高考數(shù)學(xué)備考訓(xùn)練-橢圓

高考數(shù)學(xué)備考訓(xùn)練-橢圓

一、選擇題

1.已知橢圓5+標(biāo)=13>小0）的焦點(diǎn)分別為工、F.,6=4,離心率為1.過

"的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長為（）

A.10B.12

C.16D.20

答案D

aa

解析如圖，由橢圓的定義知的周長為4a,又e=Or，即。=而，

-'-?2-C2=%=Z>2=16,：.a=5,AABF2的周長為20.

2.橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值是

（）

A.；B.；

C.2D.4

答案A

解析長軸長為2a=玲，短軸長為2,?=4.

：.m=-

4,

3.已知方程擊+吊=1表示橢圓，則上的取值范圍為（）

3十k2~k

A.k>—3且攵W—]B.-3<&v2且ZW—1

C.k>2D.k<—3

答案B

3+4>0

解析只需滿足：<2-攵>0

、3+k手2-k

4.（2011?衡水調(diào)研）橢圓捻+:=1（。>。>。）上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為

《，人,焦距為2c.若42c,3,成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為（）

A1B把

八?22

C坐D.|

答案A

解析由4+4=2a=4c,

5.（2011?湖北八校）若以橢圓上一點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大

值為1,則橢圓長軸的最小值為（）

A.1B.艱

C.2D.2娘

答案D

解析三角形的面積S=^-2c-b=bc=1,

.?0=岳+C222bc=2.「。2娘.」.2。22娘.選D.

6.設(shè)e是橢圓日+方=1的離心率，且eW（；,1）,則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

,八?16

A.（0,3）B.（3,-y）

C.（0,3）U（牛，+8）D.02）

答案C

解析當(dāng)%>4時，c=q%-4,由條件知4<—,解得至；

當(dāng)04<4時，c=yj4-k,

14-4

由條件知*丁<1,解得0?<3，綜上知選C.

7.（2010?廣東，文）若一個橢圓的長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)

列，則該橢圓的離心率是（）

43

A.§B.§

c5Dj

答案B

解析由題意有2a+2c=2（2份，即a+c=2A,又“=俏-歷，消去b整理

得5c2=3a2-2ac,即5ei+2e-3=Q,--e—5或e=-1（舍去）.

8.已知橢圓手+號=1的左頂點(diǎn)為右焦點(diǎn)為公，點(diǎn)。為該橢圓上一動

點(diǎn)，則當(dāng)優(yōu)?風(fēng)的最小值時1跖+丙取值為（）

A.0B.3

C.4D.5

答案B

解析由已知得a=2,8=/,c=l,所以々(1,0),A"-2,0)，設(shè)P(x,y),

則/，.鳳=(1-x，->)?(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+”又點(diǎn)P(x,y)在橢圓

上，所以m=3-3，代入上式，

得明風(fēng)=3+X+1=3+2)2,

又-2,2],

，x=-2時，可.風(fēng)取得最小值.

所以P(-2,0),求得LPT?+用J=3.

二、填空題

_y*2

9.已知點(diǎn)A/(木，0),橢圓x+y2=l與直線y=-x+/)交于點(diǎn)A、B,則

△ASM的周長為.

答案8

解析直線y=k(x+小)過定點(diǎn)M-短，0),而M、N恰為橢圓弓+竺=1

的兩個焦點(diǎn)，由橢圓定義知的周長為4a=4X2=8.

10.已知中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上，一焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直，

焦點(diǎn)與長軸上較近頂點(diǎn)的距離為4(艱一1),則此橢圓方程是.

答案若十存

a-。=4（娘-1）,

解析由題意，得,b=c,

二歷+C2/

a=hp

解得

。二4,

所以橢圓方程為弱+2=1.

32lo

如圖，與和外分別是橢圓會展=1(。>〃>0)的兩個焦點(diǎn)，A和8是以。為

圓心，以IOFJ為半徑的圓與該橢圓的兩個交點(diǎn)，且△管8是等邊三角形，則橢

圓的離心率為.

答案V5-1

解析依題意知NF/&=90°,ZAF2F,=30°,

由橢圓的定義得L4Q+L4儲l=2a，（小+l）c=2a=e=，U-1.

12.已知橢圓1+若=1的左、右焦點(diǎn)分別為4、R,且叫尸2=2。，點(diǎn)A在

橢圓上，AFX-FJF=G,AFI-AF=C2,則橢圓的離心率e等于_______.

答案若」2

解析不妨設(shè)A在x軸上方，由吠?肝2=0知?C為”=（°，勺'

和=（2c,4,碇=0+箝，2,「&=a2c2,Q-e2）2=儂,33叱

c3-J5.3-J5J5-1

十〃40fC2——Q2t?&?--2—，-e—-2—.

13.（08.江西）已知"、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足宓??必八=。的點(diǎn)〃總

在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是.

答案（0,乎）

解析依題意得，C<b,即C2<62，C2<?2-C2,2c2<a2，故離心率e=（這，又

cJ2

°<*1，，噌斗

三'解答題

14.

如圖所示：已知圓C：（x+l”+y2=8,定點(diǎn)A（l,0）,M為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)P

在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足病=2酢，種?病=0,點(diǎn)N的軌跡為曲線E,

求曲線E的方程.

解析；俞=2加>,種.筋f=0,

??.NP為AM的垂直平分線，

.UNAI=\NM\,又ICNI+\NM\=2^2,

.UCNI+IM4I=2y2>2.

.?動點(diǎn)N的軌跡為以點(diǎn)C(-1,0),A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=2/,2c=2,

??6Z—,C—1.

曲線E的方程為"V2=l.

15.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F(—2,0),且長軸長與短軸長的

比是2yp.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)”(加,0)在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn).當(dāng)I面向最小時,

點(diǎn)尸恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解析⑴設(shè)橢圓C的方程為?+合13＞方＞0).

。2=+C2,

由題意，得＜ab=2娘，

、c=2,

解得。2=16,歷=12.

所以橢圓C的方程為支+卷=1.

1612

(2)設(shè)P(x,y)為橢圓上的動點(diǎn)，由于橢圓方程為最+g=1，故-44W4.

因?yàn)槿远?x-m,y),

所以I而|2=(尤-m)2+J2=(x-m)2+12-(1-喘)=3-Imx+m2+12=；(》_

4m”+12-3m2.

因?yàn)楫?dāng)I而|最小時，點(diǎn)尸恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，

即當(dāng)x=4時，I麗|2取得最小值，而x￡[-4,4],

故有4m^4,解得m21.

又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，所以-4W加＜4.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,4].

16.(2010?安徽卷，文)已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)

F1,己在x軸上，離心率e=；.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求/苒4々的角平分線所在直線I的方程；

解析⑴設(shè)橢圓E的方程為藍(lán)+合1，

由e=：,即￡=1,得a=2c,得岳=。2-C2=3c2.

2a2

.?橢圓方程可化為n+n=l.

4c23c2

將A(2,3)代入上式，得_L+3=1,解得。=2,

C2C2

.?橢圓E的方程為？+斡=1.

Io12

(2)由⑴知K(-2,0),々(2,0),所以直線AF1的方程為：y=l(x+2),即3x

-4y+6=0,直線"，的方程為：x=2.

由點(diǎn)A在橢圓E上的位置知，直線/的斜率為正數(shù).

、L土—?--4y+61

設(shè)P(x,y)為I上任一點(diǎn)，則---------=1^-21.

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0(因其斜率為負(fù)，舍去).

于是,由3x-4y+6=-5x+10,

得2x-y-1=0,

所以直線/的方程為：2x-y-1=0.

1.橢圓5x2+Q>2=5的一個焦點(diǎn)是(0,2),那么人等于()

A.-1B.1

C邛D.一/

答案B

解析化為標(biāo)準(zhǔn)方程：》2+弓=1，.焦點(diǎn)為(0,2)，，焦點(diǎn)在y軸，且c、=-2,

k

.-^=4+1,：.k=1.

k

2.橢圓券+于1上一點(diǎn)”到焦點(diǎn)%的距離為2,N是g的中點(diǎn).則10M

等于()

A.2B.4

c.8D1

答案B

IOW=31gl=32a-\MF\)=1(10-2)=4,古嬤B.

解析i

3.設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為/2,過工作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，

若6P%為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為()

A*B"

C.2—>y2—1

答案D

解析數(shù)形結(jié)合:令尸乙=1，則@匕1=1,嗎="

：.e=Z￡=萬丹=]=[2-1

2a\PF^+\PF^^+1V

4.(09.江西)已知八％為橢圓**l(a>Z〉O)的焦點(diǎn)；M為橢圓上一點(diǎn),

MF1垂直于x軸，且NKM「2=60°，則橢圓的離心率為（）

A1B也

八?22

C羋D乎

答案C

解析解法一,??|F|F2I=2c,MF]±.r軸，

.??依々=羋°,lMFJ=羋c.

.??2a=IMF|+|MF,I=2ypc.；.e=.二坐

解法二由q-c,o）,將x=-c代入.+[=1,

得）'吟'

??尉P堂/

a

,-bi=a-c,=、尸,即=、尸.

22G-。2Y1-e2V

解得e=-/（舍），e=坐

1.（09?重慶）已知橢圓?+*13>A>0）的左、右焦點(diǎn)分別為?—。,0）、

G（c,0）,若橢圓上存在點(diǎn)使-.一一則該橢圓的離心率的取

2sinZrFjF?sinZP,黑-濟(jì)=-./尸『

值范圍為.

答案（娘一1,1）

解析依題意及正弦定理得需=?注意到。不與尸石共線），即2m[j

~-]=5，'\PFI，即e+1>—,「.（e+]）2>2.又0<e<l,因

c爐，2a。Q+c1+e

此“-l<e<l.

2.如下圖，橢圓卷+9=1內(nèi)有一點(diǎn)P（l,-1）,尸為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢

圓上有一動點(diǎn)初，求IMPI+IM”的最值.

解析設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為尸，由橢圓定義及基本幾何不等式得：

\MP\+\MF\=\MP\+A-\MF'\=^+\MP\-\MF'\^4+\PF'I

=4+/1+1)2+12=4+/

???當(dāng)M,P,F'共線且F'在線段MP上時取等號.

BP(IMPI+\MF\)=4+、/5

maxv

又.「IMPI+\MF\=\MP\+4-\MF'I

=4-(\MF'\-\MP\)^4-\PF'I.

???當(dāng)F',P,M三點(diǎn)且點(diǎn)P在線段MF'上時取等號.

gP(IMFI+\MF\)=4,./5

3.設(shè)與、a為橢圓言+3=1的兩個焦點(diǎn)，尸為橢圓上的一點(diǎn).已知P、6、

匕是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且爐儲|>|「入|,求黑的值.

212\rr^\

解析由已知爐產(chǎn)J+IPF2I=6,IF/2I=2木.

根據(jù)直角的不同位置，公兩種情況：

若為直角，則

IPFJ2二爐弓以+爐1心0，

即IPFj=?,爐/4(

故絲

\PF,\2"

若N[P尸2為直角，則爐丹2二爐產(chǎn)J2+%2,

即20=1?仆|2+(6-IP/1)2,

得戶勺=4,IPF,|=2故/=2.

綜上，盟的值為二或2.

Irr2l2

4.

如圖所示，已知△OFQ的面積為S,且赤?利=1.

(1)若：<S<2,求向量成與池的夾角。的正切值的取值范圍.

(2)設(shè)I0>l=c(c22),S=”c,若以。為中心、尸為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過Q,當(dāng)I的

I取得最小值時，求此橢圓的方程.

[1——

I^\0F\\FQ\sin(7c-0)=S,

解析⑴由已知，得]

〔I赤府Icos6=1.

.?.tan8=2S.*s<2,.-.l<tan6?<4.

(2)以。為原點(diǎn)，波所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系?

設(shè)橢圓方程為三+/=1(。>匕>0),Q(x,y).

a2b2

133

2c'y=4c?-'-y=2'

又,丁位.匝=c(x-c)=1,/.x=c+l

則困=#2+>2=y(C+；)2+1(c22).

可以證明：當(dāng)c22時，函數(shù)UC+J為增函數(shù)，