數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：統(tǒng)計(jì)

數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)：統(tǒng)計(jì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

目標(biāo)認(rèn)知

考試大綱要求：

1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性；會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)

抽樣方法.

2．了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們

各自的特點(diǎn).

3.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取根本的數(shù)字特征〔如

平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差〕，并作出合理的解釋.

4．會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的根本數(shù)字特征估計(jì)總體的根本數(shù)字特征，理解用樣

本估計(jì)總體的思想.

5．會(huì)用隨機(jī)抽樣的根本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

6．會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；了解最小二乘法的思

想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.

7．利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

8．了解以下一些常見的統(tǒng)計(jì)方法〔獨(dú)立性檢驗(yàn)〔只要求2×2列聯(lián)表〕、假設(shè)檢驗(yàn)、聚類分析、回歸〕

的根本思想、方法，并能應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問題；

重點(diǎn)：

1．會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本.

2．會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布.

3．頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制.

4．了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì).

5．了解線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用.

難點(diǎn)：

用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布，頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制.正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)，線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用.

知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：抽樣方法

從調(diào)查的對(duì)象中按照一定的方法抽取一局部，進(jìn)行調(diào)查或觀測(cè)，獲取數(shù)據(jù)，并以此對(duì)調(diào)查對(duì)象的某項(xiàng)指標(biāo)做出推斷，這就是抽樣調(diào)查．調(diào)查對(duì)象的全體稱為總體，被抽取的一局部稱為樣本.

1．簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念：

設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N．如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．

①用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)，任一個(gè)

體被抽到的概率為；在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為；

②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是：不放回抽樣，逐個(gè)地進(jìn)行抽取，各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等；

③簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法表達(dá)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復(fù)雜抽樣方法的根底．

簡(jiǎn)單抽樣常用方法：

①抽簽法：先將總體中的所有個(gè)體(共有N個(gè))編號(hào)(號(hào)碼可從1到N)，并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)

簽上(號(hào)簽可用小球、卡片、紙條等制作)，然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽

簽時(shí)每次從中抽一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本．

適用范圍：總體的個(gè)體數(shù)不多．

優(yōu)點(diǎn)：抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不太多時(shí)適宜采用抽簽法．

②隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，選定開始的數(shù)

字；第三步，獲取樣本號(hào)碼．

2．系統(tǒng)抽樣：

當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)局部，然后按預(yù)先制定出的規(guī)那么，從每一局部抽取一個(gè)個(gè)體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣．

系統(tǒng)抽樣的步驟：

①采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)，為簡(jiǎn)便起見，有時(shí)可直接采用個(gè)體所帶有的號(hào)碼，如考生的

準(zhǔn)考證號(hào)、街道上各戶的門牌號(hào)等等．

②為將整個(gè)的編號(hào)分段(即分成幾個(gè)局部)，要確定分段的間隔．當(dāng)是整數(shù)時(shí)(N為總體中的個(gè)體

的個(gè)數(shù)，n為樣本容量)，；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的總體中

個(gè)體的個(gè)數(shù)能被n整除，這時(shí).

③在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)．

④按照事先確定的規(guī)那么抽取樣本(通常是將加上間隔，得到第2個(gè)編號(hào)，第3個(gè)編號(hào)，這

樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本)．

注意：

①系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況，它與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后的每一

局部進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；

②與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的

③總體中的個(gè)體數(shù)恰好能被樣本容量整除時(shí)，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當(dāng)總體中的個(gè)體

數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣先從總體中剔除少量個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本

容量整除再進(jìn)行系統(tǒng)抽樣．

3．分層抽樣：

當(dāng)總體由差異明顯的幾局部組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾局部，然后按照各局部所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的局部叫做層．

4．常用的三種抽樣方法的比擬：類別共同點(diǎn)不同點(diǎn)聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等從總體中逐個(gè)抽取是后兩種方法的根底總體個(gè)數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾局部，按事先確定的規(guī)那么在各部門抽取在起始局部抽樣時(shí)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體個(gè)數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾局部組成注意：

〔1〕各種抽樣的個(gè)體被抽到的概率相等；

〔2〕抽樣過程中個(gè)體被抽到的概率相等.

5．不放回抽樣和放回抽樣：

在抽樣中，如果每次抽出個(gè)體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個(gè)體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣．

隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣．

知識(shí)點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)

1.統(tǒng)計(jì)圖表包括條形圖、折線圖、餅圖、莖葉圖．

2.刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)．

平均數(shù)：

刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差．

方差：.

3．總體分布

(1)總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對(duì)象的全體叫做總體．

(2)頻率分布；用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的根本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)

和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率．所有數(shù)據(jù)(或數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率

分布．可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示．

(3)頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的寬度為(分組的寬度)，小矩形的面積為相應(yīng)的頻率，高為

.

(4)頻率折線圖：在頻率分布直方圖中，按照分組原那么，再在左、右兩邊各加一個(gè)區(qū)間，從所加的左邊

區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，所得到的折線

稱為頻率折線圖．

(5)總體分布：從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是一次隨機(jī)試驗(yàn)，從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，就是

進(jìn)行了n次試驗(yàn)，試驗(yàn)所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布．

(6)總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概

率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于一條光滑

曲線，這條曲線叫做總體密度曲線．

它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率等

于總體密度曲線，直線、及軸所圍圖形的面積．

(7)總體分布密度曲線函數(shù)的兩條根本性質(zhì)：

①，；②由曲線與軸圍成的總面積為1．

知識(shí)點(diǎn)三：正態(tài)分布

1．正態(tài)分布密度函數(shù)：

，〔σ＞0，-∞＜μ＜+∞〕

其中π是圓周率；e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；μ為正態(tài)分布的均值；σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布一般記為，它的密度曲線簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線

2．正態(tài)曲線：

函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度函數(shù)曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線

3．正態(tài)曲線的性質(zhì)：

正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定，如果隨機(jī)變量～N(μ，σ2)，根據(jù)定義有：μ=E，σ=D.

正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：

〔1〕曲線在x軸上方，與x軸不相交.

〔2〕曲線關(guān)于直線對(duì)稱.

〔3〕曲線在時(shí)位于最高點(diǎn).

〔4〕當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為

漸近線，向它無限靠近.

〔5〕當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定.越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；越

小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

4．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:

當(dāng)μ=0、σ=l時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N〔0，1〕在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位.任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題.

5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題:

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N〔0，1〕，是總體取值小于的概率，即，其中，圖中陰影局部的面積表示為概率.只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，Φ〔0〕=0.5；

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積．

6．非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可.在這里重點(diǎn)掌握如何轉(zhuǎn)化，首先要掌握正態(tài)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，然后進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化.

知識(shí)點(diǎn)四：回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)

1．散點(diǎn)圖：將兩個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描在直角坐標(biāo)系中，這些點(diǎn)組成了變量之間的一個(gè)圖，稱為變量之間的散點(diǎn)圖．散點(diǎn)圖形象地反映了各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度.粗略地看，散點(diǎn)分布具有一定的規(guī)律.

如果變量之間存在某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)集中趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似表示，這樣近似的過程稱為曲線擬合.

2．相關(guān)關(guān)系：當(dāng)自變量一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．

3．線性相關(guān)：假設(shè)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，那么稱變量間是線性相關(guān)的．假設(shè)所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是直線)附近波動(dòng)，那么稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的；如果所有的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有任何關(guān)系，那么稱變量間是不相關(guān)的．

4．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)如下：

相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．

不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．

5．回歸分析一元線性回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析．通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性．

對(duì)于線性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面：

(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法．兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的

前提．

(2)散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量根底上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，

在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析．

(3)求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意

義，否那么，求出的回歸直線方程毫無意義．

6．回歸直線

設(shè)所求的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù)．

，,

相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對(duì)兩個(gè)變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)分析叫做回歸分析.

7.相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜提出的，對(duì)于變量y與x的一組觀測(cè)值，把

=

叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)程度.

8.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：≤1，且越接近1，相關(guān)程度越大；且越接近0，相關(guān)程度越小.

9.顯著性水平:顯著性水平是統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中的一個(gè)概念，它是公認(rèn)的小概率事件的概率值，它必須在每一次統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)之前確定.

10.顯著性檢驗(yàn)：(相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的步驟)由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水平一般取0.01和0.05，自由度為ｎ－２，其中ｎ是數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表”查出與顯著性水平0.05或0.01及自由度n-2〔n為觀測(cè)值組數(shù)〕相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0.05或r0.01；例如ｎ＝７時(shí)，ｒ0.05＝0.754，ｒ0.01＝0.874.求得的相關(guān)系數(shù)ｒ和臨界值ｒ0.05比擬，假設(shè)ｒ＞ｒ0.05，上面ｙ與ｘ是線性相關(guān)的,當(dāng)≤r0.05或r0.01，認(rèn)為線性關(guān)系不顯著

11.小概率事件的含義：發(fā)生概率一般不超過5％的事件，即事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.

假設(shè)檢驗(yàn)方法的根本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗(yàn)中發(fā)生的原理對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.

假設(shè)檢驗(yàn)方法的操作程序，即“三步曲”

一是提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計(jì)假設(shè)總體是正態(tài)總體；

二是確定一次試驗(yàn)中的a值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；

三是作出判斷.

規(guī)律方法指導(dǎo)

解答正態(tài)分布問題，從考綱要求來看，只要掌握有關(guān)對(duì)稱區(qū)間概率的計(jì)算.經(jīng)典例題精析

類型一：隨機(jī)抽樣

1．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后效勞情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②．那么完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()

A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

思路點(diǎn)撥：此題為抽樣方法的選取問題．當(dāng)總體中個(gè)體較多而且差異又不大時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣，采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時(shí)應(yīng)按規(guī)那么進(jìn)行；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣．

解析：依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣l法、第②項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．應(yīng)選B．

總結(jié)升華：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個(gè)體情況來定．

舉一反三：

【變式1】甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，方案采用分層抽樣法，抽取一個(gè)樣本容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生〔〕

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

【答案】B；根據(jù)樣本容量和總體容量確定抽樣比，最終得到每層中學(xué)生人數(shù).

【變式2】一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，…，99，依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為l，2，3，…，10．現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第最小組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相同．假設(shè)m=6，那么在第7組中抽取的號(hào)碼是________．

【答案】∵，，∴∴在第7小組中抽取的號(hào)碼是63．

【變式3】某單位最近組織了一次健身活動(dòng)，活動(dòng)分為登山組和游泳組，且每個(gè)職工至多參加了其中一組.在參加活動(dòng)的職工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％.登山組的職工占參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％.為了了解各組不同的年齡層次的職工對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動(dòng)的全體職工中抽取一個(gè)容量為200的樣本.試確定

〔Ⅰ〕游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

〔Ⅱ〕游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù).

【答案】

〔Ⅰ〕設(shè)登山組人數(shù)為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，

那么有，解得

故a=100%－50%－10%=40%,

即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、50％、10％.

〔Ⅱ〕游泳組中，抽取的青年人數(shù)為〔人〕；

抽取的中年人數(shù)為50％＝75〔人〕；

抽取的老年人數(shù)為10％＝15〔人〕.

類型二：用樣本估計(jì)總體

2.對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命〔h〕100～200200～300300～400400～500500～600個(gè)數(shù)2030804030〔1〕列出頻率分布表；

〔2〕畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖；

〔3〕估計(jì)電子元件壽命在100～400h以內(nèi)的概率；

〔4〕估計(jì)電子元件壽命在400h以上的概率.

思路點(diǎn)撥：通過此題可掌握總體分布估計(jì)的各種方法和步驟.

解析：〔1〕頻率分布表如下：壽命〔h〕頻數(shù)頻率累積頻率100～200200.100.10200～300300.150.25300～400800.400.65400～500400.200.85500～600300.151合計(jì)2001〔2〕頻率分布直方圖如下：

〔3〕由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100～400h內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計(jì)

電子元件壽命在100～400h內(nèi)的概率為0.65.

〔4〕由頻率分布表可知，壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35，故我們估計(jì)電

子元件壽命在400h以上的概率為0.35.

總結(jié)升華：畫頻率分布條形圖、直方圖時(shí)要注意縱、橫坐標(biāo)軸的意義.

舉一反三：

【變式1】為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg),得到頻率分布直方圖如下：

根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在〔56.5,64.5〕的學(xué)生人數(shù)是〔〕

(A)20(B)30(C)40〔D〕50

【答案】C；根據(jù)運(yùn)算的算式：體重在〔56.5,64.5〕學(xué)生的累積頻率為2×0.03＋2×0.05＋2×0.05＋2×0.07=0.4，那么體重在〔56.5,64.5〕學(xué)生的人數(shù)為0.4×100=40.

【變式2】某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)分布如下表：分?jǐn)?shù)段［0，80〕［80，90〕［90，100〕人數(shù)256分?jǐn)?shù)段［100，110〕［110，120)［120，130〕人數(shù)8126分?jǐn)?shù)段［130，140〕［140，150〕人數(shù)42那么分?jǐn)?shù)在［100，110〕中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率分別是_____、______〔精確到0.01〕.

【答案】由頻率計(jì)算方法知：總?cè)藬?shù)=45.

分?jǐn)?shù)在［100，110〕中的頻率為=0.178≈0.18.

分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為=≈0.47

【變式3】為檢測(cè)某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個(gè)容量為30的樣本，檢測(cè)結(jié)果為一級(jí)品5件，二級(jí)品8件，三級(jí)品為13件，次品4件

〔1〕列出樣本頻率分布表；

〔2〕畫出表示樣本頻率分布的條形圖；

〔3〕根據(jù)上述結(jié)果，估計(jì)商品為二級(jí)品或三級(jí)品的概率約是多少？

【答案】(1)樣本的頻率分布表為產(chǎn)品頻數(shù)頻率一級(jí)品50．17二級(jí)品80．27三級(jí)品130．43次品40．13(2)樣本頻率分布的條形圖為：

(3)此種產(chǎn)品為二級(jí)品或三級(jí)品的概率約為0.27+0.43=0.7.

【變式4】把容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，假設(shè)前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，那么剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為__________.

【答案】由前七組的累積頻數(shù)為：，

故后三組的共有頻數(shù)為21，

依據(jù)題意

∵且、均為整數(shù)∴，

∴，

故剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16.

3．甲、乙兩小組各10名學(xué)生的英語口語測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?單位：分)

甲組76908486818786828583

乙組82848589798091897974

用莖葉圖表示兩小組的成績(jī)，并判斷哪個(gè)小組的成績(jī)更整齊一些?

思路點(diǎn)撥：學(xué)會(huì)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的方法；并會(huì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷．

解析：用莖葉圖表示兩小組的成績(jī)?nèi)鐖D：

由圖可知甲組成績(jī)較集中，即甲組成績(jī)更整齊一些．

總結(jié)升華：對(duì)各數(shù)據(jù)是二、三位數(shù)，且數(shù)據(jù)量不是很大時(shí)，用用莖葉圖表示較為方便，也便于進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，否那么，應(yīng)改用其他方法．

舉一反三：

【變式】甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組各有10名同學(xué)，他們?cè)谝淮螖?shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的莖葉圖如下圖，那么他們?cè)谶@次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)較好的是____________組.

【答案】甲小組

類型三：正態(tài)分布

4．在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布.成績(jī)?cè)?0分以上〔含90分〕的學(xué)生有12名.

〔Ⅰ〕試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？

〔Ⅱ〕假設(shè)該校方案獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上〔含80分〕的學(xué)生，試問該校獲獎(jiǎng)人數(shù)約為多少人？

思路點(diǎn)撥：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照函數(shù)求出μ和σ.利用一般正態(tài)總體與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N〔0，1〕概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來解決.

解析：

〔Ⅰ〕設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因?yàn)椤玁(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝＝.

這說明成績(jī)?cè)?0分以上〔含90分〕的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％，

因此，參賽總?cè)藬?shù)約為≈526〔人〕.

〔Ⅱ〕P(≥80)==

故獲獎(jiǎng)人數(shù)約為0.1587×526≈83(人)

總結(jié)升華：本小題主要考查正態(tài)分布，對(duì)獨(dú)立事件的概念，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，將未知的，不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為的、熟悉的、已解決了的問題，是我們常用的手段與思考問題的出發(fā)點(diǎn).通過本例我們還可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

舉一反三：

【變式1】設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)服從X~，且知總分值150分，這個(gè)班的學(xué)生共60人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格〔不小于90分〕的人數(shù)和130分以上的人數(shù).

【答案】

因?yàn)閄~，,,

所以的概率為，

的概率為0.6826+0.1587=0.8413,

及格人數(shù)為〔人〕,

130分以上的人數(shù)為〔人〕.

【變式2】某人乘車從A地到B地，所需時(shí)間〔分鐘〕服從正態(tài)分布，求此人在40分鐘至50分鐘內(nèi)到達(dá)目的地的概率.

【答案】設(shè)某人乘車從A地到B地所需時(shí)間〔分鐘〕為X，那么X~，

，

故

【變式3】在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布．假設(shè)在內(nèi)取值的概率為0.4，那么在內(nèi)取值的概率為________．

【答案】；由題知服從正態(tài)分布，

其密度曲線關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，，

那么，有，

，所以

或者：

【變式4】設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，，那么=〔〕

A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975

【答案】C；由題知：，那么

【變式5】以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率，假設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，那么概率等于〔〕

A．B．C．D．

【答案】Ｂ；

.

【變式6】設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，x∈R.

〔1〕求μ，σ；

〔2〕求及的值.

【答案】

〔1〕由于，

根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知μ=1，，故X～N〔1，2〕.

〔2〕

.

又

.

類型四：變量的相關(guān)性、回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)

5．某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0〔1〕求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；

〔2〕假設(shè)線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，

每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量.

思路點(diǎn)撥：

〔1〕使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來完成；

〔2〕查表得出顯著性水平0.05與自由度15-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界比擬，假設(shè)那么線性相關(guān)，

否那么不線性相關(guān).

解析：

〔1〕列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i1234567891011121314157074807885929095921081151231301381455.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885，，

，，.

故蔬菜產(chǎn)量與放用氮肥量的相關(guān)系數(shù)

.

由于n=15，故自由度15-2=13.

由相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值，

那么，

從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系.

〔2〕設(shè)所求的回歸直線方程為

那么，

，

∴回歸直線方程為.

總結(jié)升華：求解兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計(jì)算量較大，需要細(xì)心、謹(jǐn)慎地計(jì)算.如果會(huì)使用含統(tǒng)計(jì)的科學(xué)計(jì)算器，能簡(jiǎn)單得到，，，，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了.另外，利用計(jì)算機(jī)中有關(guān)應(yīng)用程序也可以對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

舉一反三：

【變式1】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y〔萬元〕，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0假設(shè)由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求：

〔1〕線性回歸方程；

〔2〕估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

【答案】

〔1〕列表如下：i12345234562.23.85.56.57.04.411.422.032.542.049162536，，，

于是，

.

∴線性回歸方程為：.

〔2〕當(dāng)x=10時(shí)，〔萬元〕

即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬元.

【變式2】一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總本錢y〔萬元〕與該月產(chǎn)量x〔萬件〕之間由如下一組數(shù)據(jù)：x1.081.121.191.281.361.48y2.252.372.402.552.642.75x1.591.681.801.871.982.07y2.923.033.143.263.363.50〔1〕畫出散點(diǎn)圖；

〔2〕檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平；

〔3〕求月總本錢y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程.

【答案】

〔1〕畫出散點(diǎn)圖：

〔2〕列表如下：i1234567891011121.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.072.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.502.432.2642.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.0966.6537.245,=2.8475,=29.808,=99.2081,=54.243

在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度12-2=10相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值

r0.05=0.576＜0.997891,

這說明每月產(chǎn)品的總本錢y〔萬元〕與該月產(chǎn)量x〔萬件〕之間存在線性相關(guān)關(guān)系.

〔3〕設(shè)回歸直線方程，

利用

計(jì)算a，b，得b≈1.215,，

∴回歸直線方程為：

【變式3】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量〔噸〕與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗〔噸標(biāo)準(zhǔn)煤〕的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)．34562.5344.5〔1〕請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

〔2〕請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

〔3〕該廠技改前噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)〔2〕求出的線性回歸方程，預(yù)

測(cè)生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？

〔參考數(shù)值：，

用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：，〕

【答案】

〔1〕略；

〔2〕

法一：由系數(shù)公式可知，

，所以線性回歸方程為；

法二：〔不作要求〕

設(shè)線性回歸方程為，那么

∴時(shí)，

取得最小值

即，

∴時(shí)取得最小值，

所以線性回歸方程為.

〔3〕ｘ＝100時(shí)，，

所以預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤．高考題萃

1.〔2008陜西〕某林場(chǎng)有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)