《建筑力學(xué)與結(jié)構(gòu)》 課件匯總 第1-5章　力和受力圖、平面力系的平衡- 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)

第一節(jié)靜力學(xué)基本概念第三節(jié)約束與約束反力第二節(jié)靜力學(xué)公理第一節(jié)靜力學(xué)基本概念1第四節(jié)受力圖第五節(jié)結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖熟悉力、平衡、剛體的概念及力的性質(zhì)；理解靜力學(xué)公理及應(yīng)用；熟悉工程中常見的幾種約束，掌握其約束反力的畫法；能正確畫出單個(gè)物體和簡(jiǎn)單物體系統(tǒng)的受力圖；了解結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化原則和簡(jiǎn)化方法。學(xué)習(xí)目標(biāo)23靜力學(xué)主要研究物體在力及力系作用下的平衡問(wèn)題。在靜力學(xué)中具體討論物體的受力分析、各種力系的平衡條件及其應(yīng)用。本章是建筑力學(xué)部分的基礎(chǔ)，主要介紹靜力學(xué)的基本概念及基本公理、常用約束及約束反力、物體的受力分析及結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖。靜力學(xué)基本概念第一節(jié)45一、力的概念力的概念是人們?cè)陂L(zhǎng)期生產(chǎn)勞動(dòng)和生活實(shí)踐中逐漸形成的。人們?cè)诮ㄖさ乩?、彎鋼筋、擰螺絲帽時(shí)，由于肌肉緊張，感到用了力。同樣，起重機(jī)吊起構(gòu)件、牽引車?yán)瓌?dòng)平板車、打夯機(jī)夯實(shí)地面等也都是力的作用。綜合無(wú)數(shù)事例，可以概括出力的概念：力是物體之間的相互機(jī)械作用，這種作用會(huì)使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化（外效應(yīng)），或使物體產(chǎn)生變形（內(nèi)效應(yīng)）。既然力是物體之間的相互作用，那么力就不可能脫離物體而單獨(dú)存在，有受力物體就一定有施力物體。6實(shí)踐證明，力對(duì)物體的作用效果取決于力的大小、方向和作用點(diǎn)，即力的三要素。力的大小表示力對(duì)物體作用的強(qiáng)弱，在國(guó)際單位制中，力的單位是牛（N）或千牛（kN），1kN=1000N。力的方向包括力作用線的方位和指向。例如，重力的方向是鉛垂向下，鉛垂是指力作用線的方位，向下是指力的指向。力的作用點(diǎn)是指力對(duì)物體作用的位置。實(shí)際上，力的作用位置有一定的范圍，而不是一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)力的作用范圍與物體相比較小時(shí)，可近似地看作一個(gè)點(diǎn)。作用于一點(diǎn)的力，稱為集中力。7在力的三要素中，任意一個(gè)要素改變時(shí)，都會(huì)對(duì)物體產(chǎn)生不同的作用效果。力是具有大小和方向的量，所以力是矢量。通?？梢杂靡欢螏Ъ^的線段來(lái)表示力的三要素，如圖所示。線段的長(zhǎng)度（按一定比例畫出）表示力的大小，箭頭的指向表示力的方向，線段的起始點(diǎn)或終止點(diǎn)表示力的作用點(diǎn)。用字母符號(hào)表示力的矢量時(shí)，常用黑體英文字母表示，并用相應(yīng)的非黑體字母表示該力的大小。例如，用F表示力的矢量，用F表示該力的大小。8力的圖示9二、剛體與平衡1.?剛體在力的作用下，大小和形狀均保持不變的物體稱為剛體。實(shí)際上，任何物體在力的作用下都將產(chǎn)生不同程度的變形。但在正常情況下，一般建筑結(jié)構(gòu)或構(gòu)件受力所產(chǎn)生的變形都很小，略去變形的影響不會(huì)使力的作用效果產(chǎn)生顯著的變化。所以，常把研究對(duì)象（建筑結(jié)構(gòu)或構(gòu)件）抽象為剛體，即忽略物體本身變形的影響，這樣可使問(wèn)題的研究大大簡(jiǎn)化。102.?平衡物體相對(duì)于地球處于靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)，這種狀態(tài)稱為平衡。如靜止的建筑物和工地上沿直線勻速吊起的構(gòu)件等都是平衡的實(shí)例。但平衡是相對(duì)的，因?yàn)榈厍虮旧碓谶M(jìn)行著自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，相對(duì)地面靜止的物體實(shí)際上也隨著地球在運(yùn)動(dòng)。所以，在建筑力學(xué)研究過(guò)程中，如不特別說(shuō)明，平衡、靜止或運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)于地球而言的。11三、施力物體與受力物體由力的概念可知，力是一個(gè)物體對(duì)另一個(gè)物體的機(jī)械作用，因此，力不能脫離物體而獨(dú)立存在。當(dāng)某一物體受到力的作用時(shí)，一定有另一個(gè)物體對(duì)它施加這種作用。例如，人坐在沙發(fā)上使彈簧受力后變形，當(dāng)研究彈簧的受力時(shí)，彈簧是受力物體，人是施力物體；當(dāng)研究人的受力時(shí)，人是受力物體，彈簧是施力物體。在分析物體受力時(shí)，必須分清哪個(gè)物體是受力物體，哪個(gè)物體是施力物體。12四、力系及力系的合力通常一個(gè)物體所受到的力不止一個(gè)，而是若干個(gè)。把作用在同一物體上的一群力稱為力系。如果一個(gè)力能代替一個(gè)力系作用在同一物體上且產(chǎn)生同樣的作用效果，則這個(gè)力就稱為該力系的合力，而力系中的各個(gè)力稱為其合力的分力。若物體承受的是一個(gè)平衡力系，則該力系的合力為零。靜力學(xué)公理第二節(jié)1314靜力學(xué)公理是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活和生產(chǎn)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。它闡述了力的基本性質(zhì)，是研究力系的簡(jiǎn)化和平衡問(wèn)題的基礎(chǔ)。一、二力平衡公理作用在同一剛體上的兩個(gè)力，使剛體平衡的充分必要條件是：這兩個(gè)力大小相等、方向相反，且作用在同一直線上。這個(gè)公理包括兩層含義：其一，當(dāng)剛體只承受兩個(gè)力的作用，且處于平衡狀態(tài)時(shí)，這兩個(gè)力必然是大小相等、方向相反，且作用在同一直線上；其二，當(dāng)剛體只承受兩個(gè)力的作用，這兩個(gè)力大小相等、方向相反，且作用在同一直線上時(shí)，此剛體必定處于平衡狀態(tài)。15該公理說(shuō)明了作用在物體上的兩個(gè)力的平衡條件，且此物體必須是一個(gè)剛體。對(duì)于非剛體，該公理就不一定適用。例如一根軟繩，當(dāng)它承受一對(duì)大小相等、方向相反，且作用在同一直線上的拉力時(shí)，它能達(dá)到平衡，但當(dāng)這對(duì)拉力變成壓力時(shí)，軟繩就不能達(dá)到平衡。所以，二力平衡公理對(duì)于非剛體，最多就是必要但非充分條件。16在二力平衡狀態(tài)下的剛體，稱為二力體。剛體的二力平衡a）二力為拉力b）二力為壓力17機(jī)械和建筑結(jié)構(gòu)中的二力體常常統(tǒng)稱為二力構(gòu)件。它們的受力特點(diǎn)是：兩個(gè)力大小相等、方向相反，作用線沿二力作用點(diǎn)的連線。應(yīng)用二力構(gòu)件的概念，可以很方便地判定結(jié)構(gòu)中某些構(gòu)件的受力方向。二力構(gòu)件ABa）結(jié)構(gòu)b）二力構(gòu)件受力分析18若二力體為一桿件，且略去桿件的自重，就將此桿稱為二力桿，如圖所示。二力桿AB19二、加減平衡力系公理在一個(gè)剛體上加上或減去一個(gè)平衡力系，并不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效果。對(duì)于一個(gè)平衡力系來(lái)說(shuō)，其合力為零，故任意加上或減去一個(gè)平衡力系，都不會(huì)改變剛體原來(lái)的狀態(tài)（或平衡，或運(yùn)動(dòng)）。這個(gè)公理是簡(jiǎn)化力系的重要理論依據(jù)，力的可傳性原理就是基于這個(gè)公理推導(dǎo)出來(lái)的。力的可傳性原理：作用于剛體的力可沿其作用線移動(dòng)至剛體的任意一點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的作用效應(yīng)。20力的可傳性原理a）剛體在A點(diǎn)作用一力Fb）在剛體B點(diǎn)加一對(duì)平衡力F1和F2

c）在剛體上去掉一對(duì)平衡力F2和F21三、作用力與反作用力公理兩個(gè)物體之間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，其作用線沿同一直線，而且二力分別作用在這兩個(gè)物體上。這個(gè)公理揭示了兩物體間相互作用的力的關(guān)系。作用力與反作用力成對(duì)出現(xiàn)，因大小相等、方向相反，所以只要知道作用力的大小和方向，則其反作用力的大小和方向也能知道。作用力與反作用力22四、力的平行四邊形公理作用在物體上同一點(diǎn)的力，可以合成為一個(gè)合力，合力的作用點(diǎn)也在該點(diǎn)，合力的大小和方向由以這兩個(gè)力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線確定。力的平行四邊形公理23力的合成與分解a）力的合成b）力的分解24根據(jù)力的平行四邊形公理、力的可傳性原理和二力平衡公理，可以得到一個(gè)重要推論，即三力平衡匯交定理，具體表述為：若剛體受同一平面內(nèi)互不平行的三個(gè)力作用而平衡，則這三個(gè)力的作用線必匯交于一點(diǎn)。三力平衡匯交定理a）剛體上作用三個(gè)互不平行的力b）剛體上的三力匯交于一點(diǎn)25只受同一平面內(nèi)三個(gè)力作用而平衡的構(gòu)件稱為三力構(gòu)件。在已知三力構(gòu)件中的兩個(gè)力的情況下，常常利用三力平衡匯交定理求解未知的第三個(gè)力的大小和方向。約束與約束反力第三節(jié)2627一、約束與約束反力的概念在工程實(shí)際中，任何物體都受到與它相聯(lián)系的其他物體的限制，而不能自由運(yùn)動(dòng)，如梁受到柱的限制、柱受到基礎(chǔ)的限制等。在空間可以自由運(yùn)動(dòng)的物體稱為自由體，如放飛的氣球在某些方向運(yùn)動(dòng)受到限制的物體稱為非自由體，如氣球在放飛前受繩子約束時(shí)，只能隨繩子運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)；建筑工程中，樓板受梁柱的支撐而不塌、柱受基礎(chǔ)的限制而被固定等。28若一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)受到周圍物體的限制，則這些周圍物體稱為該物體的約束。例如，梁是樓板的約束，基礎(chǔ)是柱的約束。約束對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)起阻礙作用，這種阻礙物體運(yùn)動(dòng)的作用稱為約束反力，簡(jiǎn)稱反力。約束反力的方向總是與物體的運(yùn)動(dòng)方向或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反。物體所受到的力一般可分為兩類：一類是使物體運(yùn)動(dòng)或使物體有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力，稱為主動(dòng)力（在工程中稱為荷載），如建筑物所承受的重力、土壓力、風(fēng)壓力等；另一類是物體受到的約束反力，是限制物體運(yùn)動(dòng)的力。很明顯，如果沒(méi)有主動(dòng)力，物體的約束反力就不會(huì)產(chǎn)生。因此，約束反力又被稱為被動(dòng)力。29二、常見的約束類型及其約束反力1.?柔體約束由柔軟而不計(jì)自重的繩索、鏈條、傳送帶等形成的約束稱為柔體約束。因?yàn)槿狍w只能承受拉力，不能承受壓力，所以柔體約束只能限制物體沿柔體的中心線離開柔體的運(yùn)動(dòng)。其約束力作用點(diǎn)即為柔體與被約束物體的接觸點(diǎn)，作用方向沿柔體中心線背離物體。通常用T表示柔體約束反力，如圖所示。30柔體約束312.?光滑接觸面約束兩個(gè)相互接觸的物體，若接觸面上的摩擦力很小而可以忽略不計(jì)時(shí)，則可認(rèn)為接觸面是光滑的。由光滑面所形成的約束，稱為光滑接觸面約束。這種約束只能限制物體垂直壓向光滑接觸面的運(yùn)動(dòng)，所以光滑接觸面的約束反力必通過(guò)接觸點(diǎn)，約束反力方向?yàn)檠亟佑|面公法線并指向被約束物體，使被約束物體受壓。通常用N表示光滑接觸面約束反力，如圖所示。光滑接觸面約束323.?光滑圓柱鉸鏈約束光滑圓柱鉸鏈?zhǔn)怯蓤A柱銷釘插入兩個(gè)物體的相同直徑圓柱孔內(nèi)構(gòu)成的，并認(rèn)為圓柱銷釘與圓孔的表面都是光滑的，這種約束稱為光滑圓柱鉸鏈約束，如圖所示。這種約束不能限制物體繞圓柱銷釘?shù)霓D(zhuǎn)動(dòng)，只能限制物體的任意徑向移動(dòng)。這種約束反力有大小和方向兩個(gè)未知量，在垂直于圓柱銷釘軸線的平面內(nèi)，通過(guò)鉸鏈中心，方向未定，大小可用R來(lái)表示。也可用兩個(gè)相互垂直的分力Rx和Ry來(lái)表示，如圖d和圖e所示，指向未定。33光滑圓柱鉸鏈約束a）結(jié)構(gòu)拆開圖b）結(jié)構(gòu)組合圖c）結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖d）、e）圓柱鉸鏈約束反力344.?鏈桿約束鏈桿是一根不計(jì)自重、兩端分別用鉸鏈連接兩個(gè)物體且桿中間不受任何力作用的直桿。被鏈桿連接的物體所受的約束即為鏈桿約束。鏈桿約束只能阻礙物體沿鏈桿軸線方向的運(yùn)動(dòng)，故鏈桿約束反力沿鏈桿中心線通過(guò)鏈桿與物體的接觸點(diǎn)，指向待定。約束反力也常用N或R表示，如圖所示為鏈桿CB的約束反力。35鏈桿約束a）結(jié)構(gòu)b）約束反力365.?三種支座工程中常把結(jié)構(gòu)或構(gòu)件連接在墻、柱、基礎(chǔ)等支承物上的裝置稱為支座。通常把它簡(jiǎn)化成三種支座。（1）固定鉸支座結(jié)構(gòu)或構(gòu)件與基礎(chǔ)或靜止的結(jié)構(gòu)物等固定支座用光滑圓柱鉸鏈連接，就構(gòu)成了固定鉸支座。如圖所示，固定鉸支座的約束性質(zhì)與圓柱鉸鏈相同，其約束反力與圓柱鉸鏈的約束反力相同。37固定鉸支座a）結(jié)構(gòu)b）計(jì)算簡(jiǎn)圖c）約束反力38（2）可動(dòng)鉸支座在固定鉸支座下面加幾個(gè)輥軸支承于平面上，但支座的連接使它們不能離開支承面，就構(gòu)成了可動(dòng)鉸支座。這種約束經(jīng)常在屋架、橋梁等結(jié)構(gòu)中被采用?？蓜?dòng)鉸支座只能限制物體沿垂直于支承面方向的移動(dòng)，而不能限制物體繞圓柱銷釘?shù)霓D(zhuǎn)動(dòng)和沿支承面方向的移動(dòng)。因此，可動(dòng)鉸支座的約束反力必通過(guò)圓柱銷釘中心，并垂直于支承面，指向未定。如圖所示，R的箭頭指向是假設(shè)的，可以向上，也可以向下。39可動(dòng)鉸支座a）結(jié)構(gòu)b）計(jì)算簡(jiǎn)圖c）約束反力40（3）固定端支座如房屋建筑中的懸挑梁，它的一端嵌固在墻壁內(nèi)，懸挑梁和墻壁完全連成了一體，懸挑梁既不能轉(zhuǎn)動(dòng)，也不能移動(dòng)，墻壁對(duì)它所受的這種約束就是固定端約束。這種約束限制了物體任何方向的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，所以其約束反力必然是一個(gè)阻止移動(dòng)的約束反力R和一個(gè)阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束反力偶m。約束反力R相當(dāng)于光滑圓柱鉸鏈約束反力R，這種約束反力有大小和方向兩個(gè)未知量，同樣也可用兩個(gè)相互垂直的分量Rx和Ry來(lái)表示，如圖所示。41固定端約束a）嵌固在墻壁內(nèi)的懸挑梁b）計(jì)算簡(jiǎn)圖c）約束反力受力圖第四節(jié)4243在工程實(shí)際中，通常都是幾個(gè)物體或幾個(gè)構(gòu)件相互聯(lián)系，形成一個(gè)體系。例如，板支承在梁上，梁支承在柱上，柱支承在基礎(chǔ)上，形成了房屋的傳力體系。只有將體系中的每個(gè)物體或每個(gè)構(gòu)件所承受的各種外力分析清楚，才能根據(jù)這些外力情況設(shè)計(jì)出經(jīng)濟(jì)、有效、合理的構(gòu)件尺寸，才能使各個(gè)構(gòu)件及整個(gè)體系滿足安全性、適用性和耐久性的功能要求。44進(jìn)行受力分析前必須要明確對(duì)哪一個(gè)物體或構(gòu)件進(jìn)行受力分析，即要明確研究對(duì)象。為了分析研究對(duì)象的受力情況，就必須搞清楚研究對(duì)象與哪些物體有聯(lián)系，受到哪些力的作用，以及哪些是主動(dòng)力，哪些是約束反力。為此，需要將研究對(duì)象從體系中單獨(dú)分離出來(lái)。被分離出來(lái)的研究對(duì)象稱為脫離體。在脫離體上畫出全部的作用力（包括主動(dòng)力和約束反力），這樣的圖形稱為受力圖。受力圖是對(duì)物體進(jìn)行力學(xué)計(jì)算的依據(jù)，是本課程要求學(xué)生掌握的基本技能之一。45一、單個(gè)物體的受力圖畫單個(gè)物體的受力圖，首先明確研究對(duì)象，并解除研究對(duì)象所受到的全部約束而單獨(dú)畫出它的簡(jiǎn)圖，即取出脫離體。然后在脫離體上畫出主動(dòng)力，并分析它所受的約束類型，從而畫出相應(yīng)的約束反力。下面舉例說(shuō)明受力圖的畫法。46【例1-1】如圖a所示，請(qǐng)畫出圖示簡(jiǎn)支梁AB在外力F作用下的受力圖。例1-1圖a）簡(jiǎn)支梁ABb）脫離體c）主動(dòng)力d）約束力e）受力圖47解：（1）確定梁AB為研究對(duì)象，作為脫離體單獨(dú)畫出，如圖b所示。（2）對(duì)梁AB進(jìn)行受力分析，先考慮主動(dòng)力，即其所受到的外力F；將外力F按已知條件表示在AB上，如圖c所示。再分析作用在AB上的約束反力；根據(jù)約束形式，其兩端的約束反力可按圖d繪出。（3）將圖c與圖d疊加，即為梁AB的受力圖，如圖e所示。48通過(guò)以上各例的分析，可將畫單個(gè)物體受力圖的步驟歸納如下：1.明確研究對(duì)象，首先要明確畫哪個(gè)物體的受力圖，然后把與它相聯(lián)系的一切約束（物體）去掉，并單獨(dú)畫出脫離體。2.根據(jù)已知條件，正確、不漏不缺地畫出脫離體上的全部主動(dòng)力。3.根據(jù)脫離體原來(lái)受到的約束類型，畫出相應(yīng)的約束反力。49※二、簡(jiǎn)單物體系統(tǒng)的受力圖在工程中，常常遇到由幾個(gè)物體通過(guò)一定的約束聯(lián)系在一起的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱物系，如工程中的組合結(jié)構(gòu)、三鉸拱結(jié)構(gòu)等。物體系統(tǒng)的受力圖畫法與單個(gè)物體的受力圖畫法基本相同，區(qū)別在于所取的研究對(duì)象可能是整個(gè)物體系統(tǒng)，也可能是整個(gè)物體系統(tǒng)中的某一部分或某一物體。畫系統(tǒng)的某一部分或某一物體的受力圖時(shí)要注意其他物體與它們的連接處有相應(yīng)的約束反力，要遵循作用力與反作用力公理；畫系統(tǒng)整體的受力圖時(shí)，要注意系統(tǒng)中各單個(gè)物體相互連接處的約束反力是內(nèi)力，不需要畫出來(lái)。50【例1-4】如圖a所示，組合梁受主動(dòng)力F和均布荷載q作用。C處為圓柱鉸鏈連接，A處為固定鉸支座，B和D處都是可動(dòng)鉸支座。若不計(jì)梁的自重，試畫出梁AC、CD及整個(gè)梁AD的受力圖。例1-4圖a）結(jié)構(gòu)b）梁CD的受力圖c）梁AC的受力圖d）梁AD的受力圖51解：（1）取梁CD為研究對(duì)象。梁CD受主動(dòng)力均布荷載的作用，D處是可動(dòng)鉸支座，它的約束反力FD垂直于支承面，指向假設(shè)；C處為鉸鏈約束，它的約束反力可用兩個(gè)相互垂直的分力FC和FCx（由于梁CD受的主動(dòng)力是豎直方向的力，所以FCx不存在，受力圖中沒(méi)有畫出來(lái)）來(lái)表示，指向假設(shè)。梁CD的受力圖如圖b所示。52（2）取梁AC為研究對(duì)象。梁AC受主動(dòng)力F的作用，A處是固定鉸支座，它的約束反力可用兩個(gè)相互垂直的分力FAx和FAy來(lái)表示；B處是可動(dòng)鉸支座，它的約束反力FB垂直于支承面，指向假設(shè)；C處為鉸鏈約束，它的約束反力FC′和作用在梁CD上的FC是作用力與反作用力的關(guān)系，其指向不能再任意假設(shè)，只能與FC指向相反。梁AC的受力圖如圖c所示。（3）取整個(gè)梁AD為研究對(duì)象。力F和均布荷載是主動(dòng)力，此時(shí)鉸鏈C是連接整個(gè)梁內(nèi)部物體AC與CD的約束，它的約束反力對(duì)整個(gè)梁而言是內(nèi)力，故在整個(gè)梁AD的受力圖中不要畫出來(lái)。A處固定鉸支座的約束反力FAx和FAy及B、D處可動(dòng)鉸支座的約束反力FB與FD指向都是假設(shè)的，并與圖b和圖c中所畫的一致。梁AD的受力圖如圖d所示。53通過(guò)以上各例的分析，可將畫物體系統(tǒng)受力圖的要領(lǐng)歸納如下：1.畫物體系統(tǒng)的受力圖，與畫單個(gè)物體的受力圖步驟相同。2.要注意兩個(gè)物體連接處的約束反力的關(guān)系。當(dāng)所取的研究對(duì)象是幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)時(shí)，物體之間連接處的約束反力是內(nèi)力，不必畫出。當(dāng)兩個(gè)相互連接的物體被拆開時(shí)，其連接處的約束反力是一對(duì)作用力與反作用力，要等值、反向、共線地分別畫在兩個(gè)物體上。3.若系統(tǒng)中有二力桿或二力構(gòu)件時(shí)，應(yīng)先畫出它們的受力圖，然后畫其他物體的受力圖。結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖第五節(jié)5455一、結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化原則建筑物（或者構(gòu)筑物）在工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)、構(gòu)造以及作用在其上的荷載，往往是比較復(fù)雜的。如果完全嚴(yán)格地按照結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況進(jìn)行力學(xué)分析和計(jì)算，會(huì)使問(wèn)題非常復(fù)雜甚至無(wú)法求解。因此，在對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析和計(jì)算時(shí)，有必要采用簡(jiǎn)化的圖形來(lái)代替實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)，這種簡(jiǎn)化了的圖形稱為結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖。56由于在結(jié)構(gòu)分析時(shí)，人們是以結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖作為分析對(duì)象，因此，如果結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖選取不合理，就會(huì)使結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)不合理，造成差錯(cuò)，嚴(yán)重的甚至造成工程事故。所以合理選取結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖是一項(xiàng)十分重要的工作，必須引起足夠的重視。一般來(lái)說(shuō)，在選取結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)遵循兩個(gè)原則：一是正確地反映結(jié)構(gòu)的主要受力情況，使計(jì)算的結(jié)果接近實(shí)際情況；二是忽略對(duì)結(jié)構(gòu)受力情況影響不大的次要因素，以便于分析和計(jì)算。57選取結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖時(shí)，一般從以下幾個(gè)方面對(duì)結(jié)構(gòu)加以簡(jiǎn)化。1.?體系的簡(jiǎn)化實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)，一般都是若干構(gòu)件或桿件按照某種方式組成的空間結(jié)構(gòu)。因此，首先要把這種空間形式的結(jié)構(gòu)，根據(jù)其實(shí)際的受力情況簡(jiǎn)化為平面狀態(tài)；而對(duì)于構(gòu)件或桿件，由于它們的截面尺寸通常要比其長(zhǎng)度小得多，因此，在結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖中是用其縱向軸線（畫成粗實(shí)線）來(lái)表示的。582.?結(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)化在結(jié)構(gòu)中，桿件與桿件相互連接處稱為結(jié)點(diǎn)。盡管各桿之間連接的形式是多種多樣的，特別是材料不同會(huì)使得連接的方式有較大的差異，但是，在結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖中，只簡(jiǎn)化為兩種理想的連接方式，即鉸結(jié)點(diǎn)和剛結(jié)點(diǎn)，或者兩種結(jié)點(diǎn)的組合形式。59鉸結(jié)點(diǎn)是指桿件與桿件之間用圓柱鉸鏈約束的形式連接，連接后桿件之間可以繞結(jié)點(diǎn)中心自由地做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而不能產(chǎn)生相對(duì)移動(dòng)。在工程實(shí)際中，完全用理想鉸來(lái)連接桿件的實(shí)例是非常少見的。但是，從結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造來(lái)分析，把它們近似地看成鉸結(jié)點(diǎn)所造成的誤差并不顯著。如圖a所示的木屋架結(jié)點(diǎn)，一般認(rèn)為各桿之間可以產(chǎn)生比較微小的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以，其桿與桿之間的連接方式在結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖中常簡(jiǎn)化成如圖b所示的鉸結(jié)點(diǎn)；又如圖a所示的鋼筋混凝土或木結(jié)構(gòu)梁中經(jīng)常采用的一種連接方式，在計(jì)算時(shí)也可以簡(jiǎn)化為鉸結(jié)點(diǎn)，得到如圖b所示的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖。60木屋架結(jié)點(diǎn)a）結(jié)構(gòu)b）結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖鉸結(jié)點(diǎn)a）結(jié)構(gòu)b）結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖61剛結(jié)點(diǎn)是指構(gòu)件之間采用焊接（如鋼結(jié)構(gòu)的連接）或者現(xiàn)澆（如鋼筋混凝土梁與柱現(xiàn)澆在一起）的形式連接，構(gòu)件之間相互連接后，在連接處的任何相對(duì)運(yùn)動(dòng)都受到限制，既不能產(chǎn)生相對(duì)移動(dòng)，也不能產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，即使結(jié)構(gòu)在荷載作用下發(fā)生了變形，在結(jié)點(diǎn)處各桿端之間的夾角仍然保持不變。如圖a所示，A結(jié)點(diǎn)處各桿端之間的夾角保持不變，故可簡(jiǎn)化為剛結(jié)點(diǎn)。62剛結(jié)點(diǎn)a）結(jié)構(gòu)b）結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖633.?支座的簡(jiǎn)化支座根據(jù)實(shí)際構(gòu)造不同和約束的特點(diǎn)不同，通常簡(jiǎn)化為可動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和固定端支座三種類型。4.?荷載的簡(jiǎn)化荷載是作用在結(jié)構(gòu)或構(gòu)件上的主動(dòng)力，其分類將在后面介紹。實(shí)際結(jié)構(gòu)受到的荷載一般是作用在構(gòu)件內(nèi)各處的體荷載（如自重），以及作用在某一面積上的面荷載（如風(fēng)壓力）。在結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖中，常把它們簡(jiǎn)化為作用在構(gòu)件縱向軸線上的線荷載、集中力和集中力偶。64二、工程中幾種常見的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖1.?梁梁是一種受彎構(gòu)件，其軸線通常是直線，其結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示。梁的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖652.?拱拱的軸線一般為曲線，它在豎向荷載作用下，支座不僅產(chǎn)生豎向支反力，還產(chǎn)生水平支反力。這種水平支反力將使拱內(nèi)彎矩遠(yuǎn)小于跨度、荷載、支承情況相同的直梁的彎矩。如圖所示為三鉸拱的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖。三鉸拱的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖663.?剛架剛架是由梁和柱組成的，其連接點(diǎn)至少有一個(gè)為剛結(jié)點(diǎn)，剛架的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示。剛結(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)是當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變形時(shí)，相交于該結(jié)點(diǎn)的各桿端之間的夾角始終保持不變。剛架的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖674.?桁架桁架是由若干桿件在兩端用理想鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示。各桿的軸線一般都是直線，當(dāng)只受到作用于結(jié)點(diǎn)的荷載時(shí)，各桿將只產(chǎn)生軸力，即桁架中各桿均是二力桿。桁架的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖685.?混合結(jié)構(gòu)混合結(jié)構(gòu)是部分由桁架桿、部分由梁或剛架組成的，其結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示。由于其中含有混合結(jié)點(diǎn)，因此有些桿只承受軸力，而另一些桿還同時(shí)承受彎矩和剪力。當(dāng)然，梁、拱、剛架、桁架、混合結(jié)構(gòu)又可分為靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。桁架的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖69三、結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的選取如圖a所示為一裝配式鋼筋混凝土門式剛架，兩個(gè)廠字形構(gòu)件是預(yù)制的，將構(gòu)件插入杯口基礎(chǔ)后，四周縫隙用瀝青麻刀填實(shí)，允許柱腳在杯口內(nèi)有微小的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此在結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖中，柱腳A和B可設(shè)為鉸支座，在中間結(jié)點(diǎn)C，用合頁(yè)式的鉸將兩個(gè)構(gòu)件連接，至于結(jié)點(diǎn)D和E則可取為剛結(jié)點(diǎn)，這種結(jié)構(gòu)稱為三鉸剛架，結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b所示。70三鉸剛架a）結(jié)構(gòu)b）結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖71如圖a所示為一鋼筋混凝土單層工業(yè)廠房的結(jié)構(gòu)示意圖，它是由多個(gè)橫向排架借助于屋面板吊車梁、柱間支撐等連接成一個(gè)空間結(jié)構(gòu)體系。從其荷載傳遞情況來(lái)看，屋面荷載和吊車荷載等都主要通過(guò)屋面板和吊車梁等構(gòu)件傳遞到一個(gè)個(gè)橫向排架上，故在選取結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖時(shí)，可以略去排架之間的縱向聯(lián)系的作用，而把這樣的空間結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為一系列的平面排架來(lái)分析，如圖b所示。當(dāng)然，這種不考慮空間作用的簡(jiǎn)化方法具有一定的近似性，但在一般情況下，它反映了廠房結(jié)構(gòu)的主要受力特征。在分析排架的屋頂桁架時(shí)，是否可以單獨(dú)取出計(jì)算，取決于它與豎柱的連接構(gòu)造方式。72如果混凝土柱頂與桁架端部的連接構(gòu)造系用預(yù)埋鋼板在吊裝就位后再焊接在一起的，則桁架端部與柱頂不能發(fā)生相對(duì)線位移，但仍能發(fā)生微小的轉(zhuǎn)動(dòng)。這時(shí)，可把柱與桁架的連接看作鉸結(jié)點(diǎn)，在計(jì)算桁架的內(nèi)力時(shí)，可單獨(dú)取出并用鉸支座代替相互連接的作用，其結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖c所示。在分析排架豎柱的內(nèi)力時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，其結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖d所示。73鋼筋混凝土單層工業(yè)廠房a）結(jié)構(gòu)b）平面結(jié)構(gòu)c）屋架結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖d）梁柱結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖74第一節(jié)力的投影第三節(jié)力矩和力偶第二節(jié)平面匯交力系第二章平面力系的平衡75第四節(jié)平面一般力系能熟練計(jì)算力在直角坐標(biāo)軸上的投影，能用平面匯交力系的平衡條件求約束反力，能熟練計(jì)算力矩，能理解力偶的性質(zhì)并運(yùn)用到實(shí)際計(jì)算中，能用平面一般力系平衡方程計(jì)算約束反力。學(xué)習(xí)目標(biāo)7677在工程實(shí)際中，平面力系極為常見，根據(jù)力系中各力作用線分布情況的不同，可將力系分為平面力系和空間力系兩大類。力系中各力作用線均位于同一平面內(nèi)時(shí)，該力系稱為平面力系。平面力系又可分為平面匯交力系、平面平行力系和平面一般力系。本章主要討論平面力系的平衡問(wèn)題。力的投影第一節(jié)7879一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影如圖所示，設(shè)力F作用在物體上的A點(diǎn)，其大小和方向均已知，F(xiàn)的大小用線段AB表示。在F作用平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系xOy。分別從A點(diǎn)和B點(diǎn)向x軸作垂線，得到垂足a點(diǎn)和b點(diǎn)，并在x軸上取得線段ab。線段ab加上正號(hào)或負(fù)號(hào)稱為力F在x軸上的投影，用Fx來(lái)表示。同理，分別從A點(diǎn)和B點(diǎn)向y軸作垂線，得到垂足a′和b′，并在y軸上取得線段a′b′。線段a′b′加上正號(hào)或負(fù)號(hào)稱為力F在y軸上的投影，用Fy來(lái)表示。80力在坐標(biāo)軸上的投影81投影的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：從投影的起點(diǎn)a到終點(diǎn)b的指向與坐標(biāo)軸x軸的正向一致時(shí)，該力在x軸上的投影取正號(hào)；從投影的起點(diǎn)a到終點(diǎn)b的指向與坐標(biāo)軸x軸的正向相反時(shí)，該力在x軸上的投影取負(fù)號(hào)。在y軸上的投影正負(fù)規(guī)定與在x軸上的投影正負(fù)規(guī)定一致。上圖中，力F在x軸的投影為正，在y軸上的投影為負(fù)。一般情況下，若已知力F與x軸所夾的銳角為α，則該力在x、y軸上的投影可用式計(jì)算：82需要注意的是：（1）當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該軸上的投影為零。（2）當(dāng)力與坐標(biāo)軸平行時(shí)，其投影大小的絕對(duì)值等于該力的大小，正負(fù)由力的指向來(lái)定。（3）當(dāng)力平行移動(dòng)后，在坐標(biāo)軸上的投影不變。若將力F沿x、y軸分解，可得分力Fx、Fy，如上圖所示。應(yīng)當(dāng)注意，投影和分力是兩個(gè)不同的概念，投影是代數(shù)量，分力是矢量。只有在直角坐標(biāo)系中，分力

Fx與Fy的大小才分別與投影Fx、Fy的絕對(duì)值相等。83二、合力投影定理合力投影定理建立了合力投影與分力投影之間的關(guān)系。如圖a所示，設(shè)有一平面匯交力系，F(xiàn)1、F2、F3作用在物體的O點(diǎn)，其合力為R。將各力都投影在x軸上，并且令F1x、F2x、F3x和Rx分別表示各分力F1、F2、F3和合力R在x軸上的投影，由圖b可見：F1x=ab，F(xiàn)2x=bc，F(xiàn)3x=-cd，Rx=ad而

ad=ab+bc-cd因此可得：

Rx=F1x+F2x+F3x84這一關(guān)系可推廣到任意一個(gè)匯交力系的情形，即：由此可見，合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。合力投影與分力投影間的關(guān)系a）平面匯交力系b）合力與分力的關(guān)系平面匯交力系第二節(jié)8586當(dāng)平面力系中的各力作用線均匯交于一點(diǎn)時(shí)，該力系即為平面匯交力系。本節(jié)將討論平面匯交力系的合成及平衡分析。一、平面匯交力系合成的解析法如圖a所示平面匯交力系，選直角坐標(biāo)系，先求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，再根據(jù)合力投影定理求得合力R在x、y軸上的投影Rx、Ry，合力R的大小和方向由下式確定：87式中，α為合力R與x軸所夾的銳角，R在哪個(gè)象限由∑Fx和∑Fy的正負(fù)號(hào)來(lái)確定，具體如圖b所示。合力的作用線通過(guò)力系的匯交點(diǎn)O。平面匯交力系合成a）平面匯交力系b）合力作用線確定88二、平面匯交力系平衡的解析條件對(duì)于平面匯交力系，若力系平衡，則該力系的合力為零；反之，若平面匯交力系的合力為零，則該力系就是平衡力系，即平面匯交力系平衡的充分必要條件是該力系的合力為零。根據(jù)平面匯交力系合成的解析法，合力的解析表達(dá)式為：89當(dāng)平面匯交力系平衡時(shí)，該合力R應(yīng)為零。此時(shí)，合力R在x軸和y軸上的投影Rx和Ry也全為零，可用下式表示：上式稱為平面匯交力系的平衡方程。平面匯交力系平衡的解析條件是力系中的各分力在兩個(gè)互相垂直的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和都等于零。應(yīng)用這兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解平面匯交力系的兩個(gè)未知量。力矩和力偶第三節(jié)9091一、力矩力對(duì)物體的作用除了能使物體產(chǎn)生移動(dòng)之外，還能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，用扳手?jǐn)Q螺釘時(shí)，在A點(diǎn)作用力F，扳手便會(huì)繞著O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，用力越大，轉(zhuǎn)動(dòng)速度就越快；d1為O點(diǎn)到F的垂直距離，若將F移至距離O點(diǎn)d2的位置B點(diǎn)上，其力雖然未變小，但轉(zhuǎn)動(dòng)速度減小了。此外，當(dāng)力的大小和作用線均不變而指向相反方向時(shí)，扳手也將會(huì)向相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。所以，力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的效果，除了與力的大小有關(guān)外，還與轉(zhuǎn)動(dòng)中心至力的作用線的垂直距離有關(guān)。把這一垂直距離稱為力臂，轉(zhuǎn)動(dòng)中心稱為力矩中心。92力臂力矩93求解力的力臂大小步驟如下：第一步，找出力矩中心。第二步，延長(zhǎng)力的作用線。第三步，從力矩中心向力的作用線作垂線，垂線長(zhǎng)度為力臂大小。在平面一般力系中，力矩的定義為：力矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小與力臂的乘積，并且規(guī)定力使物體繞力矩中心逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為負(fù)。94力F對(duì)O點(diǎn)的力矩用MO（F）表示，計(jì)算公式為：

MO（F）=±Fd

式中，d為力臂。在國(guó)際單位制中，力矩的單位是N·m（?！っ祝┗騥N·m（千牛·米）。由力矩的定義可知，力矩具有如下性質(zhì)：1.當(dāng)力的大小等于零，或者力的作用線通過(guò)矩心（力臂等于零）時(shí)力矩等于零。2.當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，不會(huì)改變力對(duì)某點(diǎn)的力矩。這是因?yàn)榱Φ拇笮?、方向及力臂的大小均未改變?5二、合力矩定理平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)O的力矩等于各分力對(duì)于該點(diǎn)的力矩的代數(shù)和，這個(gè)定理稱為合力矩定理，即：MO（R）=∑MO（Fi）式中，R為合力，F(xiàn)i

為平面匯交力系合力R的分力。這個(gè)定理同樣適用于有合力的其他平面力系。96三、力偶在生產(chǎn)實(shí)踐和日常生活中，經(jīng)常見到司機(jī)操縱方向盤、木工鉆孔以及人們用兩個(gè)手指開關(guān)自來(lái)水龍頭或擰鋼筆套等動(dòng)作，這些動(dòng)作分別在方向盤、木頭、自來(lái)水龍頭、鋼筆套等物體上作用了大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力。力偶的作用97這種兩個(gè)等值、反向的平行力不能合成為一個(gè)力，也不能平衡，這樣的兩個(gè)力只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)而不能使物體產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)。所以在力學(xué)中，這種大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力組成的力系稱為力偶，用符號(hào)（F，F(xiàn)′）表示。力偶的兩個(gè)力作用線間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶的兩個(gè)力所構(gòu)成的平面稱為力偶作用面，如圖所示。力偶（F，F(xiàn)′）98根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)不僅與力偶的大小有關(guān)，還與其作用方向以及力偶臂的大小有關(guān)。與力矩相同，在力偶和力偶臂的乘積前冠以正、負(fù)號(hào)作為力偶對(duì)物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，稱為力偶矩，用M（F，F(xiàn)′）或M表示，即：

M（F，F(xiàn)′）=M=±Fd

式中的正、負(fù)號(hào)規(guī)定同力矩規(guī)定，即使物體逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正；使物體順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為負(fù)。力偶矩的單位也與力矩相同，為N·m（?！っ祝┗騥N·m（千?！っ祝?。99四、力偶的性質(zhì)1.?力偶在任一軸上的投影等于零設(shè)在一物體上作用一力偶（F，F(xiàn)′），并且該兩力與x軸的夾角為α，如圖所示。由圖可得∑Fx=Fcosα-F′cosα=0。這說(shuō)明力偶在任一軸上的投影等于零。由于力偶在軸上的投影為零，所以力偶對(duì)物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，不會(huì)產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)。一個(gè)力在一般情況下，對(duì)物體可產(chǎn)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種效應(yīng)。力偶的投影1002.?力偶沒(méi)有合力，不能用一個(gè)力來(lái)代替力偶和力對(duì)物體的作用效應(yīng)不同，說(shuō)明力偶不能用一個(gè)力來(lái)代替，即力偶不能簡(jiǎn)化為一個(gè)力，因而力偶也不能與一個(gè)力平衡，力偶只能與力偶平衡。3.?力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩都等于力偶矩，與矩心位置無(wú)關(guān)力偶的作用是使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，所以力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可以用力偶的兩個(gè)力對(duì)其作用面某一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和來(lái)度量。力偶對(duì)點(diǎn)的力矩計(jì)算1014.?力偶的等效性同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶等效，稱為力偶的等效性（證明從略）。從以上性質(zhì)還可得出兩個(gè)推論：（1）力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不會(huì)改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。例如，作用在方向盤上的兩個(gè)力偶只要它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，即使作用位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)也是相同的。（2）在保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。102由以上分析可知，力偶對(duì)于物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)完全取決于力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向及力偶作用面，即力偶的三要素。因此，在力學(xué)計(jì)算中，有時(shí)也用一個(gè)帶箭頭的弧線表示力偶，如圖所示，其中箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，M表示力偶矩的大小。力偶的表示平面一般力系第四節(jié)103104平面一般力系是指各力的作用線位于同一平面內(nèi)但不全匯交于一點(diǎn)，也不全平行的力系。平面一般力系是工程上最常見的力系，很多實(shí)際問(wèn)題都可簡(jiǎn)化成平面一般力系問(wèn)題來(lái)處理。三角形屋架a）三角形屋架b）三角形屋架的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖105在工程中，有些結(jié)構(gòu)構(gòu)件所受的力本來(lái)不是平面力系，但這些結(jié)構(gòu)（包括支撐和荷載）都對(duì)稱于某一個(gè)平面。這時(shí)，作用在構(gòu)件上的力系就可以簡(jiǎn)化為在這個(gè)對(duì)稱面內(nèi)的平面力系。如圖a所示的擋土墻，它的縱向較長(zhǎng)，橫截面相同，且長(zhǎng)度相等的各段受力情況也相同，對(duì)其進(jìn)行受力分析時(shí)，往往取1m的堤段來(lái)考慮，它所受到的重力、土壓力和地基反力也可簡(jiǎn)化到1m長(zhǎng)壩身的對(duì)稱面上，從而組成平面力系，如圖b所示。106擋土墻a）擋土墻b）擋土墻的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖107一、力的平移定理如圖a所示，在剛體A點(diǎn)上作用一力F，現(xiàn)將該力平移到剛體平面上的任意一點(diǎn)O。先在O點(diǎn)添加一對(duì)平衡力F′和F″，且使這對(duì)平衡力的大小等于F，作用線平行于F作用線，如圖b所示。根據(jù)平衡力系的性質(zhì)，添加平衡力系不會(huì)影響原力系的作用效應(yīng)，因此圖b和圖a等效。因?yàn)镕和F″大小相等、方向相反、作用線平行，所以F和F″便形成了一對(duì)力偶（F，F(xiàn)′），該力偶稱為附加力偶。108只要知道O點(diǎn)到F作用線的距離d，就能求出該力偶矩的大?。?M（F，F(xiàn)′）=Fd=MO（F）由上式可知，附加力偶矩的大小及方向與F對(duì)O點(diǎn)的力矩相同。這樣，原作用于A點(diǎn)的力F就與作用于O點(diǎn)的力F′加上F對(duì)O點(diǎn)產(chǎn)生的力矩等效，如圖c所示。由此可得力的平移定理：當(dāng)作用在剛體上某點(diǎn)的力平行移動(dòng)到該剛體上的任意一點(diǎn)O而不改變其作用效果時(shí)，必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)O的力矩。109力的平移定理a）力F作用在A點(diǎn)b）在O點(diǎn)添加一對(duì)平衡力F′和F″c）力平移到O點(diǎn)110力的平移定理是一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的理論依據(jù)，也是分析力對(duì)物體作用效應(yīng)的一個(gè)重要方法。如圖a所示的廠房柱受到吊車梁傳來(lái)的荷載F的作用，為分析F的作用效應(yīng)，可將力F平移到柱軸線的O點(diǎn)上，根據(jù)力的平移定理得一個(gè)力F′，同時(shí)還必須附加一個(gè)力偶，如圖b所示。力F經(jīng)平移后，它對(duì)柱的變形效果就可以很明顯地看出，力F′使柱軸向受壓，力偶使柱彎曲。111柱的受力平移a）柱受力圖b）力平移到O點(diǎn)后的受力圖112二、平面一般力系的平衡條件平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化后，一般可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，力稱為主矢量，大小為

。力偶稱為主矩，大小為MO=M1+M2+…+Mn=MO（F1）+MO（F2）+…+MO（Fn）=∑MO（Fi）。作用在剛體上的平面一般力系，當(dāng)其主矢量F′和主矩MO同為零時(shí)，剛體便處于平衡狀態(tài)；反之，當(dāng)剛體處于平衡狀態(tài)時(shí)，作用在其上的平面一般力系的主矢量F′和主矩MO必同時(shí)為零。因此，平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢量F′和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩MO同時(shí)為零，即F′=0，MO（F）=0。由此平衡條件可導(dǎo)出不同形式的平衡方程。1131.?平衡方程的基本形式上式稱為平面一般力系平衡方程的基本形式，又稱一矩式?！艶x和∑Fy

分別是力系中各力在兩個(gè)直角坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和；∑MO（F）為各力對(duì)任意一點(diǎn)O的力矩的代數(shù)和。上式中前兩式為投影平衡方程，第三式為力矩平衡方程，這三個(gè)方程彼此獨(dú)立，用來(lái)求解平面一般力系的平衡問(wèn)題時(shí)，最多只能求解三個(gè)未知量。在運(yùn)用平衡方程解題的過(guò)程中，必須看清問(wèn)題的具體條件，選擇坐標(biāo)系、矩心及平衡方程時(shí)都應(yīng)注意盡量使每個(gè)方程只包含一個(gè)未知量，力求簡(jiǎn)化計(jì)算，達(dá)到事半功倍的效果。1142.?平衡方程的其他形式平面一般力系的平衡方程除了基本形式外，還有其他兩種形式。（1）二矩式（三個(gè)平衡方程中有兩個(gè)力矩平衡方程）式中，A、B兩矩心連線不能與x軸垂直。115（2）三矩式（三個(gè)平衡方程均為力矩平衡方程）式中，A、B、C三矩心不能共線。平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，即式（2-9）～式（2-11），在解題時(shí)可以根據(jù)具體情況選取某一種形式。無(wú)論采用哪種形式，都只能寫出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。任何第四個(gè)方程都不是獨(dú)立的，但可以利用這個(gè)方程來(lái)校核計(jì)算的結(jié)果。116※三、物體系統(tǒng)的平衡在實(shí)際工程中，經(jīng)常遇到由幾個(gè)物體通過(guò)一定的約束聯(lián)系在一起組成的物體系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱物系）。當(dāng)整個(gè)物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每一個(gè)物體也必定平衡。物體系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間約束產(chǎn)生的相互作用的約束反力稱為系統(tǒng)的內(nèi)力，畫受力圖時(shí)不要畫出來(lái)，而物體系統(tǒng)以外的物體對(duì)該物體系統(tǒng)的約束產(chǎn)生的約束反力稱為外力，畫受力圖時(shí)必須畫出來(lái)。117三鉸拱a）三鉸拱b）三鉸拱整體受力圖c）AC部分受力圖d）CB部分受力圖118求解物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，往往需要通過(guò)幾次選擇，考察幾個(gè)研究對(duì)象，才能求解出全部未知量。選取研究對(duì)象，一般有兩種方法：1.先以整個(gè)物體系統(tǒng)為研究對(duì)象列出平衡方程，求得一部分未知量；然后取物體系統(tǒng)中的某一部分物體或單個(gè)物體為研究對(duì)象，列出另外的平衡方程，求解剩下的未知量，直至求出全部未知量。2.先取某一部分物體或單個(gè)物體為研究對(duì)象，再取其他部分物體或整體為研究對(duì)象，逐步列出平衡方程，求得所有未知量。在選擇研究對(duì)象和列平衡方程時(shí)，應(yīng)使每一個(gè)平衡方程中的未知量個(gè)數(shù)盡量少，最好是一個(gè)方程只含有一個(gè)未知量，以免求解聯(lián)立方程組。119第一節(jié)桿件的變形第三節(jié)壓桿穩(wěn)定第二節(jié)軸向拉（壓）桿第三章構(gòu)件的內(nèi)力、強(qiáng)度和剛度計(jì)算120第四節(jié)梁的彎曲能判斷桿件的四種基本變形，能對(duì)軸向拉（壓）桿進(jìn)行內(nèi)力和強(qiáng)度計(jì)算，了解壓桿穩(wěn)定性的概念，能計(jì)算梁的內(nèi)力并畫出內(nèi)力圖，能對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，了解工程中常用靜定結(jié)構(gòu)組成及內(nèi)力特征。學(xué)習(xí)目標(biāo)121122實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，許多受力構(gòu)件如橋梁、房屋的梁和柱等，其長(zhǎng)度方向的尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸，這一類構(gòu)件通常稱為桿件，軸線是直線的桿件稱為直桿。桿件在受力以后都將產(chǎn)生一定的變形。在土木工程中，常見桿件的變形分為軸向拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲四種基本形式。本章主要研究軸向拉伸與壓縮變形及彎曲變形。桿件的變形第一節(jié)123124桿件在不同受力情況下，會(huì)產(chǎn)生不同的變形，分為基本變形和組合變形。一、桿件的四種基本變形1.?軸向拉伸與壓縮當(dāng)桿件受到大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合的一對(duì)外力作用時(shí)，桿件將沿軸線方向產(chǎn)生伸長(zhǎng)或縮短變形，這種變形稱為軸向拉伸與壓縮，如圖所示。桿件軸向拉伸與壓縮變形1252.?剪切當(dāng)桿件受到大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線垂直且相距很近的一對(duì)外力作用時(shí)，桿件橫截面將沿外力方向產(chǎn)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)變形，這種變形稱為剪切，如圖所示。工程中常見的受拉鋼板螺栓連接中的螺桿和焊接中的焊縫都是剪切變形的實(shí)例。桿件剪切變形1263.?扭轉(zhuǎn)當(dāng)桿件受到大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面與桿件軸線垂直的一對(duì)力偶作用時(shí)，桿件橫截面將繞軸線產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)變形，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)，如圖所示。桿件扭轉(zhuǎn)變形127工程中常見的攪拌器主軸是扭轉(zhuǎn)變形的實(shí)例，如圖所示。攪拌器主軸a）攪拌器主軸受力圖b）攪拌器主軸的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖1284.?彎曲當(dāng)桿件受到與桿件軸線垂直的外力作用時(shí)，則桿件軸線由直線變?yōu)榍€，這種變形稱為彎曲，如圖所示。工程中常見的陽(yáng)臺(tái)挑梁的變形是彎曲變形的實(shí)例，如圖所示。桿件彎曲變形陽(yáng)臺(tái)挑梁129二、組合變形土木工程中許多構(gòu)件在多種荷載作用下同時(shí)產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，稱為組合變形。如圖所示，工業(yè)廠房中帶牛腿的邊柱，柱的牛腿以下部分，在柱的自重、屋架和吊車梁傳來(lái)的荷載共同作用下，同時(shí)產(chǎn)生軸向壓縮變形和彎曲變形，這種變形稱為偏心壓縮。工業(yè)廠房中帶牛腿的邊柱軸向拉（壓）桿第二節(jié)130131土木工程中的構(gòu)件都是由固體材料制成的，如鋼材、木材、混凝土等。這些材料在外力作用下其幾何形狀會(huì)發(fā)生改變，稱為變形。當(dāng)構(gòu)件長(zhǎng)度方向的尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向的尺寸時(shí)，這種構(gòu)件稱為桿件。桿件的形狀和尺寸可由橫截面和軸線兩個(gè)幾何元素來(lái)描述。外力沿桿件軸線方向作用的直桿稱為軸向受力桿。軸向受力桿根據(jù)受力方向及對(duì)桿件變形的影響不同可分為軸向拉伸桿和軸向壓縮桿。例如，屋架中的桁桿、雨棚的拉桿、懸索、軸向受力的柱及柱間支撐等，如圖所示。132軸向受力桿a）屋架中的桁桿b）雨棚的拉桿c）懸索d）軸向受力的柱e）柱間支撐133常見的軸向受力桿大多是等截面直桿（也可以是變截面直桿）。若在桿件兩端作用有一對(duì)離開端截面的力，則桿件處于軸向受拉狀態(tài)，它將引起桿件伸長(zhǎng)，同時(shí)截面尺寸變小，如圖a所示；若在桿件兩端作用有一對(duì)指向端截面的力，則桿件處于軸向受壓狀態(tài)，它將引起桿件縮短，同時(shí)截面尺寸增大，如圖b所示。軸向拉伸桿和壓縮桿的變形a）拉伸桿b）壓縮桿134軸向拉伸桿與壓縮桿的受力特點(diǎn)是：沿桿件軸線作用有一對(duì)大小相等、方向相反的外力（或其合力）；變形特點(diǎn)是：桿件沿軸線方向伸長(zhǎng)或縮短。軸向拉伸桿與壓縮桿簡(jiǎn)稱為軸向拉（壓）桿，鏈桿都是軸向拉（壓）桿。135一、軸向拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力1.?內(nèi)力的概念桿件受到外力作用后桿件內(nèi)部相鄰各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置就要發(fā)生變化，這種相對(duì)位置的變化會(huì)導(dǎo)致整個(gè)桿件產(chǎn)生變形。將這種由于外力作用而使桿件相鄰兩部分之間相互作用力產(chǎn)生的改變量稱為附加內(nèi)力，簡(jiǎn)稱內(nèi)力。內(nèi)力的大小與外力密切相關(guān)，隨著外力的產(chǎn)生而產(chǎn)生，隨著外力的消失而消失。136例如，用雙手拉一根橡膠繩，首先會(huì)感覺(jué)到橡膠繩也在拉手。這是因?yàn)橛檬掷鹉z繩時(shí)，對(duì)橡膠繩施加了一對(duì)大小相等、方向相反的拉力，而這一對(duì)拉力對(duì)橡膠繩而言是作用在它上面的外力，這種外力的作用使橡膠繩任意相鄰的兩部分之間會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力，即橡膠繩拉手的力；其次，還會(huì)感覺(jué)到當(dāng)手拉橡膠繩力越大時(shí)，橡膠繩拉手的力也越大，且橡膠繩伸長(zhǎng)越多。但是內(nèi)力的增大不是無(wú)限制的，當(dāng)內(nèi)力增大到某一限值時(shí)，構(gòu)件將被拉斷或壓壞。為了保證構(gòu)件不被破壞，必須先計(jì)算出桿件的內(nèi)力。1372.?求內(nèi)力的基本方法——截面法計(jì)算桿件某一截面m-m上的內(nèi)力時(shí)，可用一個(gè)“假想截面”，在該截面處將桿件切斷分為兩部分，取其中任一部分為研究對(duì)象，由于這部分也是處于平衡狀態(tài)的，所以在被切斷的截面上必須有力來(lái)代替另一部分對(duì)它的作用；根據(jù)這部分平衡條件求出桿件在該截面處的內(nèi)力。這種計(jì)算內(nèi)力的方法稱為截面法，截面法是計(jì)算桿件內(nèi)力的基本方法。138下面以軸向拉伸桿件為例介紹截面法求內(nèi)力的基本方法和步驟。如圖所示，桿件受到一對(duì)軸向拉力作用，計(jì)算桿件某一截面m-m上內(nèi)力的步驟如下。（1）截開用一個(gè)“假想截面”，在該截面處將桿件切斷為兩部分。（2）代替取切開后的任一部分為研究對(duì)象，要使這部分與原來(lái)一樣處于平衡狀態(tài)，就必須在被切斷的截面上用內(nèi)力代替另一部分對(duì)它的作用。139（3）平衡由于整體桿件原本處于平衡狀態(tài)，所以被切斷后的任一部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)，然后根據(jù)平衡條件建立方程，計(jì)算出該截面上的內(nèi)力。由∑Fx=0得FN=F，方向向右。若取右部分為研究對(duì)象，由平衡條件可得軸力大小FN′=F，方向向左?？梢奆N與FN′構(gòu)成作用力與反作用力的關(guān)系。140用截面法計(jì)算桿的內(nèi)力a）結(jié)構(gòu)b）m-m截面左邊桿的受力圖c）m-m截面右邊桿的受力圖141二、軸向拉（壓）桿的軸力1.?軸力的概念由上圖可知，軸向拉（壓）桿的內(nèi)力作用線與桿件軸線重合。把與桿件軸線重合的內(nèi)力稱為軸力。軸力的正負(fù)號(hào)是根據(jù)桿件的變形情況規(guī)定的：當(dāng)桿件受拉而伸長(zhǎng)時(shí)，軸力背離截面為拉力，取正號(hào)；反之為壓力，取負(fù)號(hào)。這樣對(duì)于圖中的桿件，無(wú)論取左或取右部分，所得的軸力結(jié)果相同（數(shù)值相等，正負(fù)號(hào)相同）。軸力的常用單位是N（牛頓）或kN（千牛）。1422.?計(jì)算軸力的方法由截面法可總結(jié)出計(jì)算軸力的方法：軸向拉（壓）桿任一橫截面上的軸力，等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有軸向外力的代數(shù)和。并規(guī)定軸向外力的正負(fù)號(hào)：外力遠(yuǎn)離該截面取正號(hào)，指向該截面取負(fù)號(hào)，簡(jiǎn)記為離正指負(fù)，即：FN=∑F

背離-∑F

指向若計(jì)算結(jié)果為正說(shuō)明軸力是拉力，反之是壓力。1433.?軸力圖的繪制描述各橫截面軸力沿桿長(zhǎng)方向變化的圖形稱為軸力圖。軸力圖是用平行于桿件軸線的坐標(biāo)表示桿件橫截面的位置，用垂直于桿件軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的大小，按一定的比例繪制出表示軸力與截面位置關(guān)系的圖形。軸力為正時(shí)畫在橫坐標(biāo)的上方；反之，畫在橫坐標(biāo)的下方。144三、軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力1.?應(yīng)力的概念取兩根粗細(xì)不同但材質(zhì)相同的桿件，用同樣大小的力去拉它們，即受到同樣大小的軸力，當(dāng)拉力逐漸增大時(shí)，很明顯，細(xì)桿更容易斷裂，因?yàn)槠浣孛嫔蟽?nèi)力分布的密集程度較粗桿更大。解決這方面的問(wèn)題，不僅需要知道構(gòu)件可能沿哪個(gè)截面破壞，而且還要知道截面上的哪一點(diǎn)最危險(xiǎn)。因此，常以單位面積上的內(nèi)力集度來(lái)衡量構(gòu)件受力的強(qiáng)弱程度，并把單位面積上的內(nèi)力集度稱為應(yīng)力。145在國(guó)際單位制中，應(yīng)力的單位是帕（Pa）或兆帕（MPa）。1Pa=1N/m21MPa=1N/mm2=106Pa1462.?軸向拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律取一根橡膠材質(zhì)的等直桿（其他材質(zhì)也可），在其側(cè)表面均勻畫上幾條與軸線平行的縱線以及與軸線垂直的橫線，如圖a所示。在桿件兩端施加一對(duì)軸向拉力F和F′，拉伸后發(fā)現(xiàn)所有縱線的伸長(zhǎng)都相等，仍保持為直線；所有橫線仍保持為直線，并與縱線垂直，只是橫線間距統(tǒng)一增大、縱線間距略有減小。根據(jù)此現(xiàn)象，把桿件設(shè)想為由無(wú)數(shù)縱向纖維組成，根據(jù)各纖維的伸長(zhǎng)量都相同，可知它們所受的力也相等。147直桿軸向拉伸a）在直桿側(cè)表面畫上縱、橫線b）在直桿兩端沿軸線方向加外力c）橫截面上正應(yīng)力的分布148根據(jù)這種變形特征，可得出以下假設(shè)：直桿在軸向拉（壓）時(shí)橫截面仍保持為平面且與桿件的軸線垂直，此假設(shè)稱為平面假設(shè)。根據(jù)這個(gè)平面假設(shè)可知，纖維上的內(nèi)力是相等的，桿件軸向拉（壓）時(shí)橫截面上的內(nèi)力分布是均勻的，或者說(shuō)應(yīng)力在橫截面上是均勻分布的。由于內(nèi)力垂直于桿件的橫截面，故應(yīng)力也垂直于桿件的橫截面。把垂直于桿件橫截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，用符號(hào)σ表示。149若所求應(yīng)力橫截面的面積為A，橫截面上的軸力為FN，通過(guò)上述試驗(yàn)分析，則該橫截面上的應(yīng)力計(jì)算式為：當(dāng)桿件受軸向壓縮時(shí)，情況完全類似，只需將軸力連同負(fù)號(hào)一并代入上式計(jì)算即可。應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。150四、軸向拉（壓）桿的強(qiáng)度計(jì)算1.?許用應(yīng)力與安全系數(shù)在荷載作用下產(chǎn)生的實(shí)際應(yīng)力稱為工作應(yīng)力，用σ表示，按上式計(jì)算的應(yīng)力，它隨著外力的變化而變化。任何一種材料，在外力作用下所能承受的應(yīng)力總有一定的限度，超過(guò)這一限度，桿件就要被破壞。把材料所能承受的應(yīng)力限度稱為材料的極限應(yīng)力，材料的極限應(yīng)力一般由試驗(yàn)確定，用σu表示。151在設(shè)計(jì)構(gòu)件時(shí)，有很多情況難以估計(jì)，同時(shí)，構(gòu)件在使用時(shí)還要留有必要的安全儲(chǔ)備。因此，構(gòu)件的工作應(yīng)力必須小于極限應(yīng)力。土木工程中，常將極限應(yīng)力σu

除以一個(gè)大于1的安全系數(shù)n作為構(gòu)件正常工作時(shí)所允許承受的最大應(yīng)力，稱為許用應(yīng)力，用［σ］表示，即［σ］=

。安全系數(shù)n由國(guó)家的有關(guān)規(guī)定來(lái)確定。1522.?軸向拉（壓）桿的強(qiáng)度條件及強(qiáng)度計(jì)算為確保軸向拉（壓）桿安全可靠地工作，不致因強(qiáng)度不足而破壞，要求桿橫截面上的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力，即：式中，σ——桿件橫截面上的正應(yīng)力；

FN——桿件橫截面上的軸力；

A——桿件橫截面面積；

［σ］——桿件材料的許用應(yīng)力。這就是軸向拉（壓）桿的強(qiáng)度條件。153運(yùn)用上述強(qiáng)度條件時(shí)，工作應(yīng)力應(yīng)取桿內(nèi)最大的工作應(yīng)力。對(duì)于受到幾個(gè)軸向外力作用的等截面直桿，要選擇軸力最大的截面進(jìn)行計(jì)算；在變截面桿中，要對(duì)不同截面計(jì)算應(yīng)力，并選擇應(yīng)力最大的截面進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算?？傊?，要使桿件內(nèi)可能產(chǎn)生的應(yīng)力最大的截面滿足強(qiáng)度條件。最大工作應(yīng)力所在的截面稱為危險(xiǎn)截面。桿件的破壞往往是從危險(xiǎn)截面開始的。利用強(qiáng)度條件可以解決實(shí)際工程中有關(guān)構(gòu)件強(qiáng)度的三類問(wèn)題。154（1）強(qiáng)度校核已知荷載大小、材料的許用應(yīng)力和桿件的截面尺寸，即已知FN、［σ］、A，則可由強(qiáng)度條件判斷桿件是否滿足強(qiáng)度要求。由式（3-1）計(jì)算出工作應(yīng)力σ，若σ≤［σ］，則桿件滿足強(qiáng)度要求，否則說(shuō)明桿件的強(qiáng)度不滿足要求。（2）截面設(shè)計(jì)已知荷載、材料的許用應(yīng)力，即已知FN、［σ］，則可由式（3-2）計(jì)算出最小截面面積后，再根據(jù)實(shí)際情況確定截面形狀和尺寸。155（3）確定許用荷載已知桿件的截面面積和材料許用應(yīng)力，即已知A、［σ］，可由式（3-2）求得構(gòu)件所能承受的最大軸力為：［FN］≤A［σ］再根據(jù)靜力平衡條件確定許用荷載［F］、［q］。156五、軸向拉（壓）桿的變形1.?彈性變形與塑性變形桿件在外力作用下發(fā)生變形，撤除外力后，桿件的變形能完全消失，則稱為彈性變形。用手拉彈簧，當(dāng)拉力在一定范圍之內(nèi)時(shí)，放松彈簧，彈簧可恢復(fù)原來(lái)的形狀，此變形為彈性變形。如當(dāng)外力撤除后不能恢復(fù)到原來(lái)的形狀，留有殘余的變形，此殘留下來(lái)的變形稱為塑性變形。如手拉橡皮筋后放松時(shí)，發(fā)現(xiàn)橡皮筋被拉長(zhǎng)了，這部分拉長(zhǎng)不能恢復(fù)的變形就是塑性變形。157由圖可知，桿件在軸向拉力作用下產(chǎn)生伸長(zhǎng)變形，設(shè)桿件原長(zhǎng)l，變形后長(zhǎng)度為l1，則沿縱向的變形（習(xí)慣上稱為縱向變形）Δl為：Δl=l1-l規(guī)定：伸長(zhǎng)時(shí)取正，壓縮時(shí)取負(fù)，其單位為m或mm。桿件的縱向變形量Δl只能表示桿件的總變形，不能說(shuō)明桿件的變形程度，故用單位長(zhǎng)度的變形量來(lái)描述桿件變形的程度，單位長(zhǎng)度的變形稱為線應(yīng)變，用ε表示為：規(guī)定：拉伸時(shí)ε為正，反之為負(fù)，線應(yīng)變無(wú)量綱。1582.?胡克定律試驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，桿件的縱向變形與桿件所受的軸力及桿件長(zhǎng)度成正比，與桿件的橫截面面積成反比，這就是胡克定律。其表達(dá)式為：若將

代入式（3-3）可得：

σ=Eε

159式（3-4）是胡克定律的另一種表達(dá)形式。它表明，在彈性受力范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。式（3-3）與式（3-4）中，E稱為材料的彈性模量，與材料的性質(zhì)有關(guān)，由試驗(yàn)測(cè)定，它反映了某種材料抵抗變形的能力，在國(guó)際單位制中常用單位為GPa。160※3.?泊松比桿件在受力過(guò)程中，其應(yīng)力不超過(guò)某一極限值（或其變形不超過(guò)彈性范圍）時(shí)，其橫向線應(yīng)變?chǔ)拧渑c縱向線應(yīng)變?chǔ)胖g存在一定的比例關(guān)系，即：ε′=-με

式中，比例系數(shù)μ稱為橫向變形系數(shù)或泊松比、泊松系數(shù)，其值因材料而異，由試驗(yàn)確定。161彈性模量E和泊松比μ都是材料的彈性常數(shù)，其中泊松比μ是無(wú)量綱的量。幾種常用工程材料的彈性模量和泊松比見表。幾種常用工程材料的彈性模量和泊松比壓桿穩(wěn)定第三節(jié)162163一、壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定問(wèn)題在工程中很常見。所謂壓桿穩(wěn)定，就是指受壓桿件保持其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。為了說(shuō)明壓桿的失穩(wěn)現(xiàn)象，可以做一個(gè)簡(jiǎn)單的試驗(yàn)。如圖所示，取兩根橫截面面積相同而長(zhǎng)度不同的直木條，橫截面面積A=5×30=150（mm2），兩根木條的長(zhǎng)度分別為20mm和1000mm。材料的壓縮強(qiáng)度極限σ=40MPa，沿木條的軸向施加壓力F。164壓桿的失穩(wěn)現(xiàn)象165由試驗(yàn)可知，長(zhǎng)度為20mm的短木條，將其壓壞所需壓力F=σA=40×150=6000N，如圖a所示，且在破壞前基本保持直線形狀；但長(zhǎng)度為1000mm的長(zhǎng)木條在作用壓力F=30.8N時(shí)就產(chǎn)生了明顯的彎曲，如圖b所示，若再增大壓力，則桿件的彎曲變形會(huì)突然加大而發(fā)生折斷，如圖c所示。上述試驗(yàn)表明，受壓細(xì)長(zhǎng)直桿較之相同截面的短桿更容易被破壞，這種破壞也稱為喪失工作能力，其原因不是強(qiáng)度不夠，而是其軸線不能維持原有直線形狀的平衡所致。這種在一定軸向壓力作用下，細(xì)長(zhǎng)直桿突然喪失其原有直線平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為壓桿喪失穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)。同時(shí)可知，越是細(xì)長(zhǎng)的壓桿越容易失穩(wěn)。166二、壓桿平衡狀態(tài)的三種情況1.如圖a所示，一等截面中心受壓直桿，當(dāng)壓力F不太大時(shí)（小于某種界限值Fcr），對(duì)壓桿施加一橫向干擾力使其產(chǎn)生微彎，撤去橫向干擾力后，壓桿恢復(fù)到原來(lái)的直線狀態(tài)，此時(shí)壓桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的，稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2.如圖b所示，當(dāng)壓力F增大到某一界限值Fcr時(shí)，再對(duì)壓桿施加一個(gè)橫向干擾力使其產(chǎn)生微彎，撤去干擾力后，壓桿維持干擾后的微彎曲狀態(tài)不變，不再回到原來(lái)的直線位置，在新的微彎曲狀態(tài)下維持新的平衡。此時(shí)壓桿是臨界平衡狀態(tài)，從穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡的界限點(diǎn)。此時(shí)的軸向壓力Fcr，稱為臨界力。1673.如圖c所示，當(dāng)壓力F超過(guò)臨界力Fcr時(shí)，壓桿不能回到原來(lái)的直線位置，只能在一定彎曲變形下平衡，甚至折斷，此時(shí)稱壓桿的原有直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定平衡。壓桿平衡狀態(tài)的三種情況a）壓桿穩(wěn)定平衡狀態(tài)b）壓桿臨界平衡狀態(tài)c）壓桿不穩(wěn)定平衡狀態(tài)168※三、壓桿臨界力理論分析和試驗(yàn)證明，壓桿臨界力Fcr的大小不僅與壓桿的長(zhǎng)度、材料、截面面積有關(guān)，還與壓桿端部的約束情況及截面形狀有關(guān)。當(dāng)材料處于彈性階段時(shí)，細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力與其影響因素之間存在如下關(guān)系：式中，E——材料的彈性模量；

I——橫截面慣性矩；

l——壓桿的長(zhǎng)度；

μ——與壓桿兩端支承有關(guān)的長(zhǎng)度系數(shù)。169式（3-6）由學(xué)者歐拉（Euler）于1744年提出，故稱為壓桿臨界力的歐拉公式。式中，EI稱為壓桿的抗彎剛度，μl稱為壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度。μ的大小與壓桿端部的約束有關(guān)，反映了桿件兩端支承對(duì)臨界力的影響。表給出了四種常見桿端支承壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)和計(jì)算長(zhǎng)度。170四種常見桿端支承壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)和計(jì)算長(zhǎng)度171※四、臨界應(yīng)力壓桿在臨界力的作用下，處于從穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài)，假定此時(shí)壓桿暫時(shí)保持直線狀態(tài)，則其橫截面上的平均正壓力稱為臨界應(yīng)力。若用σcr表示臨界應(yīng)力，用A表示壓桿的橫截面面積，則：將式（3-6）代入上式，得：172令i=式中，i——壓桿橫截面的慣性半徑。于是臨界應(yīng)力可寫為：令

，則：173上式為計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式，式中λ稱為壓桿的柔度（或稱長(zhǎng)細(xì)比）。柔度λ是一個(gè)無(wú)量綱的量，其大小與壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)μ、桿長(zhǎng)l及慣性半徑i有關(guān)。因?yàn)閴簵U的長(zhǎng)度系數(shù)μ決定于壓桿的支承情況，慣性半徑i決定于截面的形狀與尺寸，所以，柔度λ綜合地反映了壓桿的長(zhǎng)度、截面的形狀與尺寸以及支承情況對(duì)臨界力的影響。從式（3-7）還可以看出，壓桿的柔度值越大，則其臨界應(yīng)力越小，壓桿就越容易失穩(wěn)。174五、提高壓桿穩(wěn)定性的措施要提高壓桿的穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于提高壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力，而壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力，與壓桿的長(zhǎng)度、橫截面形狀及大小、支承條件以及壓桿所用材料等有關(guān)。因此，可以從以下幾個(gè)方面考慮。1.?合理選擇材料歐拉公式說(shuō)明，壓桿的臨界應(yīng)力與材料的彈性模量成正比。所以選擇彈性模量較高的材料就可以提高壓桿的臨界應(yīng)力，也就提高了其穩(wěn)定性。1752.?選擇合理的截面形狀增大截面的慣性矩可以增大截面的慣性半徑，降低壓桿的柔度，從而可以提高壓桿的穩(wěn)定性。在壓桿的橫截面面積相同的條件下，應(yīng)盡可能使材料遠(yuǎn)離截面形心軸，以取得較大的軸慣性矩，從這個(gè)角度出發(fā)，空心截面要比實(shí)心截面合理，如圖所示。在工程實(shí)際中，若壓桿的截面是用兩根槽鋼組成的，則應(yīng)采用如圖所示的布置方式，可以取得較大的慣性矩或慣性半徑。另外，由于壓桿總是在柔度較大（臨界力較?。┑目v向平面內(nèi)首先失穩(wěn)，所以應(yīng)注意盡可能使壓桿在各個(gè)縱向平面內(nèi)的柔度都相同，以充分發(fā)揮壓桿的穩(wěn)定承載力。176空心截面和實(shí)心截面兩根槽鋼組成的壓桿截面1773.?改善約束條件、減小壓桿長(zhǎng)度根據(jù)歐拉公式可知，壓桿的臨界力與其計(jì)算長(zhǎng)度的平方成反比，而壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度又與其約束條件有關(guān)。因此，改善約束條件，可以減小壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)和計(jì)算長(zhǎng)度，從而增大臨界力。在相同條件下，從上表可知，自由支座最不利，鉸支座次之，固定支座最有利。減小壓桿長(zhǎng)度的另一方法是在壓桿的中間增加支承，把一根變?yōu)閮筛踔翈赘?。此外，在?shí)際工程中，在可能的情況下可從結(jié)構(gòu)方面采取相應(yīng)的措施。178托架梁的彎曲第四節(jié)179180一、彎曲變形和梁的類型1.?彎曲變形桿件受到與桿件軸線垂直的外力作用時(shí)，在這些外力作用下桿件軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲變形，如圖所示。凡是以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。梁181梁是土木工程中應(yīng)用極為廣泛的一種構(gòu)件，它占有特別重要的地位。如圖所示建筑中的樓板梁、圖所示的橋梁、圖所示的吊車梁和圖所示的陽(yáng)臺(tái)挑梁等都屬于梁。樓板梁橋梁182吊車梁陽(yáng)臺(tái)挑梁1832.?梁的類型梁是土木工程中最常見的受彎構(gòu)件之一。軸線是直線的梁稱為直梁。工程中的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，完全根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算很困難，有時(shí)甚至不可能。工程中常將實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，用簡(jiǎn)化的圖形來(lái)替代實(shí)際結(jié)構(gòu)，這種圖形稱為計(jì)算簡(jiǎn)圖。根據(jù)支座的約束情況，工程中常見的靜定簡(jiǎn)單梁有簡(jiǎn)支梁、外伸梁和懸臂梁三種形式。184（1）簡(jiǎn)支梁一端是固定鉸支座，另一端是可動(dòng)鉸支座的梁稱為簡(jiǎn)支梁，如圖a所示。（2）外伸梁外伸梁的支座同簡(jiǎn)支梁，但梁的一端或兩端伸出支座之外，如圖b所示。（3）懸臂梁一端是固定端、另一端是自由端的梁稱為懸臂梁，如圖c所示。185靜定簡(jiǎn)單梁的三種形式a）簡(jiǎn)支梁b）外伸梁c）懸臂梁186二、梁的內(nèi)力在求出梁的支座反力后，為了計(jì)算梁的應(yīng)力，從而對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，需要首先研究梁的內(nèi)力。1.?梁的內(nèi)力——剪力和彎矩研究梁內(nèi)力的方法仍然是截面法。如圖a所示，用“假想截面”將該梁從要求內(nèi)力的位置1-1處切開，使梁分成左、右兩部分，由于梁原來(lái)處于平衡狀態(tài)，所以被切開后的左、右兩段梁也處于平衡狀態(tài)?？扇稳∫欢巫鳛檠芯繉?duì)象。187梁的內(nèi)力a）梁b）1-1截面左側(cè)受力圖

c）1-1截面右側(cè)受力圖1882.?剪力和彎矩的正負(fù)用截面法將梁假想截成兩段后，在截開的截面上，梁的左段和右段的內(nèi)力是作用力與反作用力關(guān)系，如上圖b和上圖c所示，它們總是大小相等、方向相反。但是對(duì)任一截面而言，不論研究左段還是右段，截面上的內(nèi)力的正負(fù)號(hào)應(yīng)該相同。189（1）剪力的正負(fù)號(hào)截面上的剪力FQ使所研究的分離體有順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)規(guī)定為正號(hào)，是正剪力，如圖a所示；反之規(guī)定為負(fù)號(hào)，是負(fù)剪力，如圖b所示。剪力的正負(fù)a）正剪力b）負(fù)剪力190（2）彎矩的正負(fù)號(hào)截面上的彎矩使所研究的分離體產(chǎn)生向下凸變形（下部受拉、上部受壓）時(shí)規(guī)定為正號(hào)，是正彎矩，如圖a所示；產(chǎn)生向上凸變形（上部受拉、下部受壓）時(shí)規(guī)定為負(fù)號(hào)，是負(fù)彎矩，如圖b所示。彎矩的正負(fù)a）正彎矩b）負(fù)彎矩1913.?用截面法計(jì)算梁指定截面的內(nèi)力計(jì)算方法如下：（1）計(jì)算支座力。（2）用“假想截面”將梁沿所要求內(nèi)力處的截面截開。（3）取該截面左段或右段為研究對(duì)象，并畫出受力圖。（4）利用平面一般力系的平衡方程計(jì)算所要求截面處的內(nèi)力。4.?剪力和彎矩計(jì)算的規(guī)律從截面法計(jì)算剪力和彎矩的過(guò)程可知：通過(guò)建立坐標(biāo)投影平衡方程和力矩平衡方程分別計(jì)算剪力和彎矩，過(guò)程煩瑣。在掌握截面法計(jì)算內(nèi)力的基礎(chǔ)上，可直接利用外力計(jì)算內(nèi)力，其計(jì)算規(guī)律如下。192（1）用外力直接求截面上剪力的規(guī)律梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁段上所有外力在平行于橫截面方向投影的代數(shù)和。用公式可表示為：FQ=∑FL或FQ=∑FR剪力的正負(fù)號(hào)：當(dāng)取所求剪力截面左段梁為研究對(duì)象求剪力時(shí)，所有向上的外力取正號(hào)，向下的外力取負(fù)號(hào)。當(dāng)取梁右段為研究對(duì)象求剪力時(shí)，正好相反。即“左上右下剪力為正”。由于力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影都等于零，因此作用在梁上的力偶對(duì)剪力沒(méi)有影響。193（2）用外力直接求截面上彎矩的規(guī)律梁內(nèi)任一截面上的彎矩等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力對(duì)該截面形心取力矩的代數(shù)和。用公式可表示為：M=∑MC（FL）或M=∑MC（FR）根據(jù)對(duì)彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定可知，在左側(cè)梁段上的外力（包括外力偶）對(duì)截面形心的力矩為順時(shí)針時(shí)，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為逆時(shí)針時(shí)在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩。在右側(cè)梁段上的外力（包括外力偶）對(duì)截面形心的力矩為逆時(shí)針時(shí)，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為順時(shí)針時(shí)在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩。即“左順右逆正，反之負(fù)”。194彎矩的正負(fù)號(hào)：當(dāng)取所求彎矩截面左段梁為研究對(duì)象求彎矩時(shí)，所有外力對(duì)該截面形心求力矩時(shí)順時(shí)針?lè)较蛉≌?hào)，逆時(shí)針?lè)较蛉∝?fù)號(hào)。當(dāng)取梁右段為研究對(duì)象求彎矩時(shí)，正好相反。即“左順右逆彎矩為正”。195三、梁的內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖1.?剪力圖和彎矩圖的概念在土木工程中，直觀表明剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，明確剪力和彎矩的最大值及其所在橫截面的位置，有助于施工人員理解圖紙的設(shè)計(jì)意圖，從而采取正確的施工方法。用平行于梁軸的橫坐標(biāo)表示梁橫截面的位置，用垂直于梁軸的縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的剪力或彎矩，按一定比例繪制出來(lái)，這種形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線變化情況的圖形，分別稱為剪力圖和彎矩圖，即梁的內(nèi)力圖。196在繪制梁的內(nèi)力圖時(shí)，正剪力畫在橫坐標(biāo)軸的上方，負(fù)剪力畫在橫坐標(biāo)軸的下方（畫剪力圖時(shí)要求標(biāo)出正負(fù)號(hào)），彎矩圖畫在受拉側(cè)（正彎矩畫在橫坐標(biāo)軸的下方，負(fù)彎矩畫在橫坐標(biāo)軸的上方，由于彎矩圖畫在梁的受拉側(cè)，故彎矩圖的正負(fù)號(hào)不必標(biāo)出）。將彎矩圖畫在梁軸線受拉側(cè)的目的之一，是便于判別鋼筋混凝土梁中受拉鋼筋的配置位置，即鋼筋混凝土梁中受力鋼筋基本上配置在梁的受拉一側(cè)。