人教B版空間幾何體模版教學(xué)2

第五節(jié)合情推理與演繹推理第五節(jié)合情推理與演繹推理

三年20考高考指數(shù):★★★★1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理；3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.三年21.歸納推理與數(shù)列相結(jié)合問(wèn)題是考查重點(diǎn)；2.類比推理、演繹推理是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)；3.以選擇題、填空題的形式考查合情推理；以選擇題或解答題的形式考查演繹推理，題目難度不大，多以中低檔題為主.1.歸納推理與數(shù)列相結(jié)合問(wèn)題是考查重點(diǎn)；1.推理(1)定義：推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程.(2)分類：推理一般分為_(kāi)________與_________兩類.合情推理演繹推理1.推理合情推理演繹推理【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：一個(gè)推理是由幾部分構(gòu)成的？提示：從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論.【即時(shí)應(yīng)用】(2)數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于_______.【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32.答案：32(2)數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于____(3)已知數(shù)列則是第____項(xiàng).【解析】由題可知該數(shù)列的第n項(xiàng)由得2n-1=45，∴n=23.答案：23(3)已知數(shù)列則2.合情推理歸納推理

類比推理

定義

由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的_________________________的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出_________的推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的_____________，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理具有這些特征一般結(jié)論知特征全部對(duì)象都某些已2.合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對(duì)象具特點(diǎn)由_____到_____、由____到_____的推理由_____到_____的推理一般步驟(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)部分整體個(gè)別一般特殊特殊特點(diǎn)由_____到_____、由____到_____的推理由【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列命題是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“√”或“×”)①(ab)n=anbn與(a+b)n類比，則有(a+b)n=an+bn;()②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比，則有sin(α+β)=sinαsinβ;()③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類比，則有(a+b)2=a2+2a·b+b2.()【即時(shí)應(yīng)用】(2)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積的比為1∶4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積的比為_(kāi)______.(2)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面【解析】(1)①錯(cuò).(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2;②錯(cuò).sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinαsinβ;③對(duì).(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+2a·b+b2滿足向量數(shù)量積的運(yùn)算.(2)兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則其高之比為1∶2，底面積之比為1∶4，故其體積的比為1∶8.答案：(1)①×②×③√(2)1∶8【解析】(1)①錯(cuò).(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+3.演繹推理(1)定義：從_____________出發(fā)，推出_____________下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.(2)特點(diǎn)：演繹推理是由___________的推理.一般性的原理某個(gè)特殊情況一般到特殊3.演繹推理一般性的原理某個(gè)特殊情況一般到特殊“三段論”的結(jié)構(gòu)

①大前提——已知的_________；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)_________做出的判斷．“三段論”的表示①大前提——______.②小前提——______.③結(jié)論——S是P．一般原理特殊情況M是PS是M(3)模式：三段論．“三段論”是演繹推理的一般模式：“三段論”的結(jié)構(gòu)①大前提——已知的_________；“三【即時(shí)應(yīng)用】(1)命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，判斷下列說(shuō)法的真假(填“真”，“假”)①使用了歸納推理()②使用了類比推理()③使用了演繹推理()④使用了“三段論”但推理形式錯(cuò)誤()⑤使用了“三段論”但小前提錯(cuò)誤()【即時(shí)應(yīng)用】(2)判斷下列推理過(guò)程是否是演繹推理(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“是”或“否”)①兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=180°()②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班級(jí)人數(shù)超過(guò)50人()③由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四邊形的性質(zhì)()④在數(shù)列由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式()(2)判斷下列推理過(guò)程是否是演繹推理(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“是”或“【解析】(1)①假：不滿足歸納推理的定義；②假：不滿足類比推理的定義；③真：滿足演繹推理的定義；④真：使用了“三段論”但大前提中的“有些有理數(shù)”與小前提中的“有理數(shù)”不是同一概念，故不符合三段論的推理形式.⑤假，使用了“三段論”但小前提是正確的.【解析】(1)①假：不滿足歸納推理的定義；(2)①是，使用了“三段論”.②不是，使用了歸納推理不是演繹推理.③不是，使用了類比推理.④不是,使用了歸納推理.答案：(1)①假②假③真④真⑤假(2)①是②否③否④否(2)①是，使用了“三段論”.

歸納推理【方法點(diǎn)睛】歸納推理的特點(diǎn)(1)歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理.(2)歸納推理所得結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，推廣的一般性結(jié)論也會(huì)越可靠.其結(jié)論的正確性往往通過(guò)演繹推理來(lái)證明.(3)它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.歸納推理【例1】(1)已知：設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N*),則f3(x)的表達(dá)式為_(kāi)_________，猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式為_(kāi)___________.(2)(2012·蘇州模擬)觀察式子：你可以猜出的一個(gè)一般性結(jié)論是_______.(3)設(shè)先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.【例1】(1)已知：設(shè)f1(x)=f(x),【解題指南】(1)由已知條件及遞推關(guān)系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).(2)由三個(gè)等式可推第四，第五個(gè)等式，從而得第n個(gè)等式即一般結(jié)論.(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).【解題指南】(1)由已知條件及遞推關(guān)系可推得f2(x),f3【規(guī)范解答】(1)由得【規(guī)范解答】(1)由得故猜想答案：故猜想(2)由前三個(gè)等13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125=53，所以第n個(gè)等式的第一個(gè)數(shù)應(yīng)為第［1+2+…+(n-1)+1］個(gè)奇數(shù)，即為共有n個(gè)奇數(shù)，即第n個(gè)等式應(yīng)為［n(n-1)+1］+［n(n-1)+3］+［n(n-1)+5］+…+［n(n-1)+2n-1］=n3.即(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.(2)由前三個(gè)等13+15+17+19=64=43,21+2同理可得：由此猜想證明：人教B版空間幾何體模版教學(xué)2【互動(dòng)探究】利用本例第(3)題中的結(jié)論計(jì)算f(-2012)+f(-2011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2013)的值.【互動(dòng)探究】利用本例第(3)題中的結(jié)論計(jì)算f(-2012)【解析】由本例第(3)題中的結(jié)論f(x)+f(1-x)=得方法一：f(-2012)+f(2013)=f(-2011)+f(2012)=故f(-2012)+f(-2011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2013)=2013×【解析】由本例第(3)題中的結(jié)論f(x)+f(1-x)=方法二：令S=f(-2012)+f(-2011)+…+f(2013)則S=f(2013)+f(2012)+…+f(-2012)∴2S=4026［f(-2012)+f(2013)］=4026×方法二：令S=f(-2012)+f(-2011)+…+f【反思·感悟】解決與歸納推理有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)是找出其中的規(guī)律，如第(1)題中通過(guò)遞推關(guān)系得f2(x),f3(x),f4(x)可觀察其分子一樣，分母變化的是x的系數(shù)，故可推出一般結(jié)論;第(2)題中的關(guān)鍵問(wèn)題是第n個(gè)等式的左邊第一個(gè)數(shù)是多少，通過(guò)觀察可看出是第［1+2+…+(n-1)+1］個(gè)奇數(shù)，從而確定其等式關(guān)系；第(3)題中規(guī)律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=-2+1-(-2),從而得x+(1-x)的聯(lián)想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，即f(-x)+f(1+x)=也成立.【反思·感悟】解決與歸納推理有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)是找出其中【變式備選】已知函數(shù)(1)分別求的值；(2)歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；(3)求值：【變式備選】已知函數(shù)【解析】同理可得(2)由(1)猜想證明：【解析】(3)由(2)可得，原式=(3)由(2)可得，原式=

類比推理【方法點(diǎn)睛】1.類比推理的步驟類比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分屬性類似，推出這兩個(gè)對(duì)象其他屬性亦類似的一種推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).類比推理2.類比的方法類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比如表所示：2.類比的方法平面空間點(diǎn)線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長(zhǎng)表面積…………平面空間點(diǎn)線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長(zhǎng)表面積…【例2】(2012·安溪模擬)已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，則數(shù)列也是等比數(shù)列”.類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.【解題指南】等差數(shù)列中的和類比等比數(shù)列中的積，等差數(shù)列中的算術(shù)平均數(shù)類比等比數(shù)列中的幾何平均數(shù)，故本題中的等比數(shù)列的幾何平均數(shù)應(yīng)與等差數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)類比.【例2】(2012·安溪模擬)已知命題：“若數(shù)列{an}是等【規(guī)范解答】類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.證明如下：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則所以數(shù)列{bn}是以a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.【規(guī)范解答】類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是【反思·感悟】1.在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、等差與等比之間有不少結(jié)論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的.2.類比的關(guān)鍵是確定兩類對(duì)象之間，某些性質(zhì)的可比性與合理性.【反思·感悟】1.在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式【變式訓(xùn)練】請(qǐng)用類比推理完成下表：平面空間三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的面積等于任意一邊的長(zhǎng)度與這邊上高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個(gè)面的面積與該面上的高的乘積的三分之一三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積的一半【變式訓(xùn)練】請(qǐng)用類比推理完成下表：平面空間三角形兩邊之和大于【解析】本題由已知前兩組類比可得到如下信息：故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.(本題結(jié)論可用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小三棱錐去證明，證明略)答案：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一【解析】本題由已知前兩組類比可得到如下信息：【變式備選】平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如一組對(duì)邊平行且相等、兩組對(duì)邊分別平行等.類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件①：________________________________________充要條件②：________________________________________【變式備選】平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，【解析】?jī)山M對(duì)邊分別平行類比可得三組對(duì)面分別平行.一組對(duì)邊平行且相等類比可得兩組對(duì)面分別平行且全等.答案:三組對(duì)面分別平行兩組對(duì)面分別平行且全等(答案不惟一)【解析】?jī)山M對(duì)邊分別平行類比可得三組對(duì)面分別平行.一組對(duì)邊平

演繹推理【方法點(diǎn)睛】演繹推理的特點(diǎn)(1)演繹推理的結(jié)構(gòu)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見(jiàn)的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的.三段論推理中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；演繹推理第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況.這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷：結(jié)論.(2)演繹推理的理論依據(jù)其推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來(lái)講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況.這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)【提醒】應(yīng)用三段論時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，有時(shí)可省略.人教B版空間幾何體模版教學(xué)2【例3】已知函數(shù)試確定f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明在每個(gè)區(qū)間上的增減性.【解題指南】證明函數(shù)的增減性，其大前提是單調(diào)性的定義，若函數(shù)滿足單調(diào)性的定義，則其增減性可得.【例3】已知函數(shù)【規(guī)范解答】f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，證明如下：設(shè)0<x1<x2,則當(dāng)時(shí)，【規(guī)范解答】f(x)在上是減函數(shù)，在∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在上是增函數(shù).∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),【反思·感悟】演繹推理是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本推理形式，因此在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，三段論推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真實(shí)并且推理形式正確的前提下，其結(jié)論就必然真實(shí).【反思·感悟】演繹推理是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本推理形式，因此在高【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)y=f(x)，滿足：對(duì)任意a,b∈R,a≠b，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),(1)試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).(2)若x,y為正實(shí)數(shù)且比較f(x+y)與f(6)的大小.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)y=f(x)，滿足：對(duì)任意a,b∈R,a【解析】(1)設(shè)x1,x2∈R,取x1<x2,則由題意得x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，∴x1［f(x1)-f(x2)］+x2［f(x2)-f(x1)］>0，［f(x2)-f(x1)］(x2-x1)>0，∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1).所以y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).【解析】(1)設(shè)x1,x2∈R,取x1<x2,則由題意得(2)因?yàn)閤,y為正實(shí)數(shù),且所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x+y)>f(6).(2)因?yàn)閤,y為正實(shí)數(shù),且【易錯(cuò)誤區(qū)】歸納推理的解答誤區(qū)【典例】(2011·江西高考)觀察下列各式：55=3125,56=15625;57=78125，…，則52011的末四位數(shù)字為()(A)3125(B)5625(C)0625(D)8125【解題指南】由55,56,57可繼續(xù)求58，59，從而尋求末四位數(shù)字的變化規(guī)律可解.【易錯(cuò)誤區(qū)】歸納推理的解答誤區(qū)【規(guī)范解答】選D.由題意可得，58=390625,59=1953125,510=9765625，經(jīng)觀察易知，每個(gè)數(shù)的末四位數(shù)呈周期變化，周期為4，又因?yàn)?011=4×502+3，所以52011的末四位數(shù)字為8125.【規(guī)范解答】選D.由題意可得，58=390625,59=1【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：誤區(qū)警示

在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)造成誤解：(1)對(duì)于給定的式子，只觀察式子結(jié)果，而不去繼續(xù)探究下幾項(xiàng)式子，從而找不到規(guī)律而誤解.(2)在繼續(xù)探究的情況下，運(yùn)算錯(cuò)誤從而導(dǎo)致周期找不到或找錯(cuò)周期而誤解.【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以備考建議

解決歸納推理的問(wèn)題，尤其是所求題目無(wú)法直接解出，必須尋求其規(guī)律找到周期才能解決時(shí)，有以下幾點(diǎn)易造成誤解，在備考時(shí)應(yīng)高度關(guān)注：(1)無(wú)從下手，不知道此類題目一定會(huì)有規(guī)律.沒(méi)有周期性，本題是無(wú)法求解的.(2)求解時(shí)需要多計(jì)算幾個(gè)式子，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但運(yùn)算要準(zhǔn)確無(wú)誤方能正確求解.建議在備考中解決類似問(wèn)題時(shí)，一定要注意探求條件中所包含的規(guī)律，從而達(dá)到解決的目的.備解決歸納推理的問(wèn)題，尤其是所求題目無(wú)法直接解出，必須尋求其1.(2011·山東高考)設(shè)函數(shù)觀察：根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)=f(fn-1(x))=_______.1.(2011·山東高考)設(shè)函數(shù)【解析】由已知：猜想：答案：【解析】由已知：2.(2012·江門模擬)觀察下列各式：①(x3)′