三角剖分算法研究

三角剖分算法研究一、本文概述《三角剖分算法研究》一文旨在深入探討三角剖分算法的基本原理、應用領域以及最新研究進展。三角剖分，作為一種在計算幾何和圖形學領域廣泛應用的算法，它的主要任務是將一個二維平面上的點集劃分為一系列互不相交的三角形，這些三角形共同覆蓋整個點集。本文首先概述了三角剖分算法的基本概念和分類，包括Delaunay三角剖分、約束Delaunay三角剖分等。接著，文章詳細介紹了三角剖分算法的理論基礎和應用場景，如地形模擬、計算機視覺、有限元分析等。本文還綜述了近年來三角剖分算法的研究進展，包括算法優(yōu)化、并行化、以及在新興領域如深度學習中的應用，并對未來的研究方向進行了展望。二、三角剖分算法的基本理論三角剖分算法是計算幾何中的一個重要概念，其主要目的是將給定的二維平面點集連接成一系列的三角形，使得所有點都被這些三角形所包含，且三角形的邊僅與點集的點相交于端點。這種剖分方式不僅有助于簡化復雜圖形的處理，還為后續(xù)的圖形渲染、碰撞檢測等任務提供了基礎。三角剖分（Triangulation）是對二維平面上的點集進行劃分，將其分解成一系列不相交的三角形的集合。每一個三角形的頂點都是原始點集中的點，且任意四個點不共圓。這樣的剖分保證了圖形的完整性和唯一性。三角剖分具有多種重要的性質，如空圓性質、最大最小角性質等?？請A性質指的是剖分形成的每個三角形的外接圓內部不包含點集中的其他任何點，這保證了剖分的唯一性和穩(wěn)定性。而最大最小角性質則是指在所有可能的剖分方式中，每個三角形的最大角之和達到最小，這有助于在后續(xù)處理中減少誤差的積累。三角剖分算法的實現(xiàn)方式多種多樣，常見的包括增量法、分治法、掃描轉換法等。增量法從空集開始，逐個加入點并進行三角剖分；分治法則將問題劃分為多個子問題，分別進行剖分后再合并；掃描轉換法則是按照一定的掃描順序，對掃描線上的點進行三角剖分。這些算法各有優(yōu)缺點，適用于不同的應用場景。三角剖分算法在多個領域都有著廣泛的應用。在地理信息系統(tǒng)（GIS）中，三角剖分可以用于地形模型的構建和分析；在計算機圖形學中，三角剖分是渲染三維模型的基礎；在物理模擬中，三角剖分則有助于實現(xiàn)精確的碰撞檢測和響應。在數據挖掘、機器學習等領域，三角剖分也發(fā)揮著重要的作用。三角剖分算法的基本理論涉及了定義、性質、算法和應用等多個方面。對這一理論的深入研究不僅有助于我們更好地理解和應用三角剖分算法，也為相關領域的發(fā)展提供了有力的支持。三、經典三角剖分算法介紹三角剖分算法是計算幾何中的一個核心問題，其目標是將一個二維平面上的簡單多邊形劃分為若干個三角形，以滿足一定的條件和優(yōu)化目標。這些三角形不僅簡化了多邊形內部點的位置關系，還為后續(xù)的圖形處理、分析和渲染提供了基礎。Delaunay三角剖分算法是三角剖分中的經典算法之一，它以Delaunay三角形的定義為基礎。一個Delaunay三角形滿足兩個主要性質：空圓性質和最大最小角性質?？請A性質指Delaunay三角形的外接圓內不包含其他頂點；最大最小角性質則指在所有可能的三角剖分中，Delaunay剖分所形成的三角形的最小角是最大的。Delaunay三角剖分因其優(yōu)良的性質在地理信息系統(tǒng)、表面重建和計算幾何等領域有著廣泛的應用。約束Delaunay三角剖分算法是對Delaunay三角剖分的一種擴展，它允許在剖分過程中引入約束條件。約束條件可以指定某些點必須包含在特定的三角形中，或者禁止某些點之間形成邊。約束Delaunay三角剖分算法能夠在滿足約束條件的前提下，盡可能保持Delaunay三角剖分的優(yōu)良性質，因此在許多實際應用中更具靈活性。掃描轉換算法是一種相對簡單但效率較高的三角剖分算法。它通過按照一定的方向掃描多邊形邊界上的點，并在掃描過程中逐步構建三角形。掃描轉換算法的關鍵在于確定掃描方向和掃描過程中三角形的生成規(guī)則。這種算法在二維圖形渲染和圖像處理等領域有著廣泛的應用。逐點插入算法是一種增量式的三角剖分算法。它從一個初始的三角形開始，逐步將多邊形中的其他點插入到已有的三角剖分中，并在插入過程中調整三角形的連接關系。逐點插入算法的關鍵在于確定插入點的位置和插入后三角剖分的調整策略。這種算法在三維表面重建和地形模擬等領域有著廣泛的應用。這些經典三角剖分算法各有其特點和適用場景，在實際應用中需要根據具體問題和需求選擇合適的算法。隨著計算幾何和圖形學領域的不斷發(fā)展，新的三角剖分算法也在不斷涌現(xiàn)，為相關領域的研究和應用提供了更多的選擇。四、三角剖分算法的優(yōu)化與改進三角剖分算法作為一種基礎且重要的幾何算法，在計算機圖形學、計算幾何、地理信息系統(tǒng)等領域有著廣泛的應用。隨著數據規(guī)模的不斷擴大和應用場景的不斷復雜，三角剖分算法的性能和效率問題逐漸凸顯。對三角剖分算法進行優(yōu)化和改進，以滿足實際應用需求，成為了當前研究的熱點之一。三角剖分算法的效率往往受到數據結構的影響。傳統(tǒng)的三角剖分算法通常采用鄰接表或鄰接矩陣等數據結構來表示三角形之間的連接關系。這些數據結構在處理大規(guī)模數據時，可能會產生較大的空間開銷和訪問延遲。優(yōu)化數據結構是提高三角剖分算法性能的重要途徑。例如，可以采用邊表、壓縮稀疏行等高效數據結構來減少空間開銷，提高數據訪問速度。三角剖分算法的流程也是影響性能的關鍵因素。傳統(tǒng)的三角剖分算法通常采用逐點插入的方式進行剖分，這種方式在處理大規(guī)模數據時，可能會導致算法效率低下。改進算法流程是提高三角剖分算法性能的有效手段。例如，可以采用增量式或分治式的三角剖分策略，將大規(guī)模數據劃分為若干個小規(guī)模子問題，分別進行剖分，然后合并結果，從而提高算法效率。隨著多核處理器和分布式計算技術的快速發(fā)展，并行計算成為了提高算法性能的重要手段。對于三角剖分算法而言，可以利用并行計算技術來加速剖分過程。例如，可以采用任務并行或數據并行的方式，將三角剖分任務劃分為多個子任務，分別在多個處理器上并行執(zhí)行，從而顯著提高算法的執(zhí)行效率。除了上述優(yōu)化方法外，還可以結合其他算法和技術來提高三角剖分算法的性能。例如，可以利用圖論中的最小生成樹算法或最短路徑算法來優(yōu)化三角剖分結果的質量；可以利用機器學習算法來預測三角剖分過程中的關鍵節(jié)點或邊，從而指導算法的執(zhí)行過程；可以利用高性能計算和云計算等技術來擴展算法的計算能力和存儲能力，以支持更大規(guī)模數據的三角剖分任務。對三角剖分算法進行優(yōu)化和改進是提高算法性能和應用價值的重要途徑。通過優(yōu)化數據結構、改進算法流程、利用并行計算技術以及結合其他算法和技術等手段，可以顯著提高三角剖分算法的執(zhí)行效率和結果質量，為相關領域的研究和應用提供更有力的支持。五、三角剖分算法的應用領域三角剖分算法在眾多領域都有著廣泛的應用，其核心價值和影響力不容忽視。以下，我們將深入探討三角剖分算法在不同領域中的應用。計算機圖形學：在計算機圖形學中，三角剖分算法是實現(xiàn)三維模型渲染和表面重建的關鍵步驟。通過對模型表面進行三角剖分，可以將其轉化為計算機能夠處理的三角形網格，從而進行光照計算、紋理映射等操作，實現(xiàn)高質量的渲染效果。地理信息系統(tǒng)：在地理信息系統(tǒng)（GIS）中，三角剖分算法被用于地形模型的構建和分析。通過對地形數據進行三角剖分，可以生成精確的數字高程模型（DEM），進而進行地形分析、洪水模擬、路徑規(guī)劃等應用。數值計算：在數值計算領域，三角剖分算法常用于求解偏微分方程。通過將求解區(qū)域剖分為一系列三角形，可以將連續(xù)的問題離散化為一系列離散的線性方程組，從而利用計算機進行高效的數值求解。機器人路徑規(guī)劃：在機器人路徑規(guī)劃中，三角剖分算法被用于構建機器人的工作環(huán)境模型。通過對環(huán)境進行三角剖分，可以生成一個離散的地圖，進而利用搜索算法進行路徑規(guī)劃和導航。生物醫(yī)學工程：在生物醫(yī)學工程領域，三角剖分算法被用于醫(yī)學圖像的分割和分析。通過對醫(yī)學圖像（如CT、MRI等）進行三角剖分，可以提取出組織的三維結構信息，進而進行疾病診斷、手術規(guī)劃等應用。虛擬現(xiàn)實與增強現(xiàn)實：在虛擬現(xiàn)實（VR）和增強現(xiàn)實（AR）技術中，三角剖分算法也發(fā)揮著重要作用。通過對虛擬或現(xiàn)實世界的場景進行三角剖分，可以構建出高精度的三維模型，為用戶提供沉浸式的交互體驗。三角剖分算法在計算機圖形學、地理信息系統(tǒng)、數值計算、機器人路徑規(guī)劃、生物醫(yī)學工程以及虛擬現(xiàn)實與增強現(xiàn)實等領域都有著廣泛的應用。隨著技術的不斷發(fā)展，三角剖分算法將在更多領域發(fā)揮其重要作用，為科技進步和社會發(fā)展貢獻力量。六、三角剖分算法的未來發(fā)展趨勢隨著計算機科學的不斷發(fā)展和應用場景的日益廣泛，三角剖分算法在未來仍將持續(xù)演進，以適應更復雜的圖形處理和數據分析需求。未來的三角剖分算法可能朝著以下幾個方向發(fā)展：高效化和優(yōu)化：隨著數據量的快速增長，算法的高效性成為首要考慮因素。未來的三角剖分算法將更加注重運行速度和內存消耗的優(yōu)化，通過改進數據結構、優(yōu)化算法流程或引入并行計算等技術，實現(xiàn)更高效的數據處理。自適應性：對于不同形狀和結構的圖形，算法的自適應性將變得更為關鍵。未來的三角剖分算法將能夠自動調整剖分策略，以適應不同的輸入數據，提高算法的通用性和穩(wěn)定性。魯棒性和穩(wěn)定性：在實際應用中，數據往往存在噪聲或不規(guī)則性，這對算法的魯棒性和穩(wěn)定性提出了挑戰(zhàn)。未來的三角剖分算法將更加注重處理這些問題，通過引入噪聲過濾、數據平滑等技術，提高算法的抗噪能力和穩(wěn)定性。多尺度分析：多尺度分析在圖形處理和數據分析中具有重要意義。未來的三角剖分算法將能夠處理多尺度的數據，實現(xiàn)不同尺度下的有效剖分和分析，為更深入的數據挖掘和模式識別提供支持。與其他算法的結合：三角剖分算法往往不是孤立的，而是與其他算法相結合，共同解決實際問題。未來的三角剖分算法將更加注重與其他圖形處理、機器學習、數據挖掘等算法的結合，形成更強大的綜合解決方案。未來的三角剖分算法將在高效化、自適應性、魯棒性、多尺度分析和算法結合等方面取得重要進展，為圖形處理、數據分析和相關領域的發(fā)展提供有力支持。隨著技術的不斷進步和應用需求的不斷變化，三角剖分算法將繼續(xù)發(fā)展創(chuàng)新，為科學研究和實際應用帶來更多的可能性。七、結論本文對三角剖分算法進行了深入的研究和探討，從基礎概念出發(fā)，逐步深入到各種算法的實現(xiàn)和應用。通過對Delaunay三角剖分、約束Delaunay三角剖分、掃描線轉換等算法的分析和比較，我們發(fā)現(xiàn)每種算法都有其獨特的優(yōu)缺點和適用場景。Delaunay三角剖分算法以其良好的幾何特性和廣泛的應用場景而備受關注。該算法生成的三角網格具有最大的最小角特性，使得網格在形狀上更加均勻，避免了狹窄的三角形出現(xiàn)。Delaunay三角剖分算法在處理大規(guī)模數據時，計算復雜度較高，需要消耗大量的計算資源。約束Delaunay三角剖分算法在Delaunay三角剖分的基礎上引入了約束條件，使得生成的三角網格能夠更好地滿足實際應用的需求。該算法在處理復雜約束條件時，可能需要引入額外的優(yōu)化策略，以保證剖分的正確性和效率。掃描線轉換算法則以其簡單高效的特點，在二維空間中的三角剖分問題中表現(xiàn)出色。該算法通過掃描線的方式逐步構建三角網格，計算復雜度較低，適合處理大規(guī)模數據。掃描線轉換算法在處理復雜形狀和約束條件時，可能無法生成高質量的三角網格。各種三角剖分算法都有其獨特的優(yōu)缺點和適用場景。在實際應用中，我們需要根據具體問題的特點和需求，選擇合適的算法進行實現(xiàn)和應用。隨著計算機技術的不斷發(fā)展，我們相信未來會有更多高效、穩(wěn)定、易用的三角剖分算法出現(xiàn)，為相關領域的研究和應用提供更加強大的支持。參考資料：本文研究了三維空間Delaunay三角剖分算法的理論和應用。我們回顧了Delaunay三角剖分的定義和性質，然后詳細闡述了三維空間Delaunay三角剖分算法的步驟和實現(xiàn)方法。接著，我們討論了該算法在三維幾何建模、計算機圖形學、計算機視覺等領域的應用。我們總結了研究成果，并指出了未來可能的研究方向。Delaunay三角剖分是一種在計算幾何中廣泛使用的數據結構，它具有許多重要的性質和應用。在二維空間中，Delaunay三角剖分已經被深入研究，并在許多領域得到廣泛應用。在三維空間中，Delaunay三角剖分的研究相對較少。本文旨在研究三維空間Delaunay三角剖分算法的理論和應用。Delaunay三角剖分是一種由無序三元組集合T中的點集V構造的三角剖分TV，使得TV中任意三角形的外接圓內部都不包含其他點。Delaunay三角剖分具有空外接球性質、最小角性質、最大體積性質等重要性質。1）初始化：選擇一個初始點集V，并初始化一個空的Delaunay三角剖分TV。2）插入點：將一個新的點插入到Delaunay三角剖分TV中，并更新三角剖分。3）刪除點：從Delaunay三角剖分TV中刪除一個點，并更新三角剖分。4）更新三角剖分：根據插入或刪除點的操作，對Delaunay三角剖分進行更新。1）分治法：將三維空間劃分為多個子空間，并在每個子空間中進行Delaunay三角剖分。這種方法的時間復雜度為O(NlogN)。2）隨機化方法：利用隨機采樣技術來生成Delaunay三角剖分。這種方法的時間復雜度為O(N)。3）泛函分析方法：利用泛函分析的理論來研究Delaunay三角剖分的性質和算法。這種方法的時間復雜度較高，但可以獲得更好的理論結果。Delaunay三角剖分可以用于三維幾何建模中的表面重建、網格生成等任務。通過將三維點云數據轉換為Delaunay三角剖分，可以方便地進行三維模型的表示和編輯。Delaunay三角剖分可以用于計算機圖形學中的光線追蹤、陰影生成等任務。通過將場景中的物體表示為Delaunay三角形，可以方便地進行光線的計算和渲染。Delaunay三角剖分可以用于計算機視覺中的點云數據處理、三維重建等任務。通過將點云數據轉換為Delaunay三角剖分，可以方便地進行點云數據的分析和處理。本文研究了三維空間Delaunay三角剖分算法的理論和應用。通過詳細闡述三維空間Delaunay三角剖分算法的步驟和實現(xiàn)方法，以及討論該算法在三維幾何建模、計算機圖形學、計算機視覺等領域的應用，我們發(fā)現(xiàn)Delaunay三角剖分在三維空間中具有廣泛的應用前景。未來研究方向包括進一步優(yōu)化三維空間Delaunay三角剖分算法的時間復雜度、拓展更多應用領域以及研究更高維度的Delaunay三角剖分算法等。本文介紹了一種自適應三角剖分算法及其關鍵技術研究。該算法能夠根據數據分布和特征自動調整剖分策略，提高數據處理的效率和準確性。本文首先介紹了自適應三角剖分算法的基本原理和實現(xiàn)過程，然后詳細闡述了其中的關鍵技術，包括數據預處理、特征提取、模型選擇和參數優(yōu)化等。通過實驗驗證了該算法的可行性和有效性。關鍵詞：自適應三角剖分算法；關鍵技術；數據預處理；特征提取；模型選擇；參數優(yōu)化隨著大數據時代的到來，數據挖掘和機器學習技術在各個領域得到了廣泛應用。三角剖分作為一種常用的數據挖掘技術，能夠有效地揭示數據分布規(guī)律和特征。傳統(tǒng)的三角剖分方法通常需要手動調整參數和策略，無法適應不同數據集和任務的要求。如何實現(xiàn)自適應的三角剖分算法成為了研究熱點。自適應三角剖分算法是一種基于數據分布和特征的自動調整剖分策略的方法。該算法首先對數據進行預處理，提取特征，然后選擇合適的模型進行訓練，最后根據訓練結果調整剖分策略。具體實現(xiàn)過程如下：數據預處理：對原始數據進行清洗、去重、歸一化等處理，以便更好地提取特征和訓練模型。特征提?。焊鶕祿植己吞卣鳎崛∨c任務相關的特征，以便更好地描述數據分布規(guī)律和特征。模型選擇：選擇合適的模型進行訓練，如決策樹、神經網絡等。根據模型特點，設計相應的參數優(yōu)化方法。參數優(yōu)化：通過調整模型參數，提高模型的準確性和泛化能力。常用的參數優(yōu)化方法包括梯度下降、遺傳算法等。剖分策略調整：根據訓練結果和任務要求，自動調整剖分策略，以便更好地揭示數據分布規(guī)律和特征。數據預處理技術：數據預處理是自適應三角剖分算法的重要環(huán)節(jié)之一。通過對原始數據進行清洗、去重、歸一化等處理，可以去除噪聲和異常值，提高數據的準確性和可靠性。同時，還可以根據任務要求對數據進行聚類或分類等預處理操作，以便更好地提取特征和訓練模型。特征提取技術：特征提取是自適應三角剖分算法的核心環(huán)節(jié)之一。通過對數據進行特征提取，可以更好地描述數據分布規(guī)律和特征。常用的特征提取方法包括基于統(tǒng)計的方法、基于聚類的方法、基于神經網絡的方法等。在實際應用中，需要根據任務要求和數據特點選擇合適的特征提取方法。模型選擇技術：模型選擇是自適應三角剖分算法的關鍵環(huán)節(jié)之一。需要根據任務要求和數據特點選擇合適的模型進行訓練。常用的模型包括決策樹、神經網絡、支持向量機等。在實際應用中，需要根據模型特點設計相應的參數優(yōu)化方法，以提高模型的準確性和泛化能力。參數優(yōu)化技術：參數優(yōu)化是自適應三角剖分算法的重要環(huán)節(jié)之一。通過調整模型參數，可以提高模型的準確性和泛化能力。常用的參數優(yōu)化方法包括梯度下降、遺傳算法等。在實際應用中，需要根據模型特點和任務要求選擇合適的參數優(yōu)化方法。剖分策略調整技術：剖分策略調整是自適應三角剖分算法的關鍵環(huán)節(jié)之一。需要根據訓練結果和任務要求自動調整剖分策略，以便更好地揭示數據分布規(guī)律和特征。常用的剖分策略調整方法包括基于統(tǒng)計的方法、基于機器學習的方法等。在實際應用中，需要根據任務要求和數據特點選擇合適的剖分策略調整方法。為了驗證自適應三角剖分算法的可行性和有效性，我們進行了以下實驗：數據集準備：我們選擇了多個公開數據集進行實驗驗證，包括UCI機器學習庫中的數據集和KDDCup99數據集等。這些數據集涵蓋了不同的領域和應用場景，具有較高的挑戰(zhàn)性和代表性。實驗設置：我們將自適應三角剖分算法與傳統(tǒng)的三角剖分方法進行了比較實驗。在實驗中，我們采用了相同的預處理步驟和參數設置方法對兩種方法進行了評估。實驗結果采用了準確率、召回率、F1值等指標進行評估。實驗結果：實驗結果表明，自適應三角剖分算法在多個數據集上均取得了較好的性能表現(xiàn)。與傳統(tǒng)的三角剖分方法相比，自適應三角剖分算法在準確率、召回率和F1值等方面均有所提升。我們還對不同數據集進行了詳細的分析和討論，進一步驗證了自適應三角剖分算法的可行性和有效性。三角剖分是代數拓撲學里最基本的研究方法。以曲面為例，我們把曲面剖開成一塊塊碎片，要求滿足下面條件：（1）每塊碎片都是曲邊三角形；（2）曲面上任何兩個這樣的曲邊三角形，要么不相交，要么恰好相交于一條公共邊（不能同時交兩條或兩條以上的邊）。假設曲面上有一個三角剖分，我們把所有三角形的頂點總個數記為p(公共頂點只看成一個，下同),邊數記為a,三角形的個數記為n,則e=p-a+n是曲面的拓撲不變量。也就是說不管是什么剖分，e總是得到相同的數值。e被稱為稱為歐拉示性數。假設g是曲面上洞眼的個數（比如球面沒有洞，故g=0;又如環(huán)面有一個洞，故g=1），那么e=2-2g。上面例舉曲面的情形。對一般的拓撲對象（復形），我們有類似的剖分，通常成為單純剖分。分割出的每塊碎片稱為單純形（簡稱單形）。是圖論的一個重要概念，能夠嵌入在某一拓撲空間T中的圖G稱為拓撲圖，即,圖G的頂點為拓撲空間T中的點，邊為連結其兩端點的簡單曲線,且任意兩邊除端點可能公共外無其他公共點。若拓撲空間T為曲面S且S\G的每個連通片都是單連通區(qū)域,則稱G為曲面S上的地圖，記為M。用G(M)表示由M的頂點和邊所構成的圖，地圖M的可定向性是由曲面S的可定向性確定的。即,若S為可定向的，則稱M為可定向地圖，否則稱M為不可定向的，曲面S的虧格稱為地圖M的虧格。若記v,ε和φ分別為M的頂點數、邊數和面數，則事實上，這個公式是于1812-1813年間由呂里爾(Lhuilier,S.J.)給出的.因為歐拉(Euler,L.)第一個注意到這類關系，這個公式仍稱為歐拉公式。其中E(M)稱為地圖M的歐拉示性數。對于地圖M，在其每一面的內部選取一點作為頂點，對于每條邊e，將與其關聯(lián)的兩面中選定的頂點用一條簡單曲線e′連結，使得e′除與e有一個公共點外不與M的其他任何邊有公共點。這樣得到的地圖M′稱為M的對偶地圖，這里的對偶性也是對稱的，即,若M′為M的對偶地圖,則M也為M′的對偶地圖，若(不)可定向地圖M對于任何虧格小于M的虧格的(不)可定向地圖M′,G(M)與G(M′)是不同構的，則稱M是(不)可定向的最大地圖。因為在所有那些與G(M)同構的地圖中，這個M的面數最多。若M是曲面S上的地圖,且M的每個面都是三角形，則稱M是S的一個三角剖分。凡三角剖分都是最大地圖,但反之則不然，另一方面,若(不)可定向地圖M，對于任何虧格大于M的(不)可定向地圖M′，G(M)與G(M′)不同構，則稱M為最小地圖，因為在所有與G(M)同構的地圖中以這個M的面數為最少，若一個地圖僅有一個面,則稱它為單面地圖，凡單面地圖均是最小地圖，但反之則不然。亦稱復形的基礎空間，一類特殊的拓撲空間.復形是代數拓撲中的基本概念，以它作為工具進行研究，而最終目的是得出它所給出的拓撲空間，也就是多面體的拓撲性質，若K是n維歐氏空間R中的復形,則K中全體單形的所有點組成的集合作為R的子空間稱為K的多面體，記為|K|，K稱為多面體|K|的一個單純剖分或三角剖分。一般地，多面體可以有不同的單純剖分.有限復形的多面體是緊致空間。在二維場問題中，涉及的區(qū)域是以Γ為邊界的平面區(qū)域Ω，三角剖分是常用的形式，它適用于各種幾何形狀的區(qū)域和非均勻介質的情況。其剖分原則是：將Ω劃分為若干三角形單元，三角形的頂點稱為節(jié)點，用相鄰邊界節(jié)點連成的折線及其圍成的區(qū)域近似代替曲線邊界Γ和區(qū)域Ω，如圖1。每個單元的頂點只能是相鄰單元的頂點，不能是相鄰單元邊上的內點，圖2的情況是不容許的。在u(x，y)變化可能劇烈的地方，網格要密，變化較小的地方網格可稀一些。將所有單元和節(jié)點逐一編號，其方式和次序可以任意，不影響計算結果，但節(jié)點編號的次序對求解有限元法方程的工作量有重大影響。一般應將待定參數的節(jié)點集中在小號區(qū)，將節(jié)點參數已知的集中在大號區(qū)，而其中的零值節(jié)點則集中到最后。要求兩個相鄰節(jié)點編號之差的絕對值中的最大者愈小愈好，例如，圖3區(qū)域的三角剖分，(a)的編號方式形成的帶狀總體系數矩陣的帶寬要比(b)的小，從而更節(jié)約存儲和計算量。三維地質建模中不僅會遇到平面點集的三角剖分，還會遇到多邊形的剖分問題。這里主要介紹簡單多邊形的三角剖分問題。簡單多邊形具有以下幾何特征：(1)多邊形的邊界是由若干個結點順序連接而成的閉合環(huán)，任意相鄰兩個結點對定義了一條有向邊；(2)任意兩條有向邊的交要么為多邊形的邊界上的一個結點，要么為空；(3)經過多邊形的邊界上的任一個結點，有且僅有兩條有向邊。圖4中(a)中的多邊形不滿足上述條件(1)，圖4中(b)不滿足上述條件(2)，圖4中(c)中的多邊形不滿足上述條件(3)，圖4中(d)中多邊形屬簡單多邊形。簡單多邊形的三角剖分問題是指將簡單多邊形劃分成若干三角形的集合，即將簡單多邊形所圍區(qū)域劃分成二維單純復形，而且，任意三角形的頂點均為簡單多邊形的邊界結點。由于簡單多邊形的三角剖分網格中，三角形的頂點均為簡單多邊形的邊界結點，所有三角形的邊只能來自簡單多邊形的邊與對角線。根據這個特點，我們可以采用對角線法進行簡單多邊形的三角剖分，算法過程如下：(1)計算任意兩非相鄰結點之間的距離，即對角線長度，并存儲到數組T中；(3)按照對角線從短到長順序從T中提取對角線t，并從T中刪除t，如果t不與其他邊相交且位于多邊形內，則t定是三角剖分的一條邊；(4)如果t是三角剖分的一條邊，則判斷t是否構成某個三角形的邊；對于一些簡單的模型重建出來的點比較少，可視性差，有圖5所示的兩幅從不同角度拍攝的圖像，重建的離散的點數據不能直觀地反映物體的結構，而且為了生成照片級別的具有真實感的模型或場景，先要對這些離散的點進行三角剖分。進行空間點的三角剖分可以有兩種方法：一種是直接對空