拓撲學復習題與參考答案

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一、單項選擇題(每題2分)

1'已知*=但力6@6},下列集族中，()是X上的拓撲.

①T={X,,{a},{a,b},{a,c,e}}

②T人儀,,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}

③T={X,,{a},{a,b}}

④T={X,,{a},,{c},5a4c4lk,{e}}

2、設X={a,b,c}>下列集族中，()是X上的拓撲.

①T={X,,{a},{a,b},{c}}②T={X,,{a},{a,b},{a,c}}

③T二{X,,{a},,{a,c}}④T={X,,{a},,{c}}

3、已知X二{a,b,c,d},下列集族中，()是X上的拓撲.

①T={X,,{a},{a,b},{a,c,d}}②T={X,,{a,b,c},{a,b,d}}

③T={X,,{a},,{a,c,d}}④T={X,,{a},}

4、設X={a,b,c}，下列集族中，()是X上的拓撲.

①T={X,,,{c},{a,b}}②T<X,,{a},,{a,b},{a,c}}

③T二{X,,{a},,{a,c}}④T<X,,{a},,{c}}

5、已知X={a,b,c,d},下歹U集族中，()是X上的拓撲.

①T={X,,{a,b},{a,c,d}}②T={X,,{a,b},{a,c,d}}

③T={X,,{a},,{a,c,d}}④T={X,,{a},{c},{a,c}}

6、設X={a,b,c}＞下列集族中,()是X上的拓撲.

①T={X,,{a},,{b,c}}②T={X,,{a,b},{b,c}}

③T={X,,{a},{a,c}}④T={X,,{a},,{c}}

1

7、已知X={a,b,c,d}，拓撲T={X,,{a}},則=()

①?②X③④{b,c,d}

8、已知X={a,b,c,d}，拓撲T={X,,{a}},則{b,c,d}=()

①?②X③@{b,c,d}

9'已知X={a,b}，拓撲T二{X,,{a}},則面=()

①?②X③{a}@

10、已知X二{a,b}，拓撲T二{X,,{a}}則=()

①?②X③{a}④

11'已知X二{a,b,c,d}，拓撲T-{X,,{a}},則面=()

①?②X③{a,b}④{b,c,d}

12、已知X={a,b,c,d}>拓撲

T={X,,{a}}廁{c}=()

13、設X二{a,b,c,d}，拓撲

①嗨X③{a,c}④{b,c,d}

T二{X廠，a},b{c,d,,則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為()

①1②2③3④4

14、設X={a,b,c}，拓撲T={X,,{a},{b,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為

()

①1②2③3④4

15、設X二{a,b,c}，拓撲T={X,,,{b,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為

()

①。②1③2④3

16、設X

={a,b}，拓撲T={X,,}廁X的既開又閉的子集的個數(shù)為()

①0②1③2④3

2

17

設X二{a,b}，拓撲T={X,,{a},}廁X的既開又閉的子集的個數(shù)為（

18、設X二{a,b,c}，拓撲T二{X,,{a},,{a,b},{b,c}}廁X的既開又閉的非空真子集

的個數(shù)為（）

①1②2③3@4

19、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的內(nèi)部。是（）

①，②Q③R-Q④R

20、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的邊界；：9）是（）

①，②Q③R-Q④R

21、在實數(shù)空間中，整數(shù)集Z的內(nèi)部乙，是（）

①‘②z③R-Z④R

22、在實數(shù)空間中，整數(shù)集Z的邊界?（Z）是（）

①‘②Z③R-Z④R

23、在實數(shù)空間中，區(qū)間[0,1）的邊界是（）

①②[0,1]③。1}@（0,1）

24、在實數(shù)空間中，區(qū)間[2,3）的邊界是（）

①②[2,3]③⑵3}@（2,3）

25、在實數(shù)空間中，區(qū)間[0,1）的內(nèi)部是（）

①②[0,1]③。1}@（0.1）

26、設x是一個拓撲空間，A,B是X的子集，則下列關系中錯誤的是（）

①d（AB）=d（A）d（B）②A_"B=A_.B

③d（A-B）=d（A）-d（B）④A-A

27、設X是一個拓撲空間，A,B是X的子集，則下列關系中正確的是（）

①d（AB）二d（A）d（B）②A-B二人-B

3

③d(AB)二d(A)-d(B)④A=A

28、設X是一個拓撲空間，A,B是X的子集，則下列關系中正確的是（）

4

①d(AB)=A_.B②A_B=A_B

③d(A-B)=d(A)-d(B)(4)d(d(A))A一d(A)

29、已知X是一個離散拓撲空間，A是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是()

③d(A)=A④d(A)=X

①d(A)=②d(A)二X—A

30、已知X是一個平庸拓撲空間,A是X的子集，則下列結(jié)論中不正確的是(

①若A，則d(A)=②若夫X)},則d(A)=X-A

③若A={XI,X2},則d(A)二X④若A=X,貝Ud(A)=X

31'已知X是一個平庸拓撲空間,A是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是(

①若人=則蛤)=①若A=(X)＞則d(A)二X

③若A={XI,X2},則d(A)=X-A④若人={禺必}，則d(A)=A

32、設X二{a,b,c,d}>令B二{{a,b,c},{c},np1mven},則由B產(chǎn)生的X上的拓撲是

①{X,,{c},gf4gpn9,{c,d},{a,b,c}}

②{X,,{c},p59hlpo,{c,d}}

③{X,,{c},{a,b,c}}

④{X,,nkdwu0i,{b,c},{b,d},{b,c,d}}

33、設X是至少含有兩個元素的集合，X,T={GX|pG}_{}是X的拓撲，則()是T的基.

①B珂p,x}|xX-{p}}②B二{{x}|xX)

③B珂p,x}|xX}④B二{{x}|xX-{p}}

34、設X二{a,b,c},則下列X的拓撲中()以$=兇,{a}}為子基

①{X,,{a},{a,c}}②{X,,{a}}

③{X,,{a},,{a,b}}@{X,}

35、離散空間的任一子集為()

①開集②閉集③即開又閉④非開非閉

5

36、平庸空間的任一非空真子集為（）

①開集②閉集③即開又閉④非開非閉

37、實數(shù)空間R中的任一單點集是（）

①開集②閉集③既開又閉④非開非閉

38、實數(shù)空間R的子集A={1,L±,……}>JA=（）

234

①?②R③AU{0}④A

39、在實數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（）

①整數(shù)集②a,b③有理數(shù)集④無理數(shù)集

40、在實數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（）

①整數(shù)集Z②有理數(shù)集

③無理數(shù)集④整數(shù)集Z的補集Z-

41、已知X二{1,2,3}上的拓撲T二{X,,{1}},則點1的鄰域個數(shù)是（）

①1②2③3④4

42、已知X={a,b},則X上的所有可能的拓撲有（）

①1個②2個③3個④4個

43、已知X={a,b,c},則X上的含有4個元素的拓撲有（）個

①3②5③7④9

44、設（X,T）為拓撲空間，則下列敘述正確的為O

①XT,?-T②X

③當TT時，UU?T④當丁T時，「IU?T

UT'U-T'

45、在實數(shù)下限拓撲空間R中，區(qū)間［a,b）是（）

①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉

46、設X是一個拓撲空間，A,BX,且滿足d（A）BA,則8是（）

①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉

47、設X={1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓撲，A二{1,2},則X的子空間A

的拓撲為（）

①T寸,{2},{1,2}}②T珂，X,{1},{2},{1,2}}

③T訊，A,{1},{2}}④T珂，X,⑴,{2}}

48、設X二{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓撲,A二{1,3},則X的子空間A

6

的拓撲為（）

7

①T二{,{1},{3},{1,3}}②T二{，代⑴}

③T冢，X。},{3},{1,3}}④T={,X,{1}}

49、設X={1,2,?,丁=0乂{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓撲，A={2,3},則X的子空間A

的拓撲為（）

①T={,{3},{2,3}}②T={,A,{2},{3}}

③T={,X,{2},{3},{2,3}}④T={,X,{3}}

50、設X={1,2,?,T=0,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓撲，A={1}廁X的子空間A的

拓撲為O

①T={,{1}}②T={,A,{1,2}}

③T訛，X,{1},{3},{1,3}}④T珂，X,{1}}

51>設X={123,T=W,X,{1,2},{1,3},{1},⑵}是X的拓撲，A={2}廁X的子空間A的

拓撲為（）

①T={,{2},{1,2}}②T={,A}

③T={,X,{2}}④T={,X,{1,2}}

52、設X={123,T=0,X,{1,2},{1,3},{1},⑵}是X的拓撲，A={3}廁X的子空間A的

拓撲為（）

①T<,{2},{1,2}}②T<,{X},{1,3}}

③T={,X,{3}}④T={,{3}}

53、設R是實數(shù)空間，Z是整數(shù)集，貝UR的子空間Z的拓撲為（）

①T-{,Z}②T-P（Z）

③T=Z④T={Z}

54、設X以沫攝冰6是拓撲空間Xi,X2，川,X6的積空間?P是X到Xi的投射，則P

8

①T二{,{1},{3},{1,3}}②T二{，代⑴}

是（）

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

55、設X=XiX2川X6是拓撲空間Xi,X2,lll,X6的積空間?B是X到X2的投射,則

9

P2是（

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

56、設X=XiX2川X6是拓撲空間Xi,X2,川，X6的積空間?P3是X到X3的投射，

則F3是（）

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

57、設X=XiX2川X6是拓撲空間X「X2,111,X6的積空間?P4是X到X4的投射，

則P4是（）

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

58、設X=XiX2川X6是拓撲空間X,X2,IH,X6的積空間?P5是X到X5的投射，

則F5是（）

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

59、設X=XiX2川X6是拓撲空間Xi,X2,||l,X6的積空間?P6是X到X6的投射，

則F6是（）

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

60、設Xi和X2是兩個拓撲空間，XX2是它們的積空間,AXi,BX2，則有（

①AB=AB②AB二AB

③（ABy-AB④；：（AB）=-：（A）；:（B）

61'有理數(shù)集Q是實數(shù)空間R的一個（）

①不連通子集②連通子集

③開集④以上都不對

62、整數(shù)集Z是實數(shù)空間R的一個（）

①不連通子集②連通子集

③開集④以上都不對

63、無理數(shù)集是實數(shù)空間R的一個（）

10

①不連通子集②連通子集

③開集④以上都不對

11

設丫為拓撲空間X的連通子集，Z為X的子集，若丫ZY,則Z為()

64、

①不連通子集②連通子集③閉集④開集

設X,X2是平庸空間，則積空間XiX2是(

65

①離散空間②不一定是平庸空間

③平庸空間④不連通空間

設Xi,X2是離散空間，則積空間入*2是()

66

①離散空間②不一定是離散空間

③平庸空間④連通空間

設Xi,X2是連通空間，則積空間又*2是()

67

①離散空間②不一定是連通空間

③平庸空間④連通空間

6&實數(shù)空間R中的連通子集E為()

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對

69實數(shù)空間R中的不少于兩點的連通子集E為()

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對

70

實數(shù)空間R中的連通子集E為()

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④區(qū)間或一點

71下列敘述中正確的個數(shù)為()

(I)單位圓周S1是連通的；(□)R-｛。｝是連通的

(K)R2-｛(0,0)｝是連通的(W)R2和R同胚

①1②2③3④4

72實數(shù)空間R()

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

73整數(shù)集Z作為實數(shù)空間R的子空間()

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

74有理數(shù)集Q作為實數(shù)空間R的子空間)

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

75無理數(shù)集作為實數(shù)空間R的子空間(

12

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

13

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

76正整數(shù)集乙作為實數(shù)空間R的子空間()

①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對

77負整數(shù)集Z_作為實數(shù)空間R的子空間

①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對

2R2()

7&維歐氏間空間

①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對

793維歐氏間空間R3()

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

80下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是()

①平庸性②連通性

③離散性④第一可數(shù)性公理

下列拓撲學的性質(zhì)中，

81不具有可遺傳性的是()

①第一可數(shù)性公理②連通性

③第二可數(shù)性公理④平庸性

下列拓撲學的性質(zhì)中，

82不目啟m濡省陛的兄/

①第一可數(shù)性公理②可分性

③第二可數(shù)性公理

④離散性

下列拓撲學的性質(zhì)中，

不具有可遺傳性的是(

83①平庸性

②可分性

③離散性

④第二可數(shù)性公理

設X是一個拓撲空間,若對于-x,y?X,x=y，均有{x}={y},

84

則X是()

①T?？臻g②空間③丁2空間④以上都不對

設X={1,2}>T二{X,,{1}},則(X,T)是()

85

①T?？臻g②T空間③丁2空間④以上都不對

設X二{1,2}，T二{X,,{2}}，則(X,T)是。

86

①T?？臻g②T,空間③T2空間④道路連通空間

設X={1,2,3}，T={X,,{1}}，則(X,T)是()

87

14

①To空間②Ti空間③丁2空間④以上都不對

88、設X二{1,2,3},T二{X,,{2,3}}，則(X,T)是()

①T?？臻g②Ti空間③丁2空間④以上都不對

89、設X二{1,2,3},T={X,,{1,3}},則(X,T)是()

①T?？臻g②Ti空間③T2空間④以上都不對

90、設X={1,2,3},T={X*{1,2}}，則(X,T)是()

①T?？臻g②Ti空間③T2空間④以上都不對

91、設X={1,2,3},T={X,,{1},{2},{1,2}}>貝U(X,T)是()

①T。空間②Ti空間③T2空間④以上都不對

92、設X是一個拓撲空間，若X的每一個單點集都是閉集，

則*是()

①正則空間②正規(guī)空間③T空間④丁4空間

93、設X是一個拓撲空間，若X的每一個有限子集都是閉集，

則*是()

①正則空間②正規(guī)空間③T空間④丁4空間

94、設X是一個拓撲空間，若對X及x的每一個開鄰域U，都存在x的一個開鄰域V,使得V

U廁X是()

①正則空間②正規(guī)空間③T空間④T4空間

95、設X是一個拓撲空間，若對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U，都存在A的一

個開鄰域V,使得VU,則X是()

①正則空間②正規(guī)空間③7空間④T4空間

96、設X二{1,2,3},T二{X,,{1},{2,}}，則(X,T)是()

①T。空間②Ti空間③丁2空間④正規(guī)空間

97、設X={1,2,3},T={X,,{2},{1,3}}>則(X,T)是()

①T?？臻g②Ti空間③T2空間④正規(guī)空間

15

98'設X={1,2,3},丁=體沖,{3},{1,2}}，則（X,T）是（）

①T?？臻g②T空間③T2空間④正則空間

99、設X-{1,2,3},T二{X,,{1},{2},{1,2}}，則（X,T）是（）

①T2空間②正則空間③T4空間④正規(guī)空間

100、設X={1,2,3},T={X,設},{3},{1,3}}，則（X,T）是（）

①T2空間②正則空間③T4空間④正規(guī)空間

101、設X-{1,2,3},T二{X,,{2},{3},{2,3}}，則（X,T）是（）

①丁2空間②正則空間③丁4空間④正規(guī)空間

102、若拓撲空間X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋,則稱拓撲空間X是一個（）

①連通空間②道路連通空間③緊致空間④可分空間

103、緊致空間中的每一個閉子集都是（）

①連通子集②道路連通子集③緊致子集④以上都不對

104、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是（）

①連通子集②開集③閉集④以上都不對

105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集

是（）

①連通子集②開集③閉集④以上都不對

106、拓撲空間X的任何一個有限子集都是

（）

①連通子集②緊致子集③非緊致子集④開集

107、實數(shù)空間R的子集A二{1,2,3}是（）

①連通子集②緊致子集③開集④非緊致子集

108、實數(shù)空間R的子集A<1,2,3,4}是（）

①連通子集②緊致子集③開集④非緊致子集

109、如果拓撲空間X的每

個緊致子集都是閉集，則*是（）

①「空間②緊致空間③可數(shù)補空間④非緊致空間

二、填空題（每題2分）

1、設X二{a,b},貝口X的平庸拓撲為;

2、設X={a,b},貝UX的離散拓撲為；

16

3、同胚的拓撲空間所共有的性質(zhì)叫；

4、在實數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導集是.

5、X,d(A)當且僅當對于x的每一鄰域U有；

6、設A是有限補空間X中的一個

無限子集，則d(A尸；

7、設A是有限補空間X中的一個無

限子集，貝UA=；

&設A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集，則d(A)=；

9、設A是可數(shù)補空間X中的一個

不可數(shù)子集，則A=；

10、設x={1,2,3}X的拓撲丁=作沖,{2},{2,3}},則X的子集A={1,2}的內(nèi)部

為；

11、設X二{1,2,3}X的拓撲T二{X「,{1},{2,,3則X的子集A二{1,3}的內(nèi)部為;

12、設X={1,2,3}X的拓撲T={X/,{1},{2,,3則X的子集A={1,2}的內(nèi)部為;

13、設X={1,2,3}X的拓撲T=性沖,{2},{2,3}}，則X的子集A={1,3}的內(nèi)部

為；

14、設XX{a,b,c},貝UX的平庸拓撲為;

15、設XX{a,b,c},貝UX的離散拓撲為;

16、設X-{1,2,3},X的拓撲T二{X,,{2},{3},{2,3}測X的子集A二{1,3}的內(nèi)部

為；

17、設XH1,2,3}X的拓撲T={X/,{1},{3},{1,3則X的子集A二{1,2}的內(nèi)部

為；

18、f:X>Y是拓撲空間X到丫的一個映射，若它是一個單射，并且是從X到它的象

集f(X)的一個同胚，則稱映射f是一個，

17

19、f：X>Y是拓撲空間X到丫的一個映射，如果它是一個滿射，并且丫的拓撲是對

于映射f而言的商拓撲，則稱f是一個

20、設X,Y是兩個拓撲空間，f:X>Y是一個映射，若X中任何一個開集U的象集

f(U)是丫中的一個開集，則稱映射f是一個；

21>設X,Y是兩個拓撲空間，f:X>Y是一個映射，若X中任何一個閉集U的象集

18

f（u）是Y中的一個閉集，貝u稱映射f是一個

22、若拓撲空間X存在兩個非空的閉子集代B，使得AB=,B二X,貝UX是

23、若拓撲空間X存在兩個非空的開子集代B，使得AB=,\B二X,貝UX是

24、若拓撲空間X存在著一個既開又閉的非空真子集，則X是一個__________________;

25、設丫是拓撲空間X的一個連通子集，ZX滿足YZY，則Z也是X的一

個；

26、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射

下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個；

27、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所

具有，則稱這個性質(zhì)是一個；

28、若任意n_1個拓撲空間X「X2，川,Xn,都具有性質(zhì)P,則積空間XiX2川Xn也具

有性質(zhì)P，則性質(zhì)P稱為;

29、設X是一個拓撲空間，如果X中有兩個非空的隔離子集代B,使得A—B=X,則稱

X是一個：

30、若Xi,X2滿足第一可數(shù)性公理，則積空間XiX2滿足；

31、若X「X2滿足第二可數(shù)性公理，則積空間人X2也滿足；

32、如果一個拓撲空間具有性質(zhì)P,那么它的任何一個子空間也具有性質(zhì)巳則稱性質(zhì)P

為；

33、設D是拓撲

空間X的一個子集，且D=X測稱D是X的一個;

34、若拓撲空間X有一個

可數(shù)稠密子集，則稱X是一個___________________________________;

35、設X是一個拓撲空間，如果它的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱X是一

36、如果一個拓撲空間具有性質(zhì)P,那么它的任何一個開子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)

P為；

37、如果一個拓撲空間具有性質(zhì)巳那么它的任何一個閉子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)

P為；

38、設X是一個拓撲空

間'如果_________________________________________________________

則稱X是一個T-空間；

39、設X是一個拓撲空

間'如果________________________________________________________

19

f（u）是Y中的一個閉集，貝U稱映射f是一個

則稱X是一個￡空間；

40、設X是一個拓撲空

間'如果_________________________________________________________

20

則稱X是一個T2空間；

41、正則的「空間稱為;

42、正規(guī)的「空間稱為;

43、完全正則的方空間稱為;

44、設X是一個拓撲空間?如果X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間

*是一■個.

45、設X是一個拓撲空間，丫是X的一個子集.如果Y作為X的子空間是一個緊致空間，

貝□稱丫是拓才卜空間X的一■個—.

46、設X是一個拓撲空間.如果X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓撲空

間X是一■個.

47'設X是一個拓撲空間.如果X的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓撲空間X是

48、設X是一個拓撲空間.如果X中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓撲空間X是

一■個.

三?判斷(每題3分，判斷1分，理由2分)

1'從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射()

2、設T「丁2是集合X的兩個拓撲，貝UT廠T2不一定是集合X的拓撲()

3、從拓撲空間X到平庸空間Y的任何映射都是連續(xù)映射()

4、設A為離散拓撲空間X的任意子集，

則d()

5、設A為平庸

空間X(X多于一點)的一個單點集，貝UdA()

6'設A為平庸空

間X的任何一個多于兩點的子集，貝UdA二X()

7、設X是一個不連通空間，則X中存在兩個非空的閉子集A,B，使得

A—B=,A_?B=X()

&若拓撲空間X中存在一個既開又閉的非空真子集，則X是一個不連通空間()

9、設拓撲空間X滿足第二可數(shù)性公理，則X滿足第一可數(shù)性公理()

10、若拓撲空間X滿足第二可數(shù)性公理，則X的子空間Y也滿足第二可數(shù)性公理

()

11'若拓撲空間x滿足第一可數(shù)性公理，則X的子空間Y也滿足第一可數(shù)性公理

()

12、設X-{1,2.3}，T二{X,,{2},{3},{2,3}}，則(X,T)是丁3空間.()

21

13、設X={1,2,3}，T={X,,{1},{2},{1,2}}，則(X,T)是T3空間.()

14、設X二{1設,3}，T：{X,,{1},{3},{1,3}},則(X,T)是壬空間.()

22

15、設X二{1,2,3},T二{X,，⑴,{3},{1,3}}，則(X,T)是1；空間.()

16、T3空間一定是T2空間.()

17、T4空間一定是丁3空間")

18、設代B是拓撲空間X的兩個緊致子集，則A—B是一個緊致子集.()

19、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.()

四?名詞解釋(每題2分)

1?同胚映射

2、集合A的內(nèi)點

3'集合A的內(nèi)部

4?拓撲空間(X,T)的基

5'閉包

6'序列

7、導集

&不連通空間

9'連通子集

10、不連通子集

11、Ai空間

12、A2空間

13、可分空間

14、「空間：

15、T空間:

16'T2空間：

17、正則空間：

18'正規(guī)空間：

19、完全正則空間：

20、緊致空間

21、緊致子集

22、可數(shù)緊致空間

23、列緊空間

24、序列緊致空間

五.簡答題(每題4分)

1、設X是一個拓撲空間，代B是X的子集，且AB.試說明d(A)d(B).

23

15、設X二{1,2,3},T二{X,，⑴,{3},{1,3}}，則(X,T)是1；空間.()

2、設X,Y,Z都是拓撲空間.f：X>Y,g:Y>Z都是連續(xù)映射，試說明gff：X>Z也

24

是連續(xù)映射.

3、設X是一個拓撲空間，AX.試說明：若A是一個閉集，則A的補集A是一個開集.

4、設X是一個拓撲空間，AX.試說明：若A的補集A是一個開集，則A是一個閉集.

5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：

x~y=x,y（-：：,1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,：：）

設在這個等價關系下得到的商集丫={[0],[1],[2]},試寫出丫的商拓撲T.

6、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：

X~y=x,y1-,1]或者*/（1,2]或者*,丫（2/-）

設在這個等價關系下得到的商集丫二{[1],[2],[3]},試寫出丫的商拓撲T.

7、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：

x-y=x,y（-二，1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,：：）

設在這個等價關系下得到的商集丫二（[-1],[1],[2]），試寫出丫的商拓撲T.

&在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：

x~y=x,y（-：：,1）或者x,y[1,2）或者x,y[2,：：）

設在這個等價關系下得到的商集丫二,試寫出丫的商拓撲T.

9、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：

x~y=x,y1,1]或者x,y（1,2]或者*,丫（2,：）

設在這個等價關系下得到的商集丫二,試寫出丫的商拓撲T.

10'在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：

x~y=x,y（-：1]或者x,y（1,2]或者*,丫（2,

設在這個等價關系下得到的商集丫二，試寫出丫的商拓撲T.

11、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：

x~y=x,y<-,1]或者*,丫（1,2]或者*,丫（2/：=）

設在這個等價關系下得到的商集丫二（[-1],[2],[4]}，試寫出丫的商拓撲T.

12、離散空間是否為A2空間？說出你的理由.

25

13、試說明實數(shù)空間R是可分空間.

14、試說明每一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理.

15、設X是一個Ti空間，試說明X的每一個單點集是閉集.

16、設X是一個拓撲空間，若X的每一個單點集都是閉集，試說明X是一個「空間.

17、設(X,T)是一個T空間，：：是任何一個不屬于X的元素.令X二X_.｛::｝和

T*二T-｛X*｝，試說明拓撲空間(X*,T*層一個To空間.

18、若X是一個正則空間，試說明：對-xX及x的每一個開鄰域U，都存在x的一個開鄰域

V,使得VU.

19、若X是一個正規(guī)空間，試說明：對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U，都存

在A的一個開鄰域V，使得VU.

20、試說明Ti空間X的任何一個子集的導集都是閉集.

21'試說明緊致空間X的無窮子集必有凝聚點.

22、如果X丫是緊致空間，則X是緊致空間.

23、如果XY是緊致空間，貝UY是緊致空間.

24、試說明緊致空間X的每一個閉子集Y都是緊致子集.

六、證明題(每題8分)

1'設f：XY是從連通空間X到拓撲空間丫的一個連續(xù)映射.則f(X)是丫的一個連通子集.

2、設丫是拓撲空間X的一個連通子集，證明：如果A和B是X的兩個無交的開集使得YA-

B,則或者丫A,或者丫B.

3、設丫是拓撲空間X的一個連通子集，證明：如果A和B是X的兩個無交的閉集使得丫

A-B,則或者YA,或者丫B.

4、設丫是拓撲空間X的一個連通子集，ZX滿足YZ丫，則Z也是X的一個連通子集.

5、設｛丫｝二是拓撲空間X的連通子集