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文檔簡介
點集拓?fù)鋵W(xué)練習(xí)題
一、單項選擇題(每題2分)
1'已知*=但力6@6},下列集族中,()是X上的拓?fù)?
①T={X,,{a},{a,b},{a,c,e}}
②T人儀,,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}
③T={X,,{a},{a,b}}
④T={X,,{a},,{c},kyuvxv1,{e}}
2、設(shè)X={a,b,c}>下列集族中,()是X上的拓?fù)?
①T={X,,{a},{a,b},{c}}②T={X,,{a},{a,b},{a,c}}
③T二{X,,{a},,{a,c}}④T={X,,{a},,{c}}
3、已知X二{a,b,c,d},下列集族中,()是X上的拓?fù)?
①T={X,,{a},{a,b},{a,c,d}}②T={X,,{a,b,c},{a,b,d}}
③T={X,,{a},,{a,c,d}}④T={X,,{a},}
4、設(shè)X={a,b,c},下列集族中,()是X上的拓?fù)?
①T={X,,,{c},{a,b}}②T<X,,{a},,{a,b},{a,c}}
③T二{X,,{a},,{a,c}}④T<X,,{a},,{c}}
5、已知X={a,b,c,d},下歹U集族中,()是X上的拓?fù)?
①T={X,,{a,b},{a,c,d}}②T={X,,{a,b},{a,c,d}}
③T={X,,{a},,{a,c,d}}④T={X,,{a},{c},{a,c}}
6、設(shè)X={a,b,c}>下列集族中,()是X上的拓?fù)?
①T={X,,{a},,{b,c}}②T={X,,{a,b},{b,c}}
③T={X,,{a},{a,c}}④T={X,,{a},,{c}}
1
7、已知X={a,b,c,d},拓?fù)銽={X,,{a}},則=()
①?②X③④{b,c,d}
8、已知X={a,b,c,d},拓?fù)銽={X,,{a}},則{b,c,d}=()
①?②X③@{b,c,d}
9'已知X={a,b},拓?fù)銽二{X,,{a}},則面=()
①?②X③{a}@
10、已知X二{a,b},拓?fù)銽二{X,,{a}}則=()
①?②X③{a}④
11'已知X二{a,b,c,d},拓?fù)銽-{X,,{a}},則面=()
①?②X③{a,b}④{b,c,d}
12、已知X={a,b,c,d}>拓?fù)?/p>
T={X,,{a}}廁{c}=()
13、設(shè)X二{a,b,c,d},拓?fù)?/p>
①嗨X③{a,c}④{b,c,d}
T二{X廠,a},b{c,d,,則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為()
①1②2③3④4
14、設(shè)X={a,b,c},拓?fù)銽={X,,{a},{b,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為
()
①1②2③3④4
15、設(shè)X二{a,b,c},拓?fù)銽={X,,,{b,c}},則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為
()
①。②1③2④3
16、設(shè)X
={a,b},拓?fù)銽={X,,}廁X的既開又閉的子集的個數(shù)為()
①0②1③2④3
2
17
設(shè)X二{a,b},拓?fù)銽={X,,{a},}廁X的既開又閉的子集的個數(shù)為(
18、設(shè)X二{a,b,c},拓?fù)銽二{X,,{a},,{a,b},{b,c}}廁X的既開又閉的非空真子集
的個數(shù)為()
①1②2③3@4
19、在實數(shù)空間中,有理數(shù)集Q的內(nèi)部。是()
①,②Q③R-Q④R
20、在實數(shù)空間中,有理數(shù)集Q的邊界;:9)是()
①,②Q③R-Q④R
21、在實數(shù)空間中,整數(shù)集Z的內(nèi)部乙,是()
①‘②z③R-Z④R
22、在實數(shù)空間中,整數(shù)集Z的邊界?(Z)是()
①‘②Z③R-Z④R
23、在實數(shù)空間中,區(qū)間[0,1)的邊界是()
①②[0,1]③。1}@(0,1)
24、在實數(shù)空間中,區(qū)間[2,3)的邊界是()
①②[2,3]③⑵3}@(2,3)
25、在實數(shù)空間中,區(qū)間[0,1)的內(nèi)部是()
①②[0,1]③。1}@(0.1)
26、設(shè)x是一個拓?fù)淇臻g,A,B是X的子集,則下列關(guān)系中錯誤的是()
①d(AB)=d(A)d(B)②A_"B=A_.B
③d(A-B)=d(A)-d(B)④A-A
27、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A,B是X的子集,則下列關(guān)系中正確的是()
①d(AB)二d(A)d(B)②A-B二人-B
3
③d(AB)二d(A)-d(B)④A=A
28、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A,B是X的子集,則下列關(guān)系中正確的是()
4
①d(AB)=A_.B②A_B=A_B
③d(A-B)=d(A)-d(B)(4)d(d(A))A一d(A)
29、已知X是一個離散拓?fù)淇臻g,A是X的子集,則下列結(jié)論中正確的是()
③d(A)=A④d(A)=X
①d(A)=②d(A)二X—A
30、已知X是一個平庸拓?fù)淇臻g,A是X的子集,則下列結(jié)論中不正確的是(
①若A,則d(A)=②若夫X)},則d(A)=X-A
③若A={XI,X2},則d(A)二X④若A=X,貝Ud(A)=X
31'已知X是一個平庸拓?fù)淇臻g,A是X的子集,則下列結(jié)論中正確的是(
①若人=則蛤)=①若A=(X)>則d(A)二X
③若A={XI,X2},則d(A)=X-A④若人={禺必},則d(A)=A
32、設(shè)X二{a,b,c,d}>令B二{{a,b,c},{c},yj4kr36},則由B產(chǎn)生的X上的拓?fù)涫?/p>
①{X,,{c},k1aayed,{c,d},{a,b,c}}
②{X,,{c},cfe2nhl,{c,d}}
③{X,,{c},{a,b,c}}
④{X,,n2fcgki,{b,c},{b,d},{b,c,d}}
33、設(shè)X是至少含有兩個元素的集合,X,T={GX|pG}_{}是X的拓?fù)?,則()是T的基.
①B珂p,x}|xX-{p}}②B二{{x}|xX)
③B珂p,x}|xX}④B二{{x}|xX-{p}}
34、設(shè)X二{a,b,c},則下列X的拓?fù)渲?)以$=兇,{a}}為子基
①{X,,{a},{a,c}}②{X,,{a}}
③{X,,{a},,{a,b}}@{X,}
35、離散空間的任一子集為()
①開集②閉集③即開又閉④非開非閉
5
36、平庸空間的任一非空真子集為()
①開集②閉集③即開又閉④非開非閉
37、實數(shù)空間R中的任一單點集是()
①開集②閉集③既開又閉④非開非閉
38、實數(shù)空間R的子集A={1,L±,……}>JA=()
234
①?②R③AU{0}④A
39、在實數(shù)空間R中,下列集合是閉集的是()
①整數(shù)集②a,b③有理數(shù)集④無理數(shù)集
40、在實數(shù)空間R中,下列集合是開集的是()
①整數(shù)集Z②有理數(shù)集
③無理數(shù)集④整數(shù)集Z的補集Z-
41、已知X二{1,2,3}上的拓?fù)銽二{X,,{1}},則點1的鄰域個數(shù)是()
①1②2③3④4
42、已知X={a,b},則X上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?/p>
①1個②2個③3個④4個
43、已知X={a,b,c},則X上的含有4個元素的拓?fù)溆校ǎ﹤€
①3②5③7④9
44、設(shè)(X,T)為拓?fù)淇臻g,則下列敘述正確的為O
①XT,?-T②X
③當(dāng)TT時,UU?T④當(dāng)丁T時,「IU?T
UT'U-T'
45、在實數(shù)下限拓?fù)淇臻gR中,區(qū)間[a,b)是()
①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉
46、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,A,BX,且滿足d(A)BA,則8是()
①開集②閉集③既是開集又是閉集④非開非閉
47、設(shè)X={1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)?,A二{1,2},則X的子空間A
的拓?fù)錇椋ǎ?/p>
①T寸,{2},{1,2}}②T珂,X,{1},{2},{1,2}}
③T訊,A,{1},{2}}④T珂,X,⑴,{2}}
48、設(shè)X二{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)?A二{1,3},則X的子空間A
6
的拓?fù)錇椋ǎ?/p>
7
①T二{,{1},{3},{1,3}}②T二{,代⑴}
③T冢,X。},{3},{1,3}}④T={,X,{1}}
49、設(shè)X={1,2,?,丁=0乂{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)?,A={2,3},則X的子空間A
的拓?fù)錇椋ǎ?/p>
①T={,{3},{2,3}}②T={,A,{2},{3}}
③T={,X,{2},{3},{2,3}}④T={,X,{3}}
50、設(shè)X={1,2,?,T=0,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓?fù)?,A={1}廁X的子空間A的
拓?fù)錇镺
①T={,{1}}②T={,A,{1,2}}
③T訛,X,{1},{3},{1,3}}④T珂,X,{1}}
51>設(shè)X={123,T=W,X,{1,2},{1,3},{1},⑵}是X的拓?fù)?,A={2}廁X的子空間A的
拓?fù)錇椋ǎ?/p>
①T={,{2},{1,2}}②T={,A}
③T={,X,{2}}④T={,X,{1,2}}
52、設(shè)X={123,T=0,X,{1,2},{1,3},{1},⑵}是X的拓?fù)洌珹={3}廁X的子空間A的
拓?fù)錇椋ǎ?/p>
①T<,{2},{1,2}}②T<,{X},{1,3}}
③T={,X,{3}}④T={,{3}}
53、設(shè)R是實數(shù)空間,Z是整數(shù)集,貝UR的子空間Z的拓?fù)錇椋ǎ?/p>
①T-{,Z}②T-P(Z)
③T=Z④T={Z}
54、設(shè)X以沫攝冰6是拓?fù)淇臻gXi,X2,川,X6的積空間?P是X到Xi的投射,則P
8
①T二{,{1},{3},{1,3}}②T二{,代⑴}
是()
①單射②連續(xù)的單射
③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射
55、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,lll,X6的積空間?B是X到X2的投射,則
9
P2是(
①單射②連續(xù)的單射
③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射
56、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,川,X6的積空間?P3是X到X3的投射,
則F3是()
①單射②連續(xù)的單射
③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射
57、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gX「X2,111,X6的積空間?P4是X到X4的投射,
則P4是()
①單射②連續(xù)的單射
③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射
58、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gX,X2,IH,X6的積空間?P5是X到X5的投射,
則F5是()
①單射②連續(xù)的單射
③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射
59、設(shè)X=XiX2川X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,||l,X6的積空間?P6是X到X6的投射,
則F6是()
①單射②連續(xù)的單射
③滿的連續(xù)閉映射④滿的連續(xù)開映射
60、設(shè)Xi和X2是兩個拓?fù)淇臻g,XX2是它們的積空間,AXi,BX2,則有(
①AB=AB②AB二AB
③(ABy-AB④;:(AB)=-:(A);:(B)
61'有理數(shù)集Q是實數(shù)空間R的一個()
①不連通子集②連通子集
③開集④以上都不對
62、整數(shù)集Z是實數(shù)空間R的一個()
①不連通子集②連通子集
③開集④以上都不對
63、無理數(shù)集是實數(shù)空間R的一個()
10
①不連通子集②連通子集
③開集④以上都不對
11
設(shè)丫為拓?fù)淇臻gX的連通子集,Z為X的子集,若丫ZY,則Z為()
64、
①不連通子集②連通子集③閉集④開集
設(shè)X,X2是平庸空間,則積空間XiX2是(
65
①離散空間②不一定是平庸空間
③平庸空間④不連通空間
設(shè)Xi,X2是離散空間,則積空間入*2是()
66
①離散空間②不一定是離散空間
③平庸空間④連通空間
設(shè)Xi,X2是連通空間,則積空間又*2是()
67
①離散空間②不一定是連通空間
③平庸空間④連通空間
6&實數(shù)空間R中的連通子集E為()
①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對
69實數(shù)空間R中的不少于兩點的連通子集E為()
①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④以上都不對
70
實數(shù)空間R中的連通子集E為()
①開區(qū)間②閉區(qū)間③區(qū)間④區(qū)間或一點
71下列敘述中正確的個數(shù)為()
(I)單位圓周S1是連通的;(□)R-{。}是連通的
(K)R2-{(0,0)}是連通的(W)R2和R同胚
①1②2③3④4
72實數(shù)空間R()
①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理
③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對
73整數(shù)集Z作為實數(shù)空間R的子空間()
①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理
③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對
74有理數(shù)集Q作為實數(shù)空間R的子空間)
①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理
③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對
75無理數(shù)集作為實數(shù)空間R的子空間(
12
①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理
13
③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對
76正整數(shù)集乙作為實數(shù)空間R的子空間()
①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理
③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對
77負(fù)整數(shù)集Z_作為實數(shù)空間R的子空間
①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理
③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對
2R2()
7&維歐氏間空間
①僅滿足第一可數(shù)性公理僅滿足第二可數(shù)性公理
③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理以上都不對
793維歐氏間空間R3()
①僅滿足第一可數(shù)性公理②僅滿足第二可數(shù)性公理
③既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理④以上都不對
80下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中,不具有可遺傳性的是()
①平庸性②連通性
③離散性④第一可數(shù)性公理
下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中,
81不具有可遺傳性的是()
①第一可數(shù)性公理②連通性
③第二可數(shù)性公理④平庸性
下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中,
82不目啟m濡省陛的兄/
①第一可數(shù)性公理②可分性
③第二可數(shù)性公理
④離散性
下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中,
不具有可遺傳性的是(
83①平庸性
②可分性
③離散性
④第二可數(shù)性公理
設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若對于-x,y?X,x=y,均有{x}={y},
84
則X是()
①T??臻g②空間③丁2空間④以上都不對
設(shè)X={1,2}>T二{X,,{1}},則(X,T)是()
85
①T。空間②T空間③丁2空間④以上都不對
設(shè)X二{1,2},T二{X,,{2}},則(X,T)是。
86
①T??臻g②T,空間③T2空間④道路連通空間
設(shè)X={1,2,3},T={X,,{1}},則(X,T)是()
87
14
①To空間②Ti空間③丁2空間④以上都不對
88、設(shè)X二{1,2,3},T二{X,,{2,3}},則(X,T)是()
①T。空間②Ti空間③丁2空間④以上都不對
89、設(shè)X二{1,2,3},T={X,,{1,3}},則(X,T)是()
①T??臻g②Ti空間③T2空間④以上都不對
90、設(shè)X={1,2,3},T={X*{1,2}},則(X,T)是()
①T。空間②Ti空間③T2空間④以上都不對
91、設(shè)X={1,2,3},T={X,,{1},{2},{1,2}}>貝U(X,T)是()
①T。空間②Ti空間③T2空間④以上都不對
92、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若X的每一個單點集都是閉集,
則*是()
①正則空間②正規(guī)空間③T空間④丁4空間
93、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若X的每一個有限子集都是閉集,
則*是()
①正則空間②正規(guī)空間③T空間④丁4空間
94、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若對X及x的每一個開鄰域U,都存在x的一個開鄰域V,使得V
U廁X是()
①正則空間②正規(guī)空間③T空間④T4空間
95、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U,都存在A的一
個開鄰域V,使得VU,則X是()
①正則空間②正規(guī)空間③7空間④T4空間
96、設(shè)X二{1,2,3},T二{X,,{1},{2,}},則(X,T)是()
①T??臻g②Ti空間③丁2空間④正規(guī)空間
97、設(shè)X={1,2,3},T={X,,{2},{1,3}}>則(X,T)是()
①T??臻g②Ti空間③T2空間④正規(guī)空間
15
98'設(shè)X={1,2,3},丁=體沖,{3},{1,2}},則(X,T)是()
①T??臻g②T空間③T2空間④正則空間
99、設(shè)X-{1,2,3},T二{X,,{1},{2},{1,2}},則(X,T)是()
①T2空間②正則空間③T4空間④正規(guī)空間
100、設(shè)X={1,2,3},T={X,設(shè)},{3},{1,3}},則(X,T)是()
①T2空間②正則空間③T4空間④正規(guī)空間
101、設(shè)X-{1,2,3},T二{X,,{2},{3},{2,3}},則(X,T)是()
①丁2空間②正則空間③丁4空間④正規(guī)空間
102、若拓?fù)淇臻gX的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋,則稱拓?fù)淇臻gX是一個()
①連通空間②道路連通空間③緊致空間④可分空間
103、緊致空間中的每一個閉子集都是()
①連通子集②道路連通子集③緊致子集④以上都不對
104、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是()
①連通子集②開集③閉集④以上都不對
105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集
是()
①連通子集②開集③閉集④以上都不對
106、拓?fù)淇臻gX的任何一個有限子集都是
()
①連通子集②緊致子集③非緊致子集④開集
107、實數(shù)空間R的子集A二{1,2,3}是()
①連通子集②緊致子集③開集④非緊致子集
108、實數(shù)空間R的子集A<1,2,3,4}是()
①連通子集②緊致子集③開集④非緊致子集
109、如果拓?fù)淇臻gX的每
個緊致子集都是閉集,則*是()
①「空間②緊致空間③可數(shù)補空間④非緊致空間
二、填空題(每題2分)
1、設(shè)X二{a,b},貝口X的平庸拓?fù)錇?
2、設(shè)X={a,b},貝UX的離散拓?fù)錇椋?/p>
16
3、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫;
4、在實數(shù)空間R中,有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是.
5、X,d(A)當(dāng)且僅當(dāng)對于x的每一鄰域U有;
6、設(shè)A是有限補空間X中的一個
無限子集,則d(A尸;
7、設(shè)A是有限補空間X中的一個無
限子集,貝UA=;
&設(shè)A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集,則d(A)=;
9、設(shè)A是可數(shù)補空間X中的一個
不可數(shù)子集,則A=;
10、設(shè)x={1,2,3}X的拓?fù)涠?作沖,{2},{2,3}},則X的子集A={1,2}的內(nèi)部
為;
11、設(shè)X二{1,2,3}X的拓?fù)銽二{X「,{1},{2,,3則X的子集A二{1,3}的內(nèi)部為;
12、設(shè)X={1,2,3}X的拓?fù)銽={X/,{1},{2,,3則X的子集A={1,2}的內(nèi)部為;
13、設(shè)X={1,2,3}X的拓?fù)銽=性沖,{2},{2,3}},則X的子集A={1,3}的內(nèi)部
為;
14、設(shè)XX{a,b,c},貝UX的平庸拓?fù)錇?
15、設(shè)XX{a,b,c},貝UX的離散拓?fù)錇?
16、設(shè)X-{1,2,3},X的拓?fù)銽二{X,,{2},{3},{2,3}測X的子集A二{1,3}的內(nèi)部
為;
17、設(shè)XH1,2,3}X的拓?fù)銽={X/,{1},{3},{1,3則X的子集A二{1,2}的內(nèi)部
為;
18、f:X>Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個映射,若它是一個單射,并且是從X到它的象
集f(X)的一個同胚,則稱映射f是一個,
17
19、f:X>Y是拓?fù)淇臻gX到丫的一個映射,如果它是一個滿射,并且丫的拓?fù)涫菍?/p>
于映射f而言的商拓?fù)洌瑒t稱f是一個
20、設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g,f:X>Y是一個映射,若X中任何一個開集U的象集
f(U)是丫中的一個開集,則稱映射f是一個;
21>設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g,f:X>Y是一個映射,若X中任何一個閉集U的象集
18
f(u)是Y中的一個閉集,貝u稱映射f是一個
22、若拓?fù)淇臻gX存在兩個非空的閉子集代B,使得AB=,B二X,貝UX是
23、若拓?fù)淇臻gX存在兩個非空的開子集代B,使得AB=,\B二X,貝UX是
24、若拓?fù)淇臻gX存在著一個既開又閉的非空真子集,則X是一個__________________;
25、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集,ZX滿足YZY,則Z也是X的一
個;
26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì),如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射
下的象所具有,則稱這個性質(zhì)是一個;
27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì),如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個商空間所
具有,則稱這個性質(zhì)是一個;
28、若任意n_1個拓?fù)淇臻gX「X2,川,Xn,都具有性質(zhì)P,則積空間XiX2川Xn也具
有性質(zhì)P,則性質(zhì)P稱為;
29、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,如果X中有兩個非空的隔離子集代B,使得A—B=X,則稱
X是一個:
30、若Xi,X2滿足第一可數(shù)性公理,則積空間XiX2滿足;
31、若X「X2滿足第二可數(shù)性公理,則積空間人X2也滿足;
32、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)P,那么它的任何一個子空間也具有性質(zhì)巳則稱性質(zhì)P
為;
33、設(shè)D是拓?fù)?/p>
空間X的一個子集,且D=X測稱D是X的一個;
34、若拓?fù)淇臻gX有一個
可數(shù)稠密子集,則稱X是一個___________________________________;
35、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,如果它的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋,則稱X是一
36、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)P,那么它的任何一個開子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)
P為;
37、如果一個拓?fù)淇臻g具有性質(zhì)巳那么它的任何一個閉子空間也具有性質(zhì)P,則稱性質(zhì)
P為;
38、設(shè)X是一個拓?fù)淇?/p>
間'如果_________________________________________________________
則稱X是一個T-空間;
39、設(shè)X是一個拓?fù)淇?/p>
間'如果________________________________________________________
19
f(u)是Y中的一個閉集,貝U稱映射f是一個
則稱X是一個£空間;
40、設(shè)X是一個拓?fù)淇?/p>
間'如果_________________________________________________________
20
則稱X是一個T2空間;
41、正則的「空間稱為;
42、正規(guī)的「空間稱為;
43、完全正則的方空間稱為;
44、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g?如果X的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋,則稱拓?fù)淇臻g
*是一■個.
45、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,丫是X的一個子集.如果Y作為X的子空間是一個緊致空間,
貝□稱丫是拓才卜空間X的一■個—.
46、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.如果X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋,則稱拓?fù)淇?/p>
間X是一■個.
47'設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.如果X的每一個無限子集都有凝聚點,則稱拓?fù)淇臻gX是
48、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.如果X中的每一個序列都有一個收斂的子序列,則稱拓?fù)淇臻gX是
一■個.
三?判斷(每題3分,判斷1分,理由2分)
1'從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射()
2、設(shè)T「丁2是集合X的兩個拓?fù)?,貝UT廠T2不一定是集合X的拓?fù)?)
3、從拓?fù)淇臻gX到平庸空間Y的任何映射都是連續(xù)映射()
4、設(shè)A為離散拓?fù)淇臻gX的任意子集,
則d()
5、設(shè)A為平庸
空間X(X多于一點)的一個單點集,貝UdA()
6'設(shè)A為平庸空
間X的任何一個多于兩點的子集,貝UdA二X()
7、設(shè)X是一個不連通空間,則X中存在兩個非空的閉子集A,B,使得
A—B=,A_?B=X()
&若拓?fù)淇臻gX中存在一個既開又閉的非空真子集,則X是一個不連通空間()
9、設(shè)拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理,則X滿足第一可數(shù)性公理()
10、若拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理,則X的子空間Y也滿足第二可數(shù)性公理
()
11'若拓?fù)淇臻gx滿足第一可數(shù)性公理,則X的子空間Y也滿足第一可數(shù)性公理
()
12、設(shè)X-{1,2.3},T二{X,,{2},{3},{2,3}},則(X,T)是丁3空間.()
21
13、設(shè)X={1,2,3},T={X,,{1},{2},{1,2}},則(X,T)是T3空間.()
14、設(shè)X二{1設(shè),3},T:{X,,{1},{3},{1,3}},則(X,T)是壬空間.()
22
15、設(shè)X二{1,2,3},T二{X,,⑴,{3},{1,3}},則(X,T)是1;空間.()
16、T3空間一定是T2空間.()
17、T4空間一定是丁3空間")
18、設(shè)代B是拓?fù)淇臻gX的兩個緊致子集,則A—B是一個緊致子集.()
19、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.()
四?名詞解釋(每題2分)
1?同胚映射
2、集合A的內(nèi)點
3'集合A的內(nèi)部
4?拓?fù)淇臻g(X,T)的基
5'閉包
6'序列
7、導(dǎo)集
&不連通空間
9'連通子集
10、不連通子集
11、Ai空間
12、A2空間
13、可分空間
14、「空間:
15、T空間:
16'T2空間:
17、正則空間:
18'正規(guī)空間:
19、完全正則空間:
20、緊致空間
21、緊致子集
22、可數(shù)緊致空間
23、列緊空間
24、序列緊致空間
五.簡答題(每題4分)
1、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,代B是X的子集,且AB.試說明d(A)d(B).
23
15、設(shè)X二{1,2,3},T二{X,,⑴,{3},{1,3}},則(X,T)是1;空間.()
2、設(shè)X,Y,Z都是拓?fù)淇臻g.f:X>Y,g:Y>Z都是連續(xù)映射,試說明gff:X>Z也
24
是連續(xù)映射.
3、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,AX.試說明:若A是一個閉集,則A的補集A是一個開集.
4、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,AX.試說明:若A的補集A是一個開集,則A是一個閉集.
5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:
x~y=x,y(-::,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,::)
設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫={[0],[1],[2]},試寫出丫的商拓?fù)銽.
6、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:
X~y=x,y1-,1]或者*/(1,2]或者*,丫(2/-)
設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二{[1],[2],[3]},試寫出丫的商拓?fù)銽.
7、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:
x-y=x,y(-二,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,::)
設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二([-1],[1],[2]),試寫出丫的商拓?fù)銽.
&在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:
x~y=x,y(-::,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,::)
設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二,試寫出丫的商拓?fù)銽.
9、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:
x~y=x,y1,1]或者x,y(1,2]或者*,丫(2,:)
設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二,試寫出丫的商拓?fù)銽.
10'在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:
x~y=x,y(-:1]或者x,y(1,2]或者*,丫(2,
設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二,試寫出丫的商拓?fù)銽.
11、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:
x~y=x,y<-,1]或者*,丫(1,2]或者*,丫(2/:=)
設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集丫二([-1],[2],[4]},試寫出丫的商拓?fù)銽.
12、離散空間是否為A2空間?說出你的理由.
25
13、試說明實數(shù)空間R是可分空間.
14、試說明每一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理.
15、設(shè)X是一個Ti空間,試說明X的每一個單點集是閉集.
16、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g,若X的每一個單點集都是閉集,試說明X是一個「空間.
17、設(shè)(X,T)是一個T空間,::是任何一個不屬于X的元素.令X二X_.{::}和
T*二T-{X*},試說明拓?fù)淇臻g(X*,T*層一個To空間.
18、若X是一個正則空間,試說明:對-xX及x的每一個開鄰域U,都存在x的一個開鄰域
V,使得VU.
19、若X是一個正規(guī)空間,試說明:對X的任何一個閉集A及A的每一個開鄰域U,都存
在A的一個開鄰域V,使得VU.
20、試說明Ti空間X的任何一個子集的導(dǎo)集都是閉集.
21'試說明緊致空間X的無窮子集必有凝聚點.
22、如果X丫是緊致空間,則X是緊致空間.
23、如果XY是緊致空間,貝UY是緊致空間.
24、試說明緊致空間X的每一個閉子集Y都是緊致子集.
六、證明題(每題8分)
1'設(shè)f:XY是從連通空間X到拓?fù)淇臻g丫的一個連續(xù)映射.則f(X)是丫的一個連通子集.
2、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集,證明:如果A和B是X的兩個無交的開集使得YA-
B,則或者丫A,或者丫B.
3、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集,證明:如果A和B是X的兩個無交的閉集使得丫
A-B,則或者YA,或者丫B.
4、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集,ZX滿足YZ丫,則Z也是X的一個連通子集.
5、設(shè){丫}二是拓?fù)淇臻gX的連通子集
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