4年級(jí)奧數(shù)等差數(shù)列求和

小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)1精品PPT|借鑒參考第一頁(yè)，共二十三頁(yè)。小故事一位教師布置了一道很繁雜的計(jì)算題，要求學(xué)生把1到100的所有整數(shù)加起來(lái)，教師剛敘述完題目，一位小男孩即刻把寫著答案的小石板交了上去。

1+2+3+4+......+98+99+100=?

老師起初并不在意這一舉動(dòng)，心想這個(gè)小家伙又在搗亂，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于那個(gè)男孩時(shí)，才大吃一驚。

而更使人吃驚的是男孩的算法......

2精品PPT|借鑒參考第二頁(yè)，共二十三頁(yè)。小故事

老師發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù)是101，第二個(gè)數(shù)加倒數(shù)第二個(gè)數(shù)的和也是101，……共有50對(duì)這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過(guò)的計(jì)算等級(jí)數(shù)的方法，高斯的才華使老師——彪特耐爾十分激動(dòng)，下課后特地向校長(zhǎng)匯報(bào)，并聲稱自己已經(jīng)沒(méi)有什么可教這位男孩的了?？枴じダ锏吕锵！じ咚勾四泻⒔懈咚梗堑聡?guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。3精品PPT|借鑒參考第三頁(yè)，共二十三頁(yè)。第一講四則運(yùn)算（等差數(shù)列求和）（一）4精品PPT|借鑒參考第四頁(yè)，共二十三頁(yè)。等差數(shù)列的主要內(nèi)容1、等差數(shù)列的基本知識(shí)2、等差數(shù)列的項(xiàng)3、等差數(shù)列的和5精品PPT|借鑒參考第五頁(yè)，共二十三頁(yè)。一、等差數(shù)列的基本知識(shí)6精品PPT|借鑒參考第六頁(yè)，共二十三頁(yè)。（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30

像這樣按照一定規(guī)律排列成的一列數(shù)我們稱它為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)；第1項(xiàng)稱為首項(xiàng)；最后1項(xiàng)稱為末項(xiàng)；在第幾個(gè)位置上的數(shù)就叫第幾項(xiàng)；有多少項(xiàng)稱為項(xiàng)數(shù)；（一）數(shù)列的基本知識(shí)7精品PPT|借鑒參考第七頁(yè)，共二十三頁(yè)。（二）等差數(shù)列的基本知識(shí)（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30

（公差=1）（公差=2）（公差=5）通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一個(gè)數(shù)列中，從第一項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差都相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)差稱為這個(gè)數(shù)列的公差。8精品PPT|借鑒參考第八頁(yè)，共二十三頁(yè)。二、等差數(shù)列的項(xiàng)9精品PPT|借鑒參考第九頁(yè)，共二十三頁(yè)。數(shù)列：1、3、5、7、9、11……第2項(xiàng)：3=1+2首項(xiàng)+公差×1（2-1）第3項(xiàng)：5=1+2×2首項(xiàng)+公差×2（3-1）第4項(xiàng)：7=1+2×3首項(xiàng)+公差×3（4-1）第5項(xiàng)：9=1+2×4首項(xiàng)+公差×4（5-1）第6項(xiàng)：11=1+2×5首項(xiàng)+公差×5（6-1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）等差數(shù)列的末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）等差數(shù)列的首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差×（項(xiàng)數(shù)-1）適用條件：該數(shù)列一定要為等差數(shù)列10精品PPT|借鑒參考第十頁(yè)，共二十三頁(yè)。等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）例1已知數(shù)列2、5、8、11、14……求：（1）它的第10項(xiàng)是多少？（2）它的第98項(xiàng)是多少？（3）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？分析：首項(xiàng)=2公差=3解：（1）第10項(xiàng)：2+3×（10-1）=29（2）第98項(xiàng)：2+3×（98-1）=293

11精品PPT|借鑒參考第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)。等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）例1已知數(shù)列2、5、8、11、14……求：（3）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？分析：

被除數(shù)=余數(shù)+除數(shù)×商等差數(shù)列的某一項(xiàng)=2+3×（項(xiàng)數(shù)-1）規(guī)律：等差數(shù)列的某一項(xiàng)與被除數(shù)相對(duì)應(yīng)，首項(xiàng)與余數(shù)相對(duì)應(yīng)，公差與除數(shù)相對(duì)應(yīng)，（項(xiàng)數(shù)-1）與商相對(duì)應(yīng)。這個(gè)數(shù)列每1項(xiàng)除以3都余2。

等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。答：這個(gè)數(shù)列第10項(xiàng)是29；第98項(xiàng)是293；這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)除以3余數(shù)相同。

12精品PPT|借鑒參考第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)。例2已知數(shù)列2、5、8、11、14、17，這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)。分析：第2項(xiàng)比首項(xiàng)多1個(gè)公差，第3項(xiàng)比首項(xiàng)多2個(gè)公差，第4項(xiàng)比首項(xiàng)多3個(gè)公差……，那第n項(xiàng)比首項(xiàng)多（n-1)個(gè)公差。規(guī)律：末項(xiàng)比首項(xiàng)多的公差的個(gè)數(shù)，再加上1，就得到這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。

等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=公差個(gè)數(shù)+1=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（17-2）÷3+1=613精品PPT|借鑒參考第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)。小結(jié)：等差數(shù)列項(xiàng)的有關(guān)規(guī)律等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+114精品PPT|借鑒參考第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)。練習(xí)1、一串?dāng)?shù)：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21項(xiàng)是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？2、一串?dāng)?shù)：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25項(xiàng)是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？3、一串?dāng)?shù)：101、102、103、104、……199。（1）它的第30項(xiàng)是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個(gè)？4、一串?dāng)?shù)：7、12、17、22……。（1）它的第60項(xiàng)是多少?（2）這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被幾除有相同的余數(shù)？15精品PPT|借鑒參考第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)。練習(xí)答案：1、它的第21項(xiàng)=1+2×（21-1）=41；這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（49-1）÷2+1=25；2、它的第25項(xiàng)=2+2×（25-1）=50；這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（2008-2）÷2+1=1004；3、它的第30項(xiàng)=101+1×（30-1）=130；這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（199-101）÷1+1=994、它的第60項(xiàng)=7+5×（60-1）=302；這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)被5除有相同的余數(shù)。（提示：等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。）16精品PPT|借鑒參考第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)。二、等差數(shù)列的和17精品PPT|借鑒參考第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)。例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=6，末項(xiàng)=38，公差=4原數(shù)列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒過(guò)來(lái)的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6

444444444444444444兩數(shù)列之和=（6+38）×9解：原數(shù)列之和=（6+38）×9÷2=44×9÷2=198等差數(shù)列的和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷218精品PPT|借鑒參考第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)。例：計(jì)算1+6+11+16+21+26+......+276分析：這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=276，公差=5等差數(shù)列的和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2？等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1解：等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：（276-1）÷5+1=56（項(xiàng)）

原數(shù)列之和=（1+276）×56÷2=277×28=775619精品PPT|借鑒參考第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)。PPT內(nèi)容概述小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)。而更使人吃驚的是男孩的算法......。共有50對(duì)這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。（等差數(shù)列求和）（一）。等差數(shù)列的首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。4、它的第60項(xiàng)=7+5×（60-1）=302。（提示：等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。（2）7+11+15+19+......+403。（3）9+19+29+39+......+99。（4）1+3+5+7+......+99。項(xiàng)數(shù)=（37-7）÷3+1=11。項(xiàng)數(shù)=（403-7）÷4+1=100。和=（7+403）×100÷2=20500。和=（9+99）×10÷2=540。和=（1+99）×50÷2=2500。1、等差數(shù)列的某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。4、等差數(shù)列的每1項(xiàng)除以它的公差，余數(shù)相同。22第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)。練習(xí)1、計(jì)算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+......+403（3）9+19+29+39+......+99（4）1+3+5+7+......+9921精品PPT|借鑒參考第二十一頁(yè)，共二十三頁(yè)。練習(xí)答案：解：（1）這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=7，末項(xiàng)=37，公差=3,項(xiàng)數(shù)=（37-7）÷3+1=11和=（7+37）×11÷2=242（2）這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=7，末項(xiàng)=403，公差=4，項(xiàng)數(shù)=（403-7）÷4+1=100和=（7+403）×100÷2=20500（3）這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=9，末項(xiàng)=99，公差=10，項(xiàng)數(shù)=（99-9）÷10+1=10和=（9+99）×10÷2=540（4）這是一個(gè)等差數(shù)列；首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=99，公差=2，項(xiàng)數(shù)=（99-1）÷2+1=50和=（1+