數(shù)學(xué)新高考第1講函數(shù)及其表示

第三章函數(shù)與基本初等函數(shù)第1講函數(shù)及其表示⑨知識(shí)梳理1.函數(shù)的概念函數(shù)兩集合A,B設(shè)A,B是兩個(gè)同非空數(shù)集對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A—3按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的匝任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有網(wǎng)唯一確定的數(shù)/U)與之對(duì)應(yīng)名稱稱A—3為從集合A到集合3的一個(gè)函數(shù)記法與x的值相對(duì)應(yīng)的丁值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合0)1x6A}叫做函數(shù)的匝值域3.函數(shù)的三要素：畫定義域、而1對(duì)應(yīng)關(guān)系和幽值域.4.相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的匝]定義域相同，且回對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則6.分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上，因回對(duì)應(yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).1.函數(shù)問(wèn)題允許多對(duì)一，但不允許一對(duì)多.與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).2.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).③雙基自測(cè)1.集合A={x10WxW4},B=(ylO^<2},下列不表示從A到3的函數(shù)的是 1C./:尤一y=D.f:x^y=Vx解析依據(jù)函數(shù)的概念，集合A中任一元素在集合8中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，故選項(xiàng)C不符合.則的值為()A.-2解析因?yàn)閒ix)=H,數(shù)的一組是(所以E=log?l=-2<0,所以個(gè)痂頊-下列四組函數(shù)中，是相等函)A.y=x-ly=yj(x-I)2X-]B.D.X—LC.(0,+8)x-1尹0,X =1+D.答案A以尤公0,-1,故選A.「核心考向突破]例1(1)下列對(duì)應(yīng)是否是從集合A到集合3的函數(shù)?②A=N,B=R,Ax^y=^Vx.解①是集合A到集合3的函數(shù).②不是集合A到集合3的函數(shù)，因?yàn)閺腁到3的對(duì)應(yīng)為“一對(duì)多”(2)以下給出的同組函數(shù)中，是否是相等函數(shù)?為什么?x,x<0.解①不是.萬(wàn)3)與商x)的定義域?yàn)閧》ERIx^O},為(1)的定義域?yàn)镽②不是.力3)的定義域?yàn)镽,為(1)的定義域?yàn)閧xER|xNO},方(1)的定義域?yàn)閧》ER|xK0}.觸類旁通)函數(shù)的含義及判斷兩個(gè)函數(shù)相等的方法②函數(shù)只要求第一個(gè)集合A中的每個(gè)元素在第二個(gè)集合3中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)；至于3中的元素在集合A中有無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，有幾個(gè)元素與之對(duì)③只有深刻理解函數(shù)的概念才能在解決此類問(wèn)題時(shí)游刃有余.①構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同；②兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，才是相等函數(shù).即時(shí)訓(xùn)練1-下列對(duì)應(yīng)是否是從集合A到集合3的函數(shù)?X—1(2)A=(衡中高三·一班的同學(xué)},3=[0,150],「每個(gè)同學(xué)與其高考數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng).解(1)當(dāng)x=1時(shí)，y值不存在，故不是集合A到集合3的函數(shù).(2)不是集合A到集合3的函數(shù)，因?yàn)榧螦不是數(shù)集.2.以下三個(gè)函數(shù)是否是相等函數(shù)?為什么?fi:y=<2,l<x<2.123解是相等函數(shù).因?yàn)閤與V的對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同且定義域相同，所以是相等函數(shù).多角度探究突破考向二函數(shù)的定義域角度1求具體函數(shù)的定義域例2(1)函數(shù)y=^==^+(2x-5)°的定義域?yàn)?(2)(2020-湖南省湘潭市模擬)函數(shù)州=寸25-4/+In(W-1)的定義域?yàn)?解析因?yàn)楹瘮?shù)加=/25-4/+lne-1)有意義，所以"_i>0'解所以即冬)的定義域?yàn)閇。,|觸類旁通求具體函數(shù)定義域的方法(1)給定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域的依據(jù)是基本解析式有意義的條件，如分式的分母不等于零，偶次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，零指數(shù)暴的底數(shù)不為零，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零且底數(shù)為不等于1的正數(shù)以及三角函數(shù)的定義域等.(2)求函數(shù)的定義域往往歸結(jié)為解不等式組的問(wèn)題.在解不等式組時(shí)要細(xì)心，取交集時(shí)可借助數(shù)軸，并且要注意端點(diǎn)值或邊界值.時(shí)訓(xùn)練3.(2020.安徽省合肥市高三聯(lián)考)函數(shù)加=缶歹+冶|的定義域是1—2玲0,解析由題意得所以-3<xW0.故選A.x+解析要使函數(shù)只力有意義，必須使，園-工>0,解得%<-§所以函數(shù)汽<W-*公1,Xk'則函數(shù)k的 解析函數(shù)犬”的定義域?yàn)?,-4,>0,即2、>仁則0<2,<1,解得x<0.若>-1)x-1<0,["成。,即云(-,,答案，4]yjax~-4ax+2)A.[o,I]<[a>0,/=(-40)2-4·Q·2vO,[a(2a-1)<0,解析由于函數(shù)的定義域是非空數(shù)集，故。尹1.已知函數(shù)的定義域，逆向求解函數(shù)中參數(shù)的取值，需運(yùn)用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，將一個(gè)難以解解析)=”,“的定義域?yàn)镽,..心2+次+3乂0.若m=0.則3夭°成立，若m^O,則等價(jià)為判別式zl=m2-12m<0,解得0<農(nóng)<12.綜上，0<m<12.8.若函數(shù)Rx)=寸2上2。1_1的定義域?yàn)槊髣t。的取值范圍為.2解析因?yàn)楹瘮?shù)只X)的定義域?yàn)镽,所以2、+201—130對(duì)X6R恒成立，則答案j{x)=2x-^^x^2m'mfx)=2x-j(0WxW2).(2)已知Rx)是一次函數(shù)，且滿足3/(x+D-W-I)=2x+17,則為)=答案2x+7解析設(shè)fx)=ax+b(a^O),(3)已知#+9=j+f,M7.則外)=.解析(配湊法”+!)=/+j="+2+j)-2=[x+92-2,所以》=x2—2(xN2或尤W-2).(4)已知函數(shù)必)的定義域?yàn)?0,+8),且為)=2個(gè)!]·出-1,則/x)=答案|\/%+|解析(消去法)在為)=就!)0-1中，將X換成f,則!換成X,得個(gè)3=2處弗-1,解得式》)=|\餌(1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法.(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)Rg(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.(3)消去法：已知關(guān)于必)與彳3(或只-》))的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式，兩等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出頁(yè)然后以x替代g(x),便得只力的解析式.即時(shí)訓(xùn)練9.若為)為二次函數(shù)且f(O)=3,>+2)-》=4x+2,則關(guān)0的解析式答案只》)=寸-x+3+3)=4ax+4a+2b=4x+2.答案y=ig解析令+1=f,由于x>0,答案-x+日如)+3只-x)=2x+1,1\x-3,xN3.x-1,x>0.解①由已知條件可得g(2)=1頂2)=3,因此煩2)「)頊1)=0,g頃2))=g(3)=2.必一4x+3,x<0.當(dāng)工>1或工<-1時(shí)，/x)>0,故g(fix))=/x)-1=%2-2;當(dāng)-1<%<1時(shí)，必)<0,故g(/(x))=2-》=3-x2.分段函數(shù)問(wèn)題的求解策略代入相應(yīng)的解析式求解.當(dāng)自變量的值不確定時(shí)，要分類討論.(2)對(duì)于分段函數(shù)，已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)解得的自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.即時(shí)訓(xùn)練12.(多選)(2020-山東新高考模擬)已知函數(shù)。=A.7(5)=1B.抑5))=1C.R3)=9答案AB對(duì)于A,只5)=log3(5-2)=log?3=1,A正確；對(duì)于B,姻5))=只1)=3?=1,B正確；對(duì)于C頊3)=log3(3-2)=log31=0,C錯(cuò)誤；對(duì)于D,嫗3))=只0)=3-1=土D錯(cuò)誤.故選AB.—,x<0,若y>《,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案(一8,-1)解析當(dāng)oNO時(shí)，巾)=3-1,由巾)>a,解得。<-2,矛盾；當(dāng)亦0時(shí)，打，由f(a)>a,解得a<-I.所以。的取值范圍為(-0,-1)■X2—4用黑點(diǎn)表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是()BC解析由已知函數(shù)圖象可知，有一段時(shí)間張大爺離家距離保持不變，結(jié)合選項(xiàng)可知只有D中的路線符合要求.4.(2020-佛山檢測(cè))已知函數(shù)。=<A.2020解析由已知得7(3)=log3(3+m)-1=0,0,所以只2)=log32-l<0,所以坦(2))=矗.5.函數(shù)y=!,,=的定義域?yàn)?)A.(-4,-1) In(x+1)解析由題意知，函數(shù)y=+2C七的定義域?yàn)?a,,n解yj-x2-3x+4[—6.(2020.濟(jì)南質(zhì)檢)已知函數(shù)只x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)g(x)=千3)+底云的定義域?yàn)?)C.[1,2]f1解析因?yàn)楹瘮?shù)/3)的定義域?yàn)閇0,2],所以g(x)的定義域可由2 A.x+1B.2x-1C.—x+1kb+b=x+2,所以啟=1,kb+b=2.^^k=l,b=1,所以只x)=x+1.故選A.7答案B 9.(2020-臨汾模擬)已知函數(shù)必)=解析當(dāng)aWO時(shí)，2。01<2成立；當(dāng)。>0時(shí)，由y[7+i<2,得0<。<3.綜A.f(x)=解析由只-力+劫>)=2、①,得》+2/(-%)=2-②,①X2-②,得而1駝)=]8x+18X2,故》=x+2不滿12.(2021.濱州月考)具有性質(zhì)彳3=-只”的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”1123321A.y=x--JxlB.y=x+V.九解析(逐項(xiàng)驗(yàn)證法)對(duì)于A,ε]=?-》=滿足“倒負(fù)”變換；對(duì)于B,3=!+燈-川),不滿足“倒負(fù)”變換；對(duì)于C,千}=個(gè)3=故C滿足“倒負(fù)”變換；對(duì)于D,g)=-*+尸，滿足E=滿足“倒負(fù)”變換.故選ACD.三、填空題13.(2020.海南省5月高考模擬)已知函數(shù)川)=(3)則抑8))答案5解析因?yàn)橹?)=—4+log28=-4+3=-1,所以抑8))=只—I)=g)T+2