B=16,A'B'=14-5+3=12,所以A'B=
=
=20,即螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.
40答案20解析如圖,將圓柱側(cè)面展開,延長AC至A',使A7.(2018河南,15,3分)如圖,∠MAN=90°,點(diǎn)C在邊AM上,AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn),連接BC,△A'
BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱.點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),連接DE并延長交A'B所在直線
于點(diǎn)F,連接A'E.當(dāng)△A'EF為直角三角形時(shí),AB的長為
.
答案4或4
417.(2018河南,15,3分)如圖,∠MAN=90°,點(diǎn)C解析(1)當(dāng)點(diǎn)A'在直線DE下方時(shí),如圖1,∵∠CA'F=90°,∠EA'F>∠CA'F,∴△A'EF為鈍角三角
形,不符合;(2)①當(dāng)點(diǎn)A'在直線DE上方時(shí),如圖2.當(dāng)∠A'FE=90°時(shí),∵DE∥AB,∴∠EDA=90°,∴A
'B∥AC.由對稱知四邊形ABA'C為正方形,∴AB=AC=4;②當(dāng)點(diǎn)A'在直線DE上方時(shí),如圖3.當(dāng)∠A'
EF=90°時(shí),A'E∥AC,所以∠A'EC=∠ACE=∠A'CE,∴A'C=A'E.∵A'E=EC,∴△A'CE為等邊三角
形,∴∠ACB=∠A'CB=60°,∴在Rt△ACB中,AB=AC·tan60°=4
;③當(dāng)點(diǎn)A'在直線DE上方時(shí),∠EA'F<∠CA'B,不可能為90°.綜上所述,當(dāng)△A'EF為直角三角形時(shí),AB的長為4或4
.
圖142解析(1)當(dāng)點(diǎn)A'在直線DE下方時(shí),如圖1,∵∠CA'F=
圖2
圖343
?43方法總結(jié)
解對稱(折疊)型問題,當(dāng)對稱軸過定點(diǎn)時(shí),一般要找出對稱中的定長線段,以定點(diǎn)為
圓心,定長為半徑作輔助圓來確定對稱點(diǎn)的軌跡是較為有效的方法.再根據(jù)題目中所要求的條
件,結(jié)合全等、相似或勾股定理等計(jì)算得出結(jié)果.思路分析
由題意知,點(diǎn)B為邊AN上的動(dòng)點(diǎn),A點(diǎn)的對稱點(diǎn)A'可以在直線DE的下方或上方.分類
討論,當(dāng)點(diǎn)A'在DE的下方時(shí),△A'EF不可能為直角三角形,當(dāng)點(diǎn)A'在直線DE上方時(shí),∠A'EF或∠
A'FE為90°時(shí)分別計(jì)算AB的長,顯然∠EA'F<90°,可以排除.44方法總結(jié)
解對稱(折疊)型問題,當(dāng)對稱軸過定點(diǎn)時(shí),一般8.(2018新疆烏魯木齊,15,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2
,AC=2,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),沿DE所在直線把△BDE翻折到△B‘DE的位置,B’D交AB于點(diǎn)F.若△AB‘F為
直角三角形,則AE的長為
.
答案3或2.8458.(2018新疆烏魯木齊,15,4分)如圖,在Rt△ABC解析易知∠B'AF不可能為直角.當(dāng)∠B'FA是直角時(shí),如圖1,
圖1∵∠C是直角,∠ABC=∠DBF,∴△BCA∽△BFD,∴
=
,又∵BC=2
,且易知BD=
,AB=4,∴BF=
×2
=
,由翻折可知△DBE≌△DB'E,∴BE=B'E,∠EB'F=∠ABD=30°,∴BE=EB'=2EF,∴BE=
BF=1,∴AE=4-1=3.當(dāng)∠FB'A是直角時(shí),如圖2,46解析易知∠B'AF不可能為直角.46
圖2連接B'C、AD、BB',由翻折可知△DBE≌△DB'E,∴B'D=BD=
BC=CD,∴∠BB'C=90°,∵∠FB'A=∠ACD=90°,∴Rt△ACD≌Rt△AB'D,∴AC=AB',又易證∠DB'B=∠CB'A,∴△DB'B∽△AB'
C,∴
=
=
,又
=
,故可證△BB'C∽△DCA,∴∠CDA=∠B'BC,∴AD∥BB',延長DE交BB'于M,可得
=
=
(*),易知DM垂直平分BB',∴BM=
BB',在直角三角形BB'C中,由BB'2+B'C2=BC2=12,
=
,可求得BB'=
,∴BM=
.在直角三角形DCA中,DA=47?47
=
,將BM=
,AD=
代入(*)可得AE=2.8.綜上,AE=3或2.8.疑難突破
本題的難點(diǎn)是∠FB'A為直角時(shí)如何求AE,突破方法是作出輔助線B'C、AD、BB',
并根據(jù)翻折證明△BB'C∽△DCA,然后利用相似比求出AE.48?=?,將BM=?,AD=?代入(*)可得AE=2.8.疑難9.(2017河南,15,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=
+1,點(diǎn)M,N分別是邊BC,AB上的動(dòng)點(diǎn),沿MN所在的直線折疊∠B,使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'
落在邊AC上.若△MB'C為直角三角形,則BM的長為
.
答案
或1499.(2017河南,15,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠A解析在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.(1)當(dāng)∠MB'C=90°時(shí),∠B'MC=∠C=45°.設(shè)BM=x,則B'M=B'C=x,在Rt△MB'C中,由勾股定理得MC=
x,∴
x+x=
+1,解得x=1,∴BM=1.(2)如圖,當(dāng)∠B'MC=90°時(shí),點(diǎn)B'與點(diǎn)A重合,
此時(shí)BM=B'M=
BC=
.綜上所述,BM的長為1或
.50解析在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠10.(2018安徽,23,14分)如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°.點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E.點(diǎn)M
為BD的中點(diǎn),CM的延長線交AB于點(diǎn)F.(1)求證:CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;(3)如圖2,若△DAE≌△CEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn).求證:AN∥EM.
圖1圖25110.(2018安徽,23,14分)如圖1,Rt△ABC中,解析(1)證明:由已知,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,M為斜邊BD的中點(diǎn),∴CM=
BD.又DE⊥AB,同理,EM=
BD,∴CM=EM.
(4分)(2)由已知得,∠CBA=90°-50°=40°.又由(1)知CM=BM=EM,∴∠CME=∠CMD+∠DME=2(∠CBM+∠EBM)=2∠CBA=2×40°=80°,∴∠EMF=180°-∠CME=100°.
(9分)(3)證明:∵△DAE≌△CEM,∴∠CME=∠DEA=90°,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,∴DM=DE=EM,∴△DEM是等邊三角形,∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°.證法一:在Rt△EMF中,∠EMF=90°,∠MEF=30°,∴
=
,52解析(1)證明:由已知,在Rt△BCD中,∠BCD=90°又∵NM=
CM=
EM=
AE,∴FN=FM+NM=
EF+
AE=
(AE+EF)=
AF.∴
=
=
.又∵∠AFN=∠EFM,∴△AFN∽△EFM,∴∠NAF=∠MEF,∴AN∥EM.
(14分)證法二:連接AM,則∠EAM=∠EMA=
∠MEF=15°,
53又∵NM=?CM=?EM=?AE,53∴∠AMC=∠EMC-∠EMA=75°,①又∠CMD=∠EMC-∠EMD=30°,且MC=MD,∴∠ACM=
×(180°-30°)=75°.②由①②可知AC=AM,又N為CM的中點(diǎn),∴AN⊥CM,又∵EM⊥CF,∴AN∥EM.
(14分)思路分析
(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證;(2)由直角三角形中兩銳角
互余求出∠CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠MEB=∠MBE,∠MCB=∠MBC,從而可得∠CME=
∠DME+∠CMD=2(∠CBM+∠EBM),最后由補(bǔ)角性質(zhì)求出∠EMF;(3)由△DAE≌△CEM可推
出△DEM為等邊三角形,從而可得∠MEF=30°,下面證AN∥EM有兩個(gè)思路:一是根據(jù)直角三角
形30°角所對直角邊等于斜邊的一半可得
=
,又點(diǎn)N是CM的中點(diǎn),可推出
=
,從而可證△AFN∽△EFM,進(jìn)一步即可證明AN∥EM;二是連接AM,計(jì)算可得∠AMC=∠ACM,而N是CM
的中點(diǎn),從而AN⊥CM,進(jìn)一步即可證明AN∥EM.54∴∠AMC=∠EMC-∠EMA=75°,①思路分析
(11.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠
ECD=90°,D為AB邊上一點(diǎn).(1)求證:△ACE≌△BCD;(2)求證:2CD2=AD2+DB2.
5511.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如圖,△A證明(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∴CD=CE,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ECA=∠DCB.
(1分)在△ACE與△BCD中,
(3分)∴△ACE≌△BCD.
(4分)(2)∵△ACE≌△BCD,∴AE=BD.
(5分)∵∠EAC=∠BAC=45°,∴∠EAD=90°.在Rt△EAD中,ED2=AD2+AE2,∴ED2=AD2+BD2.
(6分)又ED2=EC2+CD2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.
(7分)56證明(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∴2CDC組教師專用題組考點(diǎn)一等腰三角形1.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使△ABC
為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是
()A.5
B.6
C.7
D.857C組教師專用題組考點(diǎn)一等腰三角形1.(2016湖北武漢,答案
A如圖,①當(dāng)AB=AC時(shí),以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(點(diǎn)B除
外),即O(0,0),C0(0,4),其中點(diǎn)C0與A、B兩點(diǎn)共線,不符合題意;②當(dāng)AB=BC時(shí),以點(diǎn)B為圓心,AB長
為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),均符合題意;③當(dāng)AC=BC時(shí),作AB的垂直平分線,與坐標(biāo)軸有
兩個(gè)交點(diǎn),均符合題意.所以滿足條件的點(diǎn)C有5個(gè),故選A.
58答案
A如圖,①當(dāng)AB=AC時(shí),以點(diǎn)A為圓心,AB長2.(2016河北,16,2分)如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上,且△
PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有
()
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.3個(gè)以上592.(2016河北,16,2分)如圖,∠AOB=120°,O答案
D如圖所示,過點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,連接CD,則△PCD為等邊三
角形.在OC,DB上分別取M,N,使CM=DN,則△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠
MPN=60°,則△PMN為等邊三角形,因?yàn)闈M足CM=DN的M,N有無數(shù)個(gè),所以滿足題意的三角形
有無數(shù)個(gè).
60答案
D如圖所示,過點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足3.(2015福建龍巖,8,4分)如圖,在邊長為
的等邊三角形ABC中,過點(diǎn)C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為
()
A.
B.
C.
D.1答案
D由題意可得,∠PBC=30°,在Rt△PBC中,PC=BC·tan30°=1,因?yàn)锽P是∠ABC的平分
線,所以點(diǎn)P到直線AB的距離等于點(diǎn)P到直線BC的距離,即為1,故選D.613.(2015福建龍巖,8,4分)如圖,在邊長為?的等邊三角4.(2015吉林長春,6,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,過點(diǎn)A作AD∥BC.若∠1=70°,則∠BAC的大小
為
()
A.30°
B.40°
C.50°
D.70°答案
B∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD∥BC,∴∠1=∠C=70°.∴∠B=70°.∴∠BAC=40°.故選B.624.(2015吉林長春,6,3分)如圖,在△ABC中,AB=5.(2014江蘇蘇州,10,3分)如圖,△AOB為等腰三角形,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,
),底邊OB在x軸上.將△AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△A'O'B,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'在x軸上,則點(diǎn)O'的坐標(biāo)
為
()
A.
B.
C.
D.
635.(2014江蘇蘇州,10,3分)如圖,△AOB為等腰三角答案
C過A作OB邊的垂線AC,垂足為C,過O'作BA'邊的垂線O'D,垂足為D,因?yàn)轫旤c(diǎn)A的坐
標(biāo)為(2,
),所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),所以O(shè)C=2,AC=
,在Rt△OAC中,根據(jù)勾股定理得OA=3,所以AB=3.因?yàn)椤鰽OB為等腰三角形,所以C為OB的中點(diǎn),所以B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),故BO'=BO=4.在Rt
△O'BD和Rt△O'A'D中,O'B2-BD2=O'A'2-A'D2.設(shè)BD=x,則有42-x2=32-(3-x)2,解得x=
,所以BD=
,所以O(shè)'D=
,又OD=4+
=
,故O'點(diǎn)的坐標(biāo)為
,故選C.
64答案
C過A作OB邊的垂線AC,垂足為C,過O'作B6.(2015浙江紹興,13,5分)由于木質(zhì)的衣架沒有柔性,在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小敏設(shè)
計(jì)了一種衣架,在使用時(shí)能輕易收攏,然后套進(jìn)衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18cm.
若衣架收攏時(shí),∠AOB=60°,如圖2,則此時(shí)A,B兩點(diǎn)間的距離是
cm.
答案18解析連接AB.因?yàn)镺A=OB=18cm,收攏后的∠AOB=60°,所以△AOB是正三角形,故AB=18cm.656.(2015浙江紹興,13,5分)由于木質(zhì)的衣架沒有柔性,7.(2016湖南長沙,17,3分)如圖,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,交邊AC
于點(diǎn)E,則△BCE的周長為
.
答案13解析∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△BCE的周長為BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.評析
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理,即線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)
端點(diǎn)的距離相等.667.(2016湖南長沙,17,3分)如圖,△ABC中,AC=8.(2014江蘇蘇州,15,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=
∠BAC,則tan∠BPC=
.
答案
解析過A作等腰△ABC底邊BC上的高AD,垂足為D,則AD平分∠BAC,且D為BC的中點(diǎn),所以
BD=4,根據(jù)勾股定理可求出AD=3,又因?yàn)椤螧PC=
∠BAC,所以∠BPC=∠BAD,所以tan∠BPC=tan∠BAD=
=
.678.(2014江蘇蘇州,15,3分)如圖,在△ABC中,AB9.(2014河南,11,3分)如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)B、C為圓心,以大于
BC的長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點(diǎn);②作直線MN交AB于點(diǎn)D,連接CD.若CD=AC,∠B=25°,則
∠ACB的度數(shù)為
.
答案105°解析由題意知MN垂直平分BC,∴CD=BD,又CD=AC,∴AC=CD=BD,∴∠DCB=∠B=25°,∴∠A=∠CDA=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°.689.(2014河南,11,3分)如圖,在△ABC中,按以下步10(2016北京,16,3分)下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.已知:直線l和l外一點(diǎn)P.
求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P.作法:如圖,(1)在直線l上任取兩點(diǎn)A,B;(2)分別以點(diǎn)A,B為圓心,AP,BP長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)Q;(3)作直線PQ.所以直線PQ就是所求作的垂線.
請回答:該作圖的依據(jù)是
.6910(2016北京,16,3分)下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作答案三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等;全等三角形的對應(yīng)角相等;等腰三角形的頂角平分線
與底邊上的高重合;兩點(diǎn)確定一條直線解析連接PA、QA、PB、QB.由題意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB,∴△PAB≌△QAB(三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等),∴∠PAB=∠QAB(全等三角形的對應(yīng)角相等).由兩點(diǎn)確定一條直線作直線PQ.∵PA=QA,∴AB⊥PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合).70答案三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等;全等三角形的對應(yīng)角相等;11.(2016賀州,16,3分)如圖,在△ABC中,分別以AC、BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形
BCE,連接AE、BD交于點(diǎn)O,則∠AOB的度數(shù)為
.
7111.(2016賀州,16,3分)如圖,在△ABC中,分別以答案120°解析設(shè)AC與BD交于點(diǎn)H.∵△ACD,△BCE都是等邊三角形,∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°.∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB,即∠DCB=∠ACE.在△DCB和△ACE中,
∴△DCB≌△ACE(SAS),∴∠CDB=∠CAE.又∵∠DCH+∠CHD+∠CDB=180°,∠AOH+∠OHA+∠CAE=180°,∠CHD=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH=60°.∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.72答案120°解析設(shè)AC與BD交于點(diǎn)H.72思路分析
先證明△DCB≌△ACE,再利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CDB=∠CAE,再利用對
頂角相等及三角形內(nèi)角和定理得∠AOD=∠ACD=60°,即可求出∠AOB.主要考點(diǎn)
全等三角形的判定及性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì).73思路分析
先證明△DCB≌△ACE,再利用全等三角形的12.(2016吉林,12,3分)如圖,已知線段AB,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于
AB的長為半徑作弧,兩弧相交于C,D兩點(diǎn),作直線CD交AB于點(diǎn)E.在直線CD上任取一點(diǎn)F,連接FA,FB.若FA=5,則FB=
.
答案5解析由題意可知EF垂直平分AB,所以FB=FA=5.7412.(2016吉林,12,3分)如圖,已知線段AB,分別以13.(2016柳州,23,8分)求證:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(請根據(jù)下圖用符號表示已知和求證,并寫出證明過程).已知:求證:證明:
7513.(2016柳州,23,8分)求證:等腰三角形的兩個(gè)底角解析已知:在△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C.證法一:過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D.
則∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(HL).∴∠B=∠C.證法二:過點(diǎn)A作∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.76解析已知:在△ABC中,AB=AC.76則∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C.證法三:過點(diǎn)A作BC邊上的中線AD交BC于點(diǎn)D.
則BD=CD.在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C.77則∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,7714.(2017黑龍江哈爾濱,24,8分)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90
°,連接AE、BD交于點(diǎn)O.AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N.(1)如圖1,求證:AE=BD;(2)如圖2,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形.
圖1
圖27814.(2017黑龍江哈爾濱,24,8分)已知:△ACB和△解析(1)證明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.(2)△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.79解析(1)證明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,715.(2016寧夏,21,6分)在等邊△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,若CD=2,過點(diǎn)D作DE∥AB,過
點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長線于點(diǎn)F.求EF的長.
解析∵△ABC為等邊三角形,∴∠A=∠B=∠ACB=60°,∵DE∥AB,∴∠EDF=∠B=60°,∠DEC=∠A=60°,∴△CDE為等邊三角形,∴DE=CD=2.
(4分)∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,在Rt△DEF中,EF=DE·tan60°=2
.
(6分)8015.(2016寧夏,21,6分)在等邊△ABC中,點(diǎn)D,E16.(2015北京,20,5分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BE⊥AC于點(diǎn)E.求證:∠CBE=∠BAD.
證明∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠ADC=90°.∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.8116.(2015北京,20,5分)如圖,在△ABC中,AB=17.(2014浙江杭州,18,8分)在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點(diǎn)
P.求證:PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段.
解析在△AFB和△AEC中,AF=AE,∠A為公共角,AB=AC,所以△AFB≌△AEC,所以∠ABF=∠ACE.因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠PBC=∠PCB,所以PB=PC.其余相等的線段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.8217.(2014浙江杭州,18,8分)在△ABC中,AB=A18.(2014浙江溫州,20,10分)如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且DE∥AB,過
點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù);(2)若CD=2,求DF的長.
解析(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等邊三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4.8318.(2014浙江溫州,20,10分)如圖,在等邊三角形A19.(2015重慶,25,12分)如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.點(diǎn)E是∠BAC角平分線上一
點(diǎn).過點(diǎn)E作AE的垂線,過點(diǎn)A作AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D,連接DB,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn).DH⊥AC,
垂足為H,連接EF,HF.(1)如圖1,若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),AC=2
,求AB,BD的長;(2)如圖1,求證:HF=EF;(3)如圖2,連接CF,CE.猜想:△CEF是不是等邊三角形?若是,請證明;若不是,請說明理由.圖1
圖28419.(2015重慶,25,12分)如圖1,在△ABC中,∠解析(1)∵點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),AC=2
,∴AH=
AC=
.
(1分)∵∠ACB=90°,∠BAC=60°,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4
.
(2分)∵DA⊥AB,DH⊥AC,∴∠DAB=∠DHA=90°.∴∠DAH=30°,∴AD=2.
(3分)在Rt△ADB中,∵∠DAB=90°,∴BD2=AD2+AB2.∴BD=
=2
.
(4分)(2)證明:連接AF,如圖.85解析(1)∵點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),AC=2?,85∵F是BD的中點(diǎn),∠DAB=90°,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD.
(5分)∵DE⊥AE,∴∠DEA=90°.∵∠DHA=90°,∠DAH=30°,∴DH=
AD.∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=
∠BAC=30°.∴∠DAE=60°,∴∠ADE=30°.86∵F是BD的中點(diǎn),∠DAB=90°,86∴AE=
AD,∴AE=DH.
(6分)∵∠FDA=∠FAD,∠HDA=∠EAD=60°,∴∠FDA-∠HDA=∠FAD-∠EAD,∴∠FDH=∠FAE.
(7分)∴△FDH≌△FAE(SAS).∴FH=FE.
(8分)(3)△CEF是等邊三角形.
(9分)理由如下:取AB的中點(diǎn)G,連接FG,CG.如圖.
87∴AE=?AD,∴AE=DH.?(6分)87∵F是BD的中點(diǎn),∴FG∥DA,FG=
DA.∴∠FGA=180°-∠DAG=90°,又∵AE=
AD,∴AE=FG.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),∴CG=AG.又∵∠CAB=60°,∴△GAC為等邊三角形.
(10分)∴AC=CG,∠ACG=∠AGC=60°.∴∠FGC=30°,∴∠FGC=∠EAC.∴△FGC≌△EAC(SAS).
(11分)∴CF=CE,∠ACE=∠GCF.∵∠ECF=∠ECG+∠GCF=∠ECG+∠ACE=∠ACG=60°,∴△CEF是等邊三角形.
(12分)88∵F是BD的中點(diǎn),∴FG∥DA,FG=?DA.88考點(diǎn)二直角三角形1.(2015北京,6,3分)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開,若測得AM的長
為1.2km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為
()
A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km答案
D∵AC⊥BC,M是AB的中點(diǎn),∴MC=
AB=AM=1.2km.故選D.89考點(diǎn)二直角三角形1.(2015北京,6,3分)如圖,公路A2.(2016黑龍江哈爾濱,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,點(diǎn)P為邊BC的三等
分點(diǎn),連接AP,則AP的長為
.答案
或
解析當(dāng)CP=1時(shí),根據(jù)勾股定理得AP=
=
;當(dāng)CP=2時(shí),根據(jù)勾股定理得AP=
=
=
,故AP的長為
或
.902.(2016黑龍江哈爾濱,17,3分)在等腰直角三角形AB3.(2015山東聊城,15,3分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分線.若AB=6,則
點(diǎn)D到AB的距離是
.
答案
解析∵∠C=90°,∠A=30°,AB=6,∴∠ABC=60°,BC=3,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=
∠ABC=30°,點(diǎn)D到AB的距離等于DC,在Rt△BDC中,DC=tan∠DBC×BC=
×3=
,∴點(diǎn)D到AB的距離等于
.913.(2015山東聊城,15,3分)如圖,在△ABC中,∠C4.(2015江西南昌,14,3分)如圖,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠
AOC=60°,則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí),AP的長為
.
答案2或2
或2
924.(2015江西南昌,14,3分)如圖,在△ABC中,AB解析由題意知,滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)位置.如圖①,∠APB=90°,因?yàn)镺A=OB=2,所以O(shè)P=OA=
2,又因?yàn)椤螦OC=60°,所以△POA為等邊三角形,所以AP=2.如圖②,∠APB=90°,因?yàn)镺A=OB=2,所以O(shè)P=OA=OB=2,又∠AOC=∠BOP=60°,所以△OBP為
等邊三角形,所以∠OBP=60°,所以∠OAP=30°,所以AP=AB·cos∠OAP=4×
=2
.如圖③,∠ABP=90°,因?yàn)椤螧OP=∠AOC=60°,所以BP=OB·tan60°=2
.在Rt△ABP中,AP=
=
=
=2
.綜上所述,AP的長為2或2
或2
.93解析由題意知,滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)位置.如圖①,∠APB=評析
本題是以等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)為背景的分類討論型問題,考查了含特殊角的直角三角
形的邊角關(guān)系、勾股定理等知識(shí),本題易漏掉某種情況,屬易錯(cuò)題.94評析
本題是以等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)為背景的分類討論型問題5.(2014湖北武漢,16,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則
BD的長為
.
答案
955.(2014湖北武漢,16,3分)如圖,在四邊形ABCD中解析作AD'⊥AD,且使AD'=AD,連接CD',DD',如圖.由已知條件可得∠BAC+∠CAD=∠DAD'+∠CAD,即∠BAD=∠CAD'.在△BAD與△CAD'中,
∴△BAD≌△CAD'(SAS),∴BD=CD'.又∠DAD'=90°,由勾股定理得DD'=?=
=4
,易知∠D'DA+∠ADC=90°,由勾股定理得CD'=?=
=
,∴BD=CD'=
.
評析
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì),屬難題.96解析作AD'⊥AD,且使AD'=AD,連接CD',DD',6.(2016北京,23,5分)如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點(diǎn),連
接BM,MN,BN.(1)求證:BM=MN;(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的長.
976.(2016北京,23,5分)如圖,在四邊形ABCD中,∠解析(1)證明:在△ABC中,∠ABC=90°,M為AC的中點(diǎn),∴BM=
AC.∵N為CD的中點(diǎn),∴MN=
AD.∵AC=AD,∴BM=MN.(2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=30°.由BM=AM,可得∠BMC=2∠BAC=60°.由MN∥AD,可得∠CMN=∠CAD=30°.∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°.∵AC=AD=2,∴BM=MN=1.在Rt△BMN中,BN=
=
.98解析(1)證明:在△ABC中,∠ABC=90°,M為AC的考點(diǎn)一等腰三角形三年模擬A組2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組1.(2018百色一模,2)已知一個(gè)等腰三角形的頂角是60°,則這個(gè)三角形的底角大小是
()A.120°
B.60°
C.40°
D.30°答案
B根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知等腰三角形兩底角相等,故底角大小為60°,選B.99考點(diǎn)一等腰三角形三年模擬A組2016—2018年模擬·2.(2018貴港覃塘一模,10)如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,若AB=4,AD=2,則△AED的
周長是
()
A.6
B.7
C.8
D.10答案
A∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠EDB=∠
EBD,∴BE=DE,∴C△AD
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