2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷2（含解析）

模擬（二）

【說明】本試卷分為第I、II卷兩部分，請將第I卷選擇題的答案填入答題格內(nèi)，第

II卷可在各題后直接作答，共150分，考試時間120分鐘.

1.已知集合5={1,2},集合7={a},。表示空集，如果SUT=S,那么a的值是（）

A.0B.1

C.2D.1或2

2.如圖，在邊長為a的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形Q.向正方形內(nèi)隨機(jī)撒豆

子，若撒在圖形Q內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為0,n,則圖形Q面積的估

計(jì)值為（）

mana

A.—B.

nm

ma2na2

C.D.一

m

3.一個由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列，它的前6項(xiàng)和是前3項(xiàng)和的9倍，則此數(shù)列的公比為

23

AC.B.

1D.1

2-3-

4.已知a,6是平面向量，右aJ_（a-26）,b_L（8—2a）,則a與8的夾角是（）

5.如圖是一個空間幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是半徑為2的半圓，俯視

圖是半徑為2的圓，則該幾何體的體積等于（）

4n8n

A.—~B.

oT

32n

L,3D.

6.已知常數(shù)&b,。都是實(shí)數(shù)，/?(x)=aV+6V+G-34的導(dǎo)函數(shù)為/(%),ff(x)WO

的解集為3—2〈啟3},若Ax)的極小值等于一115,則a的值是()

A81.1

A。~22B.~

o

C.2D.5

7.己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)是，，如果|z|+，=8—4i，那么z等于()

A.-3-4iB.-3+4i

C.4+3iD.3+4i

8.已知。P的半徑等于6,圓心是拋物線/=8彳的焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)"(1,—2)的直線，

將。戶分成兩段弧，當(dāng)優(yōu)弧與劣弧之差最大時，直線/的方程為()

A.x+2y+3=0B.x-2y-5=0

C.2x+y=0D.2x—y—5=0

9.在數(shù)列｛8)中，ai=l,a=2,若a+2=2&+LA+2,則a等于()

B.5〃“+9刀-4

C.n—2〃+2D.2#—5〃+4

10.已知f(x)是定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的偶函數(shù)，V汨20,V矛220,若則

4f(log1^)>3,那么x的取值范圍為(

)

O

11.已知函數(shù)①/'(■￥)②/1(x)=e"；③/'(x)=lnx；?f(x)—cosx.其中對于/1(x)

定義域內(nèi)的任意一個》都存在唯一的如使/'(*,)-(X2)=1成立的函數(shù)是()

A.①B.②

C.②③D.③④

12.若數(shù)列｛&｝滿足：存在正整數(shù)7,對于任意正整數(shù)〃都有a+,=當(dāng)成立，則稱數(shù)列

a,—1,a?>1,

｛a.｝為周期數(shù)列，周期為7：己知數(shù)列｛aj滿足&=成如＞0）,a?,=則

+OVaWl,

an

下列結(jié)論中錯誤的是（）

4

A.若m=~,則勒=3B.若備=2,則卬可以取3個不同的值

C.若0=蛆，則數(shù)列｛a,J是周期為3的數(shù)列1）.mmWQ且加22,使得數(shù)列｛d｝是周期

數(shù)列

第n卷（非選擇題共9。分）

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13?21題為必考題，每個試題考生都必須作答,

第22?24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

第H卷

題號第I卷總分

二171819202122

得分

填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）

13.如果執(zhí)行下列程序框圖，那么輸出的S=

（開？）

IZkE：lZI

r^n

kW20?

是'輸出s

S=S+2k

14.一次射擊訓(xùn)練，某小組的成績只有7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)三種情況，且該小組的平均成

績?yōu)?.15環(huán)，設(shè)該小組成績?yōu)?環(huán)的有x人，成績?yōu)?環(huán)、9環(huán)的人數(shù)情況見下表:

環(huán)數(shù)（環(huán)）89

人數(shù)（人）78

那么x=

ci

15.已知a,b,c分別為△48C的三個內(nèi)角4B,0的對邊，若才二下+1一兒，-="+

事,則tan8的值等于一

16.已知E,凡是雙曲線廠y=］的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在此雙曲線上，曲.旗=0,如

果點(diǎn)一到X軸的距離等于乖，那么該雙曲線的離心率等于.

□

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟)

(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin|°x+可）+sin|OS3x（其中

。＞0),且函數(shù)A%)的圖象的兩條相鄰的對稱軸間的距離為

(1)求3的值；

(2)將函數(shù)y=F(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y

jt

=g(x)的圖象，求函數(shù)g(“)在區(qū)間0,萬上的最大值和最小值.

18.(本小題滿分12分)某高校組織自主招生考試，其有2000名學(xué)生報名參加了筆試,

成績均介于195分到275分之間，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按

如下方式分成八組:第一組［195,205),第二組［205,215),……,第八組式65,275).如圖

是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

頻率/組距

0.020

0.016

0.010

0.008

0.004

195215235255275得分

(1)從這2000名學(xué)生中，任取1人，求這個人的分?jǐn)?shù)在255?265之間的概率約是多少？

(2)求這2000名學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)；

(3)若計(jì)劃按成績?nèi)?000名學(xué)生進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，試估計(jì)應(yīng)將分?jǐn)?shù)線定為多少？

19.(本小題滿分12分)如圖1,在直角梯形48切中，AD//BC,N/%=90°,BA=BC.

把△砌，沿〃、折起到△/C的位置，使得點(diǎn)。在平面上的正投影。恰好落在線段〃、上,

如圖2所示.點(diǎn)反尸分別為棱。C,繆的中點(diǎn).

⑴求證：平面儂'〃平面APD-,

(2)求證：5，平面2見

(3)在棱用上是否存在一點(diǎn)M,使得"到只0,C,〃四點(diǎn)距離相等？請說明理由.

20.(本小題滿分12分)已知f{x}—x—2x—In(x+1)'.

(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若函數(shù)H*)=f(x)—x2+3%+a在一/2上只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.(本小題滿分12分)過橢圓八3+《=l(a＞方＞0)右焦點(diǎn)內(nèi)的直線交橢圓于4B

A/3

兩點(diǎn)，氏為其左焦點(diǎn)，已知△448的周長為8,橢圓的離心率為叩.

（1）求橢圓廠的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓「恒有兩個交點(diǎn)尺Q,

且也砌若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.

請考生在第22?24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講

如圖，四邊形48繆的外接圓為￡4是。。的切線，曲的延長線

與均相交于點(diǎn)色AB=AD.

求證：A^=BE?CD.

23.（本小題滿分10分）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

jy3|■5cos8

已知曲線。的參數(shù)方程為一‘（。是參數(shù)），P是曲線。與y軸正半軸

y=5sin8

的交點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求經(jīng)過點(diǎn)。與曲線C只有

一個公共點(diǎn)的直線1的極坐標(biāo)方程.

24.（本小題滿分10分）選修4一5：不等式選講

已知X2一13,關(guān)于x的不等式|%—3—12x+101+%+15—2Ia+13120的解集不是空

集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

詳解答案

一、選擇題

1.D依題意得7SS,因此a=l或a=2,故選D.

2

2.C由幾何概率的意義可知，圖形Q面積的估計(jì)值為：Xa2=詈，故選C.

C—Q

3.A記題中的等比數(shù)列的公比為g.依題意有關(guān)=9$,?,?關(guān)一$=8$,?,?二不二=8,

即/=8,得q=2,故選A.

fa?a—2b=0,0

4.B記向量a,b的夾角為。.依題意得，，、即㈤2=|引2=2a?b

〔力?b-2a=0A,

=216%os6,cos。=5，即向量&b的夾角為故選B.

乙Jo

5.C依題意得，該幾何體是一個半球，其體積等于:*23=母，故選C.

6.C依題意得f1(x)=3@六+26才+cWO的解集是[-2,3],于是有3a>0,—2+3

=一袈，-2X3=4，解得，=一半，c=-18a,函數(shù)F(x)在x=3處取得極小值，于是有

3a3a2

81

f(3)=27a+9A+3c—34=—115,一5a=-8La=2,故選C.

7.D依題意，設(shè)z=a+bi(a,A￡R),則有y/a2+b2+a—bi=8—4i,

[yla+1)+a=8,

\由此解得a=3,Z?=4,z=3+4i,故選D.

[b=4,

8.A依題意得，要使兩弧之差最大，注意到這兩弧的和一定，因此就要使其中的一弧

長最小，此時所求直線必與,切垂直，又點(diǎn)P(2,0),因此直線J彼的斜率等于2,因此所求的

直線方程是y+2=—](*—1),即x+2y+3=0,故選A.

9.C依題意得(a〃+2—④十1)—(&+i—a)=2,因此數(shù)列｛8什1—&,｝是以1為首項(xiàng)，2為公

差的等差數(shù)列，&+i—&=1+2(〃-1)=2〃-1,當(dāng)〃22時，&=a+(/一a)+(a-4)+…

+⑸-a1)=1+1+3+???+(2/?-3)=1+"—(〃-1)"+1=/?2-2〃+

2,又ai=l=『一2Xl+2,因此a“=d-2"+2,故選C.

10.B依題意得,函數(shù)F（x）在［0,+8）上是減函數(shù),不等式4f（log|x）>3等價于Alog1

x）>*f（|log|x［）>/Q）,|log|x|<1,即一］〈卜好總，由此解得g<x<2,故選B.

11.B對①，當(dāng)Xi=0時，X2不存在；對②，任意的X1,存在唯一一個X2（X2=—X1）使

得F（Xl）F（X2）=1成立；對③，當(dāng)Xl=l0VhX2不存在；對④，當(dāng)汨=5時，X2不存在.

451

12.I）對于A,當(dāng)向=卬=三時，/=:，53=a—1=T?4=4,%=3,因此選項(xiàng)A正確.對

5424

(OCmWl,

iii>1,

于B,當(dāng)必=2時，若色>1,則53=4—1=2,4^2=3,或,，=3由此

0-1=3

m

/77>1,0<mWl,

解得片4或片：；若0-W1,則備=（=2,1

『，1或《1_1由

i=5

313

此解得）=*因此〃的可能值是引*4,選項(xiàng)B正確.

對于C,當(dāng)m=小時,&二小,a2

乙J乙

=^2—1,&=鏡+1,&=/，a=鏡一1,8=4+1,…，此時數(shù)列｛&｝是以3為周期

的數(shù)列，因此選項(xiàng)C正確.綜上所述，故選D.

二、填空題

13.解析：依題意，執(zhí)行題中的程序框圖，最后輸出的S=2X（1+2+3+…+20）=

20X1+20

2X——=420.

2

答案：420

14.解析：依題意得7x+8X7+9X8=(x+7+8)X8.15,由此解得x=5.

答案：5

IQsinC

15.解析：依題意得t>-\-c-a=2bcc,osA=bccosA=-[=60°.7=-

92fbsmB

22

\PFx\+\PFi\=\F^\,

16.解析:依題意得（|歷「+|朋「）一（陽|一|朋

\PFx\-\PF2\^+2a,

=2|用|?|%|=41-4/=4氏\PF,\-PFz\=2&=2.又S叢PFE=^\PF「?'PF?"三

后川義卓，因此|A川=2m，a=7乖2_I=2,該雙曲線的離心率是々一=坐.

u乙az

答案：當(dāng)

三、解答題

17.解析：(l)f(x)=sinGX+/COSGx=2sin|

?/函數(shù)f(x)圖象的兩條相鄰的對稱軸間的距離為方,

(2)由(1)得f\x)=2sin(2x+5)

；?g(x)=2sin|

,nn5

由,可得產(chǎn)+產(chǎn)明

nJIn,

當(dāng)x+—=—,即x=7-時，

JNo

g(x)取得最大值=2sin-=2

g(x)取得最小值右，=2sin

18.解析:(1)設(shè)第7(J=l,2,…，8)組的頻率為則由頻率分布圖知/7=1-(0.004

+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008)X10=0.12,

.,.這個人的分?jǐn)?shù)在255?265之間的概率約是0.12.

(2)這2000名學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為200X0.04+210X0.1+220X0.1+230X0.2+

240X0.2+250X0.16+260X0.12+270X0.08=237.8.

(3)從第一組到第四組,頻率為0.04+0.1+0.1+0.2=0.44,而0.5—0.44=0.06,將

第五組［235,245),按以下比例分割：

0.063

0.2-0.06=7'

，中位數(shù)為235+3=238,...應(yīng)將分?jǐn)?shù)線定為238分.

19.解析：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在平面上的正投影。恰好落在線段上，所以

平面/WG所以尸OJUC

因?yàn)樗?。是的中點(diǎn),

所以O(shè)E//PA.

同理OF//AD.

又OECOF=。，PAHAD^A,

所以平面呼〃平面PDA.

(2)證明：因?yàn)?F〃AD,ADVCD,

所以O(shè)F.ACD.

又AZL平面4%,at平面/〃C,

所以POLCD.

又OFCPO=O,所以SL平面產(chǎn)如

(3)存在，事實(shí)上記點(diǎn)￡為.獷即可.

因?yàn)榍?，平面夕明燈七平?明

所以CDVPF.

又6為W的中點(diǎn)，所以印=加,

同理，在直角三角形/W7中，EP=EC=OE=^PC,

所以點(diǎn)￡到四個點(diǎn)只0,C,廠的距離相等.

20.解析：(l)f(x)的定義域?yàn)閧x|xW-1}.

VAJO=x—2x—ln(x+l)J,

，/、22x-2

(/)=2x—2-1=x+]

解j,>0得一木<X<—1或x>小,

???f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一4,一1)和(鏡，+8).

(2)由已知得F(力=x—ln(x+l')'+a,且xW—1,

2x—1

:尸(X=1---7=--.

x+1x+1

...當(dāng)X<-1或X>1時，F(xiàn)'(x)>0；

當(dāng)一1VX<1時，F(xiàn)'(x)<0.

當(dāng)一時，尸'(x)<0,此時，尸(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)l<x<2時，F(xiàn)'(x)>0,此時，尸(x)單調(diào)遞增.

,?"(一()=—；+21n2+a>a,尸(2)=2-21n3+a<a,

.?"(一：)>尸(2).

-?-l人|——I，。

.(x)在一5，2上只有一個零點(diǎn)I2/或Al)=0.

[尸2<0

1

由{V2)得]-21n2WaV21n3-2；

F2<0

由尸(1)=0得a=21n2—1.

.?.實(shí)數(shù)a的取值范圍為B一21n2WaV21n3—2或a=21n2-1.

f4a=8,

a=2,

21.解析：⑴由已知得也解得，...4=才一C2=1,

[a=2

故橢圓/、的方程為3+/=1.

(2)假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為^+/=?(0<r<l).

當(dāng)直線。。的斜率存在時，設(shè)其方程為y=Ax+t,

y=kx+t,

由2消去y整理得(1+4始)夕+845+412-4=0.

彳+y=i

設(shè)尸(X1,71),0(及，㈤，

8kt4/一4小

則為+及=—[+4六，汨■=]+47?①

OP工OQ,?\X1X2+必必=0.

又y=〃小+力y2—kx2+t,

.,.Xi及+{kx\+t)(te+t)=0,

即(1+X1X2+kt(x\+x2)+d=0.②

i4-i-24戶—48a2產(chǎn)

將①代入②得一1+4%—落/+d=0,

4

即餐(1+六).

□

??,直線倒與圓/+/=步相切,

(0,1),

A

存在圓/+/=￡滿足條件.

□