2021年山東省日照市三校高三高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷5

2021年山東省日照市三校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷(5月份)

一、選擇題(共8小題).

1.設(shè)集合A={x|(x+1)(x-4)<0},B={x|0<x<9},則4nB=()

A.(0,4)B.(4,9)C.(-1,4)D.(-1,9)

2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+3i,則z的實(shí)部與虛部之和為()

A.-1B.1C.-2D.3

3.若a為第二象限角，則()

A.sina-cosa<0B.tana<0

JI

C.sin(-----i-2a)>0D.cos(IT-2a)>0

2

4.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地

震釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系/gEM.據(jù)此推斷2008

年5月12日我國(guó)四川省汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)地震所釋放的能量是2020年9月30日

臺(tái)灣省宜蘭縣海域發(fā)生里氏5.0級(jí)地震所釋放的能量的()倍

A.lgC.450D.10

5.(x-1)(x-2)6的展開式中的R的系數(shù)為()

A.80B.-80C.400D.-400

6.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=/nr+x,則a=/(-2搟)，

b—f(log29),c—f的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>hC.h>c>aD.h>a>c

7.已知產(chǎn)是拋物線CV=2px的焦點(diǎn)，x=-2是拋物線。的準(zhǔn)線，點(diǎn)N(0,力。#0),

連接FN交拋物線C于M點(diǎn)，市誣=3，則△OFN的面積為()

A.6B.3C.2MD.4&

8.在棱長(zhǎng)為、巧+1的正方體A8CD-43C1。中，球。同時(shí)與以B為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相

切，球。2同時(shí)與以。為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn)E,若球O”02的半

徑分別為n，2則()

A.。出=五八

B."+底=6

C.這兩個(gè)球的體積之和的最小值是我兀

D.這兩個(gè)球的表面積之和的最小值是4TT

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得3分）

9.已知根，〃是兩條不重合的直線，a,B是兩個(gè)不重合的平面，則（）

A.若"?_La,nJ,a,則相〃”B.若成〃a,n//a）則

C.若“〃a,則a_L0D.若a_L。，，〃〃a,”〃0,則/

10.我國(guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的唇長(zhǎng)損

益相同（辱是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，懸長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣及

唇長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣唇長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至

的號(hào)長(zhǎng)為一丈三尺五寸，夏至的號(hào)長(zhǎng)為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則

下列說法正確的是（）

A.小寒比大寒的唇長(zhǎng)長(zhǎng)一尺

B.春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的劈長(zhǎng)相同

C.小雪的號(hào)長(zhǎng)為一丈五寸

D.立春的署長(zhǎng)比立秋的唇長(zhǎng)長(zhǎng)

1T

11.若函數(shù)f（x）=Asin（2x+（p）（A>0,0<<p<—）的部分圖像如圖所示，則下列敘述

正確的是（）

JT

A.（0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

B.函數(shù)/（無）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

□

ITJT

C.函數(shù)/（X）在區(qū)間Lg,g］上單調(diào)遞增

OO

TT

D.函數(shù)/（x）的圖像可由y=4sin2r的圖象向左平移令個(gè)單位得到

22

12.已知雙曲線C：^--^—=1（a>0,b>0）,4,4是其左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)”尸2是其左、

右焦點(diǎn)，P是雙曲線上異于A”4的任意一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.IIPQI-|P尸2||=2。

B.直線P4,P4的斜率之積等于定值、

C.使得△PBB為等腰三角形的點(diǎn)尸有且僅有8個(gè)

b2

D.Z\PQ尸2的面積為ZA,PA9

tan---------

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

si，x<0i

13.已知函數(shù)/(x)=<n?6",則/(/3))=____________________.

log3x,x>0

Aq

14.已知點(diǎn)(a,b)在直線x+4y=4上，當(dāng)a>0,匕>0時(shí)，，一4-的最小值為_____.

ab

15.已知定義在R上函數(shù)/(無)=4sin(3x+(p)(3>0)振幅為2,滿足及-制=2,且了

(X2)=f(XI)=?，則在(0,102)±f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為.

16.牛頓選代法又稱牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求

解方程根的一種方法.具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取沏作

為r的初始近似值，過點(diǎn)(xo,/(xo))作曲線y=/(x)的切線設(shè)人與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為xi,并稱加為r的1次近似值；過點(diǎn)(Xi,/(xi))作曲線y=/(x)的切線匕，

設(shè)/2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為及，稱加為r的2次近似值.一般的，過點(diǎn)(后,f(x?))

(MEN)作曲線y=f(x)的切線/n+1,記/?+!與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X?+1,并稱X?+|為r

的n+1次近似值.設(shè)f(x)=3+x-l(x20)的零點(diǎn)為r,取xo=O,則r的2次近似值

3x3+x

為__________________；設(shè)a“=—『旦，HGN*,數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)積為北.若任意

2x；+l

neN*.7；〈入恒成立，則整數(shù)入的最小值為.

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.向量、=(2siar,t)，：=(cosx,cosZr),已知函數(shù)f(x)

(1)求函數(shù)/CO的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

AJT

(2)ZVLBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,Ac,其中。=7,若銳角A滿足/(々-)

26

=/，且sinB+sinC=■^幽，求匕+c的值.

v14

18.青少年身體健康事關(guān)國(guó)家民族的未來，某校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，在課后延時(shí)服務(wù)中增設(shè)

800米跑活動(dòng)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該校800米跑優(yōu)秀率為3%,為試驗(yàn)?zāi)撤N訓(xùn)練方式，校方?jīng)Q定，

從800米跑未達(dá)優(yōu)秀的學(xué)生中選取10人進(jìn)行訓(xùn)練，試驗(yàn)方案為：若這10人中至少有2

人達(dá)到優(yōu)秀，則認(rèn)為該訓(xùn)練方式有效；否則，則認(rèn)為該訓(xùn)練方式無效.

(1)如果訓(xùn)練結(jié)束后有5人800米跑達(dá)到優(yōu)秀，校方欲從參加該次試驗(yàn)的10人中隨機(jī)

選2人了解訓(xùn)練的情況，記抽到800米跑達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望；

(2)如果該訓(xùn)練方式將該校800米跑優(yōu)秀率提高到了50%,求通過試驗(yàn)該訓(xùn)練方式被認(rèn)

定無效的概率p,并根據(jù)p的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.

(參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件)

19.已知數(shù)列｛小｝中，”1=-9,且現(xiàn)工是2與即(〃CN*)的等差中項(xiàng).

2

(1)求數(shù)列｛同｝的前n項(xiàng)和G”；

(2)設(shè)4=042/…如，判斷數(shù)列｛G｝是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？若存在求出，不存在

說明理由.

20.如圖，在多面體ABCDE中，四邊形BCDE是矩形，△ADE為等腰直角三角形，且N

ADE=90°,卷KB=AD=?,BE=2.

(1)求證：平面AZ)E_L平面ABE；

7T

(2)線段CD上存在點(diǎn)P,使得二面角P-AE-D的大小為丁，試確定點(diǎn)P的位置并

4

證明.

21.已知橢圓C：工:義'=1經(jīng)過點(diǎn)尸(&，1)，且離心率為返，O。：r+)，2

a"b"2

=戶的任意一條切線/與橢圓交于A,B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在。0,使得金.而=0,若存在，求△AOB的面積S的范圍；不存在，請(qǐng)

說明理由.

22.已知函數(shù)/(x)=-^-x3+ax/nx-(a+-^-)x.

(1)若a20,討論了(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案

一、選擇題(共8小題).

1.設(shè)集合A=｛x|(x+1)(x-4)<0｝,8=｛x|0VxV9｝,貝ljADB=()

A.(0,4)B.(4,9)C.(-1,4)D.(-1,9)

解：集合4={R(x+1)(x-4)<0}={x|-l<x<4},B={X\0<X<9}9

所以AAB=(0,4).

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)z滿足反=2+3i,則z的實(shí)部與虛部之和為（）

A.-1B.1C.-2D.3

解：?.?復(fù)數(shù)Z滿足iz=2+3i,則z=Z%\=3-2i,故z的實(shí)部與虛部之和3+（-2）=1,

1

故選：B.

3.若a為第二象限角，則（）

A.sina-cosa<0B.tana<0

C.sin(―^■-i-2cx)>0D.cos(n-2a)>0

解：因?yàn)閍為第二象限角，

所以sina>0,cosa<0,tana<0,

故sina-cosa>0,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

tana<0,故選項(xiàng)B正確;

sin(；~+2a)=cos2a=sin2a-cos2a,故其符號(hào)不能確定，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤;

cos（n-2a）=-cos2a,同選項(xiàng)C,符號(hào)不能確定，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：B.

4.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地

震釋放出的能量￡（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系/gEM.據(jù)此推斷2008

年5月12日我國(guó)四川省汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)地震所釋放的能量是2020年9月30日

臺(tái)灣省宜蘭縣海域發(fā)生里氏5.0級(jí)地震所釋放的能量的（）倍

A.1gC.450D.10

解：設(shè)里氏8.0級(jí)和里氏5.0級(jí)地震，所釋放的能量分別為B和艮,

由/gEM,可得/gEiX8.0=16.8,/g&X5.0=12.3,

El

1。=探e-盤艮=4.5,

E2

E2

故選：D.

5.(x-1)a-2)6的展開式中的的系數(shù)為()

A.80B.-80C.400D.-400

解:(X-2)6的展開式的通項(xiàng)為Tr+]=(_2)r?C"6-r,

令6-r=2,得r=4,則.=(-2)4C^c2—240x2,

令6-r=3,得r=3,則丁4="2)吃>上一如。x4

故(x-1)(x-2)6的展開式中的x3的系數(shù)為240+160=400.

故選：C.

6.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lnx+x,則(-2/)，

&=/(log29),c小娓)的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

解：根據(jù)題意，函數(shù),⑴是定義在R匕的偶函數(shù)，則a=於-2-|-)=/號(hào))=/(近)，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lnx+x,其導(dǎo)數(shù)為，(x)=』+1,則/(x)在(0,+8)上為增函

X

數(shù)，

又由0<&<&V3=log28Vlog29,則旄)</(21)</(log29),

故有h>a>c,

故選：D.

7.已知尸是拋物線C：V=2px的焦點(diǎn)，x=-2是拋物線C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N(0,力CW0),

連接尸N交拋物線C于”點(diǎn)，謠+而=3，則△OFN的面積為()

A.6B.3C.2&D.4&

解：；x=-2是拋物線C的準(zhǔn)線，

=_2,即p=4,

則拋物線C：V=8x，焦點(diǎn)F(2,0),

MN+MF=0,M,N,尸三點(diǎn)共線，

仞為NF的中點(diǎn)，

又,：F(2,0),N(0,0,

y).

將點(diǎn)M（l,y）代入拋物線產(chǎn)=8x,

可得IH=4\歷，

所以△OFN的面積為卻/q?|CW]=/x2X4&=4&.

故選：。.

8.在棱長(zhǎng)為J5+1的正方體43。。-4山9|。|中，球。同時(shí)與以B為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相

切，球。2同時(shí)與以。為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn)E,若球。I,。2的半

徑分別為八，相，則（）

A.。8=&八

B.門+底=6

C.這兩個(gè)球的體積之和的最小值是時(shí)兀

D.這兩個(gè)球的表面積之和的最小值是4TT

解：由對(duì)稱性作過正方體對(duì)角面的截面圖如下，

可得a,oi,B,n四點(diǎn)共線，且。3=百口，故4錯(cuò)誤；

02口1=百=2，則（V3+1）n+（北+1）r2=BDi=Mx（揚(yáng)1），

從而n+門=?,故B錯(cuò)誤；

這兩個(gè)球的體積之和為：（rJ+r?^）=言迎（n+f2）（r]2-r[叮+0？），

Vn+n—yf2'（n+，2）（r[2-r[r2+r22）

=?（3T八廢）2y[3TX（Zl^l）2]=平，

33

W-|IT（ri+r2）》標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)『廢=零時(shí)等號(hào)成立，故C正確；

22

這兩個(gè)球的表面積之和S=4TT（r.+r9）（一+癡）2=6m

1"2

當(dāng)且僅當(dāng)八=?=返時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.

2

故選：C.

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分）

9.已知相，”是兩條不重合的直線，a,3是兩個(gè)不重合的平面，則（）

A.若m_La,則〃z〃"B.若，"〃a,〃〃a,5PJm//n

C.若加〃a,貝！］a_L0D.若。_1_0,，”〃a,“〃仇則，"J_"

解：對(duì)于A,若m_La,n±a,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得/“〃"，故A正確；

對(duì)于B,若相〃a,n//a,則機(jī)〃〃或小與”相交或相與"異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若相〃a,則a有直線〃與，〃平行，又加-1_0,則〃_L0,故a_L0,故C正確；

對(duì)于。，若aJ_0,〃?〃a,"〃仇則，"與"的關(guān)系為平行、相交或異面，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.我國(guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的署長(zhǎng)損

益相同（■是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，署長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣及

辱長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣號(hào)長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至

的署長(zhǎng)為一丈三尺五寸，夏至的唇長(zhǎng)為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則

下列說法正確的是（）

A.小寒比大寒的唇長(zhǎng)長(zhǎng)一尺

B.春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的號(hào)長(zhǎng)相同

C.小雪的劈長(zhǎng)為一丈五寸

D.立春的唇長(zhǎng)比立秋的唇長(zhǎng)長(zhǎng)

解：由題意可知，由夏至到冬至的辱長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列其中m=15,.3=135,則d

=10,

同理可得,由冬至到夏至的出長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列｛仇｝,其中bi=135,如=15,則”=-10,

故大寒與小寒相鄰，小寒比大寒的唇長(zhǎng)長(zhǎng)10寸，即一尺，故選項(xiàng)4正確；

因?yàn)榇悍值氖痖L(zhǎng)為加，所以岳="+6"=135-60=75,

因?yàn)榍锓值奶?hào)1長(zhǎng)為aj,所以ai=a\+6d=15+60=75,

故春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的懸長(zhǎng)相同，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)樾⊙┑拇介L(zhǎng)為a”，所以au=ai+10d=15+100=l15,

又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的唇長(zhǎng)為一丈一尺五寸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)榱⒋旱挠揲L(zhǎng)和立秋的號(hào)長(zhǎng)分別為仇，。4,

所以s=m+3d=15+30=45,/?4="+3<f=135-30=105,

所以仇>四，故立春的展長(zhǎng)比立秋的署長(zhǎng)長(zhǎng)，故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

7T

11.若函數(shù)/（x）=Asin（2x+<p）（A>0,0<（p<—）的部分圖像如圖所示，則下列敘述

正確的是()

K

A.(--,0)是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

TT

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

ITJT

C.函數(shù)/(X)在區(qū)間［-g,g］上單調(diào)遞增

OO

JT

D.函數(shù)/(x)的圖像可由y=Asin2r的圖象向左平移五個(gè)單位得到

JT

解：根據(jù)函數(shù)/(x)=Asin(2x+(p)(A>0,0<(p<-2")的部分圖像，

可得A=2,結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得2X&箸年=m...年=三，

126

K

故函數(shù)f(x)=2sin(2x4---).

6

ITTT

令冗=-五，求得/(X)=0,可得(-五，0)是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故

A正確；

TT1T

令工=g,求得/(X)=1,不是最值，可得是函數(shù)/(外圖象的一條對(duì)稱軸，

OO

故B錯(cuò)誤；

在區(qū)間［-?，3］上，2才+烏日-3，器］,函數(shù)/(x)沒有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；

33666

irir

由y=2sin2r的圖象向左平移々■個(gè)單位，可得y=2sin(2x+:>)=/(x)的圖象，故。

126

正確，

故選：AD.

22

12.已知雙曲線C：(?>0,/>>0),Al,A2是其左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)l,乃是其左、

右焦點(diǎn)，尸是雙曲線上異于4,4的任意一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()

A.HPFil-\PF2\\=2a

2

B.直線尸4,尸4的斜率之積等于定值E與

a

C.使得△PQF2為等腰三角形的點(diǎn)尸有且僅有8個(gè)

b2

D.的面積為ZA7PA7

tarr

2

解：由雙曲線定義可知，IIPQI-|PB||=2a,故4正確;

22c2

設(shè)P(x,y),產(chǎn)0,嶺?丹=1，得y52(矢-1)，

aba

2

2b2(Vi)

二y罩y二y_

a武，故8正確;

P牝PA2x+ax_a2

Aa

x2~-a~a

由雙曲線的對(duì)稱性可知，要使△PFiB為等腰三角形，則人用必為腰,

在第一象限雙曲線上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P使得|PB|=2c,|PF2|=2c-2m此時(shí)△尸人死為等

腰三角形；

有且僅有一個(gè)點(diǎn)P'使得IP'B|=2c,|P'F\\=2c+2a,此時(shí)BE為等腰三角形.

同理可得，第二、第三、第四象限每個(gè)象限也有且僅有兩個(gè)點(diǎn)，一共8個(gè)，故C正確；

記I尸/i|=ri,\PF2\=n,不妨設(shè)=在第一象限,1Jn-n=2a,

222?

在△PFiFz中,由余弦定理得：4c=r1+r2-2r1r2-cosZFiP/2,

_=

配方得整理得：4a2+2rjr2(lcoszlFjPF2)4c2>

2b2

ri「21-cosZ^Fi

Srr，sinZFPFb^sinZFjPFs

由任意三角形的面積公式得:APF.F-4-l2l2"

1-cosNF?PF2

S=

可得APF.F2ZFPF,

tan--------

HZA,PAnZFiPFnK,…、n

而ov\1<1￡<—,故uD錯(cuò)供.

222

故選：ABC.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

X

sinC?x<0ii

13.已知函數(shù)/(x)=i6,則/(/(￡))=-A.

log3x,x>0

.冗X

smx40

解：因?yàn)?(x)=<6r

log3x,x>0

則/(/(5))=f(logs—)=/(-1)=sin(-.

3362

故答案為：-

2

14.已知點(diǎn)(a,b)在直線x+4y=4上，當(dāng)〃>0,b>0時(shí)，星閆的最小值為16.

ab

解：由題意得。+4b=4,?>0,b>3

則國(guó)閆=[(芻3)(〃+4b)=[(40+^^e)>y(40+2AP^--)=16,

ab4ab4ab4Vab

當(dāng)且僅當(dāng)16b=9殘且4+46=4,即。=1,人=烏時(shí)取等號(hào)，此時(shí)必造的最小值16.

ab4ab

故答案為：16.

15.已知定義在R上函數(shù)/(x)=Asin(uu+(p)(a)>0)振幅為2,滿足及71=2,且/

(X2)=f(xi)=?,則在(0,102)±f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為16.

解：因?yàn)檎穹鶠?,所以A=2,

因?yàn)閄2-X1=2,且f(12)=f(XI)=?，

要使零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少，周期就要越大，

所以X2,處應(yīng)為兩個(gè)相鄰的在/(K)=?直線上的點(diǎn),

:近

sin(3X1+Q)-

即42的“八/、2兀兀兀

近，^U(o(X2-X1)-

sin(3、2+()-

即3哈周期T=12,

為了使區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)最少，將第1個(gè)零點(diǎn)放在原點(diǎn),

所以102+12=8R2T,

2

最后1個(gè)零點(diǎn)恰好在x=102處，不在區(qū)間(0,102)中，只計(jì)區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù),

所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2X8=16個(gè).

故答案為：16.

16.牛頓選代法又稱牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求

解方程根的一種方法.具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取xo作

為一的初始近似值，過點(diǎn)(出，f(Xo))作曲線y=/(x)的切線設(shè)/|與工軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為笛，并稱汨為廠的1次近似值；過點(diǎn)(笛，/(加))作曲線y=/(x)的切線6,

設(shè)/2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為及，稱垃為一的2次近似值.一般的，過點(diǎn)(%,/(%))

(〃WN)作曲線(x)的切線/〃+i,記/”+1與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x〃+i,并稱用+i為r

的〃+1次近似值.設(shè)/(x)=R+x-1(xNO)的零點(diǎn)為r,取xo=O,則r的2次近似值

33x3+x

為—弓_；設(shè)a“=-巴ka，〃eN*,數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)積為7k若任意〃€N*,T?<X

一4一n23+1

n

恒成立，則整數(shù)人的最小值為2.

23

解：f(x)=3x+l,設(shè)切點(diǎn)為(xn,Xn+-Vn-1)，

則切線斜率k=3x“2+i,

2

所以切線方程為)=(3%n+1)(X-Xn)+xn^+Xn~1,

x3+x-12x3+l

令)'=0,可得X"+l=------/*"=---------,

3x1+l3x?J+l

nn

因?yàn)閤o=O,所以》=1,X2=g，

4

即廠的2次近似值為g,

4

3

2xn+l

因?yàn)槌?1=---T—，

3x『+l

Q3

x3x+Xx

所以以n一=—%n」n=如，

xn+l2x/+l

n

~Xix2xnX11

所以Tn=a\a2--an=---*...=-----=-----,

x2x3xn+lxn+lXn+1

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+x-1(x20)為增函數(shù)，

12

/(—)=-—<0,y(1)=i>o,

28

由零點(diǎn)存在定理可得re(-j-,1),

所以G(1,2),

xn+lr

因?yàn)槿我狻?N*,7；〈入恒成立，

所以人22,即入的最小整數(shù)為2.

故答案為：~2.

4

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.向量:=(2sinx,?),p=(cosx,cos2x),已知函數(shù)/(x)=-n-

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;

⑵△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為m4c,其中。=7,若銳角A滿足八A金二TT）

26

=如,且sin8+sinC=-l"M,求匕+c的值.

v14

解：(1)/(x)2sinxcosx-h/3cos2x，

=sin2x+V3cos2x=2X(-^-sin2x+^-cos2x)j

：.f（x）的最小正周期為：T弋二噬-二兀，

又〈Zk兀2x2k+k€Z，

?<?k兀x《k兀+［:,k€Z‘

jr7JT

：.f（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為［五+k冗，考+k兀］,k€z,

A二）=

(2)/(—2sin[2X

26

即sinA=乂③,

2

a_b_c_7=2R_1W3

?:a=7,由正弦定理可得sinAsinBsinC^3（R為△ABC外接圓

3-

"2"

的半徑)，

...0，.門b+c13^3

?sinD+sinC=-?=~~，

2R14

1W31373

b+c=^-X^^=13

18.青少年身體健康事關(guān)國(guó)家民族的未來，某校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，在課后延時(shí)服務(wù)中增設(shè)

800米跑活動(dòng)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該校800米跑優(yōu)秀率為3%,為試驗(yàn)?zāi)撤N訓(xùn)練方式，校方?jīng)Q定，

從800米跑未達(dá)優(yōu)秀的學(xué)生中選取10人進(jìn)行訓(xùn)練，試驗(yàn)方案為：若這10人中至少有2

人達(dá)到優(yōu)秀，則認(rèn)為該訓(xùn)練方式有效；否則，則認(rèn)為該訓(xùn)練方式無效.

（1）如果訓(xùn)練結(jié)束后有5人800米跑達(dá)到優(yōu)秀，校方欲從參加該次試驗(yàn)的10人中隨機(jī)

選2人了解訓(xùn)練的情況，記抽到800米跑達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望；

（2）如果該訓(xùn)練方式將該校800米跑優(yōu)秀率提高到了50%,求通過試驗(yàn)該訓(xùn)練方式被認(rèn)

定無效的概率P，并根據(jù)"的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.

（參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件）

解：（1）X的可能取值為0,1,2,

喘2

則P(X=0)=W

9

^10

clcj5

P(X=l)一

c29

^10

第2

P(X=2)=長(zhǎng)=多

9

v10

所以X的分布列如下:

X02

P25,2

9?9

則E(X)=0XMix耳2x2=1；

999

（2）該訓(xùn)練方式無效的情況有：10人中有1人800米跑達(dá)到優(yōu)秀；10人中有0人800

米跑達(dá)到優(yōu)秀,

所以通過試驗(yàn)該訓(xùn)練方式被認(rèn)定無效的概率p=C赭Y）%展）埠9

11-0.01<5%,

1024

故可認(rèn)為該訓(xùn)練方式無效事件是小概率事件，從而認(rèn)為該訓(xùn)練方式有效,

故該試驗(yàn)方案合理.

19.已知數(shù)列｛斯｝中,ai=-9,且二生上是2與小（〃6N*）的等差中項(xiàng).

2

（1）求數(shù)列｛|明｝的前”項(xiàng)和G”；

（2）設(shè)Tn=aiazay-a,,,判斷數(shù)列｛7“｝是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？若存在求出，不存在

說明理由.

解：（1）數(shù)列｛%｝中，m=-9,且是2與如（〃CN*）的等差中項(xiàng).

2

整理得斯+LZ=2（常數(shù)），

故數(shù)列｛”“｝是以-9為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

所以an=-9+2（〃-1）=2〃-11.

當(dāng)相26時(shí)，如>0,

當(dāng)刃W5時(shí),afl<0t

所以當(dāng)〃W5時(shí)，G〃=|〃i|+|a2|+...+|a〃|=-(QI+〃2+...+Q〃)=匚'9+'7一二］0n-n2,

當(dāng)〃26時(shí)，G”=|ai|+|〃2|+|a5|+3|+...+|a/=-2(0+6+…+⑥)+(ai+〃2+...+a”)=25+(n

-5)2.

痂(10n-n2(n<5)

125+61-5)2(n)6)

(2)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式m=2〃-11,

可知：a\,“5各項(xiàng)都為負(fù)值，當(dāng)麓26時(shí),a,i>Of

所以72>0，?4>0,

故{〃},"5={△，北},"5,{71|}min={Tl,T?,75>Tn}min)

由于乃=63,74=945,

所以最大項(xiàng)為第4項(xiàng)，最大值為945.

由于〃=-945,76=-945,

當(dāng)〃》7時(shí)，an>\,所以T”沒有最小值，

20.如圖，在多面體ABCQE中，四邊形8COE是矩形，△AOE為等腰直角三角形，且N

ADE=90°,^?AB=AD=圾,BE=2.

(1)求證：平面AOE_L平面A8E；

1T

(2)線段C。上存在點(diǎn)P,使得二面角P-AE-。的大小為」白，試確定點(diǎn)P的位置并

證明.

【解答】(1)證明：在等腰直角△AQE中，AD=啦,所以AE=2,

又揚(yáng)E=AB=2&，貝IAE2+B￡2=AB2,

所以AE_LBE,

XDELBE,且AECWE=E,AE,DEu平面AOE,

所以3EJL平面ADE,又BEu平面ABE,

所以平面AOEJ_平面ABE；

TT

(2)解：點(diǎn)尸為線段。C的中點(diǎn)，使得二面角尸-4E-￡>的大小為一證明如下：

4

以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),。(I,0,1),設(shè)P(x,y,z),

因?yàn)槎?%反=入菽(A>0),則有(x-1,y,z-1)=人(0,2,0),

解得x=l,y=2入，z=l,故P（1,2入，1）,

EA=（2,0,0）,EP=（1,2%,1），

設(shè)平面AEP的法向量為】=Q,b,c），

n*EA=0f2a=0

則有《一一，B叫n、，

n,EP=0la+2入b+c=0

令b=l,則c=-2入，故1=（0,1,-2入）,

平面ADE的一個(gè)法向量為孟=(0,1,Q),

因?yàn)槎娼荘-AE-D的大小為一，

4

所以cosr^-=|cos<n>以>I=----J$=^,

41XV1+4X22

解得人"或人=1^(舍),

22

TT

所以點(diǎn)尸為線段。C的中點(diǎn)，使得二面角P-AE-。的大小為一1.

4

21.已知橢圓C：W=1經(jīng)過點(diǎn)P(&,1),且離心率為返，。0:N+y2

a"2

=內(nèi)的任意一條切線/與橢圓交于A,B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在。0,使得福?而=0,若存在，求△408的面積S的范圍；不存在，請(qǐng)

說明理由.

a2=4

解:(1)依題意,解得＜=2?

C2=2

22

橢圓C的方程為江上=i；

43

(2)假設(shè)存在，。0：/+y2=\滿足題意，

①當(dāng)切線/的斜率存在時(shí)，設(shè)切線/方程為丫=履+根，將其代入橢圓方程化簡(jiǎn)并整理可得,

(2N+1)x2+4ktnx+2m2-4=0,

依題意，△=16攵2加2-4(2R+1)(2m2-4)>0,即4N-，話+2>0,

設(shè)A(XI,yi),B(及，72)，則X[+X2=-^―>X,

2kJ+l2k"+l

m2_4k2