人教A版高中數(shù)學(xué) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（九）直線與橢圓的位置關(guān)系

課時(shí)跟蹤檢測(cè)(九)直線與橢圓的位置關(guān)系

一'基本能力達(dá)標(biāo)

X2V2

1.直線產(chǎn)丘T+1與橢圓點(diǎn)+；=1的位置關(guān)系為()

A.相切B.相交

C,相離D.不確定

解析：選B直線y=Ax—兒+1可變形為y—l=A(x—1),故直線恒過定點(diǎn)(1,1),而該

22a2

點(diǎn)在橢圓]~+；=1內(nèi)部，所以直線產(chǎn)Ax一4+1與橢圓方+；=1相交，故選B.

22

2.過橢圓樂=13乂＞0)的焦點(diǎn)尸(c,0)的弦中最短弦長(zhǎng)是()

A2b22a2

A.—BM.f

ab

解析：選A最短弦是過焦點(diǎn)廠(c,0)且與焦點(diǎn)所在直線垂直的弦.將點(diǎn)(c,y)的坐標(biāo)代

入橢圓也+方=1,得尸土。故最短弦長(zhǎng)是拳

3.若直線Ax-y+3=()與橢圓蓋+?=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

Ad明

B挎闔

C(-8,一叫U圈+8)

D.J一與T鳴

(y=kx+39

解析：選C由彳￡+已_]得(4/+1)爐+24依+20=0,當(dāng)/=16(16/-5)＞0,即

心＞坐或衣一坐時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn).故選C.

4.已知橢圓C:^+^=1,過點(diǎn)，的直線與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，且弦A8

被點(diǎn)尸平分，則直線48的方程為()

A.9x—j—4=0B.9x+j—5=0

C.4r+2y-3=0D.4x-2j-l=0

解析：選B設(shè)A(xi,yi),5(X2,J2).

?.,點(diǎn)A,8在橢圓上，

.唔+R=1,①

g+M=l.②

①一②，得儂拄臀㈤+(X1+X2>(X1-*2)=0.③

VPQ,§是線段43的中點(diǎn)，

AX1+X2=1,Ji+j2=l,

代入③得郎音=-9,即直線A5的斜率為-9.

故直線AB的方程為y—2=-9(x—；),

整理得9x+y—5=0.

5.已知橢圓C：專+爐=1的右焦點(diǎn)為凡直線/：x=2,點(diǎn)4日，線段A尸交橢圓C

于點(diǎn)B,若鉉=3了耳，則/7|=()

A.^2B,2

C.y/3D.3

解析：選A設(shè)點(diǎn)A(2,"),B(x0,jo).

由橢圓C：;+產(chǎn)=1知/=2,方2=1,

.\c2=l,即c=L...右焦點(diǎn)尸(1,0).

由啟=3m得(1,n)=3(xo-l,yo).

l=3(xo—1)且n=3yo-

._4_1

??Xo-yJo-3〃?

將Xo,yo代入予"y2=l.

X

得-X

2

解得“2=1,

/.|AF|=^/(2-l)2+n2=Vi+i=隹

6.已知斜率為2的直線/經(jīng)過橢圓?十號(hào)=I的右焦點(diǎn)為，與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，則

\AB\=.

解析：因?yàn)橹本€,經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)Fi(l,0),且斜率為2,則直線/的方程為y=2(x-

1）,即2x—y—2=0.

f2x—j—2=0,

由［已+已_］得3X2-5X=0.

設(shè)A（X1,Jl）,B（X2,J2）,則Xl+%2=*X1X2=O,

22-

所以|A31=1+k*y/（xi+x2）4XIX2

=W+22）［（滬4X0卜唔

答案：平

7.已知尸I，尸2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足謁?麻河=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓

離心率的取值范圍是.

解析：?話?L碇，...點(diǎn)M在以尸1尸2為直徑的圓上，又點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，：.c<b,

2222

.\c<b=a—c,即2c2Q2,即§<乎.又e>0,0<e<^.

答案：(o,9

8.已知橢圓的方程為各月=1,過橢圓中心的直線交橢圓于A,8兩點(diǎn)，?2是橢圓的

右焦點(diǎn)，則445f2的周長(zhǎng)的最小值為，△ABF?的面積的最大值為.

解析：設(shè)尸1是橢圓的左焦點(diǎn).如圖，連接AB.由橢圓的對(duì)稱性，

結(jié)合橢圓的定義知1461+1861=20=6,所以要使△ABF?的周長(zhǎng)y

最小，必有|A8|=2b=4,所以△ABB的周長(zhǎng)的最小值為lO.SZkABFz

X2cX

=SAAFlF2=2M=y/5lyAl^2y/5,所以△A8F2面積的最大值為

2小.

答案：102y[5

9.設(shè)橢圓C：g=13>6>0)過點(diǎn)(0,4),離心率為g.

(1)求C的方程；

(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為玄的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).

解：⑴將(0,4)代入C的方程得患=1,：.b=4.

?c3^a2~b29169

。5'25'a125'

=???的方程為

/?tz5,C去+旨L

4.4

(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為《的直線方程為y=g(上一3).

設(shè)直線與。的交點(diǎn)為A(xi,ji),3(工2,Ji),將直線方程y=%—3)代入C的方程，得嘲

3

(x—3)2XI+2XX2-J1+J2J2

2

+2-=1,即*2—3*—8=0,解得XI+M=3,的中點(diǎn)坐標(biāo)

=|(xi+x2-6)=—I，即中點(diǎn)坐標(biāo)為g,一

10.如圖，已知橢圓7+6=l(a>b>0),Ft,尸2分別為橢圓的

左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線A尸2交橢圓于另一點(diǎn)反

(1)若/入A8=9()°,求橢圓的離心率；

(2)若橢圓的焦距為2,且京=2將，求橢圓的方程.

解：⑴若NFiA3=90°,則△4。尸2為等腰直角三角形.所以有|。4|=|0尸2|,即b=c.

所以a=pc,e=^=?

⑵由題知A(0,b),尸2(1,0),設(shè)成x,y),

9展

-

449

避解得

------>------>3hi?2十

一

由尸解得，產(chǎn)―?代入方官

A2=2/2B,x=25u+=1層

a2=3,力2=2,

所以橢圓方程為￥+9=1.

二、綜合能力提升

1.若直線町=4和圓O：爐+72=4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(/n,〃)的直線與橢圓方+

?=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

A.2

C.0D.0或1

4

解析：選A由題意，得/,>2,所以/?2+/?2<4,則一—2<n<2,所以

\jm2+n2

點(diǎn)PQ〃，")在橢圓]+§=1內(nèi)，則過點(diǎn)PQ",")的直線與橢圓方+[=1有2個(gè)交點(diǎn).故選

2.橢圓“A+HyZui與直線7=1-匯交于知，/V兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段M/V中點(diǎn)所在直

線的斜率為乎，則々的值是()

A普B.平

「嶇n2^3

227

/nx2+nv2=1,

解析：選A由.消去y得，

ly=l-x

(m+n)x2-2nx+n-l=0.

設(shè)AfgJi),MM,J2),M/V中點(diǎn)為(Xo,JO),

則Xl+X2=〃?+”,???X0=〃?+〃，

代入y=i一"得

由題螳邛,.譚邛，選A.

Xo/Hit

3.若點(diǎn)(x,y)在橢圓4x2+y2=4上，則二、的最小值為(

X/

A.1B.-1

C.一￥D.以上都不對(duì)

解析：選C設(shè)一匕=4，則y=A(x—2).

x/

4x2+j2=4,

由消去y,整理得

y=k(x~2)

(*2+4)*2-4it2x2+4(Jt2-1)=0,

J=16Jl4-4X4(Jl2-l)(*2+4)=0,

解得《=；.Amin=一斗士選C.

4.已知橢圓E：，+g=l(a?>0)的右焦點(diǎn)為尸(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,5兩點(diǎn).若

A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一1),則E的方程為()

A?各導(dǎo)1X2V2

B-36+27=1

焉+g=l

解析：選D因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)歹(3,0)和點(diǎn)(1,-1),

所以直線AB的方程為J=T(X-3),

代入橢圓方程,+方=1消去外

得仔+廬）*2—泰2*+/2一層加=0,

3,

2a

所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7-----^=1,即〃=2",

2”）

又〃2=爐+。2,所以力=c=3.

所以E的方程為』■gE.

5.過點(diǎn)"（1,1）作斜率為一:的直線與橢圓C：5+g=l（a>/?0）相交于A,8兩點(diǎn)，若

M是線段48的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于.

解析：設(shè)4（凡山），5S,四，分別代入橢圓方程相減得越出詈土應(yīng)+但二軍吐以

=0,根據(jù)題意有XI+M=2X1=2,yi+y2=2Xl=2,且;_；；=-：,所以宗+專義（一；）=

0,得。2=2從，所以“2=2（，一。2）,整理得”2=2C2,所以^=#，即e=嘩.

a乙乙

答案：乎

6.（2019?浙江高考）已知橢圓至+點(diǎn)=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方.若

線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心，|。為為半徑的圓上，則直線尸石、的斜率是.

解析：依題意，設(shè)點(diǎn)尸（孫〃）（心0）,

由題意知尸（-2,0）,

所以線段尸產(chǎn)的中點(diǎn)4一2鄉(xiāng)在圓》2+丁2=4上，

所以仔瀉2+0?①

又點(diǎn)、P（m,〃）在橢圓］+為=1上，所以l"+gn.②

聯(lián)立①②，消去n,得4m2—36/n—63=0,

工?3上2i..、

所以旭=-5或機(jī)=5"（舍去），〃=々一,

警。

所以kpF==yj15.

一一（一2）

答案：y/15

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸到兩點(diǎn)(0,一仍)，(0,小)的距離之和等于4,設(shè)

點(diǎn)P的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線y=h+l與C交于4,3兩點(diǎn)，k為何值時(shí)市LOB?此時(shí)以5|的值是多少.

解：(1)設(shè)P(x,y),由橢圓的定義知，點(diǎn)尸的軌跡C是以(0,一小),(0,5)為焦點(diǎn)，

長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，它的短半軸長(zhǎng)6=722—(小)2=1.

故曲線C的方程為目+*2=1.

y=kx+1

(2)設(shè)A(X1,J1),5(X2,J2),聯(lián)立|2_l_4294

[y2+4x2=4.

消去以并整理，得(d+4)工2+2h一3=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得

,_2k_3

X\~VX2—一爐+4，Xl"2—一女2+4，

若OA±OB,則xiX2+jij2=0.

因?yàn)镴U2=(kx\+l)(kx2+1)

=k2XlX2+k(Xl+x2)+l,

圻33k22k2

所以不切+刈力__/+4_/+4_標(biāo)+4+1

4A2—11

=一費(fèi)不了=o，所以&=±亍

1412

當(dāng)A=±5時(shí)，工1+皿=號(hào)萬，不必=一丁彳

所以\AB\=y]l+k2*y](X}+x2)2^4x\X2

=[9[(珞＞+4'用=嗜.

8.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)4(2,0),仇一2,0),P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線E4,P8斜

率之積為一;.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵過點(diǎn)Q,0)作直線/與軌跡C交于E,F兩點(diǎn),線段E尸的中點(diǎn)為M,求直線K4的

斜率G