矩陣的數(shù)值運(yùn)算

關(guān)于矩陣的數(shù)值運(yùn)算數(shù)值運(yùn)算的功能

創(chuàng)建矩陣矩陣運(yùn)算多項式運(yùn)算線性方程組數(shù)值統(tǒng)計線性插值函數(shù)優(yōu)化微分方程的數(shù)值解第2頁,共67頁，2024年2月25日，星期天一、命令行的基本操作1.創(chuàng)建矩陣的方法

直接輸入法規(guī)則：矩陣元素必須用[]括住；

矩陣元素必須用逗號或空格分隔；

在[]內(nèi)矩陣的行與行之間必須用分號分隔。第3頁,共67頁，2024年2月25日，星期天>>a=3.3；b=4.4；>>c=[1，a，3；4，5，6；b，7，8]c=1.00003.30003.00004.00005.00006.00004.40007.00008.0000例1：第4頁,共67頁，2024年2月25日，星期天>>m=[123;456],n=[111213;141516]m=123456n=111213141516>>c=m+i*nc=1.0000+11.0000i2.0000+12.0000i3.0000+13.0000i4.0000+14.0000i5.0000+15.0000i6.0000+16.0000i例2：第5頁,共67頁，2024年2月25日，星期天其中符號的作用:逗號和分號的作用逗號和分號可作為指令間的分隔符，matlab允許多條語句在同一行出現(xiàn)。分號如果出現(xiàn)在指令后，屏幕上將不顯示結(jié)果。

冒號的作用

用于生成等間隔的向量，默認(rèn)間隔為1。用于選出矩陣指定行、列及元素。循環(huán)語句第6頁,共67頁，2024年2月25日，星期天Note：只要是賦過值的變量，不管是否在屏幕上顯示過，都存儲在工作空間中，以后可隨時顯示或調(diào)用。變量名盡可能不要重復(fù)，否則會覆蓋。當(dāng)一個指令或矩陣太長時，可用???續(xù)行例：第7頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

用matlab函數(shù)創(chuàng)建矩陣空陣[]—matlab允許輸入空陣，當(dāng)一項操作無結(jié)果時，返回空陣。

rand(1,N)——產(chǎn)生[01]上均勻分布的隨機(jī)序列，長度為Nrandn(1,N)——產(chǎn)生均值為0，方差為1的高斯隨機(jī)序列，即白噪聲序列，長度Neye——單位矩陣

zeros——全部元素都為0的矩陣

ones——全部元素都為1的矩陣

此外，還有伴隨矩陣、稀疏矩陣、魔方矩陣、對角矩陣、范德蒙等矩陣的創(chuàng)建，就不一一介紹了。Note：matlab嚴(yán)格區(qū)分大小寫字母，因此a與A是兩個不同的變量。matlab函數(shù)名必須小寫。第8頁,共67頁，2024年2月25日，星期天2.矩陣的修改

直接修改可用鍵找到所要修改的矩陣，用鍵移動到要修改的矩陣元素上即可修改。

指令修改可以用A(,)=來修改。第9頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例：<<a=[120;305;789]a=120305789<<a(3,3)=0a=120305780還可以用subs函數(shù)修改，matlab6.0還可用find函數(shù)修改。第10頁,共67頁，2024年2月25日，星期天1.矩陣加、減（＋,－）運(yùn)算二、矩陣運(yùn)算規(guī)則：相加、減的兩矩陣必須有相同的行和列，兩矩陣對應(yīng)元素相加減。

矩陣與標(biāo)量的加減運(yùn)算是標(biāo)量與矩陣的所有元素分別進(jìn)行加減操作。矩陣運(yùn)算包括：矩陣的四則運(yùn)算、特征根、奇異解的求解等。第11頁,共67頁，2024年2月25日，星期天2.矩陣乘（）運(yùn)算規(guī)則：

A矩陣的列數(shù)必須等于B矩陣的行數(shù)

標(biāo)量可與任何矩陣相乘。例：a=[123;456;780];b=[1;2;3];c=a*bc=143223

第12頁,共67頁，2024年2月25日，星期天3.

在matlab中有兩種矩陣除運(yùn)算，矩陣左除和矩陣右除，\和/。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運(yùn)算可以實現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*inv(A)。

例：

d=[-1;0;2];f=pi*df=-3.141606.2832第13頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例：利用矩陣除法求解線性方程：>>A=[321;50.72;743];b=[5;2;7];X=A\bX=2.26091.7391-5.2609第14頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

a^p——a自乘p次冪方陣>1的整數(shù)4.矩陣乘方——a^n，a^p，p^aP＝0，結(jié)果為與a相同的矩陣，當(dāng)p<0，只有在a的逆存在時才可定義a^p，其意義為inv（a）^（－p）第15頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

例：

>>

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2ans=303642668196102126150※當(dāng)一個方陣有復(fù)數(shù)特征值或負(fù)實特征值時，非整數(shù)冪是復(fù)數(shù)陣。第16頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例：

>>

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^0.5ans=0.4498+0.7623i0.5526+0.2068i0.6555-0.3487i1.0185+0.0842i1.2515+0.0228i1.4844-0.0385i1.5873-0.5940i1.9503-0.1611i2.3134+0.2717i>>eig(a)

%求矩陣a的特征值ans=16.1168-1.1168-0.0000第17頁,共67頁，2024年2月25日，星期天inv(A)——矩陣求逆det(A)——矩陣A所對應(yīng)的行列式的值eig(A)——矩陣的特征值及特征向量diag(A)——提取A對角元素或生成對角矩陣sqrtm(A)——矩陣A的平方根

logm(A)——矩陣A的自然對數(shù)

expm（A）——A的矩陣指數(shù)函數(shù)

trace(A)——求矩陣的跡

rank（A）——求矩陣的秩5.矩陣的其它運(yùn)算

第18頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

6.矩陣的一些特殊操作矩陣的變維

例：>>a=[1234;5678;9101112]a=123456789101112>>b=reshape(a,4,3)%把指定的矩陣改變形狀，但是元素個數(shù)不變

b=161151049382712第19頁,共67頁，2024年2月25日，星期天矩陣的旋轉(zhuǎn)

例：>>a=[1234;5678;9101112]a=123456789101112>>b=rot90(a)％矩陣逆時針旋轉(zhuǎn)90度b=481237112610159第20頁,共67頁，2024年2月25日，星期天矩陣的對稱交換

例：>>a=[-4-1-2;-30-3;-214]a=-4-1-2-30-3-214>>

flipud(a)％上下對稱交換ans=-214-30-3-4-1-2>>

fliplr(a)％左右對稱交換ans=-2-1-4-30-341-2第21頁,共67頁，2024年2月25日，星期天提取矩陣的上、下三角陣

例：>>a=[-4-1-2;-30-3;-214]a=-4-1-2-30-3-214>>

tril(a)％提取a的下三角陣ans=-400-300-214>>

triu(a)％提取a的上三角陣ans=-4-1-200-3004第22頁,共67頁，2024年2月25日，星期天求矩陣的維數(shù)（size）或向量的長度（length）例：>>a=[14710;25811;36912]a=147102581136912>>k=size(a)k=34>>A=[123486];n=length(A)n=6第23頁,共67頁，2024年2月25日，星期天矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算符

’

可進(jìn)行矩陣的共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算，運(yùn)算符.’可進(jìn)行矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，當(dāng)矩陣元素為實數(shù)時，兩者結(jié)果相同。例、>>A=[123;456]A=123456>>B=A'B=142536第24頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

7.矩陣的關(guān)系運(yùn)算MATLAB提供了6種關(guān)系運(yùn)算符：關(guān)系符號意義<<=>>===~=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于它們的含義不難理解，但要注意其書寫方法與數(shù)學(xué)中的不等式符號不盡相同。第25頁,共67頁，2024年2月25日，星期天關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則為：當(dāng)兩個比較量是標(biāo)量時，直接比較兩數(shù)的大小若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為1，否則為0。當(dāng)參與比較的量是兩個維數(shù)相同的矩陣時，比較是對兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。第26頁,共67頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)參與比較的一個是標(biāo)量，而另一個是矩陣時，則把標(biāo)量與矩陣的每一個元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。第27頁,共67頁，2024年2月25日，星期天>>c=(a<4)c=111000000>>a>bans=000001111>>a=[123;456;789]a=123456789>>b=10-ab=987654321例：第28頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

8.矩陣的邏輯運(yùn)算在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個標(biāo)量a和b，那么，

a&b(與)a,b全為非零時，運(yùn)算結(jié)果為1，否則為0。

a|b（或）a,b中只要有一個非零，運(yùn)算結(jié)果為1。

～a（非）當(dāng)a是零時，運(yùn)算結(jié)果為1；當(dāng)a非零時，運(yùn)算結(jié)果為0。MATLAB提供了3種邏輯運(yùn)算符：&(與)、|(或)和～(非)。邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則為：第29頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

若參與邏輯運(yùn)算的是兩個同維矩陣，那么運(yùn)算將對矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級最低。若參與邏輯運(yùn)算的一個是標(biāo)量，一個是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。第30頁,共67頁，2024年2月25日，星期天>>a=[-301;24-5;-7-89]a=-30124-5-7-89>>x=~a％等價于not(a),元素為0時，結(jié)果為1，否則為0x=010000000例：>>x1=~(a>0)x1=110001110>>x2=a>-2&a<4x2=011100000第31頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

數(shù)組運(yùn)算指元素對元素的算術(shù)運(yùn)算，與通常意義上的由符號表示的線性代數(shù)矩陣運(yùn)算不同。數(shù)組加減(.+,.-)9.

數(shù)組運(yùn)算

數(shù)組乘除(

，./，.\）

ab——a，b兩數(shù)組必須有相同的行和列，兩數(shù)組相應(yīng)元素相乘。對應(yīng)元素相加減（與矩陣加減等效）a.+ba.-b第32頁,共67頁，2024年2月25日，星期天>>a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a.*bans=281841530497290

例：>>a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a*bans=253746558510985133172

數(shù)組相乘矩陣相乘第33頁,共67頁，2024年2月25日，星期天a./b=b.\aa.\b=b./a——給出a,b對應(yīng)元素間的商.a./b=b.\a———都是a的元素被b的對應(yīng)元素除例:

>>a=[123];b=[456];c1=a.\b,c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.0000第34頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

數(shù)組乘方(.^)—元素對元素的冪例：>>a=[123],b=[456],a=123b=456>>a.^2ans=149>>a.^bans=132729第35頁,共67頁，2024年2月25日，星期天三、數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理1、求向量的最大值和最小值格式：

y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。

[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。第36頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例1、求向量x的最大值。>>x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x)

%求向量x中的最大值

[y,l]=max(x)

%求向量x中的最大值及其該元素的位置2、求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)常用有2種調(diào)用格式：max(A)：返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。求矩陣A的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。第37頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例：>>A=[2816;0-230;3614]A=28160-2303614>>max(A)ans=36130>>[y,u]=max(A)y=36130u=332第38頁,共67頁，2024年2月25日，星期天sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素乘積。3、求和與求積數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod，其使用方法類似。設(shè)X是一個向量，A是一個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：第39頁,共67頁，2024年2月25日，星期天sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)

dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：當(dāng)dim為1時，該函數(shù)等同于prod(A)；當(dāng)

dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。第40頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例：>>A=[2816;0-230;3614]A=28160-2303614>>sum(A)ans=56750>>prod(A)ans=0-9761920第41頁,共67頁，2024年2月25日，星期天4、統(tǒng)計分布的數(shù)字特征

mean(X)——返回向量X的算術(shù)平均值

mean(A)——返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的算術(shù)平均值。

std(X)——返回向量X的樣本標(biāo)準(zhǔn)差

std(A)——返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)差。

var(X)——返回向量X的樣本方差

var(A)——返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。

corrcoef(X)——返回從矩陣X形成的一個相關(guān)系數(shù)矩陣。此相關(guān)系數(shù)矩陣的大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個變量，然后求它們的相關(guān)系數(shù)。第42頁,共67頁，2024年2月25日，星期天>>X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)例、

生成滿足正態(tài)分布的10000×5隨機(jī)矩陣，然后求各列元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差，再求這5列隨機(jī)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。M=0.00110.00660.00090.02640.0101D=1.00111.00361.00491.00581.0061R=1.00000.01190.0051-0.0114-0.00110.01191.00000.0093-0.00120.00710.00510.00931.00000.00480.0095-0.0114-0.00120.00481.0000-0.0017-0.00110.00710.0095-0.00171.0000運(yùn)行結(jié)果：第43頁,共67頁，2024年2月25日，星期天5、排序格式：sort(X)函數(shù)返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：[Y,I]=sort(A,dim)其中dim指明對A的列還是行進(jìn)行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。第44頁,共67頁，2024年2月25日，星期天

matlab語言把多項式表達(dá)成一個行向量，該向量中的元素是按多項式降冪排列的。P(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x+a0可用系數(shù)行向量表示：

P=[anan-1……a1a0]四、多項式運(yùn)算

1.多項式的表達(dá)方式Note：多項式中系數(shù)為0的項不能忽略，p中相應(yīng)元素應(yīng)置為0。第45頁,共67頁，2024年2月25日，星期天>>p=[3,5,1,7]或>>p=[3517]>>p1=[3,0,2,4]或>>p1=[3024]2.多項式因式分解——多項式方程求根利用函數(shù)roots（）求多項式方程的根，從而因式分解。例：求多項式的根。在MATLAB中表示為：例：多項式，第46頁,共67頁，2024年2月25日，星期天用MATLAB語言：>>p=[1,-20.5,137,-297.5];>>r=roots(p)r=8.50007.00005.0000多項式因式分解：第47頁,共67頁，2024年2月25日，星期天3.P＝poly(ar)——產(chǎn)生特征多項式系數(shù)向量若ar是方陣，P就是多項式系數(shù)向量；若ar＝[ar1ar2…arn]，ar的元素是多項式P的根,滿足(x-ar1)(x-ar2)…(x-arn)=anxn+an-1xn-1+……+a0。例：展開多項式。>>ar=[207-5];>>p=poly(ar)p=1-225700多項式展開：第48頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例:求3階方陣A的特征多項式。>>A=[111213;141516;171819];>>PA=poly(A)％A的特征多項式PA=1.0000-45.0000-18.00000.0000>>PB=poly2str(PA,‘x’)％以x作為自變量，返回三次多項式

PB=x^3-45x^2-18x+1.8303e-014Note：

poly2str是一個函數(shù)文件。

n階方陣的特征多項式系數(shù)存放為1×(n＋1)的一維數(shù)組。

特征多項式系數(shù)向量的第一個元素必是1。第49頁,共67頁，2024年2月25日，星期天4.

conv多項式乘運(yùn)算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;求：c(x)=a(x)*b(x)>>a=[123];b=[456];>>c=conv(a,b)%計算兩多項式相乘后系數(shù)c=413282718>>p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+18第50頁,共67頁，2024年2月25日，星期天5.

deconv多項式除運(yùn)算例：第51頁,共67頁，2024年2月25日，星期天6.多項式微分matlab提供了polyder函數(shù)求多項式的微分。命令格式：polyder(p):

求p的微分polyder(a,b):

求多項式a,b乘積的微分[p,q]=polyder(a,b):

求多項式a,b商的微分例：第52頁,共67頁，2024年2月25日，星期天五、函數(shù)的極值1.固定區(qū)間單變量函數(shù)的最小值利用fminbnd函數(shù)求固定區(qū)間單變量函數(shù)的最小值。用法：fun：單變量函數(shù)的函數(shù)名，[x1x2]為給定的計算區(qū)間，[x,fval]為最小值點的位置和最小值。第53頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例：求在區(qū)間[0，2]的最小值>>f=inline('x.^3-2*x.^2-5','x');％采用內(nèi)聯(lián)函數(shù)表示測試函數(shù)>>x=0:0.1:2;plot(x,f(x))>>[x,y]=fminbnd(f,0,2)x=1.3333y=-6.1852或：f='x.^3-2*x.^2-5'第54頁,共67頁，2024年2月25日，星期天2.固定區(qū)間多變量函數(shù)的最小值利用fminsearch函數(shù)求固定區(qū)間多變量函數(shù)的最小值。用法：從函數(shù)fun的給定點開始搜索附近的最小值點x，fval為最小值點對應(yīng)的最小值。第55頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例：求在區(qū)間x=0.3,y=0.7附近的最小值點。>>f=inline(‘p(1).^2+p(2).^2+7’,‘p’);％采用內(nèi)聯(lián)函數(shù)表示測試函數(shù)>>[minpoint,minval]=fminsearch(f,[0.3,0.7])minpoint=1.0e-004*-0.1766-0.1636minval=7.0000第56頁,共67頁，2024年2月25日，星期天六、代數(shù)方程求解求非線性方程式的根的步驟：

定義方程式（形式），可用inline函數(shù)定義；代入適當(dāng)范圍的x及其對應(yīng)f(x)值，畫出方程函數(shù)曲線，了解該方程式根的大致位置；由圖中決定f(x)與x軸相交的大致位置x0，通過fzero函數(shù)求出在x0附近的根。第57頁,共67頁，2024年2月25日，星期天例：求方程>>f=inline('2*exp(x).*sin(2*pi*x)-0.5','x')；>>x=0:0.1:2;y=f(x);plot(x,y)>>r=fzero(f,0.5)r=0.4752>>r=fzero(f,1)r=1.0144>>r=fzero(f,1.5)r=1.4910第58頁,共67頁，2024年2月25日，星期天七、數(shù)值積分與微分?jǐn)?shù)值積分基本原理求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間