解三角形與三角函數(shù)題型綜合訓(xùn)練（典型例題+練習(xí)）-2023年高考數(shù)學(xué)（新高考通用）解析版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題08解三角形與三角函數(shù)題型綜合訓(xùn)練

一、梳理必備知識

1.正弦定理

工=[=-=2R.(其中R為ΔABC外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

OQ=27?sinA,b=27?sin8,c=2RsinC;(邊化角)

=sinA=&,sinB=-,sinC=—;(角化邊)

2R2R2R

2.余弦定理：

b2+c2-a2

λcosA=-------------

2bc6Z2=Z72+C2-2∕?CCOSA

tz2+c2-b2

cosB=-----------<--h2=a1+c2-2。CCOSB,

2ac

c2=a2+b2-2abcosC.

cos。1W

2ah

3?三角形面積公式:

SMBC=("sinC=gbcsinA=(Qcsin5=j(a+b+c)r(r為三角形ABC的內(nèi)切圓半徑)

4.三角形內(nèi)角和定理：

在^ABCdp,有A+8+C=%OC=%-(A+B)=C=M-^^O2C=2%-2(A+8).

222

5.二倍角的正弦、余弦、正切公式

①sin2α=2sinαcosa

②cos2cr=cos2a-sin2a-2cos2a—1=l-2sin2a

1+cos=2cos2a

升鼎公式：＜

1-cos2a=2sin2a

cos2a=1^(1+cos2a)

降塞公式：＜1

Sin2a=專(I-cos2α)

?

③tan2a=--2--t-a-n-a.

1-tana

6.

asinx±?cosx=>Ja2+h2sin(x±φ)，(其中tan。=7)；

輔助角公式

_______________________________求/(x)=ASin(Ox+9)+B解析式_______________________________

AB求法A+8=f（x）

方法一：代數(shù)法■λa'7方法二：讀圖法B表示平衡位置；A表示

[-A+B=fMmin

振幅____________________________________

。求法2TF

方法一：圖中讀出周期T,利用T==求解；

ω

方法二：若無法讀出周期，使用特殊點(diǎn)代入解析式但需注意根據(jù)具體題意取舍

___________________________________??.___________________________________

。求法方法一：將最高（低）點(diǎn)代入>X）=ASin3x+e）+3求解；

方法二：若無最高（低）點(diǎn)，可使用其他特殊點(diǎn)代入〃X）=ASin（S+s）+B求解；

______________________但需注意根據(jù)具體題意取舍答案.______________________

7.三角形中線問題

如圖在ΔΛBC中，。為CB的中點(diǎn)，2AO=AC+43,然后再兩邊平方，轉(zhuǎn)A

化成數(shù)量關(guān)系求解！（常用）XA

8.角平分線//'

如圖，在AABC中，A。平分NBAC,角A,8,C所對的邊分別為。，b,C//

①等面積法/

StMC=S^ABD+SiMC=B

IIAIΔ

—AB×ACXSinA=—AB×AD×sin-÷-AC×AD×sin-（常用）

22222

②內(nèi)角平分線定理：

ABACTABBD

—=—Sc—=----

BDDCACDC

AR?

③邊與面積的比值：不=d

ACJADC

9.基本不等式（最值問題優(yōu)先用基本不等式）

①瘋43

2

②a?+Z?2≥2ah

10.利用正弦定理化角（函數(shù)角度求值域問題）

利用正弦定理α=2RsinA,匕=2RSinB,代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角

的取值范圍，求面積或者周長的最值。

【常用結(jié)論】

①在ΔAθC中，tz>Z?osinA>sinB<≠>Λ>

②sinIA=sinIB,則A=+B=-.

2

③在三角函數(shù)中，SinA>sin8oA>B不成立。但在三角形中，SinA>sinBoA>B成立

二、三角函數(shù)與解三角形題型綜合訓(xùn)練

π

1.(2023春?福建莆田?莆田一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ASin(S+9)A>0,O>0,M∣<2的部分圖

象如圖所示:

⑴求方程“X)=2的解集;

π-小+卷的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)求函數(shù)g(x)=/X-------

12

【答案】⑴卜∣x=>EMeZ

.715兀.r

(2)E-,κπ+f一,左∈Z

1212

￡，0)在函數(shù)圖象上得*;再根據(jù)點(diǎn)(0,1)在函數(shù)圖象上得A,

【分析】(1)觀察圖象可得周期。，根據(jù)點(diǎn)

求得解析式，進(jìn)而求出解集;

∣∣利用三角函數(shù)單調(diào)性可得答案.

(2)首先將g(x)化簡為g(x)=2?∣in2x-j,

5π7π)2πC

【詳解】(D由圖象可知，周期T=——+——=π,.?.——=2,

1212Jπ

5π，0)在函數(shù)圖象上，.?.Asin(2x,+"=0,

T點(diǎn)^n

..(5π?

?.sinI-?+￠9I=0n,

解得女+>=7i+2π%,φ=2τιk+Z∈Z,

66

.Iππ

??仁，??二

；點(diǎn)(0,1)在函數(shù)圖象上，.,.AsinF=I,A=2,

O

???函數(shù)/(x)的解析式為/(X)=2sin∣2x+^j,

由/(X)=2sin[2%+看)=2得Sinl2工+看

=1,

6

TTTTTT

2x+-=-+2kπ,k∈Z,解得X=—+Aπ,A∈Z,

626

所以解集為卜IX=S+E,keZ卜

(2)-?x+?

由(1)知"x)=2sin(2x+J

π

g(x)=2sin2x^?+--2sinx++—=2sin2x-2sin∣2x+-

6H?)63

-^COS2Λ?=sinZr-Gcos2x=2sin[2x-g),

=2SinZr-2—sin2r+

2

√3

由-q+27iZ≤2r-3≤3?+2τrZ,Z∈Z,^πk--<x<πk+-f

2321212

二函數(shù)8任月卜培-小+目π的單調(diào)遞增區(qū)間為λ≡z?

12

2.(2023春?寧夏吳忠?青銅峽市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)/(x)=ASin(5+s)(A,。，9為常數(shù)，且

A>0,ω>0,∏<^)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式及圖中b的值;

⑵將"x)的圖象向左平移F個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在上的單調(diào)減區(qū)間.

OL2.

TT

【答案】(l)∕(x)=2sin(2x+?),1

O

(2)0?f

【分析】(D由函數(shù)的最值可求出A=2,由圖可知[3丁=S二jr-(-7t弓)3τ=r?,再結(jié)合周期公式可求出口=2,

41234

然后再(1,。)代入函數(shù)中可求出夕，從而可求出函數(shù)解析式.

(2)由函數(shù)圖象變換規(guī)律求出g(x)的解析式，再由2E≤2x≤τt+2E可求出函數(shù)的減區(qū)間.

【詳解】⑴由題意知，A=2,?一?7=T=2,當(dāng)X喑時(shí),

,IIπ_5π.._π

由M<5,2、衛(wèi)+。二κπ,κ∈Z,,(P=?所以∕*)=2sin(2x÷?).

6

Tr

所以b=∕(0)=2sin^=l.

O

TTTT

(2)g(x)=2sin[2(x+—)+—]=2cos2x,

66

兀

由2Aπ≤2x≤7t+2?π,?∈Z,解得?π≤x≤'+E,Z∈Z.

因此，函數(shù)g(x)在圈]的單調(diào)遞減區(qū)間為°弓

3.(2023春?湖北十堰?校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=si∏Λ-辰OS?.

⑴若x∈0弓,且函數(shù)/(x)=∣,求cos(1+”的值；

(2)若將函數(shù)f(x)圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的再將所得圖像向左平移;個(gè)單位長度,

得到g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)在H上的最小值.

【答案】⑴-逑

3

⑵g(X)min=T

【分析】(1)化簡“X)并結(jié)合題意可得sin[x-§Jh結(jié)合X的范圍可求得CoS,然后利用

誘導(dǎo)公式可得cos(與+x)=-CoS(X-W｝即可求解;

(2)先利用圖象變換得到g(x)=2sin(2x+^),然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值

【詳解】(1)由題意可得/(x)=Siilr-GCOsx=2sin(x-])=?∣,

co?÷X-cosf2πλ^∣(兀)(哈2Λ∕2

s］

I3)乃一6+xJ一COSbrJ一COS卜一引_---.

(2)將函數(shù)/(x)圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的/,再將所得圖像向左平移3個(gè)單位長

度，得到g(x),???g(x)=2sin[2[x+;[-1=2sin(2x+^),

因?yàn)閄Jo閭,所以2x+31,勻,

L2J6|_66」

所以當(dāng)2x+g=?時(shí)，即X=S時(shí)，g(x)mM=2xJ9=-l

4.(2023春?浙江寧波?余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinxcosx-辰os、，將函數(shù)/(x)的圖象向

左平移?個(gè)單位長度，可得到函數(shù)g(x)的圖象.

⑴求函數(shù)g(x)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)Xe?時(shí)，磯χ)+g(χ)≥2^亙-梟“+1)恒成立，求正數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)g(x)=sin(2x+6)—?^?,—三+也,2+?(k∈Z).

⑵(。，向

【分析】(1)由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，然后平移變換得到函數(shù)g(x)的表達(dá)式，再利用

正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論即可；

(2)根據(jù)題意，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為$皿(2》一5+可之；，然后利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)列出不等

式求得自4。4個(gè)，再結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.

o2

1n

【詳解】(1)由題意可知，/(x)=sinxcosx-Λ∕3COS2X=—sin2x--y-(cos2x+1)

_1.?百?V3_.f?πA√3

=-sin2x------COS2A--------=sin2x-------------

222I3J2

√3

g(χ)=√=Sinl2x+^

2T

由---F2.kτι≤2xH—≤—F2Λττ,Ar∈Z得1

262

8(司的單調(diào)遞增區(qū)間為[_￡+祈3+初(丘2),

?O

所以函數(shù)g(x)的表達(dá)式為g(x)=sin2x÷^-2

2,

TTTT

單調(diào)遞增區(qū)間為[-彳+E,N+?π](?∈Z).

36

不等式〃

(2)qf(x)+g(x)≥Y[+[-?(+1)可化為asin(2x-三)+Sin(2x+()≥，2+1,

〉」容+

可化為αsin[2x-m)+sinHx-yj÷-∣1

--T~

可化為αsin(2x一+cos2%-W)N1,

可化為門卡冶卜

cosIx--≥-

I32

cosθ=—==,sin=—==,由Q〉0,可得0<6<2,1@118=，,

Λ/〃-+1?JQ+12CI

上面的不等式可化為sin^2Λ-∣+φl,

當(dāng)工￡(殳,工]時(shí)，l<2x<-,0<2x--<-,θ<2x--+θ<-+θf

63J333333

(、θ≥-,

I八八兀f-兀兀八5兀

由0<6v-,有一<一+。<—若sin2x-^+0恒成立，只需要6可得

2336I3J2^+θ≤-62

.3^6,

又由0<γ,有產(chǎn)*,可得te}t嗚解得0<αv5

由上知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,G].

5.(2023春.安徽滁州?安徽省滁州中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知mh,C為AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊,

21

且/=a+b-ab

⑴求角C

(2)若sinB<sinC,b=4,。為BC的中點(diǎn)，AD=√13,求AABC的面積

【答案】(I)C=三；

(2)6√3.

【分析】(D根據(jù)余弦定理邊角互化即可求解；

(2)根據(jù)余弦定理可求CD值，進(jìn)而可求a,根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】(1)由題可得/+〃一°2=",

由余弦定理得cosC="+"7=

2ah2

因?yàn)镺<C<π,

所以c4;

(2)在三角形ADC中，AD-=AC2+CD2-2AC-CDcosZACD,

BP13=I6+CD2-4CD,

解得CO=I或CD=3,

即。=2或α=6,

因?yàn)閟in8<sinC,所以由正弦定理可得b<c,故B<C,

因?yàn)镃=1,

所以A>C>8,故a>c>b,

所以4=6,

所以SAABC=5。匕SinC=]x6x4x=6?ν3?

6.(2023春?河北唐山?高三開灤第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))在斜AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,

2

c,sin2A-2^sinA=-2Λ^,AZ)平分/3AC交BC于點(diǎn)。，AP-I.

(1)求A的大??；

(2)若α=2右，求AABC的面積.

【答案】(DA告

⑵亞.

4

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換結(jié)合條件可得tanA=-6,即得;

(2)由SZU(C=S,uω+SAs利用三角形的面積公式可得歷=c?+6,由余弦定理?xiàng)l件可求得兒的值，再由三

角形的面積公式即可求解.

【詳解】(I)由sin2A-2道SiMA=-2石，∏Γ≈f?2sinAcosA=-2√3cos2A,

又A為斜AABC的內(nèi)角，cosA≠0,

所以tanA=-?/?,

又O<A<π,所以4=不；

TT

(2)因?yàn)锳Z)平分，84C交BC于￡>,所以NBA。=NeAo=§,

由SMC=Sftu)+SCAD，∏Γ^∣?csiny=→-ADsin→^??ADsiny,

所以8C=C+/?,

由余弦定理a1=b2+c2-2bccosAfBP20=(?+c)2-?c,

所以(be)2-?c-2O=O,即(be-5)(?c+4)=0,

可得。c=5(負(fù)值舍去)，

所以S=LoCSinZBΛC=-bc=^^-?

244

7.(江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試題)在"C中，角A,B,

所對的邊分別為α,b,C91+sin2A=(3tanβ+2)cos2A.

⑴若C=手，求tanB的值；

4

(2)若A=8,c=2,求43C的面積.

【答案】(l)tan8=]

⑵3

3

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換可得tan(A+；)=2tanB+2,結(jié)合條件可得關(guān)于tan8的方程，進(jìn)而即得；

(2)根據(jù)條件可得tanA="，進(jìn)而可得”=。=冬叵，然后根據(jù)三角形面積的公式即得.

33

【詳解】⑴若C=手，則A+8=J,

44

因?yàn)閘+sin2A=(3lan8+2)cos2A,cos2A≠0,

emul+sin2A(sinA+cosA)^sinA+cosAtanA÷1fπλ(?,、八

所以-------=1-a---------2-=------------------=------------=tanAλ+-=3tanB+2,

cos2ACoSA-Sinr~ACOSA-SinA1-tanA(4)

所以tan_5)=3tan8+2=>―,=3tanB+2,

解得tan8=;或T,因?yàn)锽e1,；｝

所以tanB=g；

(2)若A=B,由tan(A+R=3tanB+2,可得處對=3tanA+2,

I4；1-tanA

整理可得tan?A=g,即tanA=±—,

因?yàn)锳=Be(O卷)，所以tanA=3，A=B=^,所以C=等，

_C_2√3

所以ABC是以C為頂角的等腰三角形，"=%=[==丁，

2cos—

所以TWC的面積為S=LZJSinC=Ix^^?x^^?x走=也.

223323

8.(2023?天津和平?統(tǒng)考一模)已知,ΛBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為0,6,c,且(?cosC+ccos8)tanA=-島.

(1)求A的大?。?/p>

(2)若α=J7,b=l,

(1)求JIBC的面積；

(ii)求COS(2C-A).

【答案】(I)A=與;

⑵⑴烏(ii)?.

214

【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和得正弦公式及三角形內(nèi)角關(guān)系即可得出答案；

(2)利用余弦定理求得邊c,根據(jù)三角形面積公式可得面積，再根據(jù)余弦定理可得CoSC,再利用二倍角

公式及和差角公式即得.

【詳解】(1)因?yàn)樗鸆oSC+ccosB)tanA=-Ka,

所以(SinBcosC+sinCcosB)tanA=-?∣3sinA,

即sin(B÷C)tanA=-?∣3sinA9

貝!]sin4tanA=-GsinA,

因?yàn)锳∈(0,τr),所以SinAH0,

所以tanA=-?∣3,

所以4=與；

(2)(i)由余弦定理得Y=從+c2-2ftCCoSA,

即7=1+C2+C,解得C=-3(舍去)或C=2,

所以ABC的面積為S='bcsinA='χlx2x走=正；

2222

(ii)由上可得CoSC=JQ二^=上M=班，又C∈(0,π),

2ab2√77

所以SinC=Vl-cos2C=

7f

所以sin2C=2sinCcosC=^2∣1-,cos2C=cos2C-sin3C=^,

77

11

所以CoS（2C-A）=CoS2CcosA+sin2CsinΛ=y×+迪淖

7214

9.（2022?河北衡水?統(tǒng)考二模）在AABC中，角A,B,。所對的邊分到為。，b,c,已知

b2-2bccosA=a2-2accosB,c=2.

（1）證明：AABC為等腰三角形；

（2）設(shè)AABC的面積為S,若,S的值在①7cos8=2cosC;②CA?C8=2S;③片+/=8/三

個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)填入上面空白處，并求解.

【答案】（1）證明見解析

⑵選①：S=\[\5;選②：S=l+y∣2;選③：S=V15

【分析】（1）由三角形的余弦定理，結(jié)合三角形的形狀即可得證.

（2）分別選①②③，運(yùn)用余弦定理、同角的基本關(guān)系和向量數(shù)量的定義、面積公式，可得所求值.

（1）

證明：因?yàn)閺?2?ccosA=a2-2accosB

所以。2+c2-2Z?ccosA=a1+c1-IaccosB

22

由余弦定理可知，a=b9即。=8，即ABC為等腰三角形.

（2）

解：由題意得：

選①：由（1）可知，A=B9所以C=萬一28

所以7cosB=2cosC=2cos（4一25）=-2cos2B=2-4cos2B,

整理得：4COS2B+7COSB-2=0,解得COS8=1,

4

77

所以CoSC=—cosB=—,

28

所以SinC=JI-COS2C=M?

8

又由COS3=L,可得α=4,

a

所以S=JSinC=Lχ4x4x^^=Vt5;

228

選②：因?yàn)镃A?C3=2S

JT

所以〃cosC=?2sinC>解得C=-,

4

所以4=2/一2八立，得〃2=4+2&,S=-!-?×-=—×（4+2√2）=l+√2;

2224>

選③：S?tz2÷?2=8C2,且4=b,c=2

所以α=b=4

a2+b2-c216+16-47

故cosC=

2×4×48

因此SinC=JI-COS?C=叵

于是S=L∕>sinC='x4χ4x-=

10.(2022?全國?高三專題練習(xí))?φsinAcosB+cosAsinB=—;②X=COSC是函數(shù)/(x)=2x?+x-l的一個(gè)

2

零點(diǎn)；③已知函數(shù)/(x)=SinHX+?1且/(C)=I.從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以

解答：

已知ΛBC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是“，b,c,且/C為銳角.若,且C=為CoSB,

試判斷一ABC的形狀

【答案】等邊三角形

【分析】由c?=2αCosB,利用正弦定理將邊化角，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和、差的正弦公式得到Sin(A-B)=0,

即可得到A=8,再根據(jù)所選條件求出C=與，再由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)閏=2acosB,由正弦定理可得SinC=2sinAcos5,

即Sin(A+3)=2SinAcosB,所以SinACOS5+cosAsin3=2sinAcosb,所以SinACOSB-8sAsin8=0,所

以Sin(A-8)=0,因?yàn)锳、B為三角形的內(nèi)角，所以A—3=0,即A=B;

若選①SinACOS3+cosAsin3=^^,貝!)sin(A+5),即SinC=孚，因?yàn)镹C為銳角，所以C=(,又

TT

A=B,A+B+C=π,所以A=B=C=5,故ABC為等邊三角形；

若選②X=COSC是函數(shù)/(x)=2χ3+x-l的一個(gè)零點(diǎn)，令f(x)=2χ2+x-l=0,解得χ=?∣或*=一1,因?yàn)椤狢為

銳角，所以COSC=；,所以C=5,又A=3,A+B+C^π,所以A=B=C=故ABC為等邊三角形；

若選③已知函數(shù)/(x)=sin]x+?),且/(C)=I,所以f(ehsin?)=],所以

∣C+y=→2??∈Z,解得C=g+4勿r,AeZ,因?yàn)镹C為銳角，所以C.,又A=B,A+B+C=π,

TT

所以A=B=C=?,故ABC為等邊三角形；

11.(2022?全國?高三專題練習(xí))隨著我國房地產(chǎn)行業(yè)迅速發(fā)展和人們生活水平的不斷提高，大家對住宅區(qū)

的園林綠化設(shè)計(jì)提出了更高、更新的要求，設(shè)計(jì)制“人性化，生態(tài)化、自然化”的園林式居住區(qū)，以提高現(xiàn)代人

的生活質(zhì)量，成為當(dāng)今住宅區(qū)園林綠化的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則.某小區(qū)有一片綠化用地，如圖所示，區(qū)域四周配植修剪

整齊的本土植物，中間區(qū)域合理配植有層次感的高、中、低植物，BD為鵝卵石健康步道，ADHBC,A=∣,

AD=20m,AB=BC=16m.

(1)求鵝卵石健康步道3。的長(單位：m)；

(2)求綠化用地總面積(單位：n√).

【答案】(l)4V∑Tm

(2)144√3m2

【分析】(1)在中利用余弦定理計(jì)算可得;

(2)在AABD中，由面積公式計(jì)算S八電，由余弦定理求出COSzAB￡>,即可得到SinZA8Z),再根據(jù)兩角

差的正弦公式求出SinNC即，即可求出SMs,即可得解;

【詳解】(1)解：?ΛABDΦ?RTBD2=AD2+AB2-2AD?ABcosΛ=202+162-2×20×16

x'=336,

2

即BO=4√Hm.

(2)解：在△?￡)中，SMn=LAB?AO?sinA=1χl6x20x?^=8θGm2.

abd222

由余弦定理可得cosNABD=—5一AD2=叵

2?ABBD14

____________S萬

貝UsinAABD=√1-cos2ZABD=-

14

因?yàn)锳￡)〃3C,A=g,所以NABC=-?,在43CD中，ZCBD=--ZABD則

?33

11?In

貝I」SABCD=-BCBDsinNCBD=-×16×4√21X?=64√3m2

2

所以綠化用地總面積為S4ABD+SΔBCD=8O√3+64√3=144√3m.

12.(2022?高三課時(shí)練習(xí))如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，NB=I20。，AB=2,AD=2√2,ABC的面積

為名.

⑴求AG

⑵求NZACD

【答案】(1)2G

(2)45°

【分析】(D根據(jù)面積公式可得BC=2,再根據(jù)余弦定理求解可得AC=26；

(2)根據(jù)內(nèi)接四邊形可得/￡>=60。，再根據(jù)正弦定理求解即可

【詳解】(1)因?yàn)棣獴C的面積為G，所以;ABBCSinNB=6.

又因?yàn)椤?120。，AB=2,所以BC=2.

由余弦定理得，AC2=AB2+BC-2AB-BCcosZB,

AC2=22+22-2×2×2COS120O=12,所以AC=26.

(2)因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，且々=120。，所以〃=60。.又小>=2及，由正弦定理可得，

ADAC,.,Af)SinZD2>∕2sin60o&,.?,...,NCO

--------=,故4SinNACrO==——=——=4.因m為jAC>AZr),所ec以μl0n。o<ZACλDλλ<60。，

sinZACDsinZD-------------------AC--------2√132

所以/48=45。.

13.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,已知〃=4,

c=?∣3>β=30

⑴求心的值；

⑵求SinC的值；

(3)若。為邊BC上一點(diǎn)，且CoSN4DC=-g,求8。的長.

【答案】（i）b=V7

8

【分析】（1）由余弦定理即可求解.

（2）由正弦定理即可求解.

（3）作輔助線根據(jù)解直角三角形知識分別求出DO和BO即可.

【詳解】（I）由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=7

：.?=√7

hCcsinB???2V2T.

（2）由正弦定理：3=碇得Sinc

ByjT4

（3）如圖所示：

A

CD0B

過A作AOJLBC于O,在RtAABO中,AB=√3,NB=300,

二AO=且，Bo=之,在Rt"OO中，COSZAZ）O=g.

22

SinZADO=-ΛtanZAZX?=2√2

3

旦

工d0=———:?=邁

tanZADO2√28

：.BD=BO+DO=-+-=12+λ^

288

14.（2022?高三課時(shí)練習(xí)）如圖,某景區(qū)擬開辟一個(gè)平面示意圖為五邊形A8CZ）E的觀光步行道，8E為電瓶

車專用道，NBCD=NBAE=NCDE=120o,DE=1Ikm，BC=CD=5km.

C'D

⑴求BE的長;

(2)若SinNABE=雙，求五邊形ABCOE的周長.

14

【答案】(1)14km；

(2)37km.

【分析】(1)由題設(shè)易得BO=5√LZBZX?=30°,再在直角△8。E中應(yīng)用勾股定理求BE的長；

28

(2)利用正弦定理求得AE=IOkm且AB=耳sin(60。-Z4BE),結(jié)合差角正弦公式及同角平方關(guān)系求AB,

即可求五邊形ABCDE的周長.

【詳解】(1)由N3C￡)=120。，BC=CD=5km,可得：BD=5√3,NBDC=30。，

而Na>E=120。，故ZBr)￡=90°,

在直角△8。E中Z5E=Ilkm,則BE=屈3瓦7=14km?

一、一AEABBE28,,

(2)由(1)知：Sin4BE=SinZ4E8=SinZBAE一耳'?rɑA￡=10kjn>

282814

A3=wsinZAEB=耳sin(60o-ZABE)=14cosZABE-耳sinZABE,

由sinNABE=述且/ABEe(0,60°),則cosZABE=??,

1414

所以AB=6km.

所以五邊形ABCDE的周長AB+BC+C￡>+￡>E+AE=37km.

15.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,氏C的對邊分別為α,4c,且

(C-aSinC=(αcosC-與sinB+acosBsinC.

⑴求角A；

(2)若H為.ABC的垂心，a=2,求J/8C面積的最大值.

【答案”嗚

(2茁

3

【分析】(1)根據(jù)兩角和的正弦公式以及正弦定理邊角化得兒=62+02一/,由余弦定理即可求解，

兀

(2)根據(jù)垂直關(guān)系可得N8"C=?2,進(jìn)而在4B∕∕C中利用余弦定理，結(jié)合不等式即可求解最大值.

【詳解】(1)由題可得，(C-ZJ)SinC=ac。SCSirLβ-bsinB+αcos8sinC="sin(3+C)-ASinβ=4sinA-Z?SinB

結(jié)合正弦定理可得(c-b)c=/-b2,^hc=b2+c2-a2,

?2+C2-6T2-,又AeO,π兒

cosA=.?.A=.

2bc22

(2)設(shè)邊AC,AB上的高分別為8E,CF則”為BE與CF的交點(diǎn),

JTTT

則在四邊形AF"E中，ZFAE+ZFHE+-+-^2π,

22

?.?ZMf=y,：.NFHE=容故NBHC號,

22

在ABHC中,SBl,c=-BHHCsm—=—BHHC,BH+HC-IBH?∕7C?cos^?4,

甌2343

4

則4=BH?+HC?+BH?HC≥2BH?HC+BH?HC,

當(dāng)且僅當(dāng)BH="C時(shí)取等號?.?.SBHC當(dāng)‘故'"BC面積的最大值為年.

16.(2022.安徽黃山.統(tǒng)考一模)如圖,已知ΛBC外接圓的圓心。為坐標(biāo)原點(diǎn),且。在,ABC內(nèi)部,

Ojr

A(l,0),ZBOC=y.

⑴求NAoB=五,求Ao?AB；

(2)求ΛfiC面積的最大值.

【答案】(I)I+―-④

4

⑵速

4

［分析］⑴由題可得外接圓半徑,即I3=IOAI=IOCl=I,用向量加減法把AB寫為OB-OA,展開代入長度和

角即可求出數(shù)量積；

(2)由圓心角,可求圓周角,即/3AC的值,由外接圓半徑為1,根據(jù)正弦定理可求”,根據(jù)余弦定理可求％,c之間

等式關(guān)系,根據(jù)基本不等式可求比的最大值,根據(jù)三角形面積公式,即可求出其最大值.

【詳解】(1)解:由題知AQO),

故圓的半徑為1,

所以|0同=|。4|=|0。=1,

所以AO-AB=AO-^OB-OA^=-OA?(9B+∣(9A∣=I-IXlXCOSzA03=I-CoSV

.(兀，吟1fl√2√3√2"∣√6-√2

U4；(2222「十4

(2)由⑴知,外接圓的半徑為1,

9TTTT

因?yàn)閆BOC=7,所以ZBAC=-

a_a

在一ABC中,由正弦定理可得:Sm71SinZBAC,

3

解得:ɑ=石，

在ABC中,由余弦定理可得：

cosZBAC="+'——=?1,化簡可得：〃+C?=3+be,

Ibc2

由基本不等式可知加+￠2≥2fec?,即3+歷N4c,

所以解得歷≤3,當(dāng)且僅當(dāng)h=c=^3時(shí)取等,所以SMC=gAsinZBAC=BbC<史.

244

故ABC面積的最大值為辿.

4

17.(2023?高三課時(shí)練習(xí))在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c、滿足/+c?一團(tuán).

⑴求角8的大?。?/p>

(2)若匕=26,求ASC的面積的最大值.

【答案】⑴120。

⑵后

【分析】(D利用余弦定理求8即可；

(2)利用基本不等式得到αc≤4,然后利用三角形面積公式求面積的最大值即可.

【詳解】(1)^a1+c2-bi=-ac,

由余弦定理得CoSNB=G+02-”=一」,又Be(O㈤,所以々=120。.

2ac2

(2)因?yàn)椤?26，

由(D^a2-i-c2=12-ac≥2ac,當(dāng)且僅當(dāng)。=c=2時(shí)取等號，

所以4c≤4,

面積S=LaCSinB=遮~ac<?/?

24

所以三角形面積的最大值為√3.

18.(2023春,河北邢臺?高三邢臺市第二中學(xué)校考階段練習(xí))在四邊形ABCO中，A,8,C,D四點(diǎn)共圓，AB=5,

3

8C=3，cosZABC=--.

(1)若SinNAC￡)=2^,求Af)的長；

⑵求四邊形ABC。周長的最大值.

【答案】(1)病

(2)8+2√65

3

【分析】(1)由四點(diǎn)共圓求出cosZADC=-CoSNABC=g，在ABC中，由余弦定理求出AC=2√13,在?ADC

中，由正弦定理求出Ao=而；

(2)在第一問的基礎(chǔ)上，結(jié)合余弦定理和基本不等式得到A。+CQ≤2屈，從而得到周長的最大值.

【詳解】(1)因?yàn)镃,。四點(diǎn)共圓，所以NABC+NADC=兀，

33

因?yàn)镃OSNABC=-1,所以CoSZAoC=-cosZΛBC=j,

因?yàn)镹ADCe(0,兀)，

故SinZADC=√1-COS2ZADC=-,

在一ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=25+9-30×=52,

故AC=2√i5,

A￡>ACAC=

在AWC中，由正弦定理得：即26一4,

sinZACDsinZADC-----τ

55

解得：ΛD=√65；

3

(2)由(1)知：AC=2√13,COSNADC=w,

在Λ4M+f入法士國殂/"ccAD2+CD2-AC2