2024屆安徽省安慶市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題及答案

高中PAGE1高中2024年安慶市高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題命題：安慶市高考命題研究課題組考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．1．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．43．設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)橢圓C中心的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（）A．12 B．14 C．16 D．184．在一次學(xué)科核心素養(yǎng)能力測(cè)試活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成績(jī)（評(píng)分滿(mǎn)分為100分），將所有數(shù)據(jù)按，，，，，進(jìn)行分組，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)為（）A．80 B．78 C．76 D．745．設(shè)是公比不為1的無(wú)窮正項(xiàng)等比數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知點(diǎn)，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B滿(mǎn)足，則與夾角最大值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在上沒(méi)有最小值，則的值為（）A． B． C． D．8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則（）A．不存在點(diǎn)E，使得B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條 C．過(guò)點(diǎn)E與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條D．過(guò)點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知定義在R上的函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．C．函數(shù)為減函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)10．拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B作拋物線C的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，則（）A．當(dāng)時(shí)，B．面積的最大值為2C．點(diǎn)E在一條定直線上D．設(shè)直線傾斜角為，為定值11．滿(mǎn)足，，的數(shù)列稱(chēng)為盧卡斯數(shù)列，則（）A．存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等差數(shù)列B．存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等比數(shù)列C．D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．13．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為M，底面直徑．圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合于一點(diǎn)O，則該圓錐的全面積為_(kāi)_________．14．剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的中國(guó)民間藝術(shù)．其傳承賡續(xù)的視覺(jué)形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣，具有認(rèn)知、教化、表意、抒情、娛樂(lè)、交往等多重社會(huì)價(jià)值．現(xiàn)有如圖所示剪紙圖案，其花紋中就隱含方程為的曲線C（稱(chēng)為星形線），則曲線C的內(nèi)切圓半徑為_(kāi)_________；以曲線C上點(diǎn)為切點(diǎn)的直線被坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)等于__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）如圖，在平面凸四邊形中，．（1）求；（2）若，，求．16．（15分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．（15分）如圖，將邊長(zhǎng)為2的菱形沿其對(duì)角線對(duì)折，使得點(diǎn)A、D分別位于邊長(zhǎng)為2的等邊所在平面的兩側(cè)，且，．設(shè)E是的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．18．（17分）樹(shù)人高中擬組織學(xué)生到某航天基地開(kāi)展天宮模擬飛行器體驗(yàn)活動(dòng)，該項(xiàng)活動(dòng)對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)和航天知識(shí)素養(yǎng)有明確要求．學(xué)校所有3000名學(xué)生參加了遴選活動(dòng)，遴選活動(dòng)分以下兩個(gè)環(huán)節(jié)，當(dāng)兩個(gè)環(huán)節(jié)均測(cè)試合格可以參加體驗(yàn)活動(dòng)．第一環(huán)節(jié)：對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)進(jìn)行測(cè)試，當(dāng)測(cè)試值時(shí)體能指標(biāo)合格；第二環(huán)節(jié)：對(duì)身體體能指標(biāo)符合要求的學(xué)生進(jìn)行航天知識(shí)素養(yǎng)測(cè)試，測(cè)試方案為對(duì)A，B兩類(lèi)試題依次作答，均測(cè)試合格才能符合遴選要求．每類(lèi)試題均在題庫(kù)中隨機(jī)產(chǎn)生，有兩次測(cè)試機(jī)會(huì)，在任一類(lèi)試題測(cè)試中，若第一次測(cè)試合格，不再進(jìn)行第二次測(cè)試．若第一次測(cè)試不合格，則進(jìn)行第二次測(cè)試，若第二次測(cè)試合格，則該類(lèi)試題測(cè)試合格，若第二次測(cè)試不合格，則該類(lèi)試題測(cè)試不合格，測(cè)試結(jié)束．經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，該校學(xué)生身體體能指標(biāo)服從正態(tài)分布．參考數(shù)值：，，．（1）請(qǐng)估計(jì)樹(shù)人高中遴選學(xué)生符合身體體能指標(biāo)的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；（2）學(xué)生小華通過(guò)身體體能指標(biāo)遴選，進(jìn)入航天知識(shí)素養(yǎng)測(cè)試，作答A類(lèi)試題，每次測(cè)試合格的概率為，作答B(yǎng)類(lèi)試題，每次測(cè)試合格的概率為，且每次測(cè)試相互獨(dú)立．①在解答A類(lèi)試題第一次測(cè)試合格的條件下，求測(cè)試共進(jìn)行3次的概率．②若解答A、B兩類(lèi)試題測(cè)試合格的類(lèi)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（17分）取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù)．另外也稱(chēng)是x的整數(shù)部分，稱(chēng)為x的小數(shù)部分．（1）直接寫(xiě)出和的值；（2）設(shè)a，，證明：，且，并求在b的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；（3）對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)a，a能唯一寫(xiě)為，其中為質(zhì)數(shù)，為整數(shù)，且對(duì)任意的，，i，，稱(chēng)該式為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式，例如100的標(biāo)準(zhǔn)分解式為．證明：在的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)（，，）的指數(shù)．2024年安慶二模數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題題號(hào)12345678答案ABCBCABD二、多項(xiàng)選擇題題號(hào)91011答案ACDCDBCD三、填空題12．210 13． 14．，a四、解答題15．【解析】（1）由已知得：，故，所以．因?yàn)椋?，所以．?）由已知，為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，在中，，由正弦定理得，故．由于，所以，故．在中，由余弦定理得，即，得．16．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，求?dǎo)，得．令，得（舍去），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）方法1：由條件可知，于是，解得．當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，，對(duì)其求導(dǎo)，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是．方法2：由條件可知對(duì)任意的恒成立，令，，只需即可．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，于是，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是．17．【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接、，如圖所示．因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以也是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．在等邊中，O是的中點(diǎn)，故；且，又，故；又，故平面；又平面，故平面平面．（2）由（1）知，，．又O是等邊的邊中點(diǎn)，故．所以，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x、y、z軸，建立如圖示空間直角坐標(biāo)系．則，，，，故．因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，故，所以，且，又，，故平面，則D在平面內(nèi)．故求得，所以，，設(shè)平面的法向量為，顯然可令；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，即．所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的正弦值為．18．【解析】（1）．所以符合該項(xiàng)指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為：人．（2）①記表示解答A類(lèi)試題第一次測(cè)試合格，，分別表示解答B(yǎng)類(lèi)試題第一次和第二次測(cè)試合格，測(cè)試共進(jìn)行3次記為事件M，則，．②設(shè)X的取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望．19．【解析】（1）1，0.25；（2）證明：因?yàn)?，等式兩邊同時(shí)乘b，得．因?yàn)閍，b都為整數(shù)，所以也為整數(shù)，又，所以．所以，得證．假設(shè)b，，…，都小于等于a，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以b的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)