湖南省長沙市瀏陽市2022-2023學年高一年級上冊期末數學試題

2022年下學期期末考試試卷高一數學

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求.

1.設全集o={一2,—U,2,3},集合"={-1,1},為J,2,3},則~A）QB=（）

A.{1}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】先計算出gA,再計算（電A）c6即可.

【詳解】根={—3,—2,2,3},（退卜6={2,3}.

故選：C.

2.半徑為2,圓心角為1弧度的扇形的面積是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據扇形面積公式即可代入求解.

【詳解】由扇形面積的計算公式可得s=—xlx22=2,

2

故選：B

3.雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”，2060年實現(xiàn)“碳中

和”.為了實現(xiàn)這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲

透率有望超過70%,新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇.尸6"上〃于1898年提出蓄電池的容量C

（單位：A.h）,放電時間f（單位：h）與放電電流/（單位：A）之間關系的經驗公式其中

"=10822為網”題“常數.在電池容量不變的條件下，當放電電流/=10A時，放電時間f=57h,則當

2

放電電流/=15A,放電時間為（）

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意求出蓄電池的容量C,再把/=15A代入，結合指數與對數的運算性質即可得解.

【詳解】解：根據題意可得C=57IO"，

則當/=15A時,

5710"=15"“，

所以,=571|1=57]|〔,=57〔|]gQ=28.5h，

即當放電電流/=15A,放電時間為28.5h.

故選：B.

4.根據表中數據，可以判定方程e'-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為()

X-10123

ex0.3712.277.3920.09

x+212345

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D,(2,3)

【答案】C

【解析】

【分析】求出方程對應得函數/(x)=e"—%—2,然后利用表格分別求出/(O),/(1),/(2),/(3),

然后利用零點存在定理判斷即可.

【詳解】令/(x)=e”一x—2,則/(一1)=0.37-1<0,

/(0)=1-2<0,/(1)=2.27-3<0,/(2)=7.39-4>0,/(3)=20.09-5>0,得

/(1)./(2)<0,由零點存在定理可知：函數/(幻的存在零點位于區(qū)間(1,2)內，即方程尤―2=0的

一個根所在區(qū)間為(1,2).

故選：C

5.某小型服裝廠生產一種風衣，日銷售量x(件)與單價尸(元)之間的關系為尸=160—2工，生產尤件

所需成本為C(元)，其中C=500+30x,若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量尤的取值范圍是

()

A.20<x<30,xeN*B,20<x<45,xeN*

C.15<x<30,xeND.15<x<45,xeN*

【答案】B

【解析】

【分析】由題意求得利潤函數了=-2爐+1300》-500,然后解不等式y(tǒng)21300即可得.

【詳解】由題意日銷量尤件時，利潤是y=(160—2x)x—(500+30x)=—2/+130X—500,

-2x2+130%-500>1300-(x-20)(x-45)<0,20<x<45.

故選：B.

fjl\COSCL

6.若戊￡0,二，tan2a=；；——；——,則tana=()

12J2-sma

V15口后「6V15

AA.---D.-----Un.----

15533

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式可得tan2。=堊也=冽絲等，再結合已知可求得sin。=,，利用同角三

cos2al-2sina4

角函數的基本關系即可求解.

【詳解】tan2a一儂。

2-sina

「sinla2sinocosacos。

/.tan2a=------=---------——=-------,

cos2al-2sina2-sma

C萬)c2sin。1切/曰.1

0,—,「.cosowO,，-----—=--------，解得sina=一,

I2)l-2sin26z2-sma4

r—-A/15sinaA/15

cosa=vl-sina---，/.tana=-----=----?

4cosor15

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出sina.

7.某工廠將產生的廢氣經過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數量尸(單位：毫克/升)與過濾

時間單位：小時)之間的函數關系為P=6-e"(/20),其中％為常數，k>Q,4為原污染物數量.

該工廠某次過濾廢氣時，若前4個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉90%,那么再繼續(xù)過濾2小時，廢氣

中污染物的殘留量約為原污染物的()

A.1%B.2%C.3%D.5%

【答案】C

【解析】

【分析】由題意得，當x=4時，「二4七股=10%與，求得左，再將x=6代入即可得出答案.

【詳解】由題意得，當x=4時，P=^-e4t=10%^,

所以e*=0.1八

6-01

則當x=6時，P=P-e6k=41I=012兄=〒片,

()Vio

因為3.1<加<3.2，所以尸2。.03《,

yjlO

即再繼續(xù)過濾2小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的3%.

故選：C.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函數的奇偶性排除兩個選項，再利用xe(0,l)時，一⑴值為正即可判斷作答.

【詳解】函數=定義域為R,/(—無)=空斗=T^=—/(x),即/(x)是奇函數,

e+ee+ee+e

A,B不滿足；

當xe(0,l)時，即0<?x<%,則sin(7K)>0,而寸+-”>0，因此/(x)>0,D不滿足，C滿足.

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分.

9.已知事函數/（九）圖像經過點（9,3）.則下列命題正確的有（）

A.函數在R上為增函數

B.函數為偶函數

C.若XN4,則/（x）22

D.若…"則/叫"—〉/［詈］

【答案】C

【解析】

【分析】設〃冷=丁，代入（9,3）可求得八力=￡；由/（%）定義域知AB錯誤；根據事函數單調性可

知C正確；作差法可證得</［七三］,由此知D錯誤.

【詳解】設〃x）=x"，則〃9）=9“=3,解得：a=g,...〃力=￡；

對于AB,/（%）定義域為［0,+“），定義域不關于原點對稱，AB錯誤；

對于C,“X）在［0,+0上單調遞增，，當Q4時，八力之/（4）=4；=2,C正確；

對于D,當％">。時，/>）+〃々）］2J/A±^］T=X|+X2+2斥

2“逮2-占_（枇）

-----------------------=----------------a-------<0

44

又/（X）?。,

八）；"々）<4詈；D錯誤.

故選：C.

10.下列說法正確的是（）

A.命題p：Vx,ye（0,1）,x+y<2,則rp：三無o,（0,1）,xo+yo>2

B.%>1,6>1”是“湖>1”成立的充分不必要條件

C“|x|>|y|"是“x>y”的必要條件

D.“m<0”是“關于龍的方程N—2尤+%=0有一正一負根”的充要條件

【答案】ABD

【解析】

【分析】由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可以判斷選項A,舉反例可以判斷BC,根據方程根的分

布可以判斷D.

【詳解】選項A：命題p：\/x,y￡(0,1),x+y<2f

否定為：3xo,yo￡(0,1),xo+yo>2

故A選項正確；

選項B：由。>1/>1時，所以充分性成立，

當。=3乃=’時，>1,但是a>l,b<1,故必要性不成立

2

所以、>1,b>r^ab>1”成立的充分不必要條件

故B選項正確；

選項C：卜3|>磔，但是—3v2,

所以國>lyl不一定推出x>y

反之，3<—4,但是13kl-4|,

所以尤>y不一定推出|R>|y

所以“國>|y『是"x>y”的既不充分也不必要條件

故C錯誤；

選項D：關于x的方程x2—2x+m=0有一正一負根

“、［eA=(-2)2-4xlxm>0八

設為％I，9，貝叫vo加<0

［再?々=加<0

所以“加〈0”是“關于X的方程N—2x+m=0有一正一負根”的充要條件

故選項D正確；

故選：ABD.

11.設正實數機，〃滿足加+〃=2,則下列說法正確的是()

A.1—的最小值為2B.相〃的最大值為1

mn

/—L225

C.+6的最大值為4D.m+n的最小值為—

4

【答案】AB

【解析】

【分析】根據基本不等式及“1”的技巧判斷AB,根據重要不等式判斷CD即可.

【詳解】Vm>0,n>0,m+n=2,

111/1mAifIn

—I——=—(m+n]\—I——二一2H--1—>—2+2J-----=2,

mn2\mn)2(mn)21vmnJ

V!rrj

當且僅當一=—,即7"=〃=1時等號成立，故A正確；

mn

根+“=222，嬴，，/加W1，當且僅當7"=〃=1時，等號成立，故B正確;

(而+J7)<2(詬)+(冊)=4,4m+4n<^(m+n)=2,當且僅當m=〃=1時等號成

立，最大值為2,故C錯誤；

蘇+“2J"2+")=2,當且僅當機=〃=1時等號成立，故D錯誤.

2

故選：AB

2K-1,0<X<2

12.已知八可是定義在R上的奇函數，當x>0時，/(%)=1，若關于龍的方程

-f(x-2),x>2

、乙

[/(力丁―(。+1)/(力+。=。(。?2恰有4個不相等的實數根，則這4個實數根之和為()

A.4B.-4C.-8D.8

【答案】BD

【解析】

【分析】根據函數的解析式作出函數在時圖象，換元/Xx)=f解方程可得y々或y1，利用圖象求

出交點對應橫坐標，注意利用函數為奇函數圖象關于原點對稱，分f=a=，與/=。=一4兩種情況討

22

論，數形結合即可求解.

【詳解】作出函數在xNO時的圖象，如圖所示，

設/(尤)=乙

則關于％的方程[/(x)]2-(a+l)/U)+?=0(aeR)的方程等價于/—(a++a=0,

解得：1=。或方=1,

如圖，

當/=1時，即/(x)=l對應一個交點為玉=2,

方程恰有4個不同的根，可分為兩種情況:

(1)f=a=g,即/(x)=；對應3個交點，且x2+x3=2,x4=4,

此時4個實數根之和為8；

(2)t=a=—g,即f(x)=――對應3個交點，且x2+x3=—2,x4=-4,

此時4個實數根之和為T，

綜上，4個實數根之和為8或

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.用列舉法表示|--eN|aeNj=.

【答案】{1,2,3,6}

【解析】

【分析】根據一9—eN且aeN求出。值，即可求出工，從而列舉即可.

6Z—16Z—1

【詳解】解：因為一9—wN且所以〃一1=1或。一1=2或〃一1二3或。一1二6,

a—1

解得。=2或a=3或〃=4或a=7,

所以對應的一、分別為6、3、2、1,

即|六eN|aeN}={l,2,3,6}；

故答案為：{1,2,3,6)

3

14.已知a為銳角，且sina=g,則cos(兀一a)的值為.

4

【答案】-y##-0.8

【解析】

【分析】根據同角三角函數的基本關系和誘導公式求解.

34

【詳解】因為a為銳角，且sina=1，所以cosa=1，

所以cos(兀一a)=-cosa=--1,

4

故答案為：-1.

15.已知指數函數>=優(yōu)是減函數，若機=/,“=2°，P=log〃2,則機，"，P的大小關系是

【答案】n>m>p

【解析】

【分析】根據指數函數性質可知由此可推斷出機，%°的取值范圍繼而得到大小關系.

【詳解】因為指數函數>=優(yōu)是減函數，所以0<。<1

由此可知0<加<1；1</7<2；p<0,^n>m>p

故答案為：n>m>p

16.己知函數+gx2+sinx+2022則〃。)+“圭卜2021

+f+/(!)=

~x2+20222022

【答案】2023

【分析】確定了3的圖象關于(；』)對稱，進而可得/(g+x)+/(g-x)=2,即可求解.

【詳解】因為+；X2+sinx+2022,sinxsinx

1H---;----------，所以+—1=

--2+2022-+2022爐+2022

sinx/、一sin九

設g(%)=—；---------,g(-%)=—；-----------=_g(x)，

X+2022X2+2022

所以g(x)為奇函數，所以/+關于(0,1)對稱,

所以/(X)的圖象關于，,1)對稱,

所以，(。)+"1)=2"(土),g|卜2,.,嗎)=1,

所以〃0)+/［急［++/［卷］+/⑴=1011x2+1=2023,

\乙乙乙J\乙\)乙乙J

故答案為：2023

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知不等式a?—3x+2>0的解集為{x|x<l或x>b}.

(1)求。，Z?的值；

(2)加為何值時，0c2+如+32。的解集為R.

(3)解不等式av?—(ac+Z?)x+Z?c<0.

【答案】(1)a=l；b=2；

(2)-273<m<2A/3；

(3)詳見解析.

【解析】

【分析】(1)由題可知1和6是方程依2一3%+2=0的兩根，利用根與系數的關系可求得。、〃的值；

(2)由題意可得出AW0,即可求得實數加的取值范圍；

(3)將所求不等式變形為(x-2)(x-c)<0,對c和2的大小關系進行分類討論，利用二次不等式的解

法可得出原不等式的解集.

【小問1詳解】

由題意知，1和人是方程辦?—3%+2=0的兩根，

貝!Ja—3+2=0,得a=l,

所以方程為V—3%+2=0，

由韋達定理可得lx〃=2,

解得6=2；

【小問2詳解】

由題意可知，關于%的不等式12+如：+320的解集為R，

所以，A=m2-12<0,

解得—2百〈根〈2百；

【小問3詳解】

不等式加-(^ac+b^x+bc<0,

所以f-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,

①當c>2時，原不等式的解集為｛x[2<x<c｝；

②當c<2時，原不等式的解集為｛x[c<x<2｝；

③當c=2時，原不等式無解；

綜上知，當c>2時，原不等式的解集為｛x[2<x<c｝；

當c<2時，原不等式的解集為｛無卜<%<2｝；

當c=2時，原不等式的解集為0.

18.已知sin。、cos。是方程2妙_(百一1)%+根=o的兩個實數根.

(1)求實數m的值；

sin0cos0

(2)求]1.1—tan?的值;

tan。

3

(3)若求cos2。的值.

【答案】(1)m-；

2

⑵^1;

2

(3)J.

【解析】

【分析】(1)根據韋達定理及同角關系式即得；

(2)根據同角關系式化簡即得；

(3)由題可得cos9-sin9=58,然后利用二倍角公式即得.

2

【小問1詳解】

因為sin。、以光。是方程2%2_(6-1)%+/〃=0的兩個實數根，

1

sin0+cos0=

由韋達定理得《2

sin^cos^=-

2

由(sin0+cos9)2=S*2，3*

則1+2sincos3=l+m=(―-----)2,

2

所以根=—；

2

【小問2詳解】

sin0cos0

------i------1---------------sin20cos20

_11-tan6=----------------------1----------------------

sin0-cos0cos3-sin0

tan。

地m3?=sine+cose=?

sin。一cos。2

【小問3詳解】

因為加=—史^,

2

?qzj"73—1

sint)+cosk)---------

2

所以r9

sin0cos9=....—

I4

所以(sin9—cosOp=1—2sin8cos8=1+立=4+2百=(匕烏2,

242

3

因為夕￡(—肛2?),

2

所以cos6>0,sin6v0,cos6一sin8J+",

2

所以cos26=cos2夕一sin?。=(cos夕+sin8)(cos夕一sin夕)=L

2

19.己知函數〃力=竺之如土1為奇函數，且"1)=3

(1)求/(X)；

(2)求證：f(x)在區(qū)間[1,+oo)上單調遞增;

(3)若對任意的xe[l,+8)都有7，—求實數機的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=2x+-;

X

⑵證明見解析；(3)[-1,3].

【解析】

【分析】(1)根據奇函數的概念求出參數。力，再檢驗，即可求解；

⑵由(1),利用定義法直接證明即可；

(3)根據(2)可得xe[l,+oo),/⑺而n=3，即92—2根<3，解之即可.

【小問1詳解】

由/(X)為奇函數，定義域為(一8,。)I(。,+8)

可得/(—1)=一/(I)，即一(Q—人+1)=—(Q+b+1),解得b=(),.

又/(l)=a+l=3,有a=2,所以/(x)=2x+L,

X

對任意X￡(—8,O)U(0,+8),/(-%)二一2%一,二—/(%),滿足了(%)為奇函數.

綜上：/(x)=2x+—.

X

【小問2詳解】

對任意％1,+8)且%<%2，有

/㈤-〃%)=2石+工-2%」=2。-2)+^^=&-“2)(2中2-1),

玉x2x1x2xrx2

由可得2%2%2〉1，王一九2<0,

則/(%)-/(%2)<。，即/(%)</(%2)，

所以/(X)在[1,+00)上單調遞增；

【小問3詳解】

由/(X)在[1,+oo)上單調遞增.

可得對任意尤e[l,+”)，/(%)niin=/(1)=3,

因為對任意的xe[l,+。)都有機2-2m(/(x).

所以/向口=/(1)=3,nr-2m-3<0,解得—lWmW3,

即實數機的取值范圍是[-1,3].

20.1.2015年11月30日，習近平主席在巴黎氣候大會的講話中宣布：“中國將于明年啟動在發(fā)展中國家開

展10個低碳示范區(qū)，100個減緩和適應氣候變化項目及1000個應對氣候變化培訓名額的合作項目.”某企業(yè)

在國家科研部門的支持下，計劃在A國啟動減緩氣候變化項目，重點進行技術攻關，將采用新工藝，把細

顆粒物(PM2.5)轉化為一種可利用的化工產品.已知該企業(yè)處理成本P(x)(億元)與處理量x(萬噸)之

—+-,0<^,10

間的函數關系可近似地表示為P(x)=164，另外技術人員培訓費為2500萬元，試驗區(qū)基

433

XH-----------,X>10

IX20

建費為1億元.(附：投入總成本=處理成本+技術人員培訓費+試驗區(qū)基建費，平均成本

投入總成本、

處理量

(1)當0<%,10時，若計劃在A國投入的總成本不超過5億元，則該工藝處理量X的取值范圍是多少？

(2)該企業(yè)處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的平均成本最低，最低是多少億元？

【答案】(1)(0,6]

(2)處理量為x=2石萬噸時，每萬噸的平均成本最低，最低是4包億元.

4

【解析】

【分析】(1)在0<%,10時，求出此時的總成本函數，列出不等式，解出該工藝處理量x的取值范圍；

(2)分0〈茗,10和1〉10兩種情況，表示出兩種情況下每萬噸的平均成本函數，結合函數特點分別求出

最小值，比較得出答案.

【小問1詳解】

2500萬元為工億元

4

設該企業(yè)計劃在A國投入的總成本為Q(x)(億元),

則當0<三10時，Q(X)=；+J+:+1=W+9+0

16441644

依題意：Q(x)=---1---1—?5,

1644

即f+4x-60,,0,解得—1噂心6,結合條件0<工,10,???%￡((),6].

【小問2詳解】

依題意，該企業(yè)計劃在A國投入的總成本:

①當0<xW10時，Q(X)=±+'+9,

1644

??Q{x}尤51Jx51A/5+1當且僅當仁=2；,即x=2j?時,

則"，=一+—+-..2.—.—+-=-----

x164%4yl64x44

四的最小值為好斗

x4

四=:-2+1=/」)2+空

②當x>10時,

xx25xx20100

「?當—二=，即20時，)的最小值為---，

x20x100

..99A/5+I

?---〉-----

1004

當x=2A/5時，"’的最小值為+1.

x4

21.對于函數y=/(x),若在定義域內存在實數x,滿足/(—%)=—4(%)，其中改為整數，則稱函數

y=/(x)為定義域上的‘〃階局部奇函數”?

(1)已知函數/(x)=3sinx+cosx,試判斷y=/(x)是否為(-/，鼻上的“2階局部奇函數”？并說

明理由；

(2)若/a)=log3(x+m)是［-2,2］上的“1階局部奇函數”，求實數機的取值范圍；

⑶若/(x)=*—2］+/,對任意的實數fe(—8,2］,函數y=/(x)恒為R上的“上階局部奇函

數”，求整數上取值的集合.

【答案】(1)是，理由見解析；(2)xe(2,君］;⑶{—5,T—3,—2,—1}

【解析】

【分析】⑴根據題意，/(%)為上的“2階局部奇函數”等價于關于x的方程/(—%)=—2/⑴

在卜萬,不)上有解，列出方程，解方程即可；

(2)由“1階局部奇函數”的定義，列出方程，討論方程成立并有解時參數的取值范圍；

(3)根據隈階局部奇函數”定義，轉化對任意的實數8,2］,函數y=/(x)恒為R上的“左階

局部奇函數”，為(4+l)f+2(l—左)x+f+笈=0對任意的實數0恒成立問題，討論二次項系

數是否為零，不為零時討論A20恒成立，再令g1)=(l+左—左)2,求解g⑺max<0，即可.

【詳解】(1)/(%)為卜/曰上的“2階局部奇函數”等價于關于X的方程/(—x)=—2/(刈在

1―上有解，即：3sin(-x)+cos(-x)=-2(3sinx+cosx),

化簡得：sinx=-cosx,

「,71(717l\

解侍：”=一片「5'引

所以/⑴是上的"2階局部奇函數”.

(2)由/(%)是［—2,2］上的“1階局部奇函數”，

且/(x)=log3(x+m)要滿足工〉一加,所以切>2.

因為/(x)=log?(x+加)是［-2,2］上的“1階局部奇函數”，等價于關于x的方程/(—x)=—/(x)

在［一2,2］有解，即1083(-4+相)=-1。83"+〃。，化簡得：m--x2=1-xe［-2,2］

所以加=l+x2e［l,5］,

又m>2,所以機

(3)因為/(%)恒為R上的"階局部奇函數”等價于關于x的方程/(—x)=—4(％)恒有解.

即尤~+2%+/=—左(廠—2x+/),化簡得：(左+1)%2+2(1