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拓?fù)鋵W(xué)復(fù)習(xí)題與參考答案_第2頁
拓?fù)鋵W(xué)復(fù)習(xí)題與參考答案_第3頁
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文檔簡介

點集拓?fù)鋵W(xué)練習(xí)題

一、單項選擇題(每題2分)

1'已知*=但力6@6},下列集族中,()是X上的拓?fù)?

①T={X,,{a},{a,b},{a,c,e}}

②T人儀,,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}

③T={X,,{a},{a,b}}

④T={X,,{a},,{c},kyuvxv1,{e}}

2、設(shè)X={a,b,c}>下列集族中,()是X上的拓?fù)?

①T={X,,{a},{a,b},{c}}②T={X,,{a},{a,b},{a,c}}

③T二{X,,{a},,{a,c}}④T={X,,{a},,{c}}

3、已知X二{a,b,c,d},下列集族中,()是X上的拓?fù)?

①T={X,,{a},{a,b},{a,c,d}}②T={X,,{a,b,c},{a,b,d}}

③T={X,,{a},,{a,c,d}}④T={X,,{a},}

4、設(shè)X={a,b,c},下列集族中,()是X上的拓?fù)?

①T={X,,,{c},{a,b}}②T<X,,{a},,{a,b},{a,c}}

③T二{X,,{a},,{a,c}}④T<X,,{a},,{c}}

5、已知X={a,b,c,d},下歹U集族中,()是X上的拓?fù)?

①T={X,,{a,b},{a,c,d}}②T={X,,{a,b},{a,c,d}}

③T={X,,{a},,{a,c,d}}④T={X,,{a},{c},{a,c}}

6、設(shè)X={a,b,c}>下列集族中,()是X上的拓?fù)?

①T={X,,{a},,{b,c}}②T={X,,{a,b},{b,c}}

③T={X,,{a},{a,c}}④T={X,,{a},,{c}}

1

7、已知X={a,b,c,d},拓?fù)銽={X,,{a}},則=()

①?②X③④{b,c,d}

8、已知X={a,b,c,d},拓?fù)銽={X,,{a}},則{b,c,d}=()

①?②X③@{b,c,d}

9'已知X={a,b},拓?fù)銽二{X,,{a}},則面=()

①?②X③{a}@

10、已知X二{a,b},拓?fù)銽二{X,,{a}}則=()

①?②X③{a}④

11'已知X二{a,b,c,d},拓?fù)銽-{X,,{a}},則面=()

①?②X③{a,b}④{b,c,d}

12、已知X={a,b,c,d}>拓?fù)?/p>

T={X,,{a}}廁{c}=()

13、設(shè)X二{a,b,c,d},拓?fù)?/p>

①嗨X③{a,c}④{b,c,d}

T二{X廠,a},b{c,d,,則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為()

①1②2③3④4

14、設(shè)X={a,b,c},拓?fù)銽={X,,{a},{b,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為

()

①1②2③3④4

15、設(shè)X二{a,b,c},拓?fù)銽={X,,,{b,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為

()

①。②1③2④3

16、設(shè)X

={a,b},拓?fù)銽={X,,}廁X的既開又閉的子集的個數(shù)為()

①0②1③2④3

2

17

設(shè)X二{a,b},拓?fù)銽={X,,{a},}廁X的既開又閉的子集的個數(shù)為(

18、設(shè)X二{a,b,c},拓?fù)銽二{X,,{a},,{a,b},{b,c}}廁X的既開又閉的非空真子集

的個數(shù)為()

①1②2③3@4

19、在實數(shù)空間中,有理數(shù)集Q的內(nèi)部。是()

①,②Q③R-Q④R

20、在實數(shù)空間中,有理數(shù)集Q的邊界;:9)是()

①,②Q③R-Q④R

21、在實數(shù)空間中,整數(shù)集Z的內(nèi)部乙,是()

①‘②z③R-Z④R

22、在實數(shù)空間中,整數(shù)集Z的邊界?(Z)是()

①‘②Z③R-Z④R

23、在實數(shù)空間中,區(qū)間[0,1)的邊界是()

①②[0,1]③。1}@(0,1)

24、在實數(shù)空間中,區(qū)間[2,3)的邊界是()

①②[2,3]③⑵3}@(2,3)

25、在實數(shù)空間中,區(qū)間[0,1)的內(nèi)部是()

①②[0,1]③。1}@(0.1)

26、設(shè)x是一個拓?fù)淇臻g,A,B是X的子集,則下列關(guān)系中錯誤的是()

①d(AB)=d(A)d(B)②A_"B=A_.B

③d(A-B)=d(A)-d(B)④A-A

27、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A,B是X的子集,則下列關(guān)系中正確的是()

①d(AB)二d(A)d(B)②A-B二人-B

3

③d(AB)二d(A)-d(B)④A=A

28、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A,B是X的子集,則下列關(guān)系中正確的是()

4

①d(AB)=A_.B②A_B=A_B

③d(A-B)=d(A)-d(B)(4)d(d(A))A一d(A)

29、已知X是一個離散拓?fù)淇臻g,A是X的子集,則下列結(jié)論中正確的是()

③d(A)=A④d(A)=X

①d(A)=②d(A)二X—A

30、已知X是一個平庸拓?fù)淇臻g,A是X的子集,則下列結(jié)論中不正確的是(

①若A,則d(A)=②若夫X)},則d(A)=X-A

③若A={XI,X2},則d(A)二X④若A=X,貝Ud(A)=X

31'已知X是一個平庸拓?fù)淇臻g,A是X的子集,則下列結(jié)論中正確的是(

①若人=則蛤)=①若A=(X)>則d(A)二X

③若A={XI,X2},則d(A)=X-A④若人={禺必},則d(A)=A

32、設(shè)X二{a,b,c,d}>令B二{{a,b,c},{c},yj4kr36},則由B產(chǎn)生的X上的拓?fù)涫?/p>

①{X,,{c},k1aayed,{c,d},{a,b,c}}

②{X,,{c},cfe2nhl,{c,d}}

③{X,,{c},{a,b,c}}

④{X,,n2fcgki,{b,c},{b,d},{b,c,d}}

33、設(shè)X是至少含有兩個元素的集合,X,T={GX|pG}_{}是X的拓?fù)?,則()是T的基.

①B珂p,x}|xX-{p}}②B二{{x}|xX)

③B珂p,x}|xX}④B二{{x}|xX-{p}}

34、設(shè)X二{a,b,c},則下列X的拓?fù)渲?)以$=兇,{a}}為子基

①{X,,{a},{a,c}}②{X,,{a}}

③{X,,{a},,{a,b}}@{X,}

35、離散空間的任一子集為()

①開集②閉集③即開又閉④非開非閉

5

36、平庸空間的任一非空真子集為()

①開集②閉集③即開又閉④非開非閉

37、實數(shù)空間R中的任一單點集是()

①開集②閉集③既開又閉④非開非閉

38、實數(shù)空間R的子集A={1,L±,……}>JA=()

234

①?②R③AU{0}④A

39、在實數(shù)空間R中,下列集合是閉集的是()

①整數(shù)集②a,b③有理數(shù)集④無理數(shù)集

40、在實數(shù)空間R中,下列集合是開集的是()

①整數(shù)集Z②有理數(shù)集

③無理數(shù)集④整數(shù)集Z的補集Z-

41、已知X二{1,2,3}上的拓?fù)銽二{X,,{1}},則點1的鄰域個數(shù)是()

①1②2③3④4

42、已知X={a,b},則X上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?/p>

①1個②2個③3個④4個

43、已知X={a,b,c},則X上的含有4個元素的拓?fù)溆校ǎ﹤€

①3②5③7④9

44、設(shè)(X,T)為拓?fù)淇臻g,則下列敘述正確的為O

①XT,?-T②X

③當(dāng)TT時,UU?T④當(dāng)丁T時,「IU?T

UT'U-T'

45、在實數(shù)下限拓?fù)淇臻gR中,區(qū)間[a,b)是()

①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉

46、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A,BX,且滿足d(A)BA,則8是()

①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉

47、設(shè)X={1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)?,A二{1,2},則X的子空間A

的拓?fù)錇椋ǎ?/p>

①T寸,{2},{1,2}}②T珂,X,{1},{2},{1,2}}

③T訊,A,{1},{2}}④T珂,X,⑴,{2}}

48、設(shè)X二{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)?A二{1,3},則X的子空間A

6

的拓?fù)錇椋ǎ?/p>

7

①T二{,{1},{3},{1,3}}②T二{,代⑴}

③T冢,X。},{3},{1,3}}④T={,X,{1}}

49、設(shè)X={1,2,?,丁=0乂{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)?,A={2,3},則X的子空間A

的拓?fù)錇椋ǎ?/p>

①T={,{3},{2,3}}②T={,A,{2},{3}}

③T={,X,{2},{3},{2,3}}④T={,X,{3}}

50、設(shè)X={1,2,?,T=0,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)?,A={1}廁X的子空間A的

拓?fù)錇镺

①T={,{1}}②T={,A,{1,2}}

③T訛,X,{1},{3},{1,3}}④T珂,X,{1}}

51>設(shè)X={123,T=W,X,{1,2},{1,3},{1},⑵}是X的拓?fù)?,A={2}廁X的子空間A的

拓?fù)錇椋ǎ?/p>

①T={,{2},{1,2}}②T={,A}

③T={,X,{2}}④T={,X,{1,2}}

52、設(shè)X={123,T=0,X,{1,2},{1,3},{1},⑵}是X的拓?fù)洌珹={3}廁X的子空間A的

拓?fù)錇椋ǎ?/p>

①T<,{2},{1,2}}②T<,{X},{1,3}}

③T={,X,{3}}④T={,{3}}

53、設(shè)R是實數(shù)空間,Z是整數(shù)集,貝UR的子空間Z的拓?fù)錇椋ǎ?/p>

①T-{,Z}②T-P(Z)

③T=Z④T={Z}

54、設(shè)X以沫攝冰6是拓?fù)淇臻gXi,X2,川,X6的積空間?P是X到Xi的投射,則P

8

①T二{,{1},{3},{1,3}}②T二{,代⑴}

是()

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

55、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,lll,X6的積空間?B是X到X2的投射,則

9

P2是(

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

56、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,川,X6的積空間?P3是X到X3的投射,

則F3是()

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

57、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gX「X2,111,X6的積空間?P4是X到X4的投射,

則P4是()

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

58、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gX,X2,IH,X6的積空間?P5是X到X5的投射,

則F5是()

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

59、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,||l,X6的積空間?P6是X到X6的投射,

則F6是()

①單射②連續(xù)的單射

③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射

60、設(shè)Xi和X2是兩個拓?fù)淇臻g,XX2是它們的積空間,AXi,BX2,則有(

①AB=AB②AB二AB

③(ABy-AB④;:(AB)=-:(A);:(B)

61'有理數(shù)集Q是實數(shù)空間R的一個()

①不連通子集②連通子集

③開集④以上都不對

62、整數(shù)集Z是實數(shù)空間R的一個()

①不連通子集②連通子集

③開集④以上都不對

63、無理數(shù)集是實數(shù)空間R的一個()

10

①不連通子集②連通子集

③開集④以上都不對

11

設(shè)丫為拓?fù)淇臻gX的連通子集,Z為X的子集,若丫ZY,則Z為()

64、

①不連通子集②連通子集③閉集④開集

設(shè)X,X2是平庸空間,則積空間XiX2是(

65

①離散空間②不一定是平庸空間

③平庸空間④不連通空間

設(shè)Xi,X2是離散空間,則積空間入*2是()

66

①離散空間②不一定是離散空間

③平庸空間④連通空間

設(shè)Xi,X2是連通空間,則積空間又*2是()

67

①離散空間②不一定是連通空間

③平庸空間④連通空間

6&實數(shù)空間R中的連通子集E為()

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對

69實數(shù)空間R中的不少于兩點的連通子集E為()

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對

70

實數(shù)空間R中的連通子集E為()

①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④區(qū)間或一點

71下列敘述中正確的個數(shù)為()

(I)單位圓周S1是連通的;(□)R-{。}是連通的

(K)R2-{(0,0)}是連通的(W)R2和R同胚

①1②2③3④4

72實數(shù)空間R()

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

73整數(shù)集Z作為實數(shù)空間R的子空間()

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

74有理數(shù)集Q作為實數(shù)空間R的子空間)

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

75無理數(shù)集作為實數(shù)空間R的子空間(

12

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

13

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

76正整數(shù)集乙作為實數(shù)空間R的子空間()

①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對

77負(fù)整數(shù)集Z_作為實數(shù)空間R的子空間

①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對

2R2()

7&維歐氏間空間

①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對

793維歐氏間空間R3()

①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理

③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對

80下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中,不具有可遺傳性的是()

①平庸性②連通性

③離散性④第一可數(shù)性公理

下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中,

81不具有可遺傳性的是()

①第一可數(shù)性公理②連通性

③第二可數(shù)性公理④平庸性

下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中,

82不目啟m濡省陛的兄/

①第一可數(shù)性公理②可分性

③第二可數(shù)性公理

④離散性

下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中,

不具有可遺傳性的是(

83①平庸性

②可分性

③離散性

④第二可數(shù)性公理

設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若對于-x,y?X,x=y,均有{x}={y},

84

則X是()

①T??臻g②空間③丁2空間④以上都不對

設(shè)X={1,2}>T二{X,,{1}},則(X,T)是()

85

①T。空間②T空間③丁2空間④以上都不對

設(shè)X二{1,2},T二{X,,{2}},則(X,T)是。

86

①T??臻g②T,空間③T2空間④道路連通空間

設(shè)X={1,2,3},T={X,,{1}},則(X,T)是()

87

14

①To空間②Ti空間③丁2空間④以上都不對

88、設(shè)X二{1,2,3},T二{X,,{2,3}},則(X,T)是()

①T。空間②Ti空間③丁2空間④以上都不對

89、設(shè)X二{1,2,3},T={X,,{1,3}},則(X,T)是()

①T??臻g②Ti空間③T2空間④以上都不對

90、設(shè)X={1,2,3},T={X*{1,2}},則(X,T)是()

①T。空間②Ti空間③T2空間④以上都不對

91、設(shè)X={1,2,3},T={X,,{1},{2},{1,2}}>貝U(X,T)是()

①T。空間②Ti空間③T2空間④以上都不對

92、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若X的每一個單點集都是閉集,

則*是()

①正則空間②正規(guī)空間③T空間④丁4空間

93、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若X的每一個有限子集都是閉集,

則*是()

①正則空間②正規(guī)空間③T空間④丁4空間

94、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若對X及x的每一個開鄰域U,都存在x的一個開鄰域V,使得V

U廁X是()

①正則空間②正規(guī)空間③T空間④T4空間

95、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U,都存在A的一

個開鄰域V,使得VU,則X是()

①正則空間②正規(guī)空間③7空間④T4空間

96、設(shè)X二{1,2,3},T二{X,,{1},{2,}},則(X,T)是()

①T??臻g②Ti空間③丁2空間④正規(guī)空間

97、設(shè)X={1,2,3},T={X,,{2},{1,3}}>則(X,T)是()

①T??臻g②Ti空間③T2空間④正規(guī)空間

15

98'設(shè)X={1,2,3},丁=體沖,{3},{1,2}},則(X,T)是()

①T??臻g②T空間③T2空間④正則空間

99、設(shè)X-{1,2,3},T二{X,,{1},{2},{1,2}},則(X,T)是()

①T2空間②正則空間③T4空間④正規(guī)空間

100、設(shè)X={1,2,3},T={X,設(shè)},{3},{1,3}},則(X,T)是()

①T2空間②正則空間③T4空間④正規(guī)空間

101、設(shè)X-{1,2,3},T二{X,,{2},{3},{2,3}},則(X,T)是()

①丁2空間②正則空間③丁4空間④正規(guī)空間

102、若拓?fù)淇臻gX的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋,則稱拓?fù)淇臻gX是一個()

①連通空間②道路連通空間③緊致空間④可分空間

103、緊致空間中的每一個閉子集都是()

①連通子集②道路連通子集③緊致子集④以上都不對

104、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是()

①連通子集②開集③閉集④以上都不對

105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集

是()

①連通子集②開集③閉集④以上都不對

106、拓?fù)淇臻gX的任何一個有限子集都是

()

①連通子集②緊致子集③非緊致子集④開集

107、實數(shù)空間R的子集A二{1,2,3}是()

①連通子集②緊致子集③開集④非緊致子集

108、實數(shù)空間R的子集A<1,2,3,4}是()

①連通子集②緊致子集③開集④非緊致子集

109、如果拓?fù)淇臻gX的每

個緊致子集都是閉集,則*是()

①「空間②緊致空間③可數(shù)補空間④非緊致空間

二、填空題(每題2分)

1、設(shè)X二{a,b},貝口X的平庸拓?fù)錇?

2、設(shè)X={a,b},貝UX的離散拓?fù)錇椋?/p>

16

3、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫;

4、在實數(shù)空間R中,有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是.

5、X,d(A)當(dāng)且僅當(dāng)對于x的每一鄰域U有;

6、設(shè)A是有限補空間X中的一個

無限子集,則d(A尸;

7、設(shè)A是有限補空間X中的一個無

限子集,貝UA=;

&設(shè)A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集,則d(A)=;

9、設(shè)A是可數(shù)補空間X中的一個

不可數(shù)子集,則A=;

10、設(shè)x={1,2,3}X的拓?fù)涠?作沖,{2},{2,3}},則X的子集A={1,2}的內(nèi)部

為;

11、設(shè)X二{1,2,3}X的拓?fù)銽二{X「,{1},{2,,3則X的子集A二{1,3}的內(nèi)部為;

12、設(shè)X={1,2,3}X的拓?fù)銽={X/,{1},{2,,3則X的子集A={1,2}的內(nèi)部為;

13、設(shè)X={1,2,3}X的拓?fù)銽=性沖,{2},{2,3}},則X的子集A={1,3}的內(nèi)部

為;

14、設(shè)XX{a,b,c},貝UX的平庸拓?fù)錇?

15、設(shè)XX{a,b,c},貝UX的離散拓?fù)錇?

16、設(shè)X-{1,2,3},X的拓?fù)銽二{X,,{2},{3},{2,3}測X的子集A二{1,3}的內(nèi)部

為;

17、設(shè)XH1,2,3}X的拓?fù)銽={X/,{1},{3},{1,3則X的子集A二{1,2}的內(nèi)部

為;

18、f:X>Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個映射,若它是一個單射,并且是從X到它的象

集f(X)的一個同胚,則稱映射f是一個,

17

19、f:X>Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個映射,如果它是一個滿射,并且丫的拓?fù)涫菍?/p>

于映射f而言的商拓?fù)洌瑒t稱f是一個

20、設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g,f:X>Y是一個映射,若X中任何一個開集U的象集

f(U)是丫中的一個開集,則稱映射f是一個;

21>設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g,f:X>Y是一個映射,若X中任何一個閉集U的象集

18

f(u)是Y中的一個閉集,貝u稱映射f是一個

22、若拓?fù)淇臻gX存在兩個非空的閉子集代B,使得AB=,B二X,貝UX是

23、若拓?fù)淇臻gX存在兩個非空的開子集代B,使得AB=,\B二X,貝UX是

24、若拓?fù)淇臻gX存在著一個既開又閉的非空真子集,則X是一個__________________;

25、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集,ZX滿足YZY,則Z也是X的一

個;

26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì),如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射

下的象所具有,則稱這個性質(zhì)是一個;

27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì),如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個商空間所

具有,則稱這個性質(zhì)是一個;

28、若任意n_1個拓?fù)淇臻gX「X2,川,Xn,都具有性質(zhì)P,則積空間XiX2川Xn也具

有性質(zhì)P,則性質(zhì)P稱為;

29、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,如果X中有兩個非空的隔離子集代B,使得A—B=X,則稱

X是一個:

30、若Xi,X2滿足第一可數(shù)性公理,則積空間XiX2滿足;

31、若X「X2滿足第二可數(shù)性公理,則積空間人X2也滿足;

32、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)P,那么它的任何一個子空間也具有性質(zhì)巳則稱性質(zhì)P

為;

33、設(shè)D是拓?fù)?/p>

空間X的一個子集,且D=X測稱D是X的一個;

34、若拓?fù)淇臻gX有一個

可數(shù)稠密子集,則稱X是一個___________________________________;

35、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,如果它的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋,則稱X是一

36、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)P,那么它的任何一個開子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)

P為;

37、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)巳那么它的任何一個閉子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)

P為;

38、設(shè)X是一個拓?fù)淇?/p>

間'如果_________________________________________________________

則稱X是一個T-空間;

39、設(shè)X是一個拓?fù)淇?/p>

間'如果________________________________________________________

19

f(u)是Y中的一個閉集,貝U稱映射f是一個

則稱X是一個£空間;

40、設(shè)X是一個拓?fù)淇?/p>

間'如果_________________________________________________________

20

則稱X是一個T2空間;

41、正則的「空間稱為;

42、正規(guī)的「空間稱為;

43、完全正則的方空間稱為;

44、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g?如果X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋,則稱拓?fù)淇臻g

*是一■個.

45、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,丫是X的一個子集.如果Y作為X的子空間是一個緊致空間,

貝□稱丫是拓才卜空間X的一■個—.

46、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.如果X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋,則稱拓?fù)淇?/p>

間X是一■個.

47'設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.如果X的每一個無限子集都有凝聚點,則稱拓?fù)淇臻gX是

48、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.如果X中的每一個序列都有一個收斂的子序列,則稱拓?fù)淇臻gX是

一■個.

三?判斷(每題3分,判斷1分,理由2分)

1'從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射()

2、設(shè)T「丁2是集合X的兩個拓?fù)?,貝UT廠T2不一定是集合X的拓?fù)?)

3、從拓?fù)淇臻gX到平庸空間Y的任何映射都是連續(xù)映射()

4、設(shè)A為離散拓?fù)淇臻gX的任意子集,

則d()

5、設(shè)A為平庸

空間X(X多于一點)的一個單點集,貝UdA()

6'設(shè)A為平庸空

間X的任何一個多于兩點的子集,貝UdA二X()

7、設(shè)X是一個不連通空間,則X中存在兩個非空的閉子集A,B,使得

A—B=,A_?B=X()

&若拓?fù)淇臻gX中存在一個既開又閉的非空真子集,則X是一個不連通空間()

9、設(shè)拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理,則X滿足第一可數(shù)性公理()

10、若拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理,則X的子空間Y也滿足第二可數(shù)性公理

()

11'若拓?fù)淇臻gx滿足第一可數(shù)性公理,則X的子空間Y也滿足第一可數(shù)性公理

()

12、設(shè)X-{1,2.3},T二{X,,{2},{3},{2,3}},則(X,T)是丁3空間.()

21

13、設(shè)X={1,2,3},T={X,,{1},{2},{1,2}},則(X,T)是T3空間.()

14、設(shè)X二{1設(shè),3},T:{X,,{1},{3},{1,3}},則(X,T)是壬空間.()

22

15、設(shè)X二{1,2,3},T二{X,,⑴,{3},{1,3}},則(X,T)是1;空間.()

16、T3空間一定是T2空間.()

17、T4空間一定是丁3空間")

18、設(shè)代B是拓?fù)淇臻gX的兩個緊致子集,則A—B是一個緊致子集.()

19、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.()

四?名詞解釋(每題2分)

1?同胚映射

2、集合A的內(nèi)點

3'集合A的內(nèi)部

4?拓?fù)淇臻g(X,T)的基

5'閉包

6'序列

7、導(dǎo)集

&不連通空間

9'連通子集

10、不連通子集

11、Ai空間

12、A2空間

13、可分空間

14、「空間:

15、T空間:

16'T2空間:

17、正則空間:

18'正規(guī)空間:

19、完全正則空間:

20、緊致空間

21、緊致子集

22、可數(shù)緊致空間

23、列緊空間

24、序列緊致空間

五.簡答題(每題4分)

1、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,代B是X的子集,且AB.試說明d(A)d(B).

23

15、設(shè)X二{1,2,3},T二{X,,⑴,{3},{1,3}},則(X,T)是1;空間.()

2、設(shè)X,Y,Z都是拓?fù)淇臻g.f:X>Y,g:Y>Z都是連續(xù)映射,試說明gff:X>Z也

24

是連續(xù)映射.

3、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,AX.試說明:若A是一個閉集,則A的補集A是一個開集.

4、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,AX.試說明:若A的補集A是一個開集,則A是一個閉集.

5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:

x~y=x,y(-::,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,::)

設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫={[0],[1],[2]},試寫出丫的商拓?fù)銽.

6、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:

X~y=x,y1-,1]或者*/(1,2]或者*,丫(2/-)

設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二{[1],[2],[3]},試寫出丫的商拓?fù)銽.

7、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:

x-y=x,y(-二,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,::)

設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二([-1],[1],[2]),試寫出丫的商拓?fù)銽.

&在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:

x~y=x,y(-::,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,::)

設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二,試寫出丫的商拓?fù)銽.

9、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:

x~y=x,y1,1]或者x,y(1,2]或者*,丫(2,:)

設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二,試寫出丫的商拓?fù)銽.

10'在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:

x~y=x,y(-:1]或者x,y(1,2]或者*,丫(2,

設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二,試寫出丫的商拓?fù)銽.

11、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:

x~y=x,y<-,1]或者*,丫(1,2]或者*,丫(2/:=)

設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二([-1],[2],[4]},試寫出丫的商拓?fù)銽.

12、離散空間是否為A2空間?說出你的理由.

25

13、試說明實數(shù)空間R是可分空間.

14、試說明每一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理.

15、設(shè)X是一個Ti空間,試說明X的每一個單點集是閉集.

16、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若X的每一個單點集都是閉集,試說明X是一個「空間.

17、設(shè)(X,T)是一個T空間,::是任何一個不屬于X的元素.令X二X_.{::}和

T*二T-{X*},試說明拓?fù)淇臻g(X*,T*層一個To空間.

18、若X是一個正則空間,試說明:對-xX及x的每一個開鄰域U,都存在x的一個開鄰域

V,使得VU.

19、若X是一個正規(guī)空間,試說明:對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U,都存

在A的一個開鄰域V,使得VU.

20、試說明Ti空間X的任何一個子集的導(dǎo)集都是閉集.

21'試說明緊致空間X的無窮子集必有凝聚點.

22、如果X丫是緊致空間,則X是緊致空間.

23、如果XY是緊致空間,貝UY是緊致空間.

24、試說明緊致空間X的每一個閉子集Y都是緊致子集.

六、證明題(每題8分)

1'設(shè)f:XY是從連通空間X到拓?fù)淇臻g丫的一個連續(xù)映射.則f(X)是丫的一個連通子集.

2、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集,證明:如果A和B是X的兩個無交的開集使得YA-

B,則或者丫A,或者丫B.

3、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集,證明:如果A和B是X的兩個無交的閉集使得丫

A-B,則或者YA,或者丫B.

4、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集,ZX滿足YZ丫,則Z也是X的一個連通子集.

5、設(shè){丫}二是拓?fù)淇臻gX的連通子集

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