高中數(shù)學同步講義（人教A版選擇性必修三）第12講 7.3.2 離散型隨機變量的方差（學生版）

第05講7.3.2離散型隨機變量的方差課程標準學習目標①通過具體實例，理解離散型隨機變量分布列的方差。②能解決與離散型隨機變量相關的數(shù)學問題與實際問題中與方差的求解問題。③能解決一些穩(wěn)定性的簡單問題與決策性問題。通過本節(jié)課的學習,要求掌握離散型隨機變量的方差、標準差的求解，能解決與之相關的簡單問題，有關決策性問題的處理意見與建議。知識點1：離散型隨機變量的方差（1）離散型隨機變量的方差的概念一般地，若離散型隨機變量的概率分布列為：…………則稱為隨機變量的方差，有時也記為.稱為隨機變量的標準差.（2）離散型隨機變量的方差的深層理解①離散型隨機變量的方差是個數(shù)值，是隨機變量的一個重要特征數(shù).描述了()相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均值，刻畫了隨機變量的取值與其均值的平均偏離程度.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度，越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.②標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方.③均值與方差的關系在實際問題中僅靠均值還不能全面地說明隨機變量的特征，還必須研究隨機變量的集中與離散程度，這就需要求出方差.④方差公式的變形：⑤方差也是一個常數(shù)，它不具有隨機性，方差的值一定非負.（3）兩點分布的方差公式一般地，如果隨機變量服從兩點分布，那么:.10【即學即練1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵，，∴，∵，，二次函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，∴，，且.故選：D（4）方差的性質若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關系可知.【即學即練2】（2024·全國·高二假期作業(yè)）若隨機變量滿足，則（

）A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2【答案】C【詳解】因為，所以.故選：C知識點2：樣本方差與離散型隨機變量方差的比較（1）樣本方差樣本數(shù)據(jù)；；；；記均值：，其中.方差：（2）離散型隨機變量方差離散型隨機變量的分布列…………均值方差：【即學即練3】（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是．8910P0.30.20.58910P0.20.40.4【答案】乙【詳解】由題意知：，，所以，，因為，所以乙更穩(wěn)定．故答案為:乙．知識點3：求離散型隨機變量的方差步驟(1)理解離散型隨機變量的意義，寫出所有可能的取值.(2)判斷離散型隨機變量是否服從特殊分布（如兩點分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續(xù)下面步驟.(3)求出離散型隨機變量取每個值的概率.(4)寫出離散型隨機變量的分布列.(5)利用均值的定義求.(6)利用求方差.其中求均值的關鍵是寫出離散型隨機變量的分布列，前提是準確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.題型01求離散型隨機變量的方差、標準差【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）甲乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求隨機變量的概率分布、數(shù)學期望和方差．【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習）袋中有形狀、大小完全相同的3個球，編號分別為1，2，3.用表示取出的2個球中的最大號碼，有放回地從袋中取兩次，每次取1個球(1)寫出的分布列；(2)求的均值與方差.【典例3】（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立.(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學校的總得分，求的分布列與期望.(3)設用表示甲學校的總得分，比較和的大小（直接寫出結果）.【變式1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，．在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的概率分布、均值及標準差．【變式2】（2024·全國·高三專題練習）小王去自動取款機取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學期望及方差．【變式3】（2023下·湖北宜昌·高二?？茧A段練習）新高考數(shù)學試卷中多選題規(guī)定：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．在做數(shù)學卷多選題時考生通常有以下兩種策略：策略A：為避免有選錯得0分，在四個選項中只選出一個自己最有把握的選項，將多選題當作“單選題”來做；策略B：爭取得5分，選出自己認為正確的全部選項，本次考試前，某同學通過模擬訓練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：策略概率每題耗時（分鐘）第11題第12題A選對選項0.80.53B部分選對0.60.26全部選對0.30.7已知該同學作答兩題的狀態(tài)互不影響，若該同學此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B，第12題采用策略A，設他這兩題得分之和為X，求X的分布列、均值及方差．題型02離散型隨機變量的方差公式及性質【典例1】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知隨機變量的分布列如表：012mn若，則．【典例2】（2024上·陜西渭南·高二?？计谀╇S機變量的分布列如下表，則；.012【典例3】（2024·全國·高三專題練習）離散型隨機變量X的分布為：01245若離散型隨機變量Y滿足，則下列結果正確的為．①；②；③；④．【變式1】（2024上·遼寧·高二盤錦市高級中學校聯(lián)考期末）設隨機變量的方差，則的值為.【變式2】（2024·全國·高三專題練習）設樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若，，且的均值為5，則方差為.【變式3】（2024·全國·高三專題練習）隨機變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab題型03兩點分布的方差【典例1】（2023·全國·高二專題練習）已知隨機變量滿足，，其中.令隨機變量，則（

）A． B．C． D．【變式1】（2023下·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的方差為．題型04方差的實際應用【典例1】（2023上·全國·高三專題練習）甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y(單位：s)，其分布列為甲品牌的走時誤差分布列X－101P0.10.80.1乙品牌的走時誤差分布列Y－2－1012P0.10.20.40.20.1試對兩種品牌手表的性能作出描述：．【典例2】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(2)商場對獎勵總額的預算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標有面值15元和2個標有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標有面值20元和2個標有面值40元的兩種球組成.【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個風險理財項目的年利潤率分別為和，利潤率為負表示虧損，根據(jù)往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到和的分布列：510-2P0.60.150.254612-2.5P0.20.50.10.2現(xiàn)有200萬元資金準備投資到甲、乙兩個風險理財項目一年．(1)在甲、乙兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資項目甲和乙所獲得的年利潤，求和；(2)項目甲投資x萬元，項目乙投資萬元，其中，，用表示投資甲項目的年利潤方差與投資乙項目的年利潤方差之和，問該如何分配這200萬元資金，能使的數(shù)值最?。俊咀兪?】（2024·全國·高二假期作業(yè)）設有甲、乙兩地生產(chǎn)的兩批原棉，它們的纖維長度X，Y的分布如表1、表2所示．表1X252423222120P0.10.20.30.10.10.2表2Y252423222120P0.050.20.250.30.10.1試問：這兩批原棉的質量哪一批較好？【變式2】（2024·全國·高三專題練習）為了解某中學高一年級學生身體素質情況，對高一年級的(1)班(8)班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學生進行身體素質監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學生中身體素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（軸表示對應的班號，軸表示對應的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點圖預測高一年級學生身體素質情況，從高一年級學生中任意抽測1人，求該生身體素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計的高一（2）班和高一（4）班的學生中各抽出1人，設表示2人中身體素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學期望；(3)假設每個班學生身體素質優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學生的身體素質優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學，用“”表示第班抽到的這名同學身體素質優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學身體素質不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關系（不必寫出證明過程）．【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營造良好的文化氛圍，增強文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競答活動，該活動有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項.據(jù)統(tǒng)計，中小學生參與該項知識競答活動的人數(shù)共計4.8萬，其中獲獎學生情況統(tǒng)計如下：獎項組別單人賽PK賽獲獎一等獎二等獎三等獎中學組4040120100小學組3258210100(1)從獲獎學生中隨機抽取1人，若已知抽到的學生獲得一等獎，求抽到的學生來自中學組的概率；(2)從中學組和小學組獲獎者中各隨機抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)從獲獎學生中隨機抽取3人，設這3人中來自中學組的人數(shù)為，來自小學組的人數(shù)為，試判斷與的大小關系.（結論不要求證明）A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）若隨機變量滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2023上·高二課時練習）已知隨機變量X的分布列是X123P0.40.20.4則等于（

）A．0 B．0.8 C．2 D．13．（2023·江蘇·高二專題練習）若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（

）A．12 B．9 C．6 D．34．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列如下表所示：012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<5．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為：則隨機變量的方差的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2023上·高二課時練習）已知隨機變量ξ的分布列如下：若，則的最小值等于（

）A．0 B．2C．1 D．7．（2023上·高二課時練習）設，隨機變量的分布列為012Pb則當在內(nèi)增大時（

）A．增大B．減小C．先減小后增大D．先增大后減小8．（2023下·廣東東莞·高二東莞實驗中學?？茧A段練習）已知隨機變量X的概率分布如表.當在內(nèi)增大時，方差的變化為（

）X1PA．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大二、多選題9．（2023下·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023下·高二課時練習）（多選）下列說法中錯誤的是（

）A．離散型隨機變量的均值反映了取值的概率的平均值B．離散型隨機變量的方差反映了取值的平均水平C．離散型隨機變量的均值反映了取值的平均水平D．離散型隨機變量的方差反映了取值的概率的平均值三、填空題11．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學校考期末）離散型隨機變量的分布列為，，2，3，…，6，其期望為，若，則.12．（2023下·福建福州·高二校聯(lián)考期中）隨機變量的概率分布列如下：－101其中，，成等差數(shù)列，若隨機變量的期望，則其方差＝．四、解答題13．（2023上·江西上饒·高二?？计谀┠尘W(wǎng)站為研究新聞點擊量的變化情況，收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點擊量變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述新聞點擊量變化時，用“↑”表示“上漲”，即當天新聞點擊量比前一天新聞點擊量高；用“↓”表示“下降”，即當天新聞點擊量比前一天新聞點擊量低；用“－”表示“不變”，即當天新聞點擊量與前一天新聞點擊量相同.時段新聞點擊量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用頻率估計概率.(1)試估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”的概率；(2)從樣本中的前15天和后15天中各隨機抽取1天，記表示其中該網(wǎng)站新聞點擊量“上漲”的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)從樣本給出的30天中任取1天，用“”表示該天新聞點擊量“上漲”，“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”，然后繼續(xù)統(tǒng)計接下來的10天的新聞點擊量，其中有6天“上漲”、3天“下降”、1天“不變”，相應地，從這40天中任取1天，用“”表示該天新聞點擊量“上漲”，“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”，直接寫出方差，大小關系.14．（2023下·新疆巴音郭楞·高二?？计谀┮阎S機變量X的分布列為X01xPp若，(1)求的值;(2)若，求的值.B能力提升1．（2023上·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學校考階段練習）為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調查結果如表：運動鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度注：1．滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總人數(shù)的比值；2．對于每位回訪顧客，只調研一種款式運動鞋的滿意度．假設顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．(1