新北師大八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)-第一章勾股定理-教案

●課題：1.1、探索勾股定理〔一〕●教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)與技能：1、經(jīng)歷用數(shù)格子的方法探索勾股定理的過程，進(jìn)一步開展學(xué)生的合情推理意識(shí)，主動(dòng)探究的習(xí)慣，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。2、探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步開展學(xué)生的說理和簡單推理的意識(shí)及能力。(二)過程與方法：在觀察、猜測(cè)、歸納、驗(yàn)證等過程中培養(yǎng)語言表達(dá)能力和初步的邏輯推理能力。(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過讓學(xué)生參與創(chuàng)造、獲得成功的體驗(yàn)●教學(xué)重點(diǎn)：

探索和驗(yàn)證勾股定理●教學(xué)難點(diǎn)：

探索和驗(yàn)證勾股定理●教學(xué)方法：觀察、猜測(cè)、歸納、驗(yàn)證●教具準(zhǔn)備：●教學(xué)過程:Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課我們知道，任意三角形的三條邊必須滿足定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。對(duì)于等腰三角形和等邊三角形的邊，除滿足三邊關(guān)系定理外，它們還分別存在著兩邊相等和三邊相等的特殊關(guān)系。那么對(duì)于直角三角形的邊，除滿足三邊關(guān)系定理外，它們之間也存在著特殊的關(guān)系，這就是我們這一節(jié)要研究的問題。2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國北京召開，投影顯示本屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)：會(huì)標(biāo)中央的圖案是一個(gè)與“勾股定理”有關(guān)的圖形，數(shù)學(xué)家曾建議用“勾股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào)．今天我們就來一同探索勾股定理．〔板書課題〕〔書中P2圖〕并答復(fù)：1、觀察圖，正方形A中有個(gè)小方格，即A的面積為個(gè)面積單位。正方形B中有個(gè)小方格．即B的面積為個(gè)面積單位。正方形C中有個(gè)小方格，即C的面積為個(gè)面積單位。2、你是怎樣得出上面結(jié)果的？3、圖l一2中，A、B、C之間的面積之間有什么關(guān)系？圖1一1中A、B、C的關(guān)系呢？Ⅱ、做一做總結(jié)：以直角三角形兩直角邊為邊的正方形面積和，等于以斜邊為邊的正方形面積。Ⅲ、議一議1、圖1一1、1一2、中，你能用三角邊的邊長表示正方形的面積嗎？2、你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間的關(guān)系嗎？在同學(xué)的交流根底上，老師板書：直角三角邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c。那么我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的直角邊為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來．3分別以5厘米和12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長度〔學(xué)生測(cè)量后答復(fù)斜邊為13〕請(qǐng)大家想一想〔2〕中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？〔答復(fù)是肯定的：成立?！?、〔想一想〕：這里的29英寸〔74厘米〕的申視機(jī)，指的是屏幕的長嗎？指的屏幕的寬嗎？那它指的是什么呢？Ⅳ.練習(xí)Ⅴ.課時(shí)小結(jié)：這節(jié)課我們主要研究：1、從特例猜測(cè)出勾股定理。2、用特例檢驗(yàn)了勾股定理。3、簡單了解了勾股定理的歷史與應(yīng)用。Ⅵ.課后作業(yè)：課本P4習(xí)題1.11、2、4板書設(shè)計(jì)：課后反思：●課題：1.1、探索勾股定理〔二〕●教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)與技能：1、經(jīng)歷運(yùn)用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程2、掌握勾股定理和它的簡單應(yīng)用。(二)過程與方法：學(xué)會(huì)用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，在觀察、猜測(cè)、歸納、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)開展學(xué)生的探究意識(shí)和合作交流的習(xí)慣。(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生大膽探索的精神，提高學(xué)習(xí)興趣?！窠虒W(xué)重點(diǎn)：能熟練應(yīng)用拼圖法證明勾股定理．●教學(xué)難點(diǎn):證明勾股定理．●教學(xué)方法:教師引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合?！窠叹邷?zhǔn)備:●教學(xué)過程：Ⅰ.復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入教師提出問題：〔1〕勾股定理的內(nèi)容是什么？〔請(qǐng)一名學(xué)生答復(fù)〕〔2〕上節(jié)課我們僅僅是通過測(cè)量和數(shù)格子，對(duì)具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理，對(duì)一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？這需要進(jìn)一步驗(yàn)證，如何驗(yàn)證勾股定理呢？事實(shí)上，現(xiàn)在已經(jīng)有幾百種勾股定理的驗(yàn)證方法，這節(jié)課我們也將去驗(yàn)證勾股定理.Ⅱ、小組活動(dòng)，拼圖驗(yàn)證. 活動(dòng)1：教師導(dǎo)入，小組拼圖.2222圖1 活動(dòng)2：圖1在此根底上教師提問：如圖你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？〔學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流〕；〔2〕你能由此得到勾股定理嗎？為什么？〔在學(xué)生答復(fù)的根底上板書(a+b)2=4×ab+c2.并得到〕活動(dòng)3：自主探究，完成驗(yàn)證二.教師小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，聯(lián)系整式運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)，從理論上驗(yàn)證了勾股定理，你還能利用圖2驗(yàn)證勾股定理嗎？Ⅲ、延伸拓展，能力提升_b_a_a_c__b_a_a_c_b_c20cm

,且兩直角邊長度比為3:4，求兩直角邊的長。Ⅳ：講解例題例1、我方偵查員小王在距離東西向公路400米處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上急駛，他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與它相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？Ⅴ.練習(xí)Ⅵ.課時(shí)小結(jié):這節(jié)課我們利用拼圖的方法驗(yàn)證了勾股定理，并運(yùn)用它解決了生活中的實(shí)際問題。Ⅶ.課后作業(yè):板書設(shè)計(jì):課后反思:●課題：一定是直角三角形嗎●教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)與技能：掌握直角三角形的判別條件，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用，熟記一些勾股數(shù)。(二)過程與方法：進(jìn)一步開展數(shù)感，增加對(duì)勾股數(shù)的直觀體驗(yàn)，培養(yǎng)從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題的能力，建立數(shù)學(xué)模型．(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，開展運(yùn)用數(shù)學(xué)的信心和能力，初步形成積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí)．●教學(xué)重點(diǎn)：直角三角形的判別條件及應(yīng)用?！窠虒W(xué)難點(diǎn):直角三角形的判別條件及應(yīng)用，并解決實(shí)際問題。●教學(xué)方法:引導(dǎo)啟發(fā)●教具準(zhǔn)備:●教學(xué)過程：Ⅰ、情境引入情境：1．直角三角形中，三邊長度之間滿足什么樣的關(guān)系？2．如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這三角形是否就是直角三角形呢？Ⅱ、合作探究內(nèi)容1：探究下面有三組數(shù)，分別是一個(gè)三角形的三邊長，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并答復(fù)這樣兩個(gè)問題：1．這三組數(shù)都滿足嗎？2．分別以每組數(shù)為三邊作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？學(xué)生分為４人活動(dòng)小組，每個(gè)小組可以任選其中的一組數(shù)。從上面的分組實(shí)驗(yàn)很容易得出如下結(jié)論：如果一個(gè)三角形的三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形內(nèi)容2：說理提問：有同學(xué)認(rèn)為測(cè)量結(jié)果可能有誤差，不同意這個(gè)發(fā)現(xiàn)。你認(rèn)為這個(gè)發(fā)現(xiàn)正確嗎？你能給出一個(gè)更有說服力的理由嗎？明晰結(jié)論：如果一個(gè)三角形的三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。活動(dòng)3：反思總結(jié)提問：1．同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？2．今天的結(jié)論與前面學(xué)習(xí)勾股定理有哪些異同呢？3．到今天為止,你能用哪些方法判斷一個(gè)三角形是直角三角形呢?4．通過今天同學(xué)們合作探究，你能體驗(yàn)出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)要經(jīng)歷哪些過程呢？Ⅲ、小試牛刀1．以下哪幾組數(shù)據(jù)能作為直角三角形的三邊長？請(qǐng)說明理由。①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22解答：①②2．一個(gè)三角形的三邊長分別是，那么這個(gè)三角形的面積是〔〕A250B150C200D不能確定解答：B3．如圖，在中，于，，那么是〔〕A等腰三角形B銳角三角形C直角三角形D鈍角三角形解答：C4．將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是〔〕A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D不能確定解答：AⅣ、登高望遠(yuǎn)例題：一個(gè)零件的形狀如下圖，按規(guī)定這個(gè)零件中都應(yīng)是直角。工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如下圖，這個(gè)零件符合要求嗎？CAB北2．一艘在海上朝正北方向航行的輪船，航行240海里時(shí)方位儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長指揮船左傳90CAB北解：由題意畫出相應(yīng)的圖形AB=240海里,BC=70海里,，AC=250海里;在△ABC中=(250+240)(250-240)=4900==即∴△ABC是Rt三角形答:船轉(zhuǎn)彎后,是沿正西方向航行的。Ⅴ、.練習(xí)Ⅵ、課時(shí)小結(jié):1．今天所學(xué)內(nèi)容①會(huì)利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角形；②滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；2．從今天所學(xué)內(nèi)容及所作練習(xí)中總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)與方法：①數(shù)學(xué)是源于生活又效勞于生活的；②數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜測(cè)和驗(yàn)證的過程，同時(shí)遵循由“特殊→一般→特殊”的開展規(guī)律；③利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，當(dāng)遇見數(shù)據(jù)較大時(shí)，要懂得將作適當(dāng)變形，便于計(jì)算。Ⅵ.課后作業(yè):課本習(xí)題1.4板書設(shè)計(jì):能得到直角三角形嗎情景引入————小試牛刀：登高望遠(yuǎn)—————合作探究————１．——————１．——————２．——————２．——————３．——————課后反思:●課題：勾股定理的應(yīng)用●教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)與技能：能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件(即勾股定理的逆定理)解決簡單的實(shí)際問題.(二)過程與方法：1.學(xué)會(huì)觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念.2.在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：1.通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.在解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性，表達(dá)人人都學(xué)有用的數(shù)學(xué).●教學(xué)重點(diǎn)：

探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實(shí)際問題.●教學(xué)難點(diǎn):利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題●教學(xué)方法:引導(dǎo)—探究—?dú)w納●教具準(zhǔn)備:●教學(xué)過程：Ⅰ、情境引入情景1：提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？情景2：如圖：在一個(gè)圓柱石凳上，假設(shè)小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？Ⅱ、合作探究學(xué)生分為活動(dòng)小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線．讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點(diǎn)連線最短問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的方法．得出結(jié)論：利用展開圖中兩點(diǎn)之間，線段最短解決問題．在這個(gè)環(huán)節(jié)中，可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．接下來后提問：怎樣計(jì)算AB？在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，假設(shè)圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，那么．方法提煉：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：1．審題——分析實(shí)際問題；2．建?！⑾鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型；3．求解——運(yùn)用勾股定理計(jì)算；4．檢驗(yàn)——是否符合實(shí)際問題的真實(shí)性．Ⅲ、做一做李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，〔1〕你能替他想方法完成任務(wù)嗎？〔2〕李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD〔3〕小明隨身只有一個(gè)長度為20厘米的刻度尺，他能有方法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與ABⅣ、小試牛刀1．甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h的速度向正東行走，1時(shí)后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？解答：如圖:A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10:00甲到達(dá)B點(diǎn)，乙到達(dá)C點(diǎn)．那么:AB=2×6=12〔km〕AC=1×5=5〔km〕在Rt△ABC中:∴BC=13〔km〕．即甲乙兩人相距13km2．如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離．解答：.3．有一個(gè)高為1.5m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，鐵棒在油桶外的局部為解答：設(shè)伸入油桶中的長度為xm．那么最長時(shí):∴最長是+=3〔m〕．最短時(shí):．∴最短是+=2〔m〕．答:這根鐵棒的長應(yīng)在2～3m之間．Ⅳ.練習(xí)Ⅴ.課時(shí)小結(jié):師生相互交流總結(jié)：1．解決實(shí)際問題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解．2．在尋求最短路徑時(shí)，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題．Ⅵ.課后作業(yè):課本習(xí)題1.4板書設(shè)計(jì):螞蟻怎樣走最近情境引入————小試牛刀：合作探究————１．——————２．——————３．——————課后反思:●課題：回憶與思考●教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)與技能：讓學(xué)生回憶本章的知識(shí)，同時(shí)重溫這些知識(shí)尤其是勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過程，體會(huì)勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用．(二)過程與方法：在回憶與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力．(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀：在反思和交流的過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)帶來的無盡的樂趣．通過對(duì)勾股定理歷史的再認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)愛國主義精神，體驗(yàn)科學(xué)給人來帶來的力量．●教學(xué)重點(diǎn)：●教學(xué)難點(diǎn):●教學(xué)方法:●教具準(zhǔn)備:●教學(xué)過程：Ⅰ、情境引入勾股定理，我們把它稱為世界第一定理．它的重要性，通過這一章的學(xué)習(xí)已深有體驗(yàn)，首先，勾股定理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學(xué)知道，正是由于勾股定理得發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)，這一點(diǎn)，我們將在《實(shí)數(shù)》一章里講到，第三，勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，有許許多多的數(shù)滿足這個(gè)方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最為著名的就是費(fèi)馬大定理，直到1995年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明．勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡，我們已經(jīng)比擬完整地研究了這個(gè)先人給我們留下來的珍貴的財(cái)富，這節(jié)課，我們將通過回憶與思考中的幾個(gè)問題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應(yīng)用．Ⅱ、知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理本章知識(shí)要點(diǎn)及結(jié)構(gòu)：1．勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用和分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么__________．2．勾股定理各種表達(dá)式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊也分別為，那么=_________，=_________，=_________．3．勾股定理的逆定理：在△ABC中，假設(shè)三邊滿足___________，那么△ABC為___________．4．勾股數(shù)：滿足___________的三個(gè)___________，稱為勾股數(shù)．5．幾何體上的最短路程是將立體圖形的________展開，轉(zhuǎn)化為_________上的路程問題，再利用___________兩點(diǎn)之間，___________解決最短線路問題．6．直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系？從邊的關(guān)系來說，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來說，由于直角三角形中有一個(gè)特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個(gè)銳角互余．直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形．如果又有一個(gè)銳角是，那么的角所對(duì)的直角邊時(shí)斜邊的一半．7．舉例說明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形．判斷一個(gè)三角形是直角三角形可以從角、邊兩個(gè)方面去判斷．〔1〕從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形．例如：①在△ABC中，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)定義可判斷△ABC是直角三角形．②在△ABC中，，由三角形的內(nèi)角和定理可知，，，，△ABC是直角三角形．〔2〕從邊出發(fā)來判斷一個(gè)三角形是直角三角形．其實(shí)從邊來判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定直角三角形的條件〔即勾股定理的逆定理〕．例如：①△ABC的三條邊分別為，而，根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，但這里要注意的是b所對(duì)的角．②在△ABC三條邊的比為，△ABC是直角三角形．8．通過回憶與思考中的問題的交流，由同學(xué)們自己建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖．三邊的關(guān)系--勾股定理→歷史、應(yīng)用直角三角形直角三角形的判別→應(yīng)用Ⅲ、合作探究探究一：利用勾