2024三年級奧數(shù)計算綜合數(shù)陣圖與幻方（A級）含答案

須M4巨行軍奧出。濟(jì)僧及管。生噂圈周聞為《缶軍》

一、數(shù)陣圖定義及分類:

定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.

數(shù)陣：是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型

數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.

二、解題方法：

解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：

第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)（或方格）和關(guān)鍵點(diǎn)（或方格）；

第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)（一般是交叉點(diǎn)）上設(shè)置未知數(shù)，計算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系,

得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍；

第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試.這個步驟并不是對所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對

數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.

三、幻方起源：

幻方也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方.幻方起源于我國，古

人還為它編撰了一些神話.傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都

無濟(jì)于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎

著數(shù)是3歹1J,每塊烏龜殼上都有幾個點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什

么意思.一次，大烏龜又從河里爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來："瞧多有趣啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論

橫著加、豎著加還是斜著加，結(jié)果都等于十五！"于是人們趕緊把十五份祭品獻(xiàn)給河神，說來也怪，

河水果然從此不再泛濫了.這個神奇的圖案叫做“幻方"，由于它有3行3列，所以叫做，三階幻方"，

這個相等的和叫做"幻和洛書"就是幻和為15的三階幻方.如下圖:

F

3

我國北周時期的數(shù)學(xué)家甄鸞在《算數(shù)記遺》里有一段注解："九宮者，二四為肩，六八為足，左

三右七，戴九履一，五居中央.”這段文字說明了九個數(shù)字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久.三

階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的："四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七

六郎賞月半，周圍十五月團(tuán)圓."幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)認(rèn)識了解它們.

四、幻方定義：

幻方是指橫行、豎列、對角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的3x3的數(shù)陣稱作三階

幻方，4x4的數(shù)陣稱作四階幻方，5x5的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣，

115144

12679

810115

133216

五、解決這幻方常用的方法：

⑴適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法.口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連.上出框時往

下填，右出框時往左填.排重便在下格填，右上排重一個樣.

⑵適用于三階幻方的三大法則有：

①求幻和：所有數(shù)的和+行數(shù)(或列數(shù))

②求中心數(shù)：我們把幻方中對角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù)"，中心數(shù)=幻和+3.

③角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數(shù)和+2.

六、數(shù)獨(dú)簡介：

數(shù)獨(dú)前身為“九宮格"，最早起源于中國。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了洛書，其特點(diǎn)較之現(xiàn)在

的數(shù)獨(dú)更為復(fù)雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個數(shù)字之和等于15,而非簡單的九個數(shù)字不能重復(fù)。

中國古籍《易經(jīng)》中的“九宮圖”也源于此，故稱“洛書九宮圖"。而"九宮”之名也因《易經(jīng)》在中華文

化發(fā)展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時稱作“拉丁方塊"(LatinSquare)的游戲，這

個游戲是一個nxn的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n個數(shù)字或者字母組成的。19世

紀(jì)70年代，美國的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志《戴爾鉛筆字謎和詞語游戲》（DellPuzzleMagazines）開始

刊登現(xiàn)在稱為“數(shù)獨(dú)"的這種游戲，當(dāng)時人們稱之為"數(shù)字拼圖"（NumberPlace）,在這個時候，9x9的

81格數(shù)字游戲才開始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志《字謎通訊Nikoil》（《/弋犬及通

信二=111》）上出現(xiàn)了"數(shù)獨(dú)"游戲，提出了"獨(dú)立的數(shù)字”的概念，意思就是"這個數(shù)字只能出現(xiàn)一次"或

者"這個數(shù)字必須是唯一的"，并將這個游戲命名為“數(shù)獨(dú)"（sudoku）。

一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德（WayneGould）在1997年3月到日本東京旅游時,

無意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國的《泰晤士報》上發(fā)表，不久其他報紙也發(fā)表，很快便風(fēng)靡全英國，之

后他用了6年時間編寫了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個游戲很快在全世界流行。從此，這個

游戲開始風(fēng)靡全球。后來更因數(shù)獨(dú)的流行衍生了許多類似的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲，例如：數(shù)和、殺手?jǐn)?shù)

獨(dú)。

中國大陸是在2007年2月28日正式引入數(shù)獨(dú).2007年2月28日，北京晚報智力休閑數(shù)獨(dú)俱樂部

（數(shù)獨(dú)聯(lián)盟sudokufederation前身）在新聞大廈舉行加入世界謎題聯(lián)合會的頒證儀式,會上謎題聯(lián)合會秘

書長皮特-里米斯特和俱樂部會長在證書上簽字，這標(biāo)志著北京晚報智力休閑俱樂部成為世界謎題聯(lián)合

會的39個成員之一，這也標(biāo)志著俱樂部走向國際舞臺，它將給數(shù)獨(dú)爰好者帶來更多與世界數(shù)獨(dú)爰好

者們交流的機(jī)會。

七'解題技巧：

數(shù)獨(dú)游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個空格所在的三個單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一個

空格只位于兩個單元之內(nèi)，但是同時多了一個大小關(guān)系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍。

總結(jié)4個小技巧：

1、巧選突破口：數(shù)獨(dú)中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規(guī)則的限制來

分析每一個空格的可選數(shù)字的個數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開始，一般來說，我們會選

擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而

大小數(shù)獨(dú)中已知的數(shù)字往往非常少，這個時候大小關(guān)系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外

更加需要考慮大小關(guān)系的限制。

2、相對不確定法：有的時候我們不能確定2個方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯

定不會出現(xiàn)什么數(shù)字，這個就是我們說的相對不確定法。舉例說明，A1可以填入1或者2,A2

也可以填入1或者2,那么我們可以確定，1和2必定出現(xiàn)在A1和A2兩者之中，A行其他位置

不可能出現(xiàn)1或者2.

3、相對排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個空格的可選

數(shù)字進(jìn)行對比分析來確定它們中的某一個或者幾個空格。舉例說明，A行中已經(jīng)確定5個數(shù)字,

還有4個數(shù)字（我們假設(shè)是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個空格所在的其他單元我們知道

A1可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2、3,A4可以填入1、3,這個

時候我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4,我們就可以不用考慮A1,

這樣就可以發(fā)現(xiàn)2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進(jìn)行確定。

4、假設(shè)法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進(jìn)行假設(shè)，當(dāng)然，假設(shè)也是原則的，我們不能

進(jìn)行無意義的假設(shè)，假設(shè)的原則是：如果通過假設(shè)一個空格的數(shù)字，可以確定和這個空格處在

同一個單元內(nèi)的其它某一個或者某幾個空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設(shè)為佳。

舉例說明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,這個時候我們

就應(yīng)該假設(shè)B3填入2,這樣就可以確定A3填入3,B4填入1,然后以這個為基礎(chǔ)進(jìn)行推理。

一、輻射型數(shù)陣圖

【例1】把1991,1992,1993,1994,1995分別填入圖2的5個方格中，使得橫排的三個方格中的數(shù)的

和等于豎列的三個方格中的數(shù)的和。則中間方格中能填的數(shù)是。

【鞏固】將1?5五個數(shù)字，分別填入右圖的五個。中，使橫、豎線上的三個數(shù)字和都是10。

【例2】請你把1?7這七個自然數(shù)，分別填在下圖（1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個數(shù)的和都相等.

應(yīng)怎樣填？

(1)

【鞏固】將1?7七個數(shù)字，分別填入圖中的各個。內(nèi)，使每條線上的三個數(shù)和相等。

【例3】將1?11十一個數(shù)字，填入下圖各。中，使每條線段上的數(shù)字和相等。

【鞏固】將10?20填入左下圖的。內(nèi)，其中15已填好，使得每條邊上的三個數(shù)字之和都相等。

二、封閉型數(shù)陣

【例4】把2、3、4、5、6、7六個數(shù)字，分別填入。中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。

【鞏固】在如圖6所示的。內(nèi)填入不同的數(shù)，使得三條邊上的三個數(shù)的和都是12,若A、B、C的和為

18,則三個頂點(diǎn)上的三個數(shù)的和是____________0

AB

C

【例5】把1?9九個數(shù)字，分別填入下圖。中，使每邊上四個數(shù)的和都是21。

【鞏固】將1至6這六個數(shù)字填入圖中的六個圓圈中（每個數(shù)字只能使用一次），使每條邊上的數(shù)字和相

等.那么，每條邊上的數(shù)字和是.

三、復(fù)合型數(shù)陣圖

【例6】右邊的一排方格中，除9、8外，每個方格中的字都表示一個數(shù)（不同的字可以表示相同的數(shù)），已

知其中任何3個連續(xù)方格中的數(shù)相加起來都為22,則“走”+“進(jìn)”+“數(shù)”+“學(xué)”+“花”+“園”=

|走|進(jìn)|9|數(shù)|學(xué)|花|8|園|

【鞏固】請?jiān)谙聢D中每個方格中填一個數(shù)，使橫行任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,豎列任意三

個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18.

【例7】如圖所示，圓圈中分別填人0到9這10個數(shù)，且每個正方形頂點(diǎn)上的四個數(shù)之和都是18,則中

間兩個數(shù)A與B的和是0

【鞏固】將1?8這八個數(shù)分別填入右圖的。中，使兩個大圓上的五個數(shù)之和都等于21。

【例8】把1?8的數(shù)填到下圖中，使每個四邊形中頂點(diǎn)的數(shù)字和相等。

【鞏固】把2?10九個數(shù)字，分別填入下圖。中，使每條直線上的三個數(shù)和為15。

四、數(shù)陣圖與數(shù)論

【例9】把。一9這十個數(shù)字填到右圖的圓圈內(nèi)，使得五條線上的數(shù)字和構(gòu)成一個等差數(shù)列，而且這個等

差數(shù)列的各項(xiàng)之和為55,那么這個等差數(shù)列的公差有種可能的取值.

【鞏固】將1~9填入下圖的。中，使得任意兩個相鄰的數(shù)之和都不是3,5,7的倍數(shù).

五、數(shù)獨(dú)

【例10］在下圖中的每個□填入一位適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使每一行、每一列、每一宮中包含數(shù)字1到4,并且每

個數(shù)字只出現(xiàn)一次。

【鞏固】如圖.4x4方格被分成了五塊；請你在每格中填入1、2、3、4中的一個，使得每行、每列的四

個數(shù)各不相同，且每塊上所填數(shù)的和都相等。則A、B、C、D四處所填數(shù)字之和是。

AB

DC

六、幻方

【例11】3x3的正方形中，在每個格子里分別填入1~9的9個數(shù)字，要求每行每列及對角線上的三個數(shù)

的和相等（請給出至少一種填法）.

【鞏固】3x3的正方形格子中，在每個格子里分別填入2~10的9個數(shù)字，要求每行每列及對角線上的三

個數(shù)的和相等（請給出至少一種填法）.

【例12］在圖的九個方格里，每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)的和都相等，則心

【鞏固】在下面兩幅圖的每個空格中，填入7個自然數(shù)，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和等

于21.

88

4

4

【隨練1】將1?9九個數(shù)字，填入下圖各。中，使縱、橫兩條線上的數(shù)字和相等。

【隨練2】將1?7這七個自然數(shù)填入左下圖的七個。內(nèi)，使得每條邊上的三個數(shù)之和都等于10。

【隨練3】將1?8八個數(shù)字，分別填入下圖。中，使每個面的四個數(shù)和相等。

【隨練4】如圖，請將1個1,2個2,3個3,……，7個7,8個8填入6x6的表格中，使得相同的數(shù)所

在的方格都連在一起（相連的兩個方格必須有公共邊）；現(xiàn)在已經(jīng)給出了其中8個方格的數(shù)，并

且知道A、B、C、D、E、F各不相同，那么，六位數(shù)是o

56

ABCDE尸

12

34

78

【作業(yè)1】把1?5這五個數(shù)分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數(shù)之和與豎列三數(shù)之和都等于9。

【作業(yè)2】把1?5這五個數(shù)填入下頁左上圖中的。里（0已填入5）,使兩條直線上的三個數(shù)之和相等。

1

^

6

【作業(yè)3】把1?5這五個數(shù)填入右圖中的。里，使每條0直線上的三個數(shù)之和相等。

6

6一O

【作業(yè)4】將1?8這八個自然數(shù)分別填入下圖中的八個。內(nèi)，使四邊形每條邊上的三個數(shù)之和都等于14,

且數(shù)字1出現(xiàn)在四邊形的一個頂點(diǎn)上.應(yīng)如何填？

【作業(yè)5】用11,13,15,17,19,21,23,25,27編制成一個三階幻方。

【作業(yè)6】在圖1所示的和方格表中填入合適的數(shù)，使得每行、每列以及每條對角線上的三個數(shù)的和相等。

那么標(biāo)有“☆”的方格內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)是______.

學(xué)生對本次課的評價

。特別滿意。滿意。一般

家長意見及建議

家長簽字：

一、數(shù)陣圖定義及分類：

定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.

數(shù)陣：是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型

數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖.

二、解題方法：

解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：

第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)（或方格）和關(guān)鍵點(diǎn)（或方格）；

第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)（一般是交叉點(diǎn)）上設(shè)置未知數(shù)，計算這些關(guān)鍵點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系，

得到關(guān)鍵點(diǎn)上所填數(shù)的范圍；

第三步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試.這個步驟并不是對所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對

數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用.

三、幻方起源：

幻方也叫縱橫圖，也就是把數(shù)字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方.幻方起源于我國，古

人還為它編撰了一些神話.傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經(jīng)常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都

無濟(jì)于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數(shù)是3行，豎

著數(shù)是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點(diǎn)點(diǎn)，正好湊成1至9的數(shù)字，可是誰也弄不清這些小點(diǎn)點(diǎn)是什

么意思.一次，大烏龜又從河里爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點(diǎn)點(diǎn)不論

橫著加、豎著加還是斜著加，結(jié)果都等于十五！”于是人們趕緊把十五份祭品獻(xiàn)給河神，說來也怪，

河水果然從此不再泛濫了.這個神奇的圖案叫做"幻方"，由于它有3行3列，所以叫做"三階幻方"，

這個相等的和叫做"幻和洛書"就是幻和為15的三階幻方.如下圖：

我國北周時期的數(shù)學(xué)家甄鸞在《算數(shù)記遺》里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左

三右七，戴九履一，五居中央.”這段文字說明了九個數(shù)字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久.三

—/-T-AT7ntnmJ、I/.r^i人業(yè)Jn-f-FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-llT-IlL

階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七

六郎賞月半，周圍十五月團(tuán)圓.”幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)認(rèn)識了解它們.

四、幻方定義：

幻方是指橫行、豎列、對角線上數(shù)的和都相等的數(shù)的方陣，具有這一性質(zhì)的3x3的數(shù)陣稱作三階

幻方，4x4的數(shù)陣稱作四階幻方，5x5的稱作五階幻方......如圖為三階幻方、四階幻方的標(biāo)準(zhǔn)式樣，

115144

12679

810115

133216

五、解決這幻方常用的方法：

⑴適用于所有奇數(shù)階幻方的填法有羅伯法.口訣是：一居上行正中央，后數(shù)依次右上連.上出框時往

下填，右出框時往左填.排重便在下格填，右上排重一個樣.

⑵適用于三階幻方的三大法則有：

①求幻和：所有數(shù)的和+行數(shù)(或列數(shù))

②求中心數(shù)：我們把幻方中對角線交點(diǎn)的數(shù)叫"中心數(shù)"，中心數(shù)=幻和+3.

③角上的數(shù)=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數(shù)和+2.

六、數(shù)獨(dú)簡介：

數(shù)獨(dú)前身為"九宮格”，最早起源于中國。數(shù)千年前，我們的祖先就發(fā)明了洛書，其特點(diǎn)較之現(xiàn)在

的數(shù)獨(dú)更為復(fù)雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個數(shù)字之和等于15,而非簡單的九個數(shù)字不能重復(fù)。

中國古籍《易經(jīng)》中的"九宮圖"也源于此，故稱“洛書九宮圖"。而"九宮"之名也因《易經(jīng)》在中華文

化發(fā)展史上的重要地位而保存、沿用至今。

1783年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時稱作"拉丁方塊"(LatinSquare)的游戲，這個

游戲是一個nxn的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n個數(shù)字或者字母組成的。19世紀(jì)

70年代，美國的一家數(shù)學(xué)邏輯游戲雜志《戴爾鉛筆字謎和詞語游戲》(DellPuzzleMagazines)開始刊

登現(xiàn)在稱為"數(shù)獨(dú)"的這種游戲，當(dāng)時人們稱之為"數(shù)字拼圖"(NumberPlace),在這個時候，9x9的81

格數(shù)字游戲才開始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志《字謎通訊Nikoil》心通信

二口外〉)上出現(xiàn)了"數(shù)獨(dú)"游戲，提出了“獨(dú)立的數(shù)字”的概念，意思就是“這個數(shù)字只能出現(xiàn)一次”或者

“這個數(shù)字必須是唯一的"，并將這個游戲命名為"數(shù)獨(dú)"(sudoku)。

一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德(WayneGould)在1997年3月到日本東京旅游時，

無意中發(fā)現(xiàn)了。他首先在英國的《泰晤士報》上發(fā)表，不久其他報紙也發(fā)表，很快便風(fēng)靡全英國，之

后他用了6年時間編寫了電腦程式，并將它放在網(wǎng)站上，使這個游戲很快在全世界流行。從此，這個

游戲開始風(fēng)靡全球。后來更因數(shù)獨(dú)的流行衍生了許多類似的數(shù)學(xué)智力拼圖游戲，例如：數(shù)和、殺手?jǐn)?shù)

—/-T-ATIntnmJ、Ifdr/.r*n人業(yè)J“4nzil-，-r—i—/>/.T7、-VZ-llTIIr—/cc

獨(dú)。

中國大陸是在2007年2月28日正式引入數(shù)獨(dú).2007年2月28日，北京晚報智力休閑數(shù)獨(dú)俱樂部

（數(shù)獨(dú)聯(lián)盟sudokufederation前身）在新聞大廈舉行加入世界謎題聯(lián)合會的頒證儀式，會上謎題聯(lián)合會秘

書長皮特-里米斯特和俱樂部會長在證書上簽字，這標(biāo)志著北京晚報智力休閑俱樂部成為世界謎題聯(lián)合

會的39個成員之一，這也標(biāo)志著俱樂部走向國際舞臺，它將給數(shù)獨(dú)愛好者帶來更多與世界數(shù)獨(dú)愛好

者們交流的機(jī)會。

七、解題技巧：

數(shù)獨(dú)游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個空格所在的三個單元中已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)字（大小數(shù)獨(dú)一個

空格只位于兩個單元之內(nèi)，但是同時多了一個大小關(guān)系作為限制條件）來縮小可選數(shù)字的范圍。

總結(jié)4個小技巧：

1,巧選突破口：數(shù)獨(dú)中未知的空格數(shù)目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規(guī)則的限制來

分析每一個空格的可選數(shù)字的個數(shù)，然后選擇可選數(shù)字最少的方格開始，一般來說，我們會選

擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數(shù)字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數(shù)字；而

大小數(shù)獨(dú)中已知的數(shù)字往往非常少，這個時候大小關(guān)系更加重要，我們除了利用已知數(shù)字之外

更加需要考慮大小關(guān)系的限制。

2、相對不確定法：有的時候我們不能確定2個方格中的數(shù)字，卻可以確定同一單元其他方格中肯

定不會出現(xiàn)什么數(shù)字，這個就是我們說的相對不確定法。舉例說明，A1可以填入1或者2,A2

也可以填入1或者2,那么我們可以確定，1.和2必定出現(xiàn)在A1和A2兩者之中，A行其他位置

不可能出現(xiàn)1或者2.

3、相對排除法：某一單元中出現(xiàn)好幾個空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個空格的可選

數(shù)字進(jìn)行對比分析來確定它們中的某一個或者幾個空格。舉例說明，A行中已經(jīng)確定5個數(shù)字，

還有4個數(shù)字（我們假設(shè)是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個空格所在的其他單元我們知道

A1可以填入1、2、3、4,A2可以填入1、3,A3可以填入1、2.3,A4可以填入1、3,這個

時候我們可以分析，數(shù)字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4,我們就可以不用考慮A1,

這樣就可以發(fā)現(xiàn)2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進(jìn)行確定。

4、假設(shè)法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進(jìn)行假設(shè)，當(dāng)然，假設(shè)也是原則的，我們不能

進(jìn)行無意義的假設(shè)，假設(shè)的原則是：如果通過假設(shè)一個空格的數(shù)字，可以確定和這個空格處在

同一個單元內(nèi)的其它某一個或者某幾個空格的數(shù)字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設(shè)為佳。

舉例說明，B3可以填入1或者2,A3可以填入2或者3,B4可以填入1或者2,這個時候我們

就應(yīng)該假設(shè)B3填入2,這樣就可以確定A3填入3,B4填入1,然后以這個為基礎(chǔ)進(jìn)行推理。

—/-T-AT7ntnmJ、I/.r^i人業(yè)Jn-f-FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-llT-IlL

一、輻射型數(shù)陣圖

【例1】把1991,1992,1993,1994,1995分別填入圖2的5個方格中，使得橫排的三個方格中的數(shù)的

和等于豎列的三個方格中的數(shù)的和。則中間方格中能填的數(shù)是。

【考點(diǎn)】輻射型數(shù)陣圖【難度】1星【題型】填空

【解析】由題意，橫行兩端兩個數(shù)的和應(yīng)該等于豎列兩端兩個數(shù)的和，也就是除去中間方格中的數(shù)，其余

的四個數(shù)可以分為和相等的兩組。所以中間方格中能填的數(shù)為：1991,1993,1995。

【答案】中間方格能填的數(shù)可以為：1991,1993,1995,答案不唯一。

【鞏固】將1?5五個數(shù)字，分別填入右圖的五個。中，使橫、豎線上的三個數(shù)字和都是10。

【考點(diǎn)】輻射型數(shù)陣圖【難度】1星【題型】填空

【解析】已給出的五個數(shù)字和是：1+2+3+4+5=15。題中要求橫、豎每條線上數(shù)字和都是10,兩條線

合起來便是20了。20-15=5,怎樣才能增加5呢？因?yàn)橹行牡囊粋€數(shù)是個重復(fù)使用數(shù)。只有

5連加兩次才能使五個數(shù)字的和增加5,關(guān)鍵找到了，中心數(shù)必須填5。確定了中心數(shù)后，按余下

的1、2、3、4,分別填在橫、豎線的兩端，使每條線上數(shù)的和是10,便可以了。通過嘗試，可

以填為：

【答案】①一g~~⑷o

【例2】請你把1?7這七個自然數(shù)，分別填在下圖（1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個數(shù)的和都相等.

應(yīng)怎樣填？

(1)

—1-T-AT7ntn、I/.r^i人業(yè)J“4rsi>—/./.T7、-trL-il-r-Hr-

【考點(diǎn)】輻射型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空

【解析】為敘述方便，先在圓圈中標(biāo)上字母，如下圖（2）,

設(shè)a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,

貝I(a+b+e)+(a+c+f)+(a+d+g)=3k

3a+b+c+d+e+f+g=3k

2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k

2a+(1+2+3+4+5+6+7)=3k

2a+28=3k

a為1、4或7,若a=l,則k=10,直線上另外兩個數(shù)的和為9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9,

因此得到一個解為：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.

若a=4,則k=12,直線上另外兩個數(shù)的和為8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8,因此得

到第二個解為：a=4,b=l,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.

若a=7,貝|k=14,直線上另外兩個數(shù)的和為7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7,因此得

到第三個解為：a=7,b=l,c=2,d=3,e=6,f=5,g=4.

解：共得到三個解：如下圖.

例2為輻射型數(shù)陣圖，填輻射型數(shù)陣圖的關(guān)鍵在于確定中心數(shù)a和每條直線上幾個圓圈內(nèi)數(shù)的和

【鞏固】將1?7七個數(shù)字，分別填入圖中的各個。內(nèi)，使每條線上的三個數(shù)和相等。

【考點(diǎn)】輻射型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空

—/-V-AT7ntnmJ、Ifdr/.r^i人業(yè)J“4FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-ill-IlL

【解析】圖中共有3條線，若每條線數(shù)字和相等，三條線的數(shù)字總和必為3的倍數(shù)。設(shè)中心數(shù)為a,則a

被重復(fù)使用了2次。即，1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a

28+2a應(yīng)能被3整除。（28+2a）+3=28+3+2a+3其中28+3=9…余1,所以2a+3應(yīng)余2?由土匕，

便可推得a只能是1、4、7三數(shù)。

當(dāng)a=l時，28+2a=3030+3=10,其他兩數(shù)的和是10T=9,只要把余下的2、3、4、5、6、

7,按和為9分成三組填入兩端即可。

同理可求得a=4、a=7兩端應(yīng)填入的數(shù)。

【例3】將1?11H^一個數(shù)字,填入下圖各。中,使每條線段上的數(shù)字和相等。

【考點(diǎn)】輻射型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】圖中共有五條線段，全部數(shù)字的總和必須是5的倍數(shù)，每條線上的數(shù)字和才能相等。1~11十一

個數(shù)字和為66,66+5=13余1,必須再增加4,可使各線上數(shù)字和為14。共五條線，中心數(shù)重復(fù)

使用4次，填1恰符合條件。

此題的基本解法是：中心數(shù)重復(fù)使用次數(shù)與中心數(shù)的積，加上原余數(shù)1,所得的和必須是5的倍

數(shù)。據(jù)此，中心數(shù)填6、11均可得解。

【答案】

【鞏固】將10?20填入左下圖的。內(nèi)，其中15已填好，使得每條邊上的三個數(shù)字之和都相等。

【考點(diǎn)】輻射型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】與例2類似，中間O內(nèi)的15是重疊數(shù)，并且重疊了四次，所以每條邊上的三個數(shù)字之和等于

[(10+11+…+20)+15,4戶5=45。剩下的十個數(shù)中，兩兩之和等于(45-15=)30的有10,20;11,19;

12,18;13,17;14,16.于是得到右上圖的填法。

二、封閉型數(shù)陣

【例4】把2、3、4、5、6、7六個數(shù)字，分別填入。中，使三角形各邊上的數(shù)字和都是12。

【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星

【解析】要使三角形每邊上的數(shù)字和都是12,則三條邊的數(shù)字和便是12x3=36,而2+3+4+5+6+7=

27,36與27相差9。三個角頂?shù)臄?shù)字都重復(fù)使用兩次，只有這三個數(shù)字的和是9,才能符合條

件。確定了角頂?shù)臄?shù)字，其他各數(shù)通過嘗試便容易求得了!

這題還可有許多解法，上圖只是其中一種。

【答案】答案不唯一。

—Al-Anntn、Ifxir入業(yè)J“4rsi>—/./.T7、-l?4.ilTHr-

【鞏固】在如圖6所示的。內(nèi)填入不同的數(shù)，使得三條邊上的三個數(shù)的和都是12,若A、B、C的和為

18,則三個頂點(diǎn)上的三個數(shù)的和是____________0

【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】1星【題型】填空

【解析】設(shè)三個頂點(diǎn)為D,E,F,求?！攴灿^察容易發(fā)現(xiàn)，三條邊的和為36,D+A+E+E+C+F+F+B+D=36

18+2(D+E+F)=36,所以D+E+F=9.

【答案】9。

【例5】把1?9九個數(shù)字，分別填入下圖。中，使每邊上四個數(shù)的和都是21。

【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】1星【題型】填空

【解析】要使三角形每條邊上的數(shù)字和是21,則三條邊的數(shù)字和便是：21x3=63。而1~9九個數(shù)字的

和只有45。45比63少18,只有使三角形三個頂角的數(shù)字和為18,重復(fù)使用兩次，才能使總和

增加18。所以應(yīng)確定頂點(diǎn)的三個數(shù)。下面是填法中的一種。

確定了頂角的數(shù)后，其他各數(shù)便容易了。

【答案】

【鞏固】將1至6這六個數(shù)字填入圖中的六個圓圈中(每個數(shù)字只能使用一次)，使每條邊上的數(shù)字和相

—/-T-AT7ntnmJ、I/.r^i人業(yè)Jn-f-FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-llT-IlL

【考點(diǎn)】封閉型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空

【解析】如圖，用字母表示各個圓圈中的數(shù)，那么每條邊上的數(shù)字和為:

(1+2+???+Z?+c)-3=15+a+b+c,由于0+/,+c最小為1+2+3=6,最大為

3

4+5+6=15,所以每條邊上的數(shù)字和最小為17,最大為20,如下兩圖為每條邊上的數(shù)字和分別

為17和20時的填法.

而每條邊上的數(shù)字和能否為18或19呢？答案是否定的，現(xiàn)說明如下.

如果每條邊上的數(shù)字和為18,那么a+〃+c=(18-15)x3=9,而a傷M+=98，即9,

得到c=d,與題意不符，所以每條邊上的數(shù)字和不能為18.如果每條邊上的數(shù)字和為19,類似

分析可得到b=e,也與題意不符，所以每條邊上的數(shù)字和不能為19.

所以每條邊上的數(shù)字和為17或20.

【答案】17或20。

三、復(fù)合型數(shù)陣圖

【例6】右邊的一排方格中，除9、8外，每個方格中的字都表示一個數(shù)(不同的字可以表示相同的數(shù))，已

知其中任何3個連續(xù)方格中的數(shù)相加起來都為22,貝卜走”+“進(jìn)”+“數(shù)”+“學(xué)”+“花”+“園”=

走進(jìn)g數(shù)學(xué)花8園

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空

【解析】“走”+“進(jìn)”+9=22,9+“數(shù)”+“學(xué)”=22,“花”+8+“園”=22,所以

“走”+“進(jìn)”+“數(shù)”+“學(xué)”+“花”+“園”=22-9+22-9+22-8=40

【答案】40。

【鞏固】請?jiān)谙聢D中每個方格中填一個數(shù)，使橫行任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,豎列任意三

個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18.

3

8

7

3

5285285285

7

3

8

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

—/-T-AT7ntn、I^Eir/.r^i人業(yè)J“4rsi1—/.ATI、-l?4.ilTHr-

【解析】豎列任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18,從上至下第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是18-3=15,

第二個數(shù)+第三個數(shù)+第四個數(shù)=18,第四個數(shù)等于3,以此類推，從上至下第一個數(shù)等于第四個

數(shù)等于第七個數(shù)，第二個數(shù)等于第五個數(shù)等于第八個數(shù)，所以豎行從上至下依次為3、8、7、3、

8、7、3、8;同理，橫行任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,由左至右第六個數(shù)是8,所以

橫行由左至右依次為5、2、8、5、2、8、5、2、8、5,如右上圖所示.

3

8

7

3

5285285285

7

3

8

【答案】

【例7】如圖所示，圓圈中分別填人0到9這10個數(shù)，且每個正方形頂點(diǎn)上的四個數(shù)之和都是18,則中

間兩個數(shù)A與2的和是0

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】若每個正方形中數(shù)的和都是18,那么總和為54,而這10個數(shù)的和為45,其中4、8各多算了一

次，故A+B=9。

【答案】9。

【鞏固】將1?8這八個數(shù)分別填入右圖的。中，使兩個大圓上的五個數(shù)之和都等于21。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】中間兩個數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次，所以兩個重疊數(shù)之和為:21x2-(l+2+…+8尸6。在已知

的八個數(shù)中，兩個數(shù)之和為6的只有1與5,2與4。每個大圓上另外三個數(shù)之和為21-6=15。如

果兩個重疊數(shù)為1與5,那么剩下的六■個數(shù)2,3,4,6,7,8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15

的只有:2+6+7=15和3+4+8=15,

故有右下圖的填法。

—/-T-AT7ntn、I/.r^i人業(yè)J“4rsi1—/.ATI、-l?4.ilTHr-

如果兩個重疊數(shù)為2與4,那么同理可得下圖的填法。

【例8】把1?8的數(shù)填到下圖中，使每個四邊形中頂點(diǎn)的數(shù)字和相等。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】

【鞏固】把2?10九個數(shù)字，分別填入下圖。中，使每條直線上的三個數(shù)和為15。

【考點(diǎn)】復(fù)合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

—/-T-AT7ntnmJ、I^Eir/.r^i人業(yè)Jn-f-FSZ1>—，一r-^―/.T7-IvZ-llT-IlL

【解析】2~10九個數(shù)字的和為：2+3+4+........+10=6x9=54若排成每個三角形每邊的數(shù)字和都是15,

圖中含有每邊都三個數(shù)字的三角形有兩個，共六條邊，數(shù)字總和應(yīng)是15x6=90。54比90少36。

在外圍的六個數(shù)都被重復(fù)使用了兩次，它們又分屬于兩個三角形。所以，每個三角形三個頂角的

數(shù)和應(yīng)為：36+2=18。這樣，便可以先填外三角形三個頂角的數(shù)。三個數(shù)和為18的有很多組，

可以通過試驗(yàn)篩選出適宜的一組。填好了外圍三角形各個數(shù)后，里面的三角形，因?yàn)轫斀堑臄?shù)已

知，其他各數(shù)便容易填寫了。下面是填法中的一種:

【答案】答案不唯一。

四、數(shù)陣圖與數(shù)論

【例9】把0—9這十個數(shù)字填到右圖的圓圈內(nèi)，使得五條線上的數(shù)字和構(gòu)成一個等差數(shù)列，而且這個等

差數(shù)列的各項(xiàng)之和為55,那么這個等差數(shù)列的公差有種可能的取值.

【考點(diǎn)】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】3星【題型】填空

【解析】設(shè)頂點(diǎn)分別為A、B、C、D、E,<45+A+B+C+D+E^55,所以4+B+C+￡>+￡=10,所以A、B、C、

D、E分別只能是0-4中的一個數(shù)字.則除之外的另外5個數(shù)(即邊上的)為45-10=35.設(shè)所形成的

等差數(shù)列的首項(xiàng)為al,公差為d.利用求和公式5(al+al+4d)2=55,得al+2d=11,故大于等

于0+1+5=6,且為奇數(shù)，只能取7、9或11,而對應(yīng)的公差d分別為2、1和0.經(jīng)試驗(yàn)都能填出來

所以共有3中情況，公差分別為2、I、0.

【答案】2種可能

【鞏固】將1~9填入下圖的。中，使得任意兩個相鄰的數(shù)之和都不是3,5,7的倍數(shù).

【考點(diǎn)】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】4星【題型】填空

—1-T-AT7ntn、I/.r^i人業(yè)J“4rsi>—/./.T7、-trL-il-r-Hr-

【解析】根據(jù)題意可知1的兩邊只能是3與7；2的兩邊只能是6與9；3的兩邊只能是1、5或8；4的兩

邊只能是7與9.可以先將3—1—7-寫出來，接下來7的后面只能是4,4的后面只能是9,9的

后面只能是2,2的后面只能是6,可得：3—1—7一4^9—2—6--,還剩下5和8兩個數(shù).由于

6+8=14是7的倍數(shù)，所以接下來應(yīng)該是5,這樣可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3.檢驗(yàn)

可知這樣的填法符合題意.

【答案】3—1—7^—9—2—6—5—8—3。

五、數(shù)獨(dú)

【例10］在下圖中的每個口填入一位適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使每一行、每一列、每一宮中包含數(shù)字1到4,并且每

個數(shù)字只出現(xiàn)一次。

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】3星【題型】填空

【解析】略。

【鞏固】如圖.4x4方格被分成了五塊；請你在每格中填入1、2、3、4中的一個，使得每行、每列的四

個數(shù)各不相同，且每塊上所填數(shù)的和都相等。則A、B、C、D四處所填數(shù)字之和是。

口I[B]

i1T

【考點(diǎn)】數(shù)獨(dú)【難度】3星【題型】填空

【解析】首先16個方格的和為4x(1+2+3+4)=40,所以每一決的和位40+5=8,4個數(shù)和為8只有1+2+3+2

和1+1+2+4兩種，3個數(shù)和為8有1+3+4、2+2+4、2+3+3兩種.其中只有1+3+4,三個加數(shù)各不

相同，所以A所在的三格只能填1、3、4,所以B只能是2,B所在塊中另外兩個數(shù)只能是3+3

(排除)或2+4.

再看C所在的塊，這能填1+2+3+1或1+1+2+4,其中C右側(cè)的數(shù)只能填重復(fù)的數(shù)

□□n3□□3

H1HN1N

□q□□□□二

□Z]□□□Z]□□

事實(shí)上以上兩個中2可以確定位置.剩下的嘗試即可得出.

所以和為10.

【答案】10。

六、幻方

【例11】3x3的正方形中，在每個格子里分別填入1~9的9個數(shù)字，要求每行每列及對角線上的三個數(shù)

的和相等（請給出至少一種填法）.

【考點(diǎn)】構(gòu)造幻方【難度】1星【題型】填空

【解析】方法一：第一步：求幻和：（1+2+3+…）=15

第二步：求中心數(shù)：我們把幻方中對角線交點(diǎn)的數(shù)叫“中心數(shù)”，仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：除了對角線