高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-定積與微積分基本定理(理)課件

第十三節(jié)定積與微積分基本定理（理）一、定積分的性質(zhì)

1.kf(x)dx＝

；2.[f(x)±g(x)]dx＝

；3.f(x)dx＝

(其中a＜c＜b).Kf(x)dx(k為常數(shù))f(x)dx±g(x)dxf(x)dx＋f(x)dx二、定積分的幾何意義1.當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上恒為正時，定積分f(x)dx的

幾何意義是由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖1中陰影部分).2.一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲

線f(x)以及直線x＝a、x＝b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和

(圖2中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上

的積

分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù).三、微積分基本定理一般地，如果f(x)是在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且F′(x)＝f(x).那么f(x)dx＝

.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓——萊布尼茲公式.其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù).為了方便，我們常把F(b)－F(a)記作

，

即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).F(b)－F(a)F(x)ab

一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，反過來導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)唯一嗎？

提示：一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，而其原函數(shù)則有無窮多個，這些原函數(shù)之間都相差一個常數(shù)，在利用微積分基本定理求定積分時，只要找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)即可，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，這樣有利于計算.1.(2x－4)dx＝(

)A.5

B.4C.3D.2解析：(2x－4)dx＝(x2－4x)＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5.答案：A2.若(2x＋)dx＝3＋ln2，且a>1，則a的值為(

)A.6B.4C.3D.2解析：(2x＋)dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1，故有a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2.答案：D3.已知自由落體的速度為v＝gt，則落體從t＝0到t＝t0所走

過的路程為(

)解析：答案：C4.曲線y＝cosx(0≤x≤)與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為

.解析：答案：35.如果(x)dx＝1，(x)dx＝－1，則

(x)dx

＝

.解析：答案：－2dx=-1-1=-2.1.求函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上的定積分，關(guān)鍵是求函數(shù)f(x)的

一個原函數(shù)，正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆

運(yùn)算的關(guān)系；若原函數(shù)不易尋找時，先把f(x)進(jìn)行變形.2.計算簡單定積分的步驟

(1)把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；

(2)利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干

個定積分的和或差；

(3)分別用求導(dǎo)公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；

(4)利用牛頓——萊布尼茲公式求出各個定積分的值；

(5)計算所求定積分的值.求下列定積分：(1)(x2－x)dx；(2)sin2

dx；(3)|3－2x|dx.

(1)直接利用公式；(2)首先對sin2

進(jìn)行變式；

(3)去掉絕對值，分段積分.【解】1.計算以下定積分：（sinx-sin2x）dx;解(1)函數(shù)y=2x2_

的一個原函數(shù)是+ln3+6)-(2+ln2+4)（3）函數(shù)y=sinx-sin2x的一個原函數(shù)為所以y=-cosx+在平面直角坐標(biāo)系中，由曲線f(x)，直線x＝a，x＝b(a<b)和x軸圍成的曲邊梯形的面積分為以下幾種情況：1.y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a<b)和x軸圍成的曲

邊梯形的面積為S＝(x)dx(這時曲線全部在x軸上方)；2.如果在[a，b]上，f(x)≤0，則曲線y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)

和x軸圍成的曲邊梯形的面積為S＝|(x)dx|＝－

(x)dx(這時曲線全部在x軸下方)；3.如果在[a，b]上，f(x)有正有負(fù)，即曲線在x軸上方和下

方都有圖象，例如：在(a，c)上位于x軸上方，在(c，b)

上位于x軸下方，則曲線y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)和x軸

圍成的曲邊梯形的面積為S＝(x)dx＋(x)|dx＝

(x)dx－(x)dx；4.由曲線y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)>g(x))與直線x＝a，x＝b(a<b)

圍成的圖形的面積為S＝[f(x)－g(x)]dx.在曲線y＝x2(x≥0)上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍圖形的面積為試求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過切點(diǎn)A的切線方程.

需根據(jù)面積求出切點(diǎn)坐標(biāo).這又需要畫出函數(shù)y＝x2(x≥0)及切線的圖形，再根據(jù)定積分的幾何意義，求函數(shù)y＝x2(x≥0)的定積分，從而確定相關(guān)圖形的面積，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，其他問題便可順利解決.【解】如圖所示，設(shè)切點(diǎn)A(x0，y0)，由y′＝2x，得過點(diǎn)A的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－令y＝0，得x＝即C(0).設(shè)由曲線和過A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S，所以x0＝1，從而切點(diǎn)A(1,1)，切線方程為y＝2x－1.所以2.求曲線y＝x2，直線y＝x，y＝3x圍成的圖形的面積.解：作出曲線y＝x2，直線y＝x，y＝3x的圖象，所求面積為圖中陰影部分的面積.解方程組解方程組因此，所求圖形的面積為1.變速直線運(yùn)動問題如果作變速直線運(yùn)動的物體的速度v關(guān)于時間t的函數(shù)是

v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物體從時刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的路

程為(t)dt；如果作變速直線運(yùn)動的物體的速度關(guān)

于時間的函數(shù)是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物體從時刻t＝a到

t＝b所經(jīng)過的路程為－(t)dt.2.變力做功問題物體在變力F(x)的作用下，沿與力F(x)相同方向從x＝a

到x＝b所作的功為(x)dx.列車以72km/h的速度行駛，當(dāng)制動時列車獲得加速度a＝－0.4m/s2，問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長時間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動？加速度對時間積分為速度，速度對時間積分是路程.【解】因列車停在車站時，速度為0，故應(yīng)先求出速度的表達(dá)式，之后令v＝0，求出t，再根據(jù)v和t應(yīng)用定積分求出路程.已知列車速度v0＝72km/h＝20m/s，列車制動時獲得的加速度為a＝－0.4m/s2，設(shè)列車開始制動到經(jīng)過t秒后的速度為v，則v＝v0＋adt＝20－0.4dt＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50(s).設(shè)該列車由開始制動到停止時所走的路程是s，則s＝dt＝(20－0.4t)dt＝500(m)，所以列車應(yīng)在進(jìn)站前50s，以及離車站500m處開始制動.3.設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使M沿x軸正向從x＝1運(yùn)動

到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x軸正向相同，求變力F(x)

對質(zhì)點(diǎn)M所做的功.解：變力F(x)＝x2＋1使質(zhì)點(diǎn)M沿x軸正向從x＝1運(yùn)動到x＝10所做的功為W＝定積分是新課標(biāo)中新增內(nèi)容，主要考查有關(guān)定積分的計算及其應(yīng)用.對于定積分在幾何或物理方面的應(yīng)用，難度不大，屬于低檔題.2009年廣東卷考查了定積分的物理應(yīng)用.(2009·廣東高考)已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是(

)A.在t1時刻，甲車在乙車前面B.t1時刻后，甲車在乙車后面C.在t0時刻，兩車的位置相同D.t0時刻后，乙車在甲車前面[解析]判斷甲、乙兩車誰在前，誰在后的問題，實際上是判斷在t0，t1時刻，甲、乙兩車行駛路程的大小問題.根據(jù)定積分的幾何意義知：車在某段時間內(nèi)行駛的路程就是該時間段內(nèi)速度函數(shù)的定積分，即速度函數(shù)v(