4年級奧數(shù)等差數(shù)列求和

小學(xué)四年級奧數(shù)1精品PPT|借鑒參考第一頁，共二十三頁。小故事一位教師布置了一道很繁雜的計算題，要求學(xué)生把1到100的所有整數(shù)加起來，教師剛敘述完題目，一位小男孩即刻把寫著答案的小石板交了上去。

1+2+3+4+......+98+99+100=?

老師起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于那個男孩時，才大吃一驚。

而更使人吃驚的是男孩的算法......

2精品PPT|借鑒參考第二頁，共二十三頁。小故事

老師發(fā)現(xiàn)：第一個數(shù)加最后一個數(shù)是101，第二個數(shù)加倒數(shù)第二個數(shù)的和也是101，……共有50對這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過的計算等級數(shù)的方法，高斯的才華使老師——彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教這位男孩的了?？枴じダ锏吕锵！じ咚勾四泻⒔懈咚?，是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。3精品PPT|借鑒參考第三頁，共二十三頁。第一講四則運算（等差數(shù)列求和）（一）4精品PPT|借鑒參考第四頁，共二十三頁。等差數(shù)列的主要內(nèi)容1、等差數(shù)列的基本知識2、等差數(shù)列的項3、等差數(shù)列的和5精品PPT|借鑒參考第五頁，共二十三頁。一、等差數(shù)列的基本知識6精品PPT|借鑒參考第六頁，共二十三頁。（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30

像這樣按照一定規(guī)律排列成的一列數(shù)我們稱它為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項；第1項稱為首項；最后1項稱為末項；在第幾個位置上的數(shù)就叫第幾項；有多少項稱為項數(shù)；（一）數(shù)列的基本知識7精品PPT|借鑒參考第七頁，共二十三頁。（二）等差數(shù)列的基本知識（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30

（公差=1）（公差=2）（公差=5）通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一個數(shù)列中，從第一項開始，后項與前項的差都相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個差稱為這個數(shù)列的公差。8精品PPT|借鑒參考第八頁，共二十三頁。二、等差數(shù)列的項9精品PPT|借鑒參考第九頁，共二十三頁。數(shù)列：1、3、5、7、9、11……第2項：3=1+2首項+公差×1（2-1）第3項：5=1+2×2首項+公差×2（3-1）第4項：7=1+2×3首項+公差×3（4-1）第5項：9=1+2×4首項+公差×4（5-1）第6項：11=1+2×5首項+公差×5（6-1）等差數(shù)列的通項公式：等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）等差數(shù)列的末項=首項+公差×（項數(shù)-1）等差數(shù)列的首項=末項-公差×（項數(shù)-1）適用條件：該數(shù)列一定要為等差數(shù)列10精品PPT|借鑒參考第十頁，共二十三頁。等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）例1已知數(shù)列2、5、8、11、14……求：（1）它的第10項是多少？（2）它的第98項是多少？（3）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？分析：首項=2公差=3解：（1）第10項：2+3×（10-1）=29（2）第98項：2+3×（98-1）=293

11精品PPT|借鑒參考第十一頁，共二十三頁。等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）例1已知數(shù)列2、5、8、11、14……求：（3）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？分析：

被除數(shù)=余數(shù)+除數(shù)×商等差數(shù)列的某一項=2+3×（項數(shù)-1）規(guī)律：等差數(shù)列的某一項與被除數(shù)相對應(yīng)，首項與余數(shù)相對應(yīng)，公差與除數(shù)相對應(yīng)，（項數(shù)-1）與商相對應(yīng)。這個數(shù)列每1項除以3都余2。

等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。答：這個數(shù)列第10項是29；第98項是293；這個數(shù)列各項除以3余數(shù)相同。

12精品PPT|借鑒參考第十二頁，共二十三頁。例2已知數(shù)列2、5、8、11、14、17，這個數(shù)列有多少項。分析：第2項比首項多1個公差，第3項比首項多2個公差，第4項比首項多3個公差……，那第n項比首項多（n-1)個公差。規(guī)律：末項比首項多的公差的個數(shù)，再加上1，就得到這個數(shù)列的項數(shù)。

等差數(shù)列的項數(shù)=公差個數(shù)+1=（末項-首項）÷公差+1這個數(shù)列的項數(shù)=（17-2）÷3+1=613精品PPT|借鑒參考第十三頁，共二十三頁。小結(jié)：等差數(shù)列項的有關(guān)規(guī)律等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。等差數(shù)列的項數(shù)=（末項-首項）÷公差+114精品PPT|借鑒參考第十四頁，共二十三頁。練習(xí)1、一串?dāng)?shù)：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21項是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個？2、一串?dāng)?shù)：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25項是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個？3、一串?dāng)?shù)：101、102、103、104、……199。（1）它的第30項是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個？4、一串?dāng)?shù)：7、12、17、22……。（1）它的第60項是多少?（2）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？15精品PPT|借鑒參考第十五頁，共二十三頁。練習(xí)答案：1、它的第21項=1+2×（21-1）=41；這個數(shù)列的項數(shù)=（49-1）÷2+1=25；2、它的第25項=2+2×（25-1）=50；這個數(shù)列的項數(shù)=（2008-2）÷2+1=1004；3、它的第30項=101+1×（30-1）=130；這個數(shù)列的項數(shù)=（199-101）÷1+1=994、它的第60項=7+5×（60-1）=302；這個數(shù)列各項被5除有相同的余數(shù)。（提示：等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。）16精品PPT|借鑒參考第十六頁，共二十三頁。二、等差數(shù)列的和17精品PPT|借鑒參考第十七頁，共二十三頁。例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：這是一個等差數(shù)列；首項=6，末項=38，公差=4原數(shù)列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒過來的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6

444444444444444444兩數(shù)列之和=（6+38）×9解：原數(shù)列之和=（6+38）×9÷2=44×9÷2=198等差數(shù)列的和=（首項+末項）×項數(shù)÷218精品PPT|借鑒參考第十八頁，共二十三頁。例：計算1+6+11+16+21+26+......+276分析：這是一個等差數(shù)列；首項=1，末項=276，公差=5等差數(shù)列的和=（首項+末項）×項數(shù)÷2？等差數(shù)列的項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1解：等差數(shù)列的項數(shù)：（276-1）÷5+1=56（項）

原數(shù)列之和=（1+276）×56÷2=277×28=775619精品PPT|借鑒參考第十九頁，共二十三頁。PPT內(nèi)容概述小學(xué)四年級奧數(shù)。而更使人吃驚的是男孩的算法......。共有50對這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。（等差數(shù)列求和）（一）。等差數(shù)列的首項=末項-公差×（項數(shù)-1）。等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。4、它的第60項=7+5×（60-1）=302。（提示：等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。（2）7+11+15+19+......+403。（3）9+19+29+39+......+99。（4）1+3+5+7+......+99。項數(shù)=（37-7）÷3+1=11。項數(shù)=（403-7）÷4+1=100。和=（7+403）×100÷2=20500。和=（9+99）×10÷2=540。和=（1+99）×50÷2=2500。1、等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）。4、等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。22第二十頁，共二十三頁。練習(xí)1、計算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+......+403（3）9+19+29+39+......+99（4）1+3+5+7+......+9921精品PPT|借鑒參考第二十一頁，共二十三頁。練習(xí)答案：解：（1）這是一個等差數(shù)列；首項=7，末項=37，公差=3,項數(shù)=（37-7）÷3+1=11和=（7+37）×11÷2=242（2）這是一個等差數(shù)列；首項=7，末項=403，公差=4，項數(shù)=（403-7）÷4+1=100和=（7+403）×100÷2=20500（3）這是一個等差數(shù)列；首項=9，末項=99，公差=10，項數(shù)=（99-9）÷10+1=10和=（9+99）×10÷2=540（4）這是一個等差數(shù)列；首項=1，末項=99，公差=2，項數(shù)=（99-1）÷2+1=50和=（1+