數(shù)列（常規(guī)型）解析版-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題2.3數(shù)列(常規(guī)型)

要點(diǎn)提示

1.等差(比)數(shù)列問題解決的基本方法：用公式進(jìn)行基本量代換；

2.數(shù)列求和的方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法.

3.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組

求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)

數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.

4.一般地，如果數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，｛5｝是等比數(shù)列,求數(shù)列｛斯?｝的前〃項(xiàng)和時(shí),

可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛瓦｝的公比，然后作差求解，這也

是考查頻率比較高的考查點(diǎn).

實(shí)戰(zhàn)演練

[(2023?陜西咸陽??？寄M預(yù)測)已知數(shù)列｛冊｝滿足的+3a2+…+(2n一1)冊=兒

(1)求的通項(xiàng)公式；

：，九為奇數(shù),

⑵已知％=19%、、，數(shù)列｛〃｝的前20項(xiàng)和.

。九的1+2,幾為偶數(shù)，

【解題思路】(1)根據(jù)的+3。2+…+(2九一=九得到的+3a2+…+(2n—3)a九_i=

n-l(n>2),然后兩式相減得到冊=圭(n22),最后驗(yàn)證幾=1時(shí)是否成立，即可得到

(2)分奇偶項(xiàng)求和，奇數(shù)項(xiàng)用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項(xiàng)用裂項(xiàng)相消的方法求和，最

后相加即可.

【解答過程】(1)當(dāng)幾=1時(shí)，可得的=1,

當(dāng)ri>2時(shí)，%+3a2+—H(2n-l)an=n,

a1+3a2+…+(2n-3)an_i=n—l(n>2),

上述兩式作差可得冊=^(n>2),

因?yàn)?=1滿足a九=),所以｛。九｝的通項(xiàng)公式為a九=

工，九為奇數(shù)

(2)

i，門為偶數(shù)

k(2n-l)(2n+3)

1+5+9+…+37(1+37)x10

所以Q,+C3+…+Q_9=10,

192X19

11/I1111\_10

c2+QH---HQo初+對+…+39X434\37十711十十39437—129

所以數(shù)列｛4｝的前20項(xiàng)和為詈.

2.(2023?寧夏銀川??？寄M預(yù)測)已知數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為無,設(shè)｛去｝是首項(xiàng)為1,公差

為1的等差數(shù)列.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若勾記數(shù)列｛,｝的前幾項(xiàng)的和取,證明：Tn<^.

anan+l2

【解題思路】(1)由題意首先求得數(shù)列的前〃項(xiàng)和配,然后由前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系即

可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)首先確定數(shù)列｛匕｝的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消即可求出寫，即可證明

【解答過程】(1)???數(shù)列｛學(xué)｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

2

且=a1=1,=1+(n-1)x1=n,Sn=n,

22

當(dāng)九>2時(shí)，an=Sn-Sn_i=n—(n—l)=2n—1.

9?ar=1符合a九=2n—1,

??CL-ft=2Tl1.

(2)由(1)知'g=(Zn-Nn+l)=1-一七)

所以6=工(1—二+工一工+-----—)=-(1—-—)

712\3352n-l2n+172k2n+1722(2n+l)2

3.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和無=0，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，滿足b=1,

｛%｝的前9項(xiàng)和B=45.

(1)求數(shù)列｛5｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛(24——的前n項(xiàng)和.

【解題思路】(1)由等差數(shù)列求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再由前”

項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)+=—^―+—^―,利用裂項(xiàng)相消法求和.

anbnan+1bn2n(2n-l)2n(2n+l)

【解答過程】(1)由｛加｝是等差數(shù)列，丁9=，"=9既=45,解得d=5.

由&=1得公差d=無彳%=1，故力九=l+(n—l)xl=n.

故｛%J的前幾項(xiàng)和匕=n2,

2

則的=Si=1,Sn_1=(n—l),n>2,

則冊=Sn—Sn_r=2n—l(n>2),

經(jīng)檢驗(yàn)幾=1時(shí)也滿足上式，

故Q九=2n—1.

____?=?=?

anbnccn+1bnn(2n-l)n(2n+l)2n(2n-l)2n(2n+l)

_2_J__1\=_2____2

2n+2n2n+lJ2n-l2n+l

故數(shù)列bk+號加前n項(xiàng)和3

4.(2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考二模)己知數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為％,且金=n+l(n6N*).

⑴求數(shù)列—的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛5?2叼的前〃項(xiàng)和加

【解題思路】(1)由%與a”的關(guān)系得出數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)由錯(cuò)位相減法得出前〃項(xiàng)和7；.

【解答過程】⑴由孩=幾+1得Sn="+n,

當(dāng)ri>2時(shí)-(n-I)2+(n—1),

%=Sn—S"T=2n>

當(dāng)n=1時(shí)=S]=2,滿足與=2n,

所以數(shù)列｛a—通項(xiàng)公式為即=2n(neN*)

(2)由a”-2a"=In-22n=In-4n,

23n

.'.Tn-2x4+4x4+6x4+...+2nx4

47^=2X42+4X43+6X44+...+2nx4n+1,兩式錯(cuò)位相減得一36=2x4+2x42+

2x43+2x44+-+2x4n-2nx4n+1="。-內(nèi)-2n-4n+1

1-4

所以給=(|n-34n(neN*).

5.（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知土是等差數(shù)列的前”項(xiàng)和，卻是等比數(shù)列｛%｝的

前w項(xiàng)和，且&=0,&=1,S2+T2=S3+T3=S4+T4.

（1）求數(shù)列｛5｝和｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)Q=i?￡憶11。2J求數(shù)歹可公；｝的前"項(xiàng)和

【解題思路】⑴利用已知條件建立方程R2Jtr-n從而求得q=f-d=-l，

（白4—十（4一,3_U28

再利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；

（2）由｛即｝的通項(xiàng)公式，求出Cn=、XLi|a2nI=Jn，再根據(jù)裂項(xiàng)求和可得6.

718

S3-S2+T3—72=0

【解答過程】（1）因?yàn)镾2+T2=S3+T3=S4+T4,所以

S4—S3+T4—T3=0

a即胃W因?yàn)閝"解得q=”=.

Bnf3+b3=0

1

[a4+b4=0

所以an=-2一1),%：=(|).

(2)由⑴知|即|=2一1)

得%/a2nl=^[l+3+5+---+(2n-l)]="但詈3=*,

所以d=^Zn=ila2nl=|n.

1,1,,1I64乙1,11,

因此U二=&,所以％=詈乂---1-----F???d----=——X(1---1------F???+

.1x22x3n(n+l)J81\223

64n

卜土）81(n+l)

6.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為%,且%=2,管=片言⑺eN*）.

（1）求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式;

⑵己知%=皆+言，求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和加

【解題思路】（1）解法一：鬻=2?詈結(jié)合等比數(shù)列的定義得出數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；解法

二：由累乘法得出數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式；

（2）由分組求和法結(jié)合等比求和公式求解即可.

【解答過程】（1）解法一：因?yàn)槊?迎趣，所以筆=嗎.因?yàn)榈?2,所以當(dāng)neN*時(shí),

annn+1n

幺K0,

n

又牛=2,所以數(shù)歹!|｛第是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹

所以中=2X271T=2n,所以與=n-2n.

解法二：因?yàn)?1=軍竺0,所以當(dāng)nN2時(shí)，%=2x2,包=2義三，

anna11a22

^=2x-,...,W=2x」-,

a33an_in-1

將以上各式累乘得皆=n-2n-1,所以冊=n-2n.又％=2滿足該式，所以G九=n-2n.

(2)由(1)知.=%+三=2九+±,

所以數(shù)列｛力九｝的前n項(xiàng)和此=2+1+22+盤■+2?+,T—+2n+,

=(,2+29+2Q+-+2)+6/I+^1+71+…+五1\)

n+1

=2x(12)=2n+i_2+]_2=2---1

1+21號—2"一2"

7.(2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%J為等比數(shù)列，其前幾項(xiàng)和為無,且滿足%=2"+

m(mGR).

(1)求zn的值及數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè),=|log2an-5|,求數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和

71-1n-1

【解題思路】(1)當(dāng)幾之2時(shí)，Sn_1=2+m,兩式相減得&=2(n>2),由%=21+

m=1,可求出TH的值；

(2)由(1)知%=|n-6|,由絕對值的定義結(jié)合等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式即可求出數(shù)列｛砥｝

的前幾項(xiàng)和

【解答過程】(1)因?yàn)樨?2n+m,所以幾>2時(shí)，S域1=2"T+m,所以冊=2n-\n>2).

1

又由數(shù)列｛冊｝為等比數(shù)列，所以冊二2"t.又因?yàn)榈?S1=2+m=21T=1,所以血=

-1,

71

綜上TH=-1,an=2T.

(2)由(1)知"l=|n-6],

-5+71-6lln-n2

當(dāng)14幾46時(shí)，T=xn=

n22

當(dāng)n〉6時(shí)，Tn=T6+x(n-6)=15+(…黑瑜=Q-I：+60

rlln-n2《(

---,1<n<6

乙

所以Bn2-lln+60、,

--------,n>6

I2

8.(2023?吉林通化??？家荒?記立為公比不為1的等比數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，a5-a4=

—8a2+8ai,=21.

(1)求｛a九｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)%=log2成，若由｛&J與｛既｝的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)歹U｛4｝,求數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和

【解題思路】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(qW1),由的一。4=-8g+8%求出q，再由等

比數(shù)列求和公式求出的,即可得解；

(2)由(1)可得%=2(九一1),即可得到數(shù)列｛,｝的特征，令每＞0,求出九的取值，即

可得到｛%｝為以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.

【解答過程】(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q(qwl),

因?yàn)?%=—8。2+8a1，即gqS-dIQ3=—8(。2—。1)，BPq3=—8,所以q=-2,

又56==21,即生”答2=21,解得的=—1,

1-Q1一(一切

所以冊=-lx(―2)“T=(-l)nx2“T.

a2(n-1：)

(2)解：由⑴可得bn=l°g2n=log2((—1)"x2"T)2=log22=2(n-1),

則數(shù)列｛%｝為0、2、4、6、……，偶數(shù)組成的數(shù)列，

又0n=(-1嚴(yán)X2"T,令冊＞0,貝加為正偶數(shù)，

35n

所以R=2,c2=2,c3=2,...,cn=22t,

所以｛%｝為以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

2(l-4n)_2(4n-l)

所以61-4-3

9.(2023?內(nèi)蒙古?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為%,且%=2,^=^+1.

an+lan

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若加=求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和心.

【解題思路】(1)先根據(jù)—=為+1,可得數(shù)列是以;為公差的等差數(shù)列，從而可得

an+lan2

數(shù)列｛含｝的通項(xiàng)，再根據(jù)廝與無的關(guān)系結(jié)合構(gòu)造法即可得解；

(2)先求出數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法即可得解.

【解答過程】(1)因?yàn)榭諛I(yè)=泡+1,

an+lan

所以且±1一名=工，

an+lan2

所以數(shù)列■p葉是以盤=1為首項(xiàng)，;為公差的等差數(shù)列，

lanJa12

所以￡=等，貝5=等即，

當(dāng)九之2時(shí)，Sn_!=^an.19

兩式相減得an=等與-聲…，即蕖=會，

所以數(shù)歹U僵｝為常數(shù)列，且卑=:=2,

所以冊=2n；

(2)由(1)得S九=—^―CLn=Tl(jl+1),

所以％弋=看11

nn+lf

1.11..11n

所以6=+---1------------1-???-|--------------=---------

11-334nn+1n+1n+1

10.(2023?甘肅蘭州??？寄M預(yù)測)在數(shù)列｛0｝中，的=l，an+1+2anan+1-an=0,n&N*.

(1)求證：｛2｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)篇=an-an+1,求數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)的和%.

【解題思路】(1)根據(jù)遞推關(guān)系式，由等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式求解即可；

(2)根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可得解.

a

【解答過程】(1)因?yàn)榈?三,n+i+2anan+i—an=0,所以為中0,

否則與的=；矛盾，故--三=2,

3an+ian

又工=3,.?.數(shù)列(2)是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以工=3+2(n-1)=2n+1,

Qn

因此即=票？

(2)由(1)知，6n=廝?廝+1=(2n+i；(2n+3)=?*一七)

.c_1Ai,i1..11A_iAi\_1i

??3力——I——十一—十,??十I——I—I——.

712\35572n+l2n+3/2\32n+3764n+6

11.(2023.福建廈門??？寄M預(yù)測)設(shè)數(shù)列5｝的前"項(xiàng)和為無.已知的=1,2nan-2Sn=

n2—n,neN*.

(1)求證：數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列;

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為加且7；=2n-l,令％=普，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

%

【解題思路】（1）應(yīng)用冊=S九-S九T，結(jié)合等差數(shù)列定義證明即可；

（2）先求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再兩次應(yīng)用錯(cuò)位相減或裂項(xiàng)相消

2

【解答過程】（1）2nan—2Sn=n—九①，

2

當(dāng)ri>2時(shí)，2（幾—l）an-1-2s九t=（n—l）—（n—1）②，

2

①一②得：271azi-2（九—1）。九_1-2（S九—S九一J=71—（TL—1）2—H+（?1—1）,

即2（幾—l）an—2（n—l）an-i=2（n—1）,

所以時(shí)—an,!=1,n>2且?guī)譭N*,

所以｛&J是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）得，an=n.

當(dāng)幾=1時(shí)，九=7i=l；當(dāng)幾22時(shí)，g=〃一〃_1=2九—1；

又瓦=1滿足上式，所以勾=2n~1（nEN*）.

“2

所以d=3，記數(shù)列｛%｝的前W項(xiàng)和為R”

方法一：（兩次錯(cuò)位相減）

%=^+|l+|l+…+施'①

+f+|+-+J②

①一②得.n=/+/+襄+…+段-—恭③

rn>[1八1.352?1—32?1-1Tl2zjx

貝!J—R”=—H----1----1-?,?-------1-------------,

4九212223271T2n2n+1-

③一④得，九=1+1+]+蠢+…+^7一標(biāo)一

2n-ln2cn2+4n+6

=1+21-------------J---------

2"2n+12n+1

所以R.=12-武篝

方法二：（裂項(xiàng)）

因?yàn)閐=鑒n2+2n+3(n+l)2+2(n+l)+3

2n—2271T

12+2x1+323n2+2n+3(n+l)2+2(n+l)+3

所以以=2+2X2+32+2X3+3+???+

2T2°212n—22n一1

(n+l)2+2(n+l)+3acn2+4n+6

=12-=12---

2n-1

12.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%J的前〃項(xiàng)和為%,%=1,0+與｝是公比為押

等比數(shù)列.

(1)證明：｛2%“｝為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛S"的前n項(xiàng)和卻.

【解題思路】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義可得%+I+a“+i=21-",進(jìn)而根據(jù)%,斯的關(guān)系可得

｛2"即｝為等差數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)，

(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法或分組求和即可求解.

【解答過程】(1)由題可得Si+%=2%=2,

由｛Sn+是公比為(的等比數(shù)列知，

/I、71—1

Sn+an^2x(I)=22f①，

^n+1+an+l=21n②，

1-n

②一①得，2an+1—an=—2,

rln

等式兩邊同時(shí)乘以2可得2九十%九+1-2an=-2.

又2%i=2,???｛2氣九｝是以2為首項(xiàng)，—2為公差的等差數(shù)列.

n1-n

2an=2-2(n-1)=4—2n,an=(2—n)-2.

2nrn

(2)通解VSn+an=2-,an=(2-n)-2-,

,C—71

?2九一亦7'

1,2,3n

=----1-----1------1-???H------

2021222rlT

11.2n-1,n

=-----1-------1-…H----------1-----

221222nT2n④,

1,111n

③一④得工20+21+22++2n-12n

MY：

F

：.Tn=4-(n+2)-21f

優(yōu)解令｛S九+Q"的前幾項(xiàng)和為4,

則"打=S]++S2+。2+…+=〃+S^.

又/=①弼=4-22-%

1-2

2nn

Sn=2--(2-n)-=n-2>~,

1-1-n

：.Tn=Hn-Sn=4-22r-n-2n=4-(n+2)-2.

13.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)已知｛廝｝是等差數(shù)列，｛%｝是等比數(shù)列，且電=3-3=9,

a1—b],a14=b4.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)cn=an+(-l)6n(n￡N*),求數(shù)列｛cn｝的前2n項(xiàng)和.

【解題思路】(1)運(yùn)用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

(2)運(yùn)用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.

【解答過程】(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

則q=合=3,=y=1,a14=b4=b3q=27,

又％_4=a1+13d=1+13d=27,可得d=2,

所以a.a1+(n—l)d=1+2(n—1)—2n—1.

(2)由(1)可得匕=3"T,

故(―1嚴(yán)均=—(一3嚴(yán)t,以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以-1為首項(xiàng)、公比為-3的等比數(shù)列，

所以d=(2九一1)一(一3尸-1,

所以數(shù)列｛”｝的前2〃項(xiàng)和為：(。1++…+。271)—[1+(―3)+…+(―3)2nT]=

2n(l+4n-l)[l-(-3)2n],1

-------------；---=4712H-----.

21-(-3)44

即：數(shù)列｛%｝的前In項(xiàng)和為4"+^-i

14.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知等比數(shù)列｛a九｝滿足劭=a3a4,。3a8+=0.

(1)求｛%J的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)華=anlog3|an|,求｛b九｝的前71項(xiàng)和九.

【解題思路】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)列式求解的,0即可得結(jié)果；

(2)由(1)可得匕=(九一5)?(一3尸一5,利用錯(cuò)位相減法求和.

【解答過程】(1)為等比數(shù)列,則a3a8+3磋=a5a6+3磋=0,

且H0,可得。6+3a§=°，

設(shè)數(shù)列｛怎｝的公比為q,貝叼=^=-3.

a5

2

Va2=a3a4，則=^iQ,的產(chǎn)可得%=a=烹'

一(一尸1_

???n九一的.nTl-13—(z―_力Q\n-5?

aq———o±

n-5

(2)由(1)知|即|=3"-5,則2g3|an|=n—5,bn=(n—5)"(—3),

n6n5

：.Sn=(-4)x(一3廣4+(-3)x(一3廠3+???+(n-6)x(-3)-+(n-5)x(~3)~,①

715n4

-3Sn=(-4)X(一3廠3+(-3)x(一3廠2+...+(n-6)x(-3)-+(n-5)X(-3)-,②

①-②得4Sn=(-4)X(-3)-4+(-3廠3+…+(-3)n-5-(n-5)X(-3)n-4

=(-4)x(-3)-4+(-3)-口；(-3嚴(yán)]一(幾_5)X(-3)吁4=_21_1^12(—3)九"，

''''1-(-3)''、'3244k7

n-4

.c_19(4n-19)(-3)

**n-129616,

15.(2023?全國?模擬預(yù)測)在數(shù)列｛即｝中，。2=5,數(shù)列｛3an—5+1｝是首項(xiàng)為2,公差為4

的等差數(shù)列，bn=an-2n.

(1)證明：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和Sn.

【解題思路】(1)由條件，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得加+1=3an-4n+2,變形可得an+1-

2(n+1)=3(an-2")，根據(jù)等比數(shù)列定義證明數(shù)列｛^｝為等比數(shù)列；

(2)由(1)根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式，利

用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式求和.

【解答過程】(1)由題意得3%i—ctn+i=2+(九—1)x4=4n—2,即％^]-3an—4n+2,

an+1—2(n+1)=3(an-2n).又,=an—2n,bn+1=3bn.

:歷=-4=1=3瓦，.,也=貝！Jbn豐0,

???數(shù)列｛篇｝是首項(xiàng)為%公比為3的等比數(shù)列.

(2)由(1)得當(dāng)=[義3"-1=3吁2,

n-2

an=bn+2n=3+2n

Sn=a1+Q，2+…+a九

=(3-1+30+31+…+3n~2)+2(1+2+3+…+九)

3Tx(1-3n)n(n+1)

=-------------+2x--------

1-32

0n-l-1

=-------Fn(n+1).

26

16.(2023?吉林?聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛即｝滿足與+1=an+2”(neN*),且%=2.

(1)求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)6n=log2an,求數(shù)列S-%｝的前〃項(xiàng)和一.

【解題思路】(1)由遞推關(guān)系，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)可得斯?.=幾?2",再根據(jù)錯(cuò)位相減法求其前〃項(xiàng)和乃.

na=n-1

【解答過程】(1)因?yàn)閍n+i=an+2,所以為—n-i2(n>2),所以an—a1=

n-1n-22

(an-dji-i)+(%t-ian_2)4—+(。3a2)+(。2a])=2+24—+2+2=

亞上2=2。-2,

1-2

又=2,所以冊—2n(n>2),

又當(dāng)71=1時(shí)也適合上式，

n

所以an=2(neN*).

n

(2)因?yàn)樨?Iog2an=n,所以%i-bn=n-2,

6=1x2+2x22+3x23+.■?+n-2n,①

27^=1x22+2x23+3x24+…+n-2n+1,②

-②得-T"=2+22+23+.??+2n-n-2n+1,

所以一圖=F^-n，2n+i，

1—2

所以—%=2n+i-2-n-2n+1

故〃=(n-l)-2n+1+2.

17.(2023.全國.模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為％,%,=1,an+an+1=4n.

⑴求先;

⑵若%是%與%+i的等比中項(xiàng)，且%>0,求數(shù)列｛J的前n項(xiàng)和加

【解題思路】(1)解法一：根據(jù)即+即+1=4小分兀為偶數(shù)和奇數(shù)，利用并項(xiàng)求和求解；

解法二：由%_=1,an+an+1=4n,得到a2=3,由?i22時(shí)，an_1+%=4(九-1),得

到數(shù)列｛&J的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差

的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列求解.

22

(2)由星=SnSn+1=n(n+I),得到==7y=工—丁，再利用裂項(xiàng)相消法求解.

【解答過程】(1)解法一：當(dāng)ri為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k也EN*),

a

sn=S2k=(。1+。2)+(。3+。4)+(。5+。6)-----i2k-l+。2k)，

=4xl+4x3+4x5+…+4(2fc-1)=4fc2,

所以%=n2.

當(dāng)71為奇數(shù)時(shí)，設(shè)幾=2k—l(kEN*),

aaaf

則S九=S2k-1=%+(。2+。3)+(4+。5)-----1"(2fc-2+2k-l)

=1+4X2+4X4+…+4(2/c-2)=(2/c-I)2,

所以%=n2.

2

綜上，Sn=n.

解法—-；因/=1,CLn+/1+1=4九，

所以1+4=4,得。2=3,

當(dāng)九>2時(shí)，an-r+an=4(n—1),

所以a九+i—an-i=4,

所以數(shù)列｛%J的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以電^=271—1,所以5九=幾2.

22

(2)由題意可得，=SnSn+1=n(n+l),

因?yàn)閎九>0,所以%=幾(幾+1),

所以上=^^二工一二",

bnn(n+l)nn+1

所以&=(i—m+傅—o+G—￡)+…+?—充)=羔.

18.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測)記數(shù)列｛m｝的前"項(xiàng)和為Sm對任意正整數(shù)"，有2S”

="a小目.。2=3.

(1)求數(shù)列｛〃"｝的通項(xiàng)公式；

(2)對所有正整數(shù)相，若ak〈2nv<ak+i,則在。左和溫一/兩項(xiàng)中插入2M，由此得到一個(gè)新數(shù)

列｛加｝,求｛加｝的前40項(xiàng)和.

【解題思路】(1)由an=Sn-SnT(n22)得出數(shù)列｛冊｝的遞推關(guān)系，然后由連乘法求得通

項(xiàng)%I；

(2)考慮到26<。40<27,。34=99>26,從而確定｛,｝的前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來自｛即｝,

其他6項(xiàng)由#組成，由此分組求和.

【解答過程】(1)由25乳=nan,貝!]2Sn+i=(n+l)an+1,兩式相減得：2an+1=(n+l)an+1-

72Q■九,

整理得：(n—1)與+1=na”即n22時(shí)，幺±1=

dfin—1

所以九N2時(shí)，a=0n?°nT??a=,--3=3(n—1),

n2z

CLn-i?n-2a2n-2n-31

又九=1時(shí)，2cLi=a19得a1=0,也滿足上式.

故斯=3(n—1).

7

(2)由。40=117,所以26<a40<2,

又。34=99>26,所以｛g｝前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來自｛aj

故瓦+%+…+匕40=(。1+。2+…+。34)+(21+2?+…+26)

=34(°—+"二2=]683+126=1809.

22-1

19.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)在數(shù)列｛廝｝中，=16,點(diǎn)(廝,廝+1)5eN*)在直線》-

y+3=0上.

(1)求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若匕=2an,求數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和蜀.

【解題思路】(1)根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷求解作答.

(2)利用(1)的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求和作答.

【解答過程】(1)依題意，an—an+1+3=0,即an+i—6=3,因此數(shù)列｛。兀｝是公差為3

的等差數(shù)列，貝！+3(?1—6)=3n—2,

所以數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式是與=3n-2.

(2)由(1)得為=(3n-2)-2%

則&=1X21+4X22+4X23+-+(3n-2)x2n,

于是2圖=1X22+4X23+…+(3n-5)x2n+(3n-2)x2n+1,

兩式相減得一給=2+3(22+23+??■+2n)-(3n-2)-2n+1=2+3-22°々11)_(-).

1—23n2

2n+1=(5-3n)-2n+1-10,

所以加=(3n-5)-2n+1+10.

20.(2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考一模)己知等差數(shù)列｛即｝的公差為d(d>l),等比數(shù)列｛4｝的公

比^Jq，且Q]—b],d—q,a?=5,a?+Q5=6b

⑴求數(shù)列｛aJ｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記”=———，求數(shù)列｛7｝的前71項(xiàng)和

log2b271+2

【解題思路】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；

(2)利用裂項(xiàng)法求和即可.

【解答過程】(1)va3=5,a2+a5=6b2,a±=blfd=q,d>1

的+解得［仇=1

2d=5%=1(舍)???

2al+5d=6aid'腑借Id=24=2

n-1

???an=+(n—l)d=2n—l,bn=瓦=2,nEN*

11=4,

(2)cn=

a7110g2匕271+2(2n-l)(2n+l)2\2n-l

2V335++2n_-l__2nM+17=2"\i2n-+>117=—2n+l

21.(2023?浙江?校聯(lián)考三模)已知數(shù)列｛5｝是以d為公差的等差數(shù)列，^/。。石口為5/的前

n項(xiàng)和.

⑴若S6—S3=6,a3=1,求數(shù)列｛a九｝的通項(xiàng)公式；

⑵若｛冊抻的部分項(xiàng)組成的數(shù)列｛.J是以內(nèi)為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，且g=4的，

求數(shù)列｛m九｝的前幾項(xiàng)和乃?

【解題思路】(1)由S6-S3=6,可得砥=2,后由等差數(shù)列性質(zhì)可得公差，即可得通項(xiàng)公

式；

(2)由題可得a?=4amni,=1.后由｛%J是以d為公差的等差數(shù)列，a2=4al可得數(shù)

歹lj｛mn-|｝是以1為首項(xiàng)-4為公比的等比數(shù)列，可求得數(shù)歹支巾?｝的通項(xiàng)公式，后由分組求

和法可得｛為｝的前n項(xiàng)和心.

【解答過程】(1))因?yàn)?6—S3=6,所以*+。5+。6=6，

用f以@4+。5+。6=3a$=6n=2.

所以d==[今即=as+(n-3)d=[n

a—DZZZ

則數(shù)列5｝的通項(xiàng)公式為=|n-|.

(2)因?yàn)閿?shù)列｛agj是以首項(xiàng)為由,公比為4等比數(shù)列.

所以a6”=4am…，a7nl=ar^m1=l.

因?yàn)閿?shù)列｛an｝是等差數(shù)列,所以的+(mn-X)d=4[ax+g…-l)d].

化簡得gt=等+4叫i-i-3.

因?yàn)閍2=a】+d=4%,所以號=即n1n=4mn_1-2.

所以niw_|=4(mw-i_|)-

因?yàn)榻?一|=1,所以數(shù)歹.山正一|｝是以1為首項(xiàng).4為公比的等比數(shù)列

n-1rl

所以??1rl-|=|-4=?mn=|-4t+|.

1n-16

所以i=m1+m2+—Fmn=|(40+4+4)+~j~=，一：+1

則數(shù)歹UOnJ的前n項(xiàng)和與為：Tn=上產(chǎn).

22.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考一模）設(shè)等比數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和為目,已知S3=7,且的-44=-7.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)%=即+2n—1,數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為取,證明：當(dāng)n25時(shí)，Tn>56.

【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式求的,q,即可得結(jié)果；

（2）利用分組求和可求得〃=-1+層，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明.

【解答過程】⑴設(shè)數(shù)列｛&J的公比為4，

故與=271T.

(2)由(1)知%=2z+2n-l,

nl

所以B=瓦+電4—+b7t=(1+1)+(2+3)4—+(2+2n-1)=(1+2+…+

2nT)+(1+3+…+2?i—1)

,//（X）=2X-1+/在［1,+8）上單調(diào)遞增，則數(shù)列｛與｝為遞增數(shù)列，

.,.當(dāng)n>5時(shí)，TnN=56,

故當(dāng)九>5時(shí)，Tn>56.

23.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）記S”為等比數(shù)列｛時(shí)｝的前幾項(xiàng)和.已知52=4,闔=3。6.

（1）求C1n;

1

⑵設(shè)g=\%'"為曾粕求數(shù)列面｝的前2n項(xiàng)和727V

（“T+幾,71為偶數(shù)

【解題思路】（1）設(shè)等比數(shù)列｛%J的公比為力根據(jù)題目條件列方程組求解即可；

（2）由題意可得%=1￡1"為了數(shù)然后利用分組求和法求解即可.

3"-2+n,n為偶數(shù)

【解答過程】（1）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q.由題意，可知

%=1

Q=3

n-1n

an=l-3=3t.

（2）由題設(shè)及（1）可知:

n-1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn-an-3,

n2

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn=bn_r+n=an_1+n=3~+n,

?1?T2n^b1+b2+b3+b4+…+/?2n_i+b2n

=(瓦+Z>3+仇+--F/>2n-l)+(^2+b4+—Fb2n)

24rl

=(30+3+3+…+32-2)+(3。+32+34+…+32rl-2+2+4+6+…+2n)

=2(3°+32+34+…+3271-2)+(2+4+6+…+2n)

_l-32nn(2n+2)

=2XT^9"+2

9Tl_1

=———Fn(n+1).

24.(2023?吉林長春?校聯(lián)考一模)已知等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)的=1,記｛須｝的前〃項(xiàng)和為土,

S4—2。2。3+14—0.

⑴求數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛即｝公差d>1,令％=*2求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.

an,an+l27k

【解題思路】(1)根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)題意可得a九=2n-1,c,利用裂項(xiàng)相

n(2n