新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 模擬卷6（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)模擬卷(六)

(時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分)

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的)

1-2i_

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=丁，則Z的共輾復(fù)數(shù)2的虛部為()

A.-iB.1C.iD.-1

1—2i—i(l—2i),,,..一?,,工、，

B[z=^^=—v.=-2-i,則z的共朝復(fù)數(shù)z=-2+i的虛部為L(zhǎng)]

i—i-i

2.已知集合人={X￡即08加<2},集合8={x￡R||x—1|<2},則AG5=()

A.(0,3)B.(-1,3)C.(0,4)D.(—8,3)

A[V集合A={x￡R|log2X<2}={x|0<%<4},

集合B={xeR||x-l|<2}={x\-l<x<3],

.*.AAB={x|0<x<3}=(0,3).]

3.已知某市居民在2019年用于手機(jī)支付的個(gè)人消費(fèi)額氫單位:元)服從正態(tài)分布NQ000,

1002),則該市某居民手機(jī)支付的消費(fèi)額在(1900,2200)內(nèi)的概率為()

附：隨機(jī)變量：服從正態(tài)分布N(/z,o2),則尸〃一。<。<14+。)=0.6826,P(ju—+2(T)

=0.9544,尸@—3y+3))=0.9974.

A.0.9759B.0.84

C.0.8185D.0.4772

C「?Y服從正態(tài)分布NQ000,1002),

:?fi=2000,(7=100,

則P(1900<(f<2200)=尸(//—)<&//+(7)+][尸(//—2。<。<〃+2(7)一尸(//一。<。<〃+到=0.682

6+1(0.9544-0.6826)=0.8185.]

4.設(shè)〃=2%/?=sin2,c=log20.2,則mb,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

A[〃=2°2>1,0</?=sin2<1,c=log20.2<0,

則a>b>c.]

3—9,GO

5.已知函數(shù)/④=1，,x<0e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若?。┑牧泓c(diǎn)為a‘極值點(diǎn)為

B，則a+B=()

A.-1B.0C.1D.2

3%—9,GO

C[V/(x)=

_xex,x<0

:當(dāng)x20時(shí)，/（x）=O,即3'—9=0,解得x=2;

當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=xeA<0恒成立，

.?./（X）的零點(diǎn)為a=2.

又當(dāng)x》O時(shí)，/0）=3*—9為增函數(shù)，故在［0,+8）上無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)尤<0時(shí)，/（元）=尤3,尸（x）=（l+x）e。

當(dāng)%<-1時(shí)，廣（無(wú)）<0,當(dāng)%>-1時(shí)，廣（x）>0,

當(dāng)x=—1時(shí)，/（無(wú)）取到極小值，即的極值點(diǎn)/=一1,

a+//=2—1=1.］

6.已知四棱錐PABC。的所有棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)、E,尸分別在線(xiàn)段方,PC上,且所〃底

面ABCD,則異面直線(xiàn)跖與尸8所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

D［連接AC,BD,設(shè)ACC8。=。，

則￡尸U平面PAC,平面B4CCI平面ABCD=AC,

由E尸〃底面ABCD,可得EF//AC,

由四邊形ABCZ）為菱形，可得AC_L8。，

由。為AC的中點(diǎn)，PA=PC,可得PO_LAC,

入BDCOP=O,BDU平面pg。，POU平面PBD,

可得AC_L平面PBD,

又PBU平面PBD,

則AC1PB,

XEF//AC,可得EF_LPB,

即異面直線(xiàn)EF與尸8所成角的大小為90°.

故選D.]

7.在同一直角坐標(biāo)系下，已知雙曲線(xiàn)C：胃=l（a>0,b>0）的離心率為陋，雙曲線(xiàn)C

的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為2,函數(shù)產(chǎn)sin（2無(wú)+襲）的圖象向右平移5個(gè)單位后得到曲線(xiàn)

D,點(diǎn)A,2分別在雙曲線(xiàn)C的下支和曲線(xiàn)。上，則線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的最小值為（）

A.2B.小C.^2D.1

27

D[因?yàn)殡x心率為啦，所以該雙曲線(xiàn)是等軸雙曲線(xiàn)，可設(shè)C方程為力一a=1（。>0）,

所以c=@a,故焦點(diǎn)為（0,漸近線(xiàn)y=±x,

取（0,到x—y=0的距離為2,得=2,解得a=b=2.

所以雙曲線(xiàn)方程為^一'=1.

函數(shù)y=sin（2x+§的圖象向右平移1個(gè)單位后得到曲線(xiàn)D的方程為：

j=sin^2^.x-=sin（2無(wú)一電=-cos2x.

同一坐標(biāo)系下作出曲線(xiàn)C、。的圖象：

由圖可知，當(dāng)8點(diǎn)為y=—cos2尤與y軸的交點(diǎn)（0,—1）,A點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的下頂點(diǎn)（0,一

2）時(shí)，|A2|最小為1.故選D.]

8.某單位舉行詩(shī)詞大會(huì)比賽，給每位參賽者設(shè)計(jì)了“保留題型”、“升級(jí)題型”、“創(chuàng)

新題型”三類(lèi)題型，每類(lèi)題型均指定一道題讓參賽者回答.已知某位參賽者答對(duì)每道題的概

率均為點(diǎn)且各次答對(duì)與否相互獨(dú)立，則該參賽者答完三道題后至少答對(duì)兩道題的概率（）

,112n80〃113124

ABCD.

-T25-T25-125125

A[該參賽者答完三道題后至少答對(duì)兩道題的概率:

32

112

P=125,]

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)

9.已知向量。+8=(1,1),〃一5=(—3,1),c=(l,1),設(shè)m8的夾角為仇則下列正

確的是()

A.\a\=\b\B.a_Lc

C.b//cD.9=135。

BD[根據(jù)題意，a+b=(l,1),a-b=(-3,1),則〃=(一1,1),b=Q,0),

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,同=鏡，向=2,則⑷=|四不成立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,a=(-l,1),c=(l,1),貝Ia-c=0,即。，。，B正確；

對(duì)于C,b=(2,0),c=(l,1),》〃c不成立，C錯(cuò)誤；

L-2

對(duì)于D,4=(-1,1),b=Q,0),則a,b=-2,\u\=y[2,|6|—2,則cos

則8=135°,D正確；故選BD.]

10.已知函數(shù)/(x)=sin2x+2小sinxcosx—cos2^,x￡R,則下列正確的是()

A.—2W/(x)W2

B./(%)在區(qū)間(0,兀)上只有1個(gè)零點(diǎn)

C./(%)的最小正周期為兀

D.x=1為/(尤)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

ACD[已知函數(shù)f(x)=sin2x+2a/§sinxcoscos2x="\/3sin21—cos2x=2sin(

XER,

則一2W7(%)W2,A正確，

JTKTtTT

當(dāng)2x—4=左兀，kGZ,即x=5~+萬(wàn)，k^7j,f(x)在區(qū)間(0,兀)上只有2個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤;

/(%)的最小正周期為兀，C正確；

當(dāng)％4時(shí)，函數(shù)/(x)=2sin(2x—§,xeR,/(j^=2sin(^2x1—=

77

所以x=g為/(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，D正確.故選ACD.]

已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為數(shù)歹!一的前“項(xiàng)和

11.S,621=1,sn+i=s?+2an+l,I[斯?劭+1J

為心,“GN*,則下列選項(xiàng)正確的為（）

A.數(shù)列｛斯+1｝是等差數(shù)列

B.數(shù)列｛為+"是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=2"—1

D.T?<]

BCD[由S”+i=S〃+2斯+1得a“+i=S”+i—斗=2。"+1,

可化為斯+1+1=2（詼+1）,由N=ai=l,可得數(shù)列｛斯+1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比

數(shù)列，

則?！?1=2",即?！?2"—1,

寸2〃_2"_]]3=1,11

又斯出+1=（2"—1）（2-1-1）=2"一1一2"1一1'可行Tn=1-22-l+22-l-23-lHH

111

2n—l-2n+1—l~l~2a+1—l<1,

故A錯(cuò)誤，B,C,D正確.故選BCD.]

12.已知四棱臺(tái)ABCD-AiBiGA上下底面均為正方形，其中AB=26，A/尸小,A4,

=BBi=CCi=2,則下述正確的是（）

A.該四棱臺(tái)的高為小

B.A411CQ

C.該四棱臺(tái)的表面積為26

D.該四棱臺(tái)外接球的表面積為16兀

AD[由棱臺(tái)性質(zhì)，畫(huà)出切割前的四棱錐,

S

由于48=2也，A1B尸色,可知△SA1B1與△SAB相似比為1：2,

則SA=2A4i=4,A0=2,則SO=2，§,貝IOOi=4§,該四棱臺(tái)的高為小，A對(duì)；

因?yàn)镾4=SC=AC=4,則AAi與CG夾角為60。，不垂直，B錯(cuò)；

(\/2+2^2)、幣r-

該四棱臺(tái)的表面積為S=S上底+S下底+S切=2+8+4義3~廣jx=-=10+66，C錯(cuò);

由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在05上，

在平面8/001中，由于。01=小，BiOi=l,貝I。囪=2=。8,即點(diǎn)。到點(diǎn)8與點(diǎn)囪

的距離相等，則r=0B=2,該四棱臺(tái)外接球的表面積為16兀，D對(duì)，故選AD.]

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若無(wú)6(0,+°°),4x+x-i》a恒成立，則實(shí)數(shù)°的取值范圍為

4][因?yàn)閈/尤6(0,+8),4x+/i=4x+92y44xx,$=4,當(dāng)且僅當(dāng)4x=p即

時(shí)取等號(hào)，又xG(0,+°°),4.工+.-12。恒成立，...aW4」

14.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(尤+1)為奇函數(shù)，/(0)=1,則/(2)=.

—1[根據(jù)題意，函數(shù)/(x+1)為奇函數(shù)，則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，

則有〃x)=—/(2—x),

又由7(0)=1,得/(2)=—/(0)=—11

6

15.已知aGN,二項(xiàng)式Q+WB展開(kāi)式中含有％2項(xiàng)的系數(shù)不大于240,記。的取值集

合為A,則由集合A中元素構(gòu)成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè).

6

62r

18[二項(xiàng)式,+亭3展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+l=G-(a+iy-x~,

令6—2廠(chǎng)=2,求得r=2,可得展開(kāi)式中含有％2項(xiàng)的系數(shù)為C"a+l)2=15(a+l)2.

再根據(jù)含有/項(xiàng)的系數(shù)不大于240,可得15(。+1)2?240,求得一4一lWaW4-L

再根據(jù)aGN,可得。=0,1,2,3,即4={0,1,2,3),

則由集合A中元素構(gòu)成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共A^-Aj=3X3X2=18.]

16.2020年是中國(guó)傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個(gè)圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖：

2(0,-3)是圓。的圓心，圓。過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O；點(diǎn)、L、S均在％軸上，圓L與圓S的半徑都等

于2,圓S、圓L均與圓。外切.已知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)。.

y

（1）若直線(xiàn)/與圓乙、圓S均相切，貝h截圓。所得弦長(zhǎng)為；

（2）若直線(xiàn)/截圓L、圓S、圓。所得弦長(zhǎng)均等于d,則〃=.（本題第一空2分,

第二空3分）

（1）3⑵5[⑴根據(jù)條件得到兩圓的圓心坐標(biāo)分別為（-4,0）,（4,0）,

設(shè)公切線(xiàn)方程為且上存在,

]-4^+m|

1+后=2

則〈,

lv^=

J3

解得左=土為m=Qf

故公切線(xiàn)方程為y=±乎x,則Q到直線(xiàn)/的距離d=呼,

故I截圓。的弦長(zhǎng)=2、y32—（2~）2=3；

⑵設(shè)方程為y=fci+m（ZW0）且左存在，則三個(gè)圓心到該直線(xiàn)的距離分別為:

\~4k+m\\4k+m\|3+m|

“尸不鏟，d尸不病”尸祈

則屋=4（4一應(yīng)）=4（4一圖）=4（9一法），

22

f|—4^+m|A（\4k+m[\

即有[而FH），①

22

4-E<|4fc+m|bY9（|3+ffl.|Y②

4

解①得m=0,代入②得a=五,

(16X票

144

則4=44—~7~=石，即4=亍]

k1十-42-—1/

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.(本小題滿(mǎn)分10分)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為*,等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為T(mén)〃.

4

已知〃1。1=2,S2=6,S3=12,^2=yN*.

(1)求｛斯｝,｛為｝的通項(xiàng)公式；

13

(2)是否存在正整數(shù)鼠使得SK6Z且八喈？若存在，求出攵的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

［解］(1)設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,在數(shù)列｛斯｝中，S3—S2=〃3=6,

又因?yàn)?2=。1+。2=的—2"+的—d=12—3d=6,所以d=2,

從而〃1=。3—2d=2,所以斯=2+(九一1)X2=2n,

由a仍1=2得81=T1=1,

41

因?yàn)?2—Ti=2—1=3,設(shè)數(shù)列｛d｝的公比為q,

n-ln-l

所以4=需=；,所以6〃=ixg)=自.

,,k(a\+ak)

(2)由(1)知，5卜=以~^~-=^+1),

所以&=%(左+1)<6左，整理得標(biāo)一5N0,解得0<%<5,

1X0-3)3(1、31

又因?yàn)門(mén)k=-----L=］［1一司=］一荻尹，

1-3

311311

所以71=5一方尸>豆，即#T<§,解得%>3,

13

存在正整數(shù)k=4,使得Sk<6k且Tk>-f.

18.(本小題滿(mǎn)分12分)在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，2b?=(〃+

c2-a2)(l-tanA).

⑴求角C；

(2)若c=2#5,。為BC中點(diǎn)，在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求AD的長(zhǎng)度.

條件①：ZVIBC的面積5=4且8>A；

條件②：cos8=羋.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

［解］(1)在△ABC中，由余弦定理知b2+，-a2=2bccosA,

所以2廿=2/?ccosA(1—tanA),所以b=c(cosA-sinA),

又由正弦定理知g=得sin5=sinC(cosA-sinA),

所以sin(A+Q=sinC(cosA—sinA),

R17sinAcosC+cosAsinC=sinCeosA-sinCsinA,

所以sinAcosC=—sinCsinA,

因?yàn)閟inAWO,所以cosC=-sin。，所以tanC=-1,

又因?yàn)?<Cv兀，所以C=苧.

(2)選擇條件①：△ABC的面積S=4且3>A.

因?yàn)镾z\A5C=4=]〃Z?sinC=]〃Z?siri4.

所以ab=8y/2.

由余弦定理知：c2=(2A/10)2=40=a2+b2—2〃/7cos牛.

所以"+廿+也"=40.

儲(chǔ)2+/+也刈=4。f〃=4,(a=2y[2,

由廠(chǎng)解得廠(chǎng)或

[6ZZ?=8\2,[/?=242[b=4.

/〃=2\[2,

因?yàn)?>A,所以/?>〃，所以《所以CD=巾.

U=4,

在△ACD中，AD2=CA2+CD2-2CACDCOSC=16+2-2X4X^/2Xcosy=26.

所以AZ)=/.

選擇條件②：cos

因?yàn)閏os所以sinB=^',

因?yàn)閟inA=sin(B+Q=sinBcosC+sinCeos3=^^,

由正弦定理知六=看，所以"=1^=2用

在△A3。中,由余弦定理知AD2^AB2+BD2-2ABBDCOSB,

解得AD=4.

19.(本小題滿(mǎn)分12分)在如圖所示的四棱錐E-48C。中，四邊形A3。為平行四邊形，

△BCE為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AB=AE,點(diǎn)。分別為48,BE的中點(diǎn)，。尸是異面直線(xiàn)

A3和0C的公垂線(xiàn).

(I)證明：平面平面8CE；

(2)記△<?￡)￡的重心為G,求直線(xiàn)AG與平面ABCD所成角的正弦值.

［解］(1)證明：因?yàn)?。?E的中點(diǎn)，所以在等邊△BCE中，OCYBE,

又因?yàn)?。尸是異面直線(xiàn)A3和OC的公垂線(xiàn)，所以O(shè)C_LO￡

又因?yàn)镺Fn8E=O,OF、8EU平面ABE,所以。C_L平面ABE,

因?yàn)镺CU平面BCE,所以平面ABE_L平面BCE.

(2)因?yàn)槭?、。為中點(diǎn)，所以。尸〃AE,又因?yàn)镺F是異面直線(xiàn)和OC的公垂線(xiàn)，

所以。尸_L42,AE±AB,所以△ABE為等腰直角三角形，

連接AO,AB=AE=巾,0A=1,

因?yàn)椤?_LBE,0AU平面ABE,平面平面3CE且平面A8EA平面8CE=8E,

所以O(shè)A_L平面BCE,

因此，以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)E、0C,所在的直線(xiàn)為X、>、z軸建系如圖所示.

則4(0,0,1),2(—1,0,0),C(0,事,0),￡(1,0,0),

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，設(shè)D(xo,mzo),

因?yàn)?C=A￡),所以(1,小,0)=(尤o,yo,ZQ—1),

所以。(1,小,1),

設(shè)面ABC。的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

BA=a,o,1),BC=(1,小,0),

n-BA=0Jx+z=O

由＜

-A[x+yf3y=Q

、n?BC=U

令y=-1,則z=—y［3,所以〃=(小，—1,一小),

因?yàn)镃（0,小,0）,E（l,0,0）,0（1,小，1）,

所以△CDE的重心為G的坐標(biāo)為停，2乎，g）,AG=（j,2乎，—1

設(shè)直線(xiàn)AG與平面ABCD所成角為仇則

2小

-A

―?n-AG3V105

sin9=|cos〈〃，AG)\==

一35

\n\-\AG\市X平

20.（本小題滿(mǎn)分12分）某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)每年11月11日舉行“雙十一”購(gòu)物節(jié)，當(dāng)天有

多項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài).

（1）已知該網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)近5年“雙十一”購(gòu)物節(jié)當(dāng)天成交額如下表:

年份20152016201720182019

成交額（百億元）912172127

求成交額y（百億元）與時(shí)間變量尤（記2015年為x=l,2016年為尤=2,……依次類(lèi)推）的

線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)2020年該平臺(tái)“雙十一”購(gòu)物節(jié)當(dāng)天的成交額（百億元）；

（2）在2020年“雙十一”購(gòu)物節(jié)前，某同學(xué)的爸爸、媽媽計(jì)劃在該網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上分別參

加A、8兩店各一個(gè)訂單的“秒殺”搶購(gòu)，若該同學(xué)的爸爸、媽媽在A、8兩店訂單“秒殺”

成功的概率分別為小q,記該同學(xué)的爸爸和媽媽搶購(gòu)到的訂單總數(shù)量為X.

⑴求X的分布列及E（X）；

（ii）已知每個(gè)訂單由4t22,左GN*）件商品W構(gòu)成，記該同學(xué)的爸爸和媽媽搶購(gòu)到的商品

?無(wú).兀

7sinvsinv

W總數(shù)量為匕假設(shè)P=「二一患，q=H求E（y）取最大值時(shí)正整數(shù)左的值.

AAA/=1

附：回歸方程y=b無(wú)+“中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為6=-------------------

n—

X4一〃X2

尸1

Ex)8—y)

尸1_A_

,a=y—bx.

X(Xi-x)2

z=l

［解］(1)由已知可得：

—1+2+3+4+5—9+12+17+21+27一

x=c=3,y=工=17.2,

5

5>/yz=lX9+2X12+3X17+4X21+5X27=303,

尸i

￡X?=12+22+32+42+52=55,

5--------

5x.y

A尸1303-5X3X17.245

所以6=-----------------~55—5X32~=13=45

5—

X^-5x2

Z=1

所以a=y-Z>x=17.2-4.5X3=3.7,

AA

所以y=bx+a=4.5x+3.7,

當(dāng)x=6時(shí)，y=4.5X6+3.7=30.7(百億元)，

所以估計(jì)2020年該平臺(tái)“雙十一”購(gòu)物節(jié)當(dāng)天的成交額為30.7(百億元).

(2)(i)由題知，X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)=(l—p)(l—4)；

尸(X=l)=(l—p)q+(l—q)p;

P(X=2)=pq.

所以X的分布列為：

X012

PX-p-q+pqp+q-2Pqpq

￡(X)=0X(1_p)(l—q)+(p+q—2pq)+2pq=p+q.

(ii)因?yàn)閅=kX,

所以E(Y)=kE(X)=k(p+q)==2si磋就

令￡=/￡(0,g,設(shè)/⑺=2sin?U—兀。則E(y)=/Q)

因?yàn)閺V⑺=2TCCOS而一兀=2兀｝（九位一］）,且無(wú)re（0,與

所以，當(dāng)fG（0,g）時(shí)，尸⑺>0,所以/⑺在區(qū)間（0,g）上單調(diào)遞增;

當(dāng)reg,§時(shí)，尸⑺<0,所以了⑺在區(qū)間停，上單調(diào)遞減；

所以，當(dāng)片；即左=3時(shí)，于⑦q(；)=小一?

所以E(y)取最大值時(shí)k的值為3.

72

21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C方的左，右焦點(diǎn)分

別為B,F?,尸2點(diǎn)又恰為拋物線(xiàn)。：丁=4%的焦點(diǎn)，以尸1/2為直徑的圓與橢圓。僅有兩個(gè)公

共點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線(xiàn)/與。相交于A,8兩點(diǎn)，記點(diǎn)A,8到直線(xiàn)x=—1的距離分別為d2,\AB\

=%+必.直線(xiàn)/與C相交于E,尸兩點(diǎn)，記△043,△0EF的面積分別為Si，%

(i)證明：△后尸死的周長(zhǎng)為定值；

(ii)求普的最大值.

?31

［解］⑴因?yàn)槭?為拋物線(xiàn)。：V=4x的焦點(diǎn)，故尸2(1,0),

所以c=1,

又因?yàn)橐允?為直徑的圓與橢圓C僅有兩個(gè)公共點(diǎn)知b=c,

所以4=陋，6=1,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+丁=1.

(2)(i)證明：由題知，因?yàn)閤=-1為拋物線(xiàn)。的準(zhǔn)線(xiàn)，

由拋物線(xiàn)的定義知=&+%=IAF2I+IBF2I,

又因?yàn)閨4B|W|AB|+出&I,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A,B,巳三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)成立，

所以直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)尸2,

根據(jù)橢圓定義得：

\EF\+\EFt|+\FF^|=|EF2|+|EFi|+舊川+舊冏=4a=4陋，即AEFFi的周長(zhǎng)為定值.

(ii)若直線(xiàn)/的斜率不存在，則直線(xiàn)/的方程為x=l,

因?yàn)閨A8|=4,|即=也，所以自=盟=坐；

若直線(xiàn)/的斜率存在，則可設(shè)直線(xiàn)/:y=fc(x—1)(^0),設(shè)A(%i,yi),3(x2,/)，

fy2=4x

由得於/一(2斤+4川+廿=0,

〔尸網(wǎng)L1)

2^+4