廣東省2024年普通高中合格性學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬數(shù)學(xué)試題一（含答案解析）

廣東省2024年普通高中合格性學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬數(shù)學(xué)

試題一

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知A={2,4,5},B={3,5,7),則ADB=()

A.{5}B.{2,4,5)

C.{3,5,7}D.{23,4,5,7)

2.下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）

lTA0.5

A.y=lnxB.y=x~C.y=x3D.y=x

3.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,2）,則）i=（）

A.—2+iB.2+i

C.-2-iD.2-i

4.設(shè)命題p:〃x〉0,log3<2x+3,貝”為(

33

A.〃x>0,log2x2x+3B.$x0>0,log2x02x0+3

C.$x0>0,log2x0<2x0+3D.x>0,log2x>2x+3

5.已知。是第四象限角，cosa=~—,貝Ijtan（兀+a）等于（）

12125

A.B.——cD.

y5-H12

6.若不等式辦2+bx+2>0的解集為—

貝！aJ+Z?=

A.1B.-12C.-28D.-14

7.某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒到19秒之間，下圖是這次測(cè)

試成績(jī)的頻率分布直方圖.設(shè)成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,

成績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y,則x和y分別為（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

1O氏CO%35D%35

A.%,4590%,4590

8.已知集合/={1,a},B={\,2,3},則％=3”是“NUB”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.函數(shù)了=0'T+1,(a>0且awl)的圖象必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

IT

10.為了得到函數(shù)y=2sin(2x-§)的圖像，可以將函數(shù)y=2sin2x的圖像

7T

A.向右平移/個(gè)單位長(zhǎng)度

0

TT

B.向右平移(個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移丁個(gè)單位長(zhǎng)度

6

TT

D.向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度

11.基函數(shù)/3=(/一〃在(0,+oo)上是減函數(shù)，則機(jī)=()

A.-1B.2C.-1或2D.1

12.sin27°cos18°+cos27°-sin18"的值為

A.—B.—C.1D.1

222

二、填空題

13.已知tane=2,貝ljtan(a+?j=.

14.若x>l,則x+—1的最小值是___.

x-\

15.甲、乙、丙三人任意站成一排，則甲站在兩端的概率是.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

16.平面向量3與B的夾角為60。,1=(2,0),|^|=1,則卜+2同等于.

17.甲、乙兩人進(jìn)行射擊10次，它們的平均成績(jī)均為7環(huán)，10次射擊成績(jī)的方差分別

是：s看=3,4=1.2?成績(jī)較為穩(wěn)定的是.(填“甲”或“乙”)

18.在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是.

甲乙

829

91345

254826

785535

667

三、解答題

19.已知x>0,向量a=(l,x),5=

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x為何值時(shí)，2Z+1與垂直.

(2)若x=2,求￡在3上的投影.

3

20.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知。=2,c=5,cosB=~.

(1)求b的值；

(2)求sinC的值.

21.已知復(fù)數(shù)2=(加2-1)+(〃?2一7"一21，meR.

(1)若Z是實(shí)數(shù)，求加的值；

⑵若Z是純虛數(shù)，求相的值；

⑶若Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求加的取值范圍.

22.如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面48a)是正方形，P4_L平面48C7),且尸/=，

點(diǎn)E為線(xiàn)段的中點(diǎn).

(1)求證：PB〃平面4EC；

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(2)求證：NE_L平面尸CD.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.D

【分析】直接利用并集定義運(yùn)算即可.

【詳解】「A={2,4,5},B={3,5,7}；

:.AuB={2,3,4,5,7}.

故選D.

【點(diǎn)睛】考查集合的列舉法的表示，以及并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)、和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可得出結(jié)果.

【詳解】A：函數(shù)y=lnx的定義域?yàn)椋?,+⑹，故A不符合題意；

B：函數(shù)尸X-'：的定義域?yàn)楹瘟?},故B不符合題意；

C：函數(shù)>=，=私的定義域?yàn)镽,故C符合題意；

D：函數(shù)y=x。5=￡=6的定義域?yàn)?。?nèi)），故D不符合題意；

故選：C

3.D

【分析】先求得zA,利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】依題意z=-l+20=-l-2i,；.i=（-f.i=2-i.

故選：D

4.B

【分析】利用全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題寫(xiě)出結(jié)果即可.

【詳解】該命題含有量詞“V”，故該命題是一個(gè)全稱(chēng)命題，其否定是一個(gè)特稱(chēng)命題，

故“為:$/>0,log2%32%o+3.

故選：B

5.D

【分析】先確定正弦，再利用誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求值，即得答案

【詳解】因?yàn)?。是第四象限角，所以cosa=12,sina=-5

,,?xsina5

故tan（z兀十a(chǎn)）-tana=------二一一.

cosa12

答案第1頁(yè)，共7頁(yè)

故選：D

6.D

【分析】由題意可得再=-；，尤2=!是方程辦2+區(qū)+2=0的兩個(gè)根，且。<0,利用韋達(dá)定

理運(yùn)算求解.

【詳解】由題意知4=-;，々=：是方程辦2+法+2=0的兩個(gè)根，且a<0,

a23

所以a+b=-14.

故選：D.

7.D

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，先求出成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占百分比為：1-0.06-0.04=0.9

再求出績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生的頻率，然后求得學(xué)生人數(shù).

【詳解】由頻率分布直方圖可知成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占百分比為：

1-0.06-0.04=0.9,故x=0.9

成績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生的頻率為：

0.36+0.34=0.7

故大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生的人數(shù)為：7=50x0.7=35

故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖，清楚認(rèn)識(shí)圖形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念結(jié)合集合間的關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】a=3時(shí)，A={1,3},AQB,即充分性成立；

當(dāng)/U8時(shí)，a=2或3,即必要性不成立；

故選：A.

9.B

【分析】令指數(shù)為0,求出x,再代入計(jì)算可得；

【詳解】解：令x-l=0,解得x=l,

所以當(dāng)x=l時(shí)，y—a*—+l=a°+l=2,

答案第2頁(yè)，共7頁(yè)

所以函數(shù)了=。1+1過(guò)定點(diǎn)（1,2）.

故選：B

10.A

【詳解】試題分析：根據(jù)題意，令域H儲(chǔ)±=酎，解得丫=三，

,箋6

由圖像平移知，需要將函數(shù)；二sin二的圖像向右平移工個(gè)單位，

6

得到函數(shù)*一品T2^-Jii：的圖像；

故答案為A.

考點(diǎn)：函數(shù)圖像平移法則的應(yīng)用.

11.A

【分析】根據(jù)基函數(shù)的定義，令冽2一冽一1=1,求出用的值，再判斷冽是否滿(mǎn)足募函數(shù)在

%￡（0,+8）上為減函數(shù)即可.

【詳解】??,幕函數(shù)/（X）=卜/一"L1），+“3,

??m2-m-1=1,

解得加=2,或加=-1；

又（0,+8）時(shí)/（%）為減函數(shù)，

二.當(dāng)加=2時(shí)，m2+m-3=3,幕函數(shù)為歹=/,不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)初=-1時(shí)，m2+m-3=-3,幕函數(shù)為＞二%一3,滿(mǎn)足題意；

綜上，m=-\.

故選：A.

12.A

【分析】逆用兩角和的正弦公式直接求解.

【詳解】原式=sin（27°+18。）

=sin450=.

2

故選4

【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

答案第3頁(yè)，共7頁(yè)

13.-3

【分析】根據(jù)正切的和角公式計(jì)算可得答案.

71

tana+tan—。.

42+1=3,

【詳解】?「tana=2,tana+—=

I4.

1—t,ana,4tan—%1—2xl

4

故答案為：-3.

14.3

【分析】x+'=x-l+工+1,利用基本不等式可得最值.

x-lX-L

【詳解】；X>1,

：.x+-^—=x-l+—^—+l>2,(x-l)x—+1=3,

x-ix-ir'x-i

當(dāng)且僅當(dāng)尤-1=」7即x=2時(shí)取等號(hào)，

x-1

x=2時(shí)xH------取得最小值3.

x-l

故答案為：3.

15-I

【分析】根據(jù)題意分別求出三人站成一排以及甲站在兩端種數(shù)，再根據(jù)古典概型概率求解.

【詳解】甲、乙、丙三人任意站成一排共有用=6種站法，甲站在兩端時(shí)，共有聞密=4種

站法，

42

所以甲、乙、丙三人任意站成一排，則甲站在兩端的概率是7二7,

63

2

故答案為：

16.2G

【分析】先求向量口，再根據(jù)向量模的運(yùn)算求歸+2可.

【詳解】因?yàn)椤?(2,0),所以|町=2,

又因?yàn)槿f(wàn)與3的夾角為60°,W=l,

所以歸+2可=a2+4a-b+4b2=4+4|a|x|/j|xcos60°+4x1

=8+4x2x1x1=12；

2

答案第4頁(yè)，共7頁(yè)

所以歸+2回=26.

故答案為：28.

17.乙

【分析】根據(jù)方差的大小判斷即可.

【詳解】解：因?yàn)榧椎姆讲顬?,乙的方差為1.2,所以方差較小的為乙，

??.成績(jī)比較穩(wěn)定的是乙.

故答案為：乙.

18.45、46

【分析】由莖葉圖寫(xiě)出所有的數(shù)據(jù)從小到大排起,找出中間的數(shù)即為中位數(shù).

【詳解】甲組數(shù)據(jù)有28,31,39,42,45,55,57,58,66,可知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是45,

乙組數(shù)據(jù)有29,34,35,42,46,48,53,55,67,可知乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是46.

故答案為：45、46

19.(1)3；(2)一巫.

10

【分析】(1)令(22+葉,-2可=0,列方程解出x.

a-b

(2)運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義可得鼠九再由Z在書(shū)上的投影為百，計(jì)算即可得到所求值.

\b\

【詳解】(1)*.*x>0,向量Q=(1,x),6=(-3,1).

:2。+石與〃—2b垂直，

?，.(2Q+.(Q-2b)=2Q—,b—2Z?=2(1+12)-3(x-3)-2x10=0,可得2x?—3x-9=0,

3

「?解得x=3,或(舍去).

(2)若x=2,貝心=(1,2),5=(-3」)，可得慟=而，

a-blx(-3)+2xlV10

可得Z在刃上的投影為W=-=-記.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的條件，向量數(shù)量積坐

標(biāo)公式，向量在另一個(gè)向量方向上的投影的求解，屬于簡(jiǎn)單題目.

20.(1)Vn;(2)生叵.

17

答案第5頁(yè)，共7頁(yè)

34

【分析】（1）由余弦定理代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得；（2）由cos5=不可得sin5=《，再根據(jù)正弦定

b

理，代值計(jì)算即可.

sin5sine

3

【詳解】（1）由余弦定理得62=/+c2-2accos8=4+25-2x5xw=17,所以6=

34b后.5

（2）因?yàn)閏os8=，所以sin5=>由正弦定理三，得丁一菽，所以

55sin/?sinC

5

S1nC=±^

17

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用.在解三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、

余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù)，解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意

用哪一個(gè)定理更為方便、簡(jiǎn)捷，一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)條件中出現(xiàn)成，〃，/時(shí)，往往用余弦定理,

而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)，再結(jié)

合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.

21.或