【壓軸之滿分集訓(xùn)】專題06 ?？紤?yīng)用綜合-最值、最優(yōu)方案問題（五大類型）（原卷版）-中考數(shù)學(xué)壓軸題

沖刺中考數(shù)學(xué)壓軸之滿分集訓(xùn)專題06?？紤?yīng)用綜合-最值、最優(yōu)方案問題（五大類）【典例分析】【類型一：方程（組）+不等式（組）】【典例1】（2021?呼和浩特）為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時”活動．去年學(xué)校通過采購平臺在某體育用品店購買A品牌足球共花費(fèi)2880元，B品牌足球共花費(fèi)2400元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個足球的售價，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個，已知該店對每個足球的售價，今年進(jìn)行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費(fèi)用不超過去年總費(fèi)用的一半，那么學(xué)校最多可購買多少個B品牌足球？【變式1-1】（2023?市南區(qū)一模）2020年臘月，某商家根據(jù)天氣預(yù)報預(yù)測羽絨服將暢銷，就用26400元采購了一批羽絨服，后來羽絨服供不應(yīng)求．商家又用57600元購進(jìn)了一批同樣的羽絨服，第二次所購數(shù)量是第一次所購數(shù)量的2倍，第二次購進(jìn)的單價比第一次購進(jìn)的單價貴了10元．（1）該商家第一次購進(jìn)的羽絨服有多少件？（2）若兩次購進(jìn)的羽絨服銷售時標(biāo)價都相同，最后剩下50件按6折優(yōu)惠賣出，若兩批羽絨服全部售完后利潤率不低于25%（不考慮其他因素），則每件羽絨服的標(biāo)價至少為多少元？【變式1-2】（2022?菏澤）某健身器材店計劃購買一批籃球和排球，已知每個籃球進(jìn)價是每個排球進(jìn)價的1.5倍，若用3600元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用3200元購進(jìn)排球的數(shù)量少10個．（1）籃球、排球的進(jìn)價分別為每個多少元？（2）該健身器材店決定用不多于28000元購進(jìn)籃球和排球共300個進(jìn)行銷售，最多可以購買多少個籃球？【變式1-3】（2021?煙臺）直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應(yīng)定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【類型二：方程（組）+不等式（組）——一次函數(shù)模型】【典例2】（2022?濟(jì)南）為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費(fèi)1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費(fèi)10元．（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？（2）若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍．則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費(fèi)最少？請說明理由．【變式2-1】（2022?桐梓縣模擬）某社會團(tuán)體準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種防護(hù)服捐給一線抗疫人員，經(jīng)了解，購進(jìn)5件甲種防護(hù)服和4件乙種防護(hù)服需要2萬元，購進(jìn)10件甲種防護(hù)服和3件乙種防護(hù)服需要3萬元．（1）甲種防護(hù)服和乙種防護(hù)服每件各多少元？（2）實際購買時，發(fā)現(xiàn)廠家有兩種優(yōu)惠方案，方案一：購買甲種防護(hù)服超過20件時，超過的部分按原價的8折付款，乙種防護(hù)服沒有優(yōu)惠；方案二：兩種防護(hù)服都按原價的9折付款，該社會團(tuán)體決定購買x（x＞20）件甲種防護(hù)服和30件乙種防護(hù)服．①求兩種方案的費(fèi)用y與件數(shù)x的函數(shù)解析式；②請你幫該社會團(tuán)體決定選擇哪種方案更合算．【變式2-2】（2022?黔西南州）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費(fèi)用為300元．（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？（2）若該景區(qū)今年計劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．【變式2-3】（2022?天津模擬）抗疫期間，社會各界眾志成城，某乳品公司向疫區(qū)捐獻(xiàn)牛奶，若由鐵路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.58元；若由公路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.28元，并且還需其他費(fèi)用600元．（1）若該公司運(yùn)輸?shù)谝慌Ｄ坦灿?000千克，分別由鐵路和公路運(yùn)輸，費(fèi)用共計4340元，請問鐵路和公路各運(yùn)輸了多少千克牛奶？（2）設(shè)該公司運(yùn)輸?shù)诙Ｄ蘹（千克），選擇鐵路運(yùn)輸時，所需費(fèi)用為y1（元），選擇公路運(yùn)輸時，所需費(fèi)用y2（元），請分別寫出y1（元），y2（元）與x（千克）之間的關(guān)系式；（3）運(yùn)輸?shù)诙Ｄ虝r公司決定只選擇一種運(yùn)輸方式，請問隨著x（千克）的變化，怎樣選擇運(yùn)輸方式所需費(fèi)用較少？【變式2-4】（2021?銅仁市）某快遞公司為了提高工作效率，計劃購買A、B兩種型號的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物，已知每臺A型機(jī)器人比每臺B型機(jī)器人每天多搬運(yùn)20噸，并且3臺A型機(jī)器人和2臺B型機(jī)器人每天共搬運(yùn)貨物460噸．（1）求每臺A型機(jī)器人和每臺B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？（2）每臺A型機(jī)器人售價3萬元，每臺B型機(jī)器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機(jī)器人共20臺，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出A、B兩種機(jī)器人分別采購多少臺時，所需費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？【變式2-5】（2021?恩施州）“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟(jì)更具活力，直播助銷就是運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng)+”的生機(jī)勃勃的銷售方式，讓大山深處的農(nóng)產(chǎn)品遠(yuǎn)銷全國各地．甲為當(dāng)?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種產(chǎn)品助銷．已知每千克花生的售價比每千克茶葉的售價低40元，銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售價相同．（1）求每千克花生、茶葉的售價；（2）已知花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，甲計劃兩種產(chǎn)品共助銷60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍．則花生、茶葉各銷售多少千克可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【變式2-6】“桂花糕”是中國特色傳統(tǒng)小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜為原料制作而成，歷史悠久，種類多樣．小李在某糕點(diǎn)生產(chǎn)廠家選中A，B兩款不同包裝的“桂花糕”，決定從該廠家進(jìn)貨并銷售．兩款“桂花糕”的進(jìn)貨價和銷售價如表：類別價格A款B款進(jìn)貨價（元/盒）4030銷售價（元/盒）5645（1）若小李用2000元購進(jìn)了A，B兩款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”購進(jìn)了35盒，求B款“桂花糕”購進(jìn)多少盒？（2）若小李計劃A款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量不超過B款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量的一半，且計劃購進(jìn)兩款“桂花糕”共60盒，小李應(yīng)該如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【類型三：方程（組）+不等式（組）——二次函數(shù)模型】【典例3】（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價格購進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)T恤的銷售單價提高x元．（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價應(yīng)提高多少元？（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【變式3-1】（2023?蜀山區(qū)校級一模）隨著我國經(jīng)濟(jì)、科技的進(jìn)一步發(fā)展，我國的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的機(jī)械化程度越來越高，過去的包產(chǎn)到戶就不太適合機(jī)械化的種植，現(xiàn)在很多地區(qū)就出現(xiàn)了一種新的生產(chǎn)模式，很多農(nóng)民把自己的承包地轉(zhuǎn)租給種糧大戶或者新型農(nóng)村合作社，出現(xiàn)了大農(nóng)田，這些農(nóng)民則成為合作社里的工人，這樣更有利于機(jī)械化種植．某地某種糧大戶，去年種植優(yōu)質(zhì)水稻200畝，平均每畝收益480元．計劃今年多承包一些土地，已知每增加一畝，每畝平均收益比去年每畝平均收益減少2元．（1）該大戶今年應(yīng)承租多少畝土地，才能使今年總收益達(dá)到96600元？（2）該大戶今年應(yīng)承租多少畝土地，可以使今年總收益最大，最大收益是多少？【變式3-2】某文具店最近有A，B兩款紀(jì)念冊比較暢銷．該店購進(jìn)A款紀(jì)念冊5本和B款紀(jì)念冊4本共需156元，購進(jìn)A款紀(jì)念冊3本和B款紀(jì)念冊5本共需130元．在銷售中發(fā)現(xiàn)：A款紀(jì)念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀(jì)念冊售價為22元/本時，每天的銷售量為80本，B款紀(jì)念冊每天的銷售量與售價之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：售價（元/本）……22232425……每天銷售量（本）……80787674……（1）求A，B兩款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價分別為多少元；（2）該店準(zhǔn)備降低每本A款紀(jì)念冊的利潤，同時提高每本B款紀(jì)念冊的利潤，且這兩款紀(jì)念冊每天銷售總數(shù)不變，設(shè)A款紀(jì)念冊每本降價m元；①直接寫出B款紀(jì)念冊每天的銷售量（用含m的代數(shù)式表示）；②當(dāng)A款紀(jì)念冊售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？【變式3-3】（2022秋?中原區(qū)校級期中）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念“二十大”的鑰匙扣，進(jìn)貨價和銷售價如下表：（注：利潤＝銷售價﹣進(jìn)貨價）類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價（元/件）3025銷售價（元/件）4537（1）網(wǎng)店第一次用8500元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共300件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購進(jìn)的兩款鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共800件（進(jìn)貨價和銷售價都不變），且進(jìn)貨總價不高于22000元．應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？（3）“二十大”臨近結(jié)束時，B款鑰匙扣還有大量剩余，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？【變式3-4】（2020?鄂州）一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進(jìn)價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（件）與售價x（元/件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；（2）在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價分別為多少元？（3）抗疫期間，該商場這種商品售價不大于15元/件時，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈m元（1≤m≤6），捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大．請直接寫出m的取值范圍．【類型四：確定取值范圍】【典例4】（2022?新昌縣二模）如圖，是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小文購買時，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長度忽略不計）加長或縮短，設(shè)雙層部分的長度為x（cm），單層部分的長度為y（cm）．經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù)．雙層部分長度x（cm）281420單層部分長度y（cm）148136124112（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)伸，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．（不必寫出自變量取值范圍）（2）設(shè)背帶的長度為L（cm），即L＝x+y．①按小文的身高和習(xí)慣，L＝130（cm）時為最佳背帶長度．請計算此時雙層部分的長度．②求L的取值范圍．【變式4-1】（2021?衡陽）如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小文購買時，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長度忽略不計）加長或縮短，設(shè)雙層部分的長度為xcm，單層部分的長度為ycm．經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù)．雙層部分長度x（cm）281420單層部分長度y（cm）148136124112（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長度調(diào)為130cm時為最佳背帶長．請計算此時雙層部分的長度；（3）設(shè)背帶長度為Lcm，求L的取值范圍．【變式4-2】（2021?十堰）某商貿(mào)公司購進(jìn)某種商品的成本為20元/kg，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價y（元/kg）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝，且日銷量m（kg）與時間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如下表：時間x（天）13610…日銷量m（kg）142138132124…（1）填空：m與x的函數(shù)關(guān)系為；（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？（3）在實際銷售的前20天中，公司決定每銷售1kg商品就捐贈n元利潤（n＜4）給當(dāng)?shù)馗＠?，后發(fā)現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間x的增大而增大，求n的取值范圍．【變式4-3】（2022?黃岡模擬）某商貿(mào)公司購進(jìn)某種商品的成本為20元/千克，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價y（元/千克）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝，且x為整數(shù)，且日銷量m（千克）與時間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如表：時間x（天）13610…日銷量m（千克）142138132124…（1）求m與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)1≤x≤20時，最大日銷售利潤是多少？（3）求：在未來40天中，有多少天銷售利潤不低于1550元？【變式4-4】（2021?河北）如圖是某機(jī)場監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號指揮機(jī)（看成點(diǎn)P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號試飛機(jī)（看成點(diǎn)Q）一直保持在1號機(jī)P的正下方．2號機(jī)從原點(diǎn)O處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過1min到達(dá)B處開始沿直線BC降落，要求1min后到達(dá)C（10，3）處．（1）求OA的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號機(jī)的爬升速度；（2）求BC的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計2號機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）通過計算說明兩機(jī)距離PQ不超過3km的時長是多少．[注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍]【變式4-5】（2021?揚(yáng)州）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計1850元．說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤＝月租車費(fèi)﹣月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤差＝月利潤較高公司的利潤﹣月利潤較低公司的利潤．在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：（1）當(dāng)每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是元；當(dāng)每個公司租出的汽車為輛時，兩公司的月利潤相等；（2）求兩公司月利潤差的最大值；（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元（a＞0）給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值范圍．【類型五：拱形問題】【典例5】（2022?陜西）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計要求：OE＝10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m．（1）求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．【變式5-1】（2022?柯城區(qū)校級三模）如圖，隧道的截面由拋物線DEC和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長AB為4m，寬BC為3m，以DC所在的直線為x軸，線段CD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．y軸是拋物線的對稱軸，最高點(diǎn)E到地面距離為4米．（1）求出拋物線的解析式．（2）在距離地面米高處，隧道的寬度是多少？（3）如果該隧道內(nèi)設(shè)單行道（只能朝一個方向行駛），現(xiàn)有一輛貨運(yùn)卡車高3.6米，寬2.4米，這輛貨運(yùn)卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結(jié)論．【變式5-2】（2022?諸暨市模擬）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水平距離為10米時，達(dá)到最大高度6米，現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點(diǎn)O處，草坡上距離O的水平距離為15米處有一棵高度為1.2米的小樹AB，AB垂直水平地面且A點(diǎn)到水平地面的距離為3米．（1）計算說明水流能否澆灌到小樹后面的草地．（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．（3）如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點(diǎn)B，那么噴射架應(yīng)向后平移多少米？【變式5-3】（2022?臺州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的